人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时基础练习 18.1平行四边形
一、选择题
1．（2023八下·兴仁月考）如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，的周长为15，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵平行四边形的对角线，交于点，已知，，
∴BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，
∵的周长为15，
∴BC=15-（BO+CO）=15-（5+3）=7，
∴AD=BC=7，
故答案为：C.
【分析】先利用平行四边形的性质可得BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，再利用三角形的周长公式求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得AD=BC.
2．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点.若∠DAC=20°，∠ACB=66°，则∠FEG的度数为（ ）
A．18° B．21° C．22° D．23°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F、G分别是边AB、CD、AC的中点，
∴EG、FG分别是△ABC、△ACD的中位线，
∴EG=AD、FG=BC，EG∥AD、FG∥BC，
∴∠FGC=∠DAC，∠ACB=∠AGE，
∵∠DAC=20°，∠ACB=66°，AD=BC，
∴∠FGC=∠DAC=20°，∠ACB=∠AGE=66°，EG=FG，
∴∠EGC=180°-66°=114°，∠EFG=∠FEG，
∴∠FGE=∠FGC+∠EGC=20°+114°=134°，
∴∠EFG=∠FEG=.
故答案为：D.
【分析】由三角形的中位线定理可得EG=AD、FG=BC，EG∥AD、FG∥BC，结合已知并根据平行线的性质和三角形内角和定理可求解.
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是平行四边形，若A，C两点的坐标分别为(3，0)，(1，2)，则 ABCO的周长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过C作CE⊥OA于E，
∵C（1，2），
∴OE=1，CE=2，
∴，
∵A（3，0），∴OA=3，
∵四边形ABCO是平行四边形 ，
∴AB=OC=，BC=OA=3，
∴ ABCO的周长=2（OA+OC）=6+2.
故答案为：D.
【分析】过C作CE⊥OA于E，在Rt△OCE中，用勾股定理求出OC的值，然后根据平行四边形的性质并结合四边形的周长等于相邻两边之和的2倍可求解.
4．两条平行线之间的距离是指（ ）
A．两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段
B．两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
C．两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线的长度.
D．两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线上的一点间线段的长度
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：两条平行线之间的距离是指两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度.
故答案为：A.
【分析】利用两条平行线之间的距离的定义，可得答案.
5．如图，已知 ABCD，点 E，F 在对角线AC 上，且AE=CF，连结 DE，DF，BE，BF.求证：四边形DEBF 为平行四边形.以下是排乱的证明过程：
①∴四边形DEBF 为平行四边形.
②∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD=OB，OA=OC.
③连结 BD，交 AC 于点O.
④∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.
证明步骤正确的顺序是 （ ）
A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：连接BD 交 AC 于点O.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC.
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.
∴四边形DEBF 为平行四边形.
故答案为：C.
【分析】连接BD 交 AC 于点O. 由平行四边形的性质可得OD=OB，OA=OC.结合AE=CF，可推出OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即证结论.
6．如图，E是 ABCD的边 AD 延长线上一点，连结BE，CE，BD，BE 交 CD 于点F.添加以下条件，不能判定四边形 BCED为平行四边形的是 （ ）
A．∠ABD=∠DCE B．DF=CF
C．∠AEB=∠BCD D．.∠AEC=∠CBD
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥CD
∴∠ABD=∠CDB，DE∥BC
∵ ∠ABD=∠DCE
∴∠CDB＝∠DCE
∴EC∥DB
∴四边形BCED是平行四边形，故选项A正确，不符合题意；
B、∵DE∥BC
∴∠CDE＝∠DCB
∵∠CDE＝∠DCB，DF＝CF，∠DFE＝∠BFC
∴△DFE≌△CFB
∴EF＝BF
∴四边形BCED是平行四边形，故选项B正确，不符合题意；
C、∵DE∥BC
∴∠AEB＝∠EBF
∵∠AEB＝∠BCD
∴∠EBF＝∠BCD
∴FC=FB，无法判定四边形BCED是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵DE∥BC
∴∠AEB=∠CBE
∵∠AEC=∠CBD
∴∠BEC=∠EBD
∴EC∥BD
∴四边形BCED是平行四边形，故选项D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：①对边平行的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形，逐项判断得出答案.
