人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习 18.1平行四边形
一、选择题
1．如图，四边形ABCD中，为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于点的平分线交AE于点G.若为CD的中点，6，则AC的值为（ ）
A．9 B． C．10 D．
2．（2024八上·瑞安期末）如图，在平行四边形中，延长到，使，连接交于点，交于点．下列结论①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2020八上·谢家集期末）如图，把 剪成三部分，边 ， ， 放在同一直线 上，点 都落在直线 上，直线 .在 中，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，BD为 ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE，BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，有下列结论：
①CE=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；⑤BH +BG =AG .其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．①⑤ D．③④
5．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在 ABCD中，O是对角线AC上一点，连结 BO，DO.若△COD，△AOD，△AOB，△BOC 的面积分别为 S1，S2，S3，S4，则下列关于 S1，S2，S3，S4的等量关系中，不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，△ABC的面积为 24，点D为边AC 上的一点，连结BD 并延长，交 BC 的平行线AG 于点E，连结EC，以DE，EC为邻边作□DECF，DF 交边BC 于点 H，连结 AH.当 时，△AHC 的面积为 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．如图，已知 ABCD，点 E，F 在对角线AC 上，且AE=CF，连结 DE，DF，BE，BF.求证：四边形DEBF 为平行四边形.以下是排乱的证明过程：
①∴四边形DEBF 为平行四边形.
②∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD=OB，OA=OC.
③连结 BD，交 AC 于点O.
④∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.
证明步骤正确的顺序是 （ ）
A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①
9．如图，M 是△ABC的边 BC 的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，且 AB=10，MN=3，则AC的长（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是CA延长线上-点，F是CB上一点，AE=12，BF=8，点P，Q，D分别是AF ，BE，AB的中点，则PQ的长为（ ）
A． B．4 C．6 D．
二、填空题
11．（2024九上·双流期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交CB，CD于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接CP并延长交AD于点Q，连接BQ．若时，则与的周长之差为 ．
12．如图，在 ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点O，E为BC 的中点，F，G为边CD 上的点，且 FG 连结OF，EG.若 ABCD的面积为 60，则图中阴影部分的面积是 .
13．如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=6，E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点连结EF，FM，则FM= ，线段EF的最大值为
14．（2023八下·苏州期末）如图，四边形中，，且与不平行，P、M、N分别是、、的中点，则的范围是 ．
15．（2023八下·济南高新技术产业开发期末）如图，在中，点E，F分别是，边的中点，延长至点，使，以，为边向外构造，连接交于点，连接．若，，则的长为 ．
三、解答题
16．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）若点D是BC边的中点(如图①) ，求证：EF=CD．
（2）在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比．
（3）若点D是BC边上的任意一点(除B，C外，如图②) ，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
17．如图，在△ABC中，D 是边 BC 上一点，E，F，G，H分别是 BD，BC，AC，AD的中点，连结EG，HF.求证：EG，HF 互相平分.
18．已知E在△ABC内部（如图1），等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC.
（1）求证：AE=DC.
（2）当AE⊥BD时，求CD的长.
（3）将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点（如图2），求旋转过程中EF的取值范围.
19．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC， BD为∠ABC的平分线，BC=3，AC=4，E，F分别是BD，AC的中点，求EF的长．
20．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，求证：∠BME=∠CNE．(提示：连第三边，再取中点)
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：，
，
，
，
；
四边形是平行四边形，
，点是的中点，
，，，
，
，，
，
，，
，
平分，
∴，，
，
在中，，，
由勾股定理可得，
.
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质得，推出，得出，即得四边形是平行四边形，结合点是CD的中点可用AAS证得△ADH≌△ECH，则，由等腰三角形的性质可得出，，由勾股定理可得出的长，进而求出的长．
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴即，
∴，
又∵，
∴，
在中
∵
∴
∴
∴可得③⑤正确，对于①②④三个结论，则不一定正确.
故答案为：B.
【分析】由AAS证明，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确.
3．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线之间的距离；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点O分别作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵直线MN∥l，
∴OD=OE=OF，
∴点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，
∴∠BOC=180- （180-∠BAC）=90°+ ∠BAC=130°，
∴∠BAC=80°.
故答案为：C.
【分析】首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，从而容易得到∠BOC=90°+ ∠BAC，通过计算即可得到答案．
4．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的应用；勾股定理的应用；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴∠BDC=∠DBC=45°，∠C+∠CDE=90°，
∴BE=DE，
∵BF⊥CD，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠CBF=∠CDE，
在△BEH和△DEC中
∴△BEH≌△DEC（ASA）
∴BH=CD，CE=EH，
∵点H不是DE的中点，
∴BE=ED≠2CE，即CE≠BE；
②∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠CBF+∠C=90°，∠CBF+∠BHE=90°，
∴∠BHE=∠C，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，
∴∠BHE=∠A，即结论正确；
③由①得：△BEH≌△DEC，
∴BH=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH，即结论正确；
④∵∠BHD=∠BEH+∠EBH=90°+∠EBH，∠BDG=∠EDG+∠DBG=90°+∠DBG，
∵∠BDE＞∠EBH，
∴∠BDG＞∠BHD，即结论错误；
⑤∵BF⊥CD，AB∥CD，
∴∠ABG=90°，
∴在Rt△ABG中，AB2+BG2=AG2，
∵AB=BH，
∴HB2+BG2=AG2，即结论正确.
故答案为：B.
【分析】①由题意用角边角可证△BEH≌△DEC，由全等三角形的性质可得BH=CD，CE=EH，结合已知可得BE=ED≠2CE，即结论错误；
②由平行四边形的对角相等和同角的余角相等可得∠BHE=∠A，即结论正确；
③由平行四边形的对边相等并结合全等三角形的对应边相等可得AB=BH，即结论正确；
④由三角形外角的性质和角的构成并结合已知可得∠BDG＞∠BHD，即结论错误；
⑤在Rt△ABG中，由勾股定理可得HB2+BG2=AG2，即结论正确.
5．【答案】C
【知识点】全等三角形的应用；平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，
∵直线x=1与直线x=4都垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC，
在△OAF和△BCD中
∴△OAF≌△BCD（ASA）
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
∵OE的值是定值，
∴当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得OB=，根据四边形OABC是平行四边形可得OA=BC，由平行线的性质可得∠OAF=∠BCD，结合已知用角边角易证△OAF≌△BCD，由OE的值是定值即可得当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE可求解.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF（AAS）
∴DE=BF，
A、∵S2=，S1=，S3=，S4=，
∴S2=S3，S1=S4，
∴S1+S3=S2+S4，故A不符合题意；
B、∵，
∴ ，故B不符合题意；
C、∵S2=S3，S1=S4，
∴， 故C不符合题意；
D、只有当AO=2CO时， ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，利用垂直的定义可证得∠AED=∠CFB=90°，利用平行四边形的性质可得到AD=BC，AD∥BC，∠DAE=∠BCF，利用AAS证明△ADE≌△CBF，由此可推出DE=BF，利用三角形的面积公式可得到S2=S3，S1=S4，据此可对A，B，C作出判断；只有当AO=2CO时， ，可对D作出判断.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
的面积为，，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：C.
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积公式．先连接，根据的面积为，，可推出；又知，可推出，
由面积的和差关系可求得，再结合可得出答案．
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：连接BD 交 AC 于点O.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC.
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.
∴四边形DEBF 为平行四边形.
故答案为：C.
【分析】连接BD 交 AC 于点O. 由平行四边形的性质可得OD=OB，OA=OC.结合AE=CF，可推出OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即证结论.
9．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长线段BN交AC于E，
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠EAN，
在△ABN和△AEN中
∴△ABN≌△AEN（ASA）
∴AE=AB=10，BN=EN，
而M是BC边的中点，
∴CE=2MN=2×3=6，
∴AC=AE+CE=10+6=16.