7．如图，在△ABC中，D是AB 的中点，E，F在AC 上，且AE=EF，BC=CF.若∠A=25°，∠ADE=10°，则∠ABC的度数为 （ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D是AB的中点，AE=EF
∴DE∥BF
∴∠DEC=∠BFC=25°+10°=35°
∵BC＝CF
∴∠BFC＝∠CBF＝35°
∴∠C＝180°－35°－35°＝110°
∴∠ABC＝180°－25°－110°＝45°
故答案为：C.
【分析】根据三角形的中位线性质和外角性质，可得∠DEC=∠BFC=35°；根据等腰三角形的性质可得∠BFC＝∠CBF=35°，根据三角形的内角和定理可得∠C和∠ABC的度数.
8．如图，在 ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°.若CE=3，DF=1，则 ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
四边形ABCD是平行四边形
同理：
又
在中，
又
．
故答案为： A．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，可求出BC的长，得出AD的长，因此根据求出AF的长.利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，代入平行四边形的面积公式：可求出面积.
9．如图，两条宽度分别为1和2的长方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD.若AB+BC=6，则四边形ABCD的面积为 （ ）
A．4 B．2 C．8 D．6
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∴AE＝1，AF＝2，
∴BC AE＝AB AF，
∴BC＝2AB．
又∵AB+BC＝6，
∴AB＝2，BC＝4
∴四边形ABCD的面积＝2×2＝4
故答案为：A．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质.先作辅助线：过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，平行四边形ABCD的面积可表示为：BC AE＝AB AF，可推出：BC＝2AB.进而得出AB与BC的数量关系：BC＝2AB，结合AB+BC＝6，可求AB和BC，即可求出平行四边形的面积．
10．如图，点A在平行四边形的对角线上，则图中两个阴影三角形的面积S ，S 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BM=DN，
∵ S =AC·BM，S =AC·DN，
∴ S =S .
故答案为：A.
【分析】过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，由平行四边线的性质可得BM=DN，根据三角形的面积公式及同底等高即可得解.
二、填空题
11．如图，在 ABCD中，若AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为 .
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴EA=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，AD=BC=6，
∴△CDE的周长=CD+EC+DE=CD+EA+DE=CD+AD=4+6=10.
故答案为：10.
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得EA=EC，根据平行四边形的性质得CD=AB，AD=BC，然后根据三角形的周长等于三角形的三边之和可求解.
12．如图，在□ABCD中，过对角线 BD上一点 P 作EF∥AB，GH∥AD，与各边的交点分别为E，F，G，H.若 ABCD的面积为 40，四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，则四边形 AGPE 的面积为 .
【答案】7
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的面积为40，
∴S△ABD=S平行四边形ABCD=×40=20，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥AB，GH∥AD，
∴EF∥AB∥CD，AD∥GH∥BC，
∴四边形BGPF、四边形 PEDH，四边形AGPE是平行四边形，
∵四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，
∴S△BGD=S平行四边形BGPF=，S△PED=S平行四边形PEDH=，
∴S平行四边形AGPE=S△ABD-S△BGD-S△PED=20--=7.
故答案为：7.
【分析】利用平行四边形ABCD的面积，可求出△ABD的面积；再利用平行四边形的性质和EF∥AB，GH∥AD，可证得EF∥AB∥CD，AD∥GH∥BC，由此可推出四边形BGPF、四边形 PEDH，四边形AGPE是平行四边形，即可求出△BGD，△PED的面积；然后根据S平行四边形AGPE=S△ABD-S△BGD-S△PED，代入计算求出四边形AGPE的面积.
13．如图，△ABC的周长为 28，点 D，E都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 Q，∠ACB的平分线垂直于 AD，垂足为 P，连结PQ.若 BC=10，则PQ的长是 .
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ △ABC的周长为28， BC=10 ，
∴AB+AC=18，
∵ ∠ABC 的平分线垂直于 AE ，
∴∠AQB=∠BQE=90°，∠ABQ=∠QBE，
∵BQ=BQ，
∴△ABQ≌△QBE（ASA），
∴AQ=QE，AB=BE，
同理可证AP=PD，AC=DC，
∴DE=BE+CD-BC=AB+AC-BC=8，
∴PQ=DE=4.
故答案为：4.
【分析】易求AB+AC=18，可证△ABQ≌△QBE（ASA），可得AQ=QE，AB=BE，同理可证AP=PD，AC=DC，从而求出DE=BE+CD-BC=8，最后利用三角形中位线定理即可得解.