故答案为：C.
【分析】延长线段BN交AC于E，由角平分线定义可得∠BAN=∠EAN，结合已知用角边角可证△ABN≌△AEN，则AE=AB=10，BN=EN，由三角形中位线定理得CE=2MN求出CE的值，然后根据线段的构成AC=AE+CE可求解.
10．【答案】A
【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点P，Q，D分别是AF ，BE，AB的中点，
∴
∵即
∴
∴
同理：
∴为直角三角形，
∴
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线定理得到：然后根据垂直的定义证明为直角三角形，最后利用勾股定理即可求解.
11．【答案】5
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】根据题干中的作图方法CQ平分∠BCD，
∴∠BCQ=∠DCQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，AD//BC，
∴∠BCQ=∠DQC，
∴∠DCQ=∠DQC，
∴DQ=DC=5，
∴与的周长之差=（BC+BQ+CQ）-（DC+DQ+CQ）=8+7+CQ-5-5-CQ=5，
故答案为：5.
【分析】利用平行四边形的性质可得CD=AB=5，∠BCQ=∠DQC，再利用角平分线的定义可得∠BCQ=∠DCQ，再利用等量代换可得∠DCQ=∠DQC，再利用等角对等边的性质可得DQ=DC=5，再利用三角形的周长公式求解即可.
12．【答案】15
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接OE，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD，O为BD的中点，
∵点O、E分别是BD和BC的中点
∴OE∥CD且OE=CD=AB
∴∠EOF＝∠GFO，∠OEG＝∠EGF
∵FG＝AB
∴OE＝FG
∵∠EOF＝∠GFO，OE＝FG，∠OEG＝∠EGF
∴△OEH≌△FGH（ASA）
∴OH＝HF
∵S ABCD＝BC×＝AB×=60
∴S△BOE=×BE×＝××BC×＝×60＝，
S△EOH＝S△GFH＝×OE×＝×AB×＝×60＝；
∴S阴影部分＝＋2×＝15
故答案为：15.
【分析】根据平行四边形的性质，可得AB=CD，AB∥CD；根据三角形的中点性质，可得OE∥CD且OE=CD；根据三角形全等的判定（ASA）和性质，可得OH＝HF；根据平行四边形的面积公式和三角形的面积公式，即可求出阴影部分的面积.
13．【答案】1；4
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接EM，如下图：
∵F，M分别为AD和BD的中点，
∴
∵E、M分别为BC和BD的中点，
∴
∴当E，M，F三点共线时，EF有最大值，
∴最大值为：
故答案为：1，4.
【分析】根据三角形中位线定理得到：利用三角形三边关系定理得到当E，M，F三点共线时，EF有最大值，进而即可求解.
14．【答案】
【知识点】三角形三边关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵P、M、N分别是、、的中点，，
∴PM=AB=2，PN=DC=2，
∵PM-PN
∴.
故答案为：.
【分析】先利用中位线定理求得PM与PN的长，再根据三边关系求出MN的范围.
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接、，
四边形是平行四边形，
，，
点，分别是，边的中点，
，
四边形，是平行四边形，
，，四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
、、三点共线，
，
，
在和中
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的判定定理及性质，等边三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定定理及性质，勾股定理即可求出答案。
16．【答案】（1）证明： ∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，且∠ BAD=∠BAC= 30°．
∵△AED是等边三角形， ∴AD=AE，∠ADE= 60°，
∴∠EDB= 90°-∠ADE= 90° -60° = 30°．
∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°．
∵ ∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB- C FCB= 30°，
∴∠ACF= ∠ BAD= 30°．
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌∴CAF(ASA) ，∴AD=CF．
∵AD= ED，∴ED= CF．
又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．
（2）解：△AEF和△ABC的面积比为1 ： 4.