14．如图，在 ABCD中，E为CD的中点，连结AE，过点 B作BF⊥AE，垂足为 F.若AD=AE=1，∠DAE=30°，则EF的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，延长AE交BC的延长线于点G，
在 ABCD中 ，AD=BC=1，AD∥BC，
∴∠D=∠ECG，
∵ E为CD的中点，
∴DE=CE，
∵∠AED=∠CEG，
∴△AED≌△GEC（ASA）
∴AD=CG=1，AE=EG=1，∠DAE=∠G=30°，
∴BG=2，
∵ BF⊥AE ，
∴BF=BG=1，
∴GF===，
∴EF=GF-EG=-1.
故答案为：-1.
【分析】延长AE交BC的延长线于点G，由平行四边形的性质可得AD=BC=1，AD∥BC，再证△AED≌△GEC（ASA）可得AD=CG=1，AE=EG=1，∠DAE=∠G=30°，利用直角三角形的性质可得BF=BG=1，由勾股定理求出GF，利用EF=GF-EG即可求解.
15．如图，在 ABCD中，AC是对角线，∠ACD=90°，E 是BC的中点，AF平分∠BAC，连结CF，EF.若CF ⊥AF，AB=5，BC=13，则EF的长为
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长CF和AB，交于点H，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC=90°
∴AC＝
∵AF平分∠BAC，且CF⊥AF
∴AH＝AC＝12，FH＝FC
∵AB=5
∴BH＝12-5=7
∵点E是BC的中点，FH=FC
∴EF=BH=
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质，可得∠ACD＝∠BAC；根据勾股定理，可得AC的长；根据等腰三角形三线合一的性质，可得AH=HC；根据三角形中线的性质，可得EF的长.
三、解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(-3，0)，B(3，0) ，C(0，4)，连结OD，点E是线段0D的中点．
（1）求点E和点D的坐标．
（2）平面内是否存在一点N，使以C，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： A(-3，0) ，B(3，0)，． AB=6．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥ CD，AB=CD=6．
又C(0，4)，∴点D的坐标为(-6，4)．∵E是OD的中点，点E的坐标为(-3，2)．即D(-6，4) ，E(-3，2)．
（2）解：存在一点N，使以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形．
①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图①，
EN∥CD， EN=CD=6， ∵CD∥AB，∴EN∥AB．又点E的坐标为(-3，2)，EN=6．∴点N的坐标为(3，2)；
②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图②，
EN∥ CD∥AB ，EN=CD=6，∴点N的坐标为(-9 ，2)；
③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图③，
则DE∥CN，DE= CN，由坐标与平移关系，得N(-3，6)．
综上，点N的坐标为(3，2)或(-9，2)或(-3，6)．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可知CD=AB=6，从而可以算出D点的坐标，而E是OD的中点，则E点的坐标是D坐标的一半；
（2）以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形，则分为三种情况，当当CE为平行四边形CDEN的对角线时，当DE为平行四边形CDNE的对角线时，当DC为平行四边形CNDE的对角线时，分别根据平行四边形的性质可求出N点的坐标.
17．如图，在ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM=DC，连结BM，CM，BP，PD．
（1）求证：△ADP≌△BCM；
（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD= BC，∠ADC+ ∠BCD =180°．∵PM∥ DC，且PM=DC，∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，∠PDC+∠DCM= 180°，∴∠ADP= ∠ BCM．在△ADP和△BCM中，，∴△ADP≌△BCM( SAS)． ．
（2）解：如图，作BH⊥AC于点H，DG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，△ABC≌△CDA，∴BH= DG，
∴，即S△BCP = 2S△ABP，，即S△ADP=S△ABP．
∵△ADP≌△BCM，∴S△ADP=S△BCM，∴
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知四边形PMCD是平行四边形，则根据平行四边形的性质可证△ADP≌△BCM；
（2）根据四边形ABCD是平行四边形，可知△ABC≌△CDA，从而得到同底边上的高BH= DG，得到S△BCP= 2S△ABP，而△ABP和△ADP是同底等高，所以面积相等，四边形BPCM的面积=△BCP的面积+△ACM的面积，而根据（1）可知△ACM的面积=△ADP的面积，从而可得出答案.
18．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为边AB，AC的中点，连结DE，BE，F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，连结FG，FH.