（3）解：成立．证明：∵ED∥ FC，∴∠EDB= CFCB． ．
∵∠AFC=∠B+∠BCF= 60°+∠BCF，∠BDA= ∠ADE+∠EDB= 60°+∠EDB，∴∠AFC=∠BDA．
在△ABD和△CAF中，
△ABD≌△CAF(AAS)，∴AD=FC．∵AD=ED，．． ED= CF．
又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（2）易知 AF=BF，延长EF交AD于点H，S△AEF=EF·AH=·CB·AD=
【分析】（1）要证EF=CD，可证出四边形EDCF是平行四边形，而已知CF∥DE，所以只需要证出ED=CF即可，根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，CF∥DE，求证△ABD≌△CAF，则AD=CF，而AD=ED，所以ED=CF；
（2）由△ABD≌△CAF，得知AF=BD，因为D是BC的中点，三角形ABC是等边三角形，所以E也是AB的中点，将EF延长后，AH=AD，而BF=BC，从而可得出答案；
（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=CD．
17．【答案】证明：连接EH，FG，如图
∵ E，F，G，H分别是 BD，BC，AC，AD的中点，
∴ EH，FG分别是△ABD，△ABC的中位线，
∴ EH∥AB，EH=AB，FG∥AB，FG=AB，
∴ EH=FG，EH∥FG，
∴ 四边形EFGH为平行四边形，
∴ EG，HF 互相平分.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形的中位线的性质可得 EH∥AB，EH=AB，FG∥AB，FG=AB，根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形可得四边形EFGH为平行四边形，进而根据平行四边形的对角线互相平方即可求得.
18．【答案】（1）证明：如图1中，
∵△ABC，△BDE 都是等边三角形，
∴ BA=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，
∴ ∠ABE=∠CBD，
∴ △ABE≌△CBD (SAS)，
∴AE=CD；
（2）解：延长AE交BD于点J.
∵EJ⊥BD，EB=ED，
∴ BJ= JD=2，
∴，
由（1）可知CD=AE，
.
（3）解：延长DE到P，使得EP=DE=4，连接BP、CP，
∵PE=DE，DF=CF，
∴EF是△CDP的中位线，
∴EF=PC，
∵BE=DE=PE，
∴∠EPB=∠EBP，∠EBD=∠EDB，
∴∠PBD=∠PBE+∠DBE=90°，
∴，
∵BC=6，
∴
∴.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得BA=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，推出∠ABE= ∠CBD，从而可用SAS判断出△ABE≌△CBD，根据全等三角形的对应边相等得AE=CD；
（2）延长AE交BD于点J，由等边三角形的三线合一得BJ= JD=2，从而用勾股定理算出EJ及AJ，结合（1）的结论，根据AE=AJ-EJ即可算出答案；
（3）延长DE到P，使得EP=DE=4，连接BP、CP，利用三角形中位线定理得EF=PC，进而根据等边对等角及三角形内角和定理可推出∠PBD=90°，由勾股定理算出BP的长，然后根据三角形三边关系可判断出PC得取值范围，从而即可得出EF的取值范围.
19．【答案】解：如图，连接BF并延长，交AD于点G，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∵BC=3，AC=4，
∴AB=5．
∵AD∥ BC，
∴∠ADB=∠DBC．
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD= ∠ADB，
∴AB=AD=5．
∵AD∥ BC，
∴∠GAC= ∠ BCA．
∵F是AC的中点，
∴AF=CF．
∵ ∠AFG = ∠CFB，
∴△AFG≌△CFB(ASA) ，
∴BF=FG，AG= BC=3，
∴DG=AD-AG=5-3=2．
∵E是BD的中点，EF=DG=1．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接BF并延长，交AD于点G，根据题意求出AB的长度，然后根据平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质得到然后利用"ASA"证明得到：即可求出DG的长度，最后根据三角形中位线定理即可求出EF的长度.
20．【答案】证明：如图，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴FH∥ BM，FH=AB， EH∥CN， EH=CD，
∴∠BME =∠HFE，∠CNE= ∠ HEF．
∵AB=CD，
∴FH=EH，
∴∠HFE=∠HEF，
∴∠BME=∠CNE．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形中位线定理得到：即得到：进而根据已知条件和等腰三角形的性质即可求证.