（1）求证：FG=FH，
（2）若∠A=90°，求证：FG⊥FH.
（3）若∠A=80°，求∠GFH的度数.
【答案】（1）证明：∵ D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE=BC，AD=DB=AB，AE=EC=AC，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
∵ F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，
∴FG=BD，FH=EC，
∴FG=FH；
（2）证明：∵ F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，
∴FG∥BD，FH∥EC，
∵∠A=90°，
∴FG⊥AC，
∴FG⊥FH；
（3）解：延长FG交AC于点K，
∵FG∥BD，∠A=80°，
∴∠FKC=∠A=80° ，
∵FH∥EC，
∴∠GFH=180°-∠FKC=100°.
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理和线段中点的性质可求解；
（2）由三角形的中位线定理可得：FG∥BD，FH∥EC，结合已知∠A=90°可求解；
（3）延长FG交AC于点K，由平行线的性质可求得∠FKC=∠A的度数，然后根据两直线平行同旁内角互补可求解.
四、综合题
19．（2022八下·杭州期中）如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 在对角线 上，且 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
点 ， 分别是 ， 的中点，
，
，
≌ ，
， ，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形；
（2）解：连接 交 于点 ，如图：
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
又 点 是 的中点，
是 的中位线，
.
的长为2.5.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，根据平行线的性质可得∠GAE=∠HCF，根据SAS证明△AGE≌△CHF，可得GE=HF，∠AEG=∠CFH，即得∠GEF=∠HFE，根据平行线的判定可得GE∥FH，根据平行线的判定定理即证结论；
（2） 连接 交 于点 ，由平行四边形的性质可得OB=OD=5，由AE=CF，OA=OC，AE+CF=EF，可推出AE=OE，易得EG是△ABO的中位线，可得EG=OB，继而得解.
20．（2023八下·保定期末）已知：在中，，，，点，分别是，的中点，，交的延长线于．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∵，，，
∴
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 ， 再利用AAS证明△AEF≌△DEC，最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可；
（2）根据平行四边形的性质求出 ， 再求出 ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时基础练习 18.1平行四边形
一、选择题
1．（2023八下·兴仁月考）如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，的周长为15，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点.若∠DAC=20°，∠ACB=66°，则∠FEG的度数为（ ）
A．18° B．21° C．22° D．23°
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是平行四边形，若A，C两点的坐标分别为(3，0)，(1，2)，则 ABCO的周长为（ ）
A． B． C．4 D．
4．两条平行线之间的距离是指（ ）
A．两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段
B．两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
C．两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线的长度.
D．两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线上的一点间线段的长度
5．如图，已知 ABCD，点 E，F 在对角线AC 上，且AE=CF，连结 DE，DF，BE，BF.求证：四边形DEBF 为平行四边形.以下是排乱的证明过程：
①∴四边形DEBF 为平行四边形.
②∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD=OB，OA=OC.
③连结 BD，交 AC 于点O.
④∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.
证明步骤正确的顺序是 （ ）
A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①
6．如图，E是 ABCD的边 AD 延长线上一点，连结BE，CE，BD，BE 交 CD 于点F.添加以下条件，不能判定四边形 BCED为平行四边形的是 （ ）
A．∠ABD=∠DCE B．DF=CF
C．∠AEB=∠BCD D．.∠AEC=∠CBD
7．如图，在△ABC中，D是AB 的中点，E，F在AC 上，且AE=EF，BC=CF.若∠A=25°，∠ADE=10°，则∠ABC的度数为 （ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
8．如图，在 ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°.若CE=3，DF=1，则 ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，两条宽度分别为1和2的长方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD.若AB+BC=6，则四边形ABCD的面积为 （ ）
A．4 B．2 C．8 D．6
10．如图，点A在平行四边形的对角线上，则图中两个阴影三角形的面积S ，S 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
11．如图，在 ABCD中，若AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为 .
12．如图，在□ABCD中，过对角线 BD上一点 P 作EF∥AB，GH∥AD，与各边的交点分别为E，F，G，H.若 ABCD的面积为 40，四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，则四边形 AGPE 的面积为 .
13．如图，△ABC的周长为 28，点 D，E都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 Q，∠ACB的平分线垂直于 AD，垂足为 P，连结PQ.若 BC=10，则PQ的长是 .
14．如图，在 ABCD中，E为CD的中点，连结AE，过点 B作BF⊥AE，垂足为 F.若AD=AE=1，∠DAE=30°，则EF的长为 .
15．如图，在 ABCD中，AC是对角线，∠ACD=90°，E 是BC的中点，AF平分∠BAC，连结CF，EF.若CF ⊥AF，AB=5，BC=13，则EF的长为
三、解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(-3，0)，B(3，0) ，C(0，4)，连结OD，点E是线段0D的中点．
（1）求点E和点D的坐标．
（2）平面内是否存在一点N，使以C，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，在ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM=DC，连结BM，CM，BP，PD．
（1）求证：△ADP≌△BCM；
（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值.
18．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为边AB，AC的中点，连结DE，BE，F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，连结FG，FH.
（1）求证：FG=FH，
（2）若∠A=90°，求证：FG⊥FH.
（3）若∠A=80°，求∠GFH的度数.
四、综合题
19．（2022八下·杭州期中）如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 ， 在对角线 上，且 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长.
20．（2023八下·保定期末）已知：在中，，，，点，分别是，的中点，，交的延长线于．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵平行四边形的对角线，交于点，已知，，
∴BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，
∵的周长为15，
∴BC=15-（BO+CO）=15-（5+3）=7，
∴AD=BC=7，
故答案为：C.
【分析】先利用平行四边形的性质可得BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，再利用三角形的周长公式求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得AD=BC.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F、G分别是边AB、CD、AC的中点，
∴EG、FG分别是△ABC、△ACD的中位线，
∴EG=AD、FG=BC，EG∥AD、FG∥BC，
∴∠FGC=∠DAC，∠ACB=∠AGE，
∵∠DAC=20°，∠ACB=66°，AD=BC，
∴∠FGC=∠DAC=20°，∠ACB=∠AGE=66°，EG=FG，
∴∠EGC=180°-66°=114°，∠EFG=∠FEG，
∴∠FGE=∠FGC+∠EGC=20°+114°=134°，
∴∠EFG=∠FEG=.
故答案为：D.
【分析】由三角形的中位线定理可得EG=AD、FG=BC，EG∥AD、FG∥BC，结合已知并根据平行线的性质和三角形内角和定理可求解.
3．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过C作CE⊥OA于E，
∵C（1，2），
∴OE=1，CE=2，
∴，
∵A（3，0），∴OA=3，
∵四边形ABCO是平行四边形 ，
∴AB=OC=，BC=OA=3，
∴ ABCO的周长=2（OA+OC）=6+2.
故答案为：D.
【分析】过C作CE⊥OA于E，在Rt△OCE中，用勾股定理求出OC的值，然后根据平行四边形的性质并结合四边形的周长等于相邻两边之和的2倍可求解.
4．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：两条平行线之间的距离是指两条平行线中，从一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度.
故答案为：A.
【分析】利用两条平行线之间的距离的定义，可得答案.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：连接BD 交 AC 于点O.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC.
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.
∴四边形DEBF 为平行四边形.
故答案为：C.
【分析】连接BD 交 AC 于点O. 由平行四边形的性质可得OD=OB，OA=OC.结合AE=CF，可推出OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即证结论.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥CD
∴∠ABD=∠CDB，DE∥BC
∵ ∠ABD=∠DCE
∴∠CDB＝∠DCE
∴EC∥DB
∴四边形BCED是平行四边形，故选项A正确，不符合题意；
B、∵DE∥BC
∴∠CDE＝∠DCB
∵∠CDE＝∠DCB，DF＝CF，∠DFE＝∠BFC
∴△DFE≌△CFB
∴EF＝BF
∴四边形BCED是平行四边形，故选项B正确，不符合题意；
C、∵DE∥BC
∴∠AEB＝∠EBF
∵∠AEB＝∠BCD
∴∠EBF＝∠BCD
∴FC=FB，无法判定四边形BCED是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵DE∥BC
∴∠AEB=∠CBE
∵∠AEC=∠CBD
∴∠BEC=∠EBD
∴EC∥BD
∴四边形BCED是平行四边形，故选项D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：①对边平行的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形，逐项判断得出答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D是AB的中点，AE=EF
∴DE∥BF
∴∠DEC=∠BFC=25°+10°=35°
∵BC＝CF
∴∠BFC＝∠CBF＝35°
∴∠C＝180°－35°－35°＝110°
∴∠ABC＝180°－25°－110°＝45°
故答案为：C.