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习 18.1平行四边形
一、选择题
1．如图，四边形ABCD中，为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于点的平分线交AE于点G.若为CD的中点，6，则AC的值为（ ）
A．9 B． C．10 D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：，
，
，
，
；
四边形是平行四边形，
，点是的中点，
，，，
，
，，
，
，，
，
平分，
∴，，
，
在中，，，
由勾股定理可得，
.
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质得，推出，得出，即得四边形是平行四边形，结合点是CD的中点可用AAS证得△ADH≌△ECH，则，由等腰三角形的性质可得出，，由勾股定理可得出的长，进而求出的长．
2．（2024八上·瑞安期末）如图，在平行四边形中，延长到，使，连接交于点，交于点．下列结论①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴即，
∴，
又∵，
∴，
在中
∵
∴
∴
∴可得③⑤正确，对于①②④三个结论，则不一定正确.
故答案为：B.
【分析】由AAS证明，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确.
3．（2020八上·谢家集期末）如图，把 剪成三部分，边 ， ， 放在同一直线 上，点 都落在直线 上，直线 .在 中，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线之间的距离；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点O分别作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵直线MN∥l，
∴OD=OE=OF，
∴点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，
∴∠BOC=180- （180-∠BAC）=90°+ ∠BAC=130°，
∴∠BAC=80°.
故答案为：C.
【分析】首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，从而容易得到∠BOC=90°+ ∠BAC，通过计算即可得到答案．
4．如图，BD为 ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE，BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，有下列结论：
①CE=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④∠BHD=∠BDG；⑤BH +BG =AG .其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．①⑤ D．③④
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的应用；勾股定理的应用；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：①∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴∠BDC=∠DBC=45°，∠C+∠CDE=90°，
∴BE=DE，
∵BF⊥CD，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠CBF=∠CDE，
在△BEH和△DEC中
∴△BEH≌△DEC（ASA）
∴BH=CD，CE=EH，
∵点H不是DE的中点，
∴BE=ED≠2CE，即CE≠BE；
②∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠CBF+∠C=90°，∠CBF+∠BHE=90°，
∴∠BHE=∠C，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，
∴∠BHE=∠A，即结论正确；
③由①得：△BEH≌△DEC，
∴BH=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH，即结论正确；
④∵∠BHD=∠BEH+∠EBH=90°+∠EBH，∠BDG=∠EDG+∠DBG=90°+∠DBG，
∵∠BDE＞∠EBH，
∴∠BDG＞∠BHD，即结论错误；
⑤∵BF⊥CD，AB∥CD，
∴∠ABG=90°，
∴在Rt△ABG中，AB2+BG2=AG2，
∵AB=BH，
∴HB2+BG2=AG2，即结论正确.
故答案为：B.
【分析】①由题意用角边角可证△BEH≌△DEC，由全等三角形的性质可得BH=CD，CE=EH，结合已知可得BE=ED≠2CE，即结论错误；
②由平行四边形的对角相等和同角的余角相等可得∠BHE=∠A，即结论正确；
③由平行四边形的对边相等并结合全等三角形的对应边相等可得AB=BH，即结论正确；
④由三角形外角的性质和角的构成并结合已知可得∠BDG＞∠BHD，即结论错误；
⑤在Rt△ABG中，由勾股定理可得HB2+BG2=AG2，即结论正确.
5．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】全等三角形的应用；平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，
∵直线x=1与直线x=4都垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC，
在△OAF和△BCD中
∴△OAF≌△BCD（ASA）
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
∵OE的值是定值，
∴当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得OB=，根据四边形OABC是平行四边形可得OA=BC，由平行线的性质可得∠OAF=∠BCD，结合已知用角边角易证△OAF≌△BCD，由OE的值是定值即可得当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE可求解.
6．如图，在 ABCD中，O是对角线AC上一点，连结 BO，DO.若△COD，△AOD，△AOB，△BOC 的面积分别为 S1，S2，S3，S4，则下列关于 S1，S2，S3，S4的等量关系中，不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF（AAS）
∴DE=BF，
A、∵S2=，S1=，S3=，S4=，
∴S2=S3，S1=S4，
∴S1+S3=S2+S4，故A不符合题意；
B、∵，
∴ ，故B不符合题意；
C、∵S2=S3，S1=S4，
∴， 故C不符合题意；
D、只有当AO=2CO时， ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，利用垂直的定义可证得∠AED=∠CFB=90°，利用平行四边形的性质可得到AD=BC，AD∥BC，∠DAE=∠BCF，利用AAS证明△ADE≌△CBF，由此可推出DE=BF，利用三角形的面积公式可得到S2=S3，S1=S4，据此可对A，B，C作出判断；只有当AO=2CO时， ，可对D作出判断.
7．如图，△ABC的面积为 24，点D为边AC 上的一点，连结BD 并延长，交 BC 的平行线AG 于点E，连结EC，以DE，EC为邻边作□DECF，DF 交边BC 于点 H，连结 AH.当 时，△AHC 的面积为 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
的面积为，，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：C.
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积公式．先连接，根据的面积为，，可推出；又知，可推出，
由面积的和差关系可求得，再结合可得出答案．
8．如图，已知 ABCD，点 E，F 在对角线AC 上，且AE=CF，连结 DE，DF，BE，BF.求证：四边形DEBF 为平行四边形.以下是排乱的证明过程：
①∴四边形DEBF 为平行四边形.
②∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD=OB，OA=OC.
③连结 BD，交 AC 于点O.
④∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.
证明步骤正确的顺序是 （ ）
A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：连接BD 交 AC 于点O.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC.
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.
∴四边形DEBF 为平行四边形.
故答案为：C.
【分析】连接BD 交 AC 于点O. 由平行四边形的性质可得OD=OB，OA=OC.结合AE=CF，可推出OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即证结论.
9．如图，M 是△ABC的边 BC 的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，且 AB=10，MN=3，则AC的长（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长线段BN交AC于E，
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠EAN，
在△ABN和△AEN中
∴△ABN≌△AEN（ASA）
∴AE=AB=10，BN=EN，
而M是BC边的中点，
∴CE=2MN=2×3=6，
∴AC=AE+CE=10+6=16.
故答案为：C.
【分析】延长线段BN交AC于E，由角平分线定义可得∠BAN=∠EAN，结合已知用角边角可证△ABN≌△AEN，则AE=AB=10，BN=EN，由三角形中位线定理得CE=2MN求出CE的值，然后根据线段的构成AC=AE+CE可求解.
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是CA延长线上-点，F是CB上一点，AE=12，BF=8，点P，Q，D分别是AF ，BE，AB的中点，则PQ的长为（ ）
A． B．4 C．6 D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点P，Q，D分别是AF ，BE，AB的中点，
∴
∵即
∴
∴
同理：
∴为直角三角形，
∴
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线定理得到：然后根据垂直的定义证明为直角三角形，最后利用勾股定理即可求解.
二、填空题
11．（2024九上·双流期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交CB，CD于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接CP并延长交AD于点Q，连接BQ．若时，则与的周长之差为 ．
【答案】5
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】根据题干中的作图方法CQ平分∠BCD，
∴∠BCQ=∠DCQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，AD//BC，
∴∠BCQ=∠DQC，
∴∠DCQ=∠DQC，
∴DQ=DC=5，
∴与的周长之差=（BC+BQ+CQ）-（DC+DQ+CQ）=8+7+CQ-5-5-CQ=5，
故答案为：5.
【分析】利用平行四边形的性质可得CD=AB=5，∠BCQ=∠DQC，再利用角平分线的定义可得∠BCQ=∠DCQ，再利用等量代换可得∠DCQ=∠DQC，再利用等角对等边的性质可得DQ=DC=5，再利用三角形的周长公式求解即可.