【分析】根据三角形的中位线性质和外角性质，可得∠DEC=∠BFC=35°；根据等腰三角形的性质可得∠BFC＝∠CBF=35°，根据三角形的内角和定理可得∠C和∠ABC的度数.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
四边形ABCD是平行四边形
同理：
又
在中，
又
．
故答案为： A．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，可求出BC的长，得出AD的长，因此根据求出AF的长.利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，代入平行四边形的面积公式：可求出面积.
9．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∴AE＝1，AF＝2，
∴BC AE＝AB AF，
∴BC＝2AB．
又∵AB+BC＝6，
∴AB＝2，BC＝4
∴四边形ABCD的面积＝2×2＝4
故答案为：A．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质.先作辅助线：过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，平行四边形ABCD的面积可表示为：BC AE＝AB AF，可推出：BC＝2AB.进而得出AB与BC的数量关系：BC＝2AB，结合AB+BC＝6，可求AB和BC，即可求出平行四边形的面积．
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BM=DN，
∵ S =AC·BM，S =AC·DN，
∴ S =S .
故答案为：A.
【分析】过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，由平行四边线的性质可得BM=DN，根据三角形的面积公式及同底等高即可得解.
11．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴EA=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，AD=BC=6，
∴△CDE的周长=CD+EC+DE=CD+EA+DE=CD+AD=4+6=10.
故答案为：10.
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得EA=EC，根据平行四边形的性质得CD=AB，AD=BC，然后根据三角形的周长等于三角形的三边之和可求解.
12．【答案】7
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的面积为40，
∴S△ABD=S平行四边形ABCD=×40=20，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥AB，GH∥AD，
∴EF∥AB∥CD，AD∥GH∥BC，
∴四边形BGPF、四边形 PEDH，四边形AGPE是平行四边形，
∵四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，
∴S△BGD=S平行四边形BGPF=，S△PED=S平行四边形PEDH=，
∴S平行四边形AGPE=S△ABD-S△BGD-S△PED=20--=7.
故答案为：7.
【分析】利用平行四边形ABCD的面积，可求出△ABD的面积；再利用平行四边形的性质和EF∥AB，GH∥AD，可证得EF∥AB∥CD，AD∥GH∥BC，由此可推出四边形BGPF、四边形 PEDH，四边形AGPE是平行四边形，即可求出△BGD，△PED的面积；然后根据S平行四边形AGPE=S△ABD-S△BGD-S△PED，代入计算求出四边形AGPE的面积.
13．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ △ABC的周长为28， BC=10 ，
∴AB+AC=18，
∵ ∠ABC 的平分线垂直于 AE ，
∴∠AQB=∠BQE=90°，∠ABQ=∠QBE，
∵BQ=BQ，
∴△ABQ≌△QBE（ASA），
∴AQ=QE，AB=BE，
同理可证AP=PD，AC=DC，
∴DE=BE+CD-BC=AB+AC-BC=8，
∴PQ=DE=4.
故答案为：4.
【分析】易求AB+AC=18，可证△ABQ≌△QBE（ASA），可得AQ=QE，AB=BE，同理可证AP=PD，AC=DC，从而求出DE=BE+CD-BC=8，最后利用三角形中位线定理即可得解.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，延长AE交BC的延长线于点G，
在 ABCD中 ，AD=BC=1，AD∥BC，
∴∠D=∠ECG，
∵ E为CD的中点，
∴DE=CE，
∵∠AED=∠CEG，
∴△AED≌△GEC（ASA）
∴AD=CG=1，AE=EG=1，∠DAE=∠G=30°，
∴BG=2，
∵ BF⊥AE ，
∴BF=BG=1，
∴GF===，
∴EF=GF-EG=-1.
故答案为：-1.
【分析】延长AE交BC的延长线于点G，由平行四边形的性质可得AD=BC=1，AD∥BC，再证△AED≌△GEC（ASA）可得AD=CG=1，AE=EG=1，∠DAE=∠G=30°，利用直角三角形的性质可得BF=BG=1，由勾股定理求出GF，利用EF=GF-EG即可求解.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长CF和AB，交于点H，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC=90°
∴AC＝
∵AF平分∠BAC，且CF⊥AF
∴AH＝AC＝12，FH＝FC
∵AB=5
∴BH＝12-5=7
∵点E是BC的中点，FH=FC
∴EF=BH=
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质，可得∠ACD＝∠BAC；根据勾股定理，可得AC的长；根据等腰三角形三线合一的性质，可得AH=HC；根据三角形中线的性质，可得EF的长.
16．【答案】（1）解： A(-3，0) ，B(3，0)，． AB=6．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥ CD，AB=CD=6．
又C(0，4)，∴点D的坐标为(-6，4)．∵E是OD的中点，点E的坐标为(-3，2)．即D(-6，4) ，E(-3，2)．
（2）解：存在一点N，使以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形．
①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图①，
EN∥CD， EN=CD=6， ∵CD∥AB，∴EN∥AB．又点E的坐标为(-3，2)，EN=6．∴点N的坐标为(3，2)；
②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图②，
EN∥ CD∥AB ，EN=CD=6，∴点N的坐标为(-9 ，2)；
③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图③，
则DE∥CN，DE= CN，由坐标与平移关系，得N(-3，6)．
综上，点N的坐标为(3，2)或(-9，2)或(-3，6)．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可知CD=AB=6，从而可以算出D点的坐标，而E是OD的中点，则E点的坐标是D坐标的一半；
（2）以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形，则分为三种情况，当当CE为平行四边形CDEN的对角线时，当DE为平行四边形CDNE的对角线时，当DC为平行四边形CNDE的对角线时，分别根据平行四边形的性质可求出N点的坐标.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD= BC，∠ADC+ ∠BCD =180°．∵PM∥ DC，且PM=DC，∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，∠PDC+∠DCM= 180°，∴∠ADP= ∠ BCM．在△ADP和△BCM中，，∴△ADP≌△BCM( SAS)． ．
（2）解：如图，作BH⊥AC于点H，DG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，△ABC≌△CDA，∴BH= DG，
∴，即S△BCP = 2S△ABP，，即S△ADP=S△ABP．
∵△ADP≌△BCM，∴S△ADP=S△BCM，∴
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知四边形PMCD是平行四边形，则根据平行四边形的性质可证△ADP≌△BCM；
（2）根据四边形ABCD是平行四边形，可知△ABC≌△CDA，从而得到同底边上的高BH= DG，得到S△BCP= 2S△ABP，而△ABP和△ADP是同底等高，所以面积相等，四边形BPCM的面积=△BCP的面积+△ACM的面积，而根据（1）可知△ACM的面积=△ADP的面积，从而可得出答案.
18．【答案】（1）证明：∵ D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE=BC，AD=DB=AB，AE=EC=AC，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
∵ F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，
∴FG=BD，FH=EC，
∴FG=FH；
（2）证明：∵ F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，
∴FG∥BD，FH∥EC，
∵∠A=90°，
∴FG⊥AC，
∴FG⊥FH；
（3）解：延长FG交AC于点K，
∵FG∥BD，∠A=80°，
∴∠FKC=∠A=80° ，
∵FH∥EC，
∴∠GFH=180°-∠FKC=100°.
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理和线段中点的性质可求解；
（2）由三角形的中位线定理可得：FG∥BD，FH∥EC，结合已知∠A=90°可求解；
（3）延长FG交AC于点K，由平行线的性质可求得∠FKC=∠A的度数，然后根据两直线平行同旁内角互补可求解.
19．【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
点 ， 分别是 ， 的中点，
，
，
≌ ，
， ，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形；
（2）解：连接 交 于点 ，如图：
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
又 点 是 的中点，
是 的中位线，
.
的长为2.5.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，根据平行线的性质可得∠GAE=∠HCF，根据SAS证明△AGE≌△CHF，可得GE=HF，∠AEG=∠CFH，即得∠GEF=∠HFE，根据平行线的判定可得GE∥FH，根据平行线的判定定理即证结论；
（2） 连接 交 于点 ，由平行四边形的性质可得OB=OD=5，由AE=CF，OA=OC，AE+CF=EF，可推出AE=OE，易得EG是△ABO的中位线，可得EG=OB，继而得解.
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∵，，，
∴
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 ， 再利用AAS证明△AEF≌△DEC，最后根据平行四边形的判定方法证明求解即可；
（2）根据平行四边形的性质求出 ， 再求出 ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
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