12．如图，在 ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点O，E为BC 的中点，F，G为边CD 上的点，且 FG 连结OF，EG.若 ABCD的面积为 60，则图中阴影部分的面积是 .
【答案】15
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接OE，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD，O为BD的中点，
∵点O、E分别是BD和BC的中点
∴OE∥CD且OE=CD=AB
∴∠EOF＝∠GFO，∠OEG＝∠EGF
∵FG＝AB
∴OE＝FG
∵∠EOF＝∠GFO，OE＝FG，∠OEG＝∠EGF
∴△OEH≌△FGH（ASA）
∴OH＝HF
∵S ABCD＝BC×＝AB×=60
∴S△BOE=×BE×＝××BC×＝×60＝，
S△EOH＝S△GFH＝×OE×＝×AB×＝×60＝；
∴S阴影部分＝＋2×＝15
故答案为：15.
【分析】根据平行四边形的性质，可得AB=CD，AB∥CD；根据三角形的中点性质，可得OE∥CD且OE=CD；根据三角形全等的判定（ASA）和性质，可得OH＝HF；根据平行四边形的面积公式和三角形的面积公式，即可求出阴影部分的面积.
13．如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=6，E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点连结EF，FM，则FM= ，线段EF的最大值为
【答案】1；4
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接EM，如下图：
∵F，M分别为AD和BD的中点，
∴
∵E、M分别为BC和BD的中点，
∴
∴当E，M，F三点共线时，EF有最大值，
∴最大值为：
故答案为：1，4.
【分析】根据三角形中位线定理得到：利用三角形三边关系定理得到当E，M，F三点共线时，EF有最大值，进而即可求解.
14．（2023八下·苏州期末）如图，四边形中，，且与不平行，P、M、N分别是、、的中点，则的范围是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵P、M、N分别是、、的中点，，
∴PM=AB=2，PN=DC=2，
∵PM-PN∴.
故答案为：.
【分析】先利用中位线定理求得PM与PN的长，再根据三边关系求出MN的范围.
15．（2023八下·济南高新技术产业开发期末）如图，在中，点E，F分别是，边的中点，延长至点，使，以，为边向外构造，连接交于点，连接．若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接、，
四边形是平行四边形，
，，
点，分别是，边的中点，
，
四边形，是平行四边形，
，，四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
、、三点共线，
，
，
在和中
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的判定定理及性质，等边三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定定理及性质，勾股定理即可求出答案。
三、解答题
16．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）若点D是BC边的中点(如图①) ，求证：EF=CD．
（2）在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比．
（3）若点D是BC边上的任意一点(除B，C外，如图②) ，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明： ∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，且∠ BAD=∠BAC= 30°．
∵△AED是等边三角形， ∴AD=AE，∠ADE= 60°，
∴∠EDB= 90°-∠ADE= 90° -60° = 30°．
∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°．
∵ ∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB- C FCB= 30°，
∴∠ACF= ∠ BAD= 30°．
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌∴CAF(ASA) ，∴AD=CF．
∵AD= ED，∴ED= CF．
又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．
（2）解：△AEF和△ABC的面积比为1 ： 4.
（3）解：成立．证明：∵ED∥ FC，∴∠EDB= CFCB． ．
∵∠AFC=∠B+∠BCF= 60°+∠BCF，∠BDA= ∠ADE+∠EDB= 60°+∠EDB，∴∠AFC=∠BDA．
在△ABD和△CAF中，
△ABD≌△CAF(AAS)，∴AD=FC．∵AD=ED，．． ED= CF．
又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（2）易知 AF=BF，延长EF交AD于点H，S△AEF=EF·AH=·CB·AD=
【分析】（1）要证EF=CD，可证出四边形EDCF是平行四边形，而已知CF∥DE，所以只需要证出ED=CF即可，根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，CF∥DE，求证△ABD≌△CAF，则AD=CF，而AD=ED，所以ED=CF；
（2）由△ABD≌△CAF，得知AF=BD，因为D是BC的中点，三角形ABC是等边三角形，所以E也是AB的中点，将EF延长后，AH=AD，而BF=BC，从而可得出答案；
（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=CD．
17．如图，在△ABC中，D 是边 BC 上一点，E，F，G，H分别是 BD，BC，AC，AD的中点，连结EG，HF.求证：EG，HF 互相平分.
【答案】证明：连接EH，FG，如图
∵ E，F，G，H分别是 BD，BC，AC，AD的中点，
∴ EH，FG分别是△ABD，△ABC的中位线，
∴ EH∥AB，EH=AB，FG∥AB，FG=AB，
∴ EH=FG，EH∥FG，
∴ 四边形EFGH为平行四边形，
∴ EG，HF 互相平分.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形的中位线的性质可得 EH∥AB，EH=AB，FG∥AB，FG=AB，根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形可得四边形EFGH为平行四边形，进而根据平行四边形的对角线互相平方即可求得.
18．已知E在△ABC内部（如图1），等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC.
（1）求证：AE=DC.
（2）当AE⊥BD时，求CD的长.
（3）将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点（如图2），求旋转过程中EF的取值范围.
【答案】（1）证明：如图1中，
∵△ABC，△BDE 都是等边三角形，
∴ BA=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，
∴ ∠ABE=∠CBD，
∴ △ABE≌△CBD (SAS)，
∴AE=CD；
（2）解：延长AE交BD于点J.
∵EJ⊥BD，EB=ED，
∴ BJ= JD=2，
∴，
由（1）可知CD=AE，
.
（3）解：延长DE到P，使得EP=DE=4，连接BP、CP，
∵PE=DE，DF=CF，
∴EF是△CDP的中位线，
∴EF=PC，
∵BE=DE=PE，
∴∠EPB=∠EBP，∠EBD=∠EDB，
∴∠PBD=∠PBE+∠DBE=90°，
∴，
∵BC=6，
∴
∴.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得BA=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，推出∠ABE= ∠CBD，从而可用SAS判断出△ABE≌△CBD，根据全等三角形的对应边相等得AE=CD；
（2）延长AE交BD于点J，由等边三角形的三线合一得BJ= JD=2，从而用勾股定理算出EJ及AJ，结合（1）的结论，根据AE=AJ-EJ即可算出答案；
（3）延长DE到P，使得EP=DE=4，连接BP、CP，利用三角形中位线定理得EF=PC，进而根据等边对等角及三角形内角和定理可推出∠PBD=90°，由勾股定理算出BP的长，然后根据三角形三边关系可判断出PC得取值范围，从而即可得出EF的取值范围.
19．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC， BD为∠ABC的平分线，BC=3，AC=4，E，F分别是BD，AC的中点，求EF的长．
【答案】解：如图，连接BF并延长，交AD于点G，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∵BC=3，AC=4，
∴AB=5．
∵AD∥ BC，
∴∠ADB=∠DBC．
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD= ∠ADB，
∴AB=AD=5．
∵AD∥ BC，
∴∠GAC= ∠ BCA．
∵F是AC的中点，
∴AF=CF．
∵ ∠AFG = ∠CFB，
∴△AFG≌△CFB(ASA) ，
∴BF=FG，AG= BC=3，
∴DG=AD-AG=5-3=2．
∵E是BD的中点，EF=DG=1．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接BF并延长，交AD于点G，根据题意求出AB的长度，然后根据平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质得到然后利用"ASA"证明得到：即可求出DG的长度，最后根据三角形中位线定理即可求出EF的长度.
20．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，求证：∠BME=∠CNE．(提示：连第三边，再取中点)
【答案】证明：如图，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴FH∥ BM，FH=AB， EH∥CN， EH=CD，
∴∠BME =∠HFE，∠CNE= ∠ HEF．
∵AB=CD，
∴FH=EH，
∴∠HFE=∠HEF，
∴∠BME=∠CNE．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形中位线定理得到：即得到：进而根据已知条件和等腰三角形的性质即可求证.
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