2023-2024学年高一数学9.1随机抽样（人教A版2019必修第二册）
·模块一 简单随机抽样
·模块二 分层随机抽样
·模块三 课后作业
1．抽样调查的必要性
(1)相关概念
名称 定义
全面调查（普查） 对每一个调查对象都进行调查的方法.
抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.
总体 调查对象的全体.
个体 从总体中抽取的那部分个体.
样本 从总体中抽取的那部分个体.
样本量 样本中包含的个体数.
(2)抽样的必要性
普查往往需要花费大量的财力、物力，而抽样调查具有花费少、效率高的特点.另外，在有些调查中，抽样调查则具有不可替代的作用，比如：
①一些个体具有破坏性.如不可能对所有的炮弹都进行试射检验其是否合格.
②一些检测具有毁损性.如不可能把地里所有的种子都挖出来检验其是否发芽.
2．简单随机抽样
(1)简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
(2)（不放回）简单随机抽样的特征
①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析.
②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作.
③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算.
④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性.
3．两种常见的简单随机抽样方法
(1)抽签法
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也
可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回
地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量.
(2)随机数法
先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中
的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量.
(3)两种抽样方法的优缺点
抽样方法 优点 缺点 适用范围
抽签法 简单易行. 总体量较大时，操作起来比较麻烦. 适用于总体中个体数不多的情形.
随机数法 简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题. 总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便. 总体量较大，样本量较小的情形.
4．总体平均数与样本平均数
(1)概念
名称 定义
总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式.
样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数.
说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确.
(2)求和符号的性质
①；
②，其中k为常数.
【考点1 简单随机抽样的特征及适用条件】
【例1.1】（23-24高一·全国·课后作业）下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B．可口可乐公司从仓库的1000瓶可乐中一次性抽取20瓶进行质量检查
C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士参加抢险救灾
D．从10个手机中不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编号随机抽取）
【解题思路】根据简单随机抽样适用的条件以及抽取方法，逐一判断即可
【解答过程】对于A：平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，
故A中的抽样方法不是简单随机抽样，故A错误；
对于B：是一次性抽取20瓶，不符合逐个抽取的特点，故不是简单随机抽样，故B错误；
对于C：挑选的50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，
故C中的抽样方法不是简单随机抽样，故C错误；
对于D：易知D中的抽样方法是简单随机抽样，故D正确.
故选：D.
【例1.2】（23-24高一·全国·课后作业）在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性（ ）
A．与第几次抽样有关，第一次被抽中的可能性要大些
B．与第几次抽样无关，每次被抽中的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次被抽中的可能性要大些
D．每个个体被抽中的可能性无法确定
【解题思路】根据简单随机抽样中个体被抽的可能性的特点进行判断.
【解答过程】在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关.
故选B.
【变式1.1】（2024高三·全国·专题练习）下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（ ）
A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本
B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验
C．从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验
D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛
【解题思路】根据题意，结合简单的随机抽样的定义，逐项判定，即可求解.
【解答过程】简单随机抽样的定义：设一个总体中含有N个个体，从中逐个抽取个个体作为样本，每个个体被抽取的概率是均等的.
对于A中，根据简单的随机抽样的定义，从无限多个个体中抽取100个个体作为样本不满足简单的随机抽样的定义，所以A不符合题意；
对于B中，根据简单的随机抽样的定义，80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验，满足简单的随机抽样的条件，所以B符合题意；
对于C中，根据简单的随机抽样的定义，从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验，不满足简单的随机抽样的定义，所以C不符合题意；
对于D中，根据简单的随机抽样的定义，从56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，不满足简单的随机抽样的定义，所以D不符合题意.
故选：B.
【变式1.2】（22-23高一下·四川乐山·期末）关于简单随机抽样，下列说法错误的是（ ）
A．它是从总体中逐个随机抽取 B．被抽取样本的总体可以是无限的
C．它是等可能抽取的 D．样本抽取可以是放回抽样也可以是不放回抽样
【解题思路】根据简单随机抽样的特点判断即可.
【解答过程】简单随机抽样中被抽取样本的总体的个数有限，
它是从总体中逐个随机抽取，样本抽取可以是放回抽样也可以是不放回抽样，
简单随机抽样是一种等可能抽样，即每个个体被抽取的可能性相等，故A、C、D正确，B错误.
故选：B.
【考点2 抽签法及其应用】
【例2.1】（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期中）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100中随机抽取10人，那么下列说法正确的是（ ）
A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会
B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是均等的
C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少
D．每个人被抽到的可能性不相等
【解题思路】根据随机抽样的特征，即可判断出结果.
【解答过程】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的，所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的.
故选：B.
【例2.2】（2024高一下·全国·专题练习）某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是（ ）
A．制签 B．搅拌均匀 C．逐一抽取 D．抽取后不放回
【解题思路】确保公平性要保证每个签抽到是等概率的，分析即得解
【解答过程】确保公平性要保证每个签抽到是等概率的，因此抽签法要做到搅拌均匀，才具有公平性．
故选：B.
【变式2.1】（23-24高一·全国·课前预习）为迎接2022年北京冬奥会，奥委会现从报名的某高校30名志愿者中选取6人组成奥运志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．
【解题思路】根据抽签法的定义设计即可
【解答过程】解：(1)将30名志愿者编号，号码分别是01，02，…，30；
(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．
(3)将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀．
(4)从盒中不放回地逐个抽取6个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本．
【变式2.2】（2023高一·全国·专题练习）某高校共有50名志愿者被选中参加某志愿服务活动，暑假期间，该校欲从这50名志愿者中选取8人组成志愿服务小组，请用抽签法设计抽样方案．
【解题思路】根据抽签法的步骤即可求解.
【解答过程】(1)将50名志愿者编号，号码分别是1，2，…，50.
(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．
(3)将小纸片放入一个不透明的盒子里，充分搅匀．
(4)从盒子中不放回地逐个抽取8个号签，使与号签上编号对应的志愿者进入样本，组成志愿服务小组．
【考点3 随机数法及其应用】
【例3.1】（2024·云南贵州·二模）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按01、02、、55进行编号，假设从随机数表第1行
第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为（ ）
0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
0140 0523 2617 3726 3890 5124 5179 3014 2310 2118 2191
A．51 B．25 C．32 D．12
【解题思路】
根据随机数表按照规则读数即可得解.
【解答过程】根据随机数表读取，分别抽到的编号为31，32，43，25，12，51，26，04，01，11，
所以选出来的第6个号码所对应的学生编号为51，
故选：A.
【例3.2】（2024·陕西·一模）我校高三年级为了学生某项身体指标，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650进行编号，001，002，，649，650．从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第7个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
【解题思路】
依据随机数表的读取规则求解即可.
【解答过程】
从表中第5行第6列开始向右读取数据，
前7个数据分别是253，313，457，007，328，623，072．
故选：C.
【变式3.1】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）为了解高一新生的体质健康状况，某校将组织高一学生进行体质健康抽测．已知该校高一年级共有800名学生，将他们依次编号，拟利用随机数表随机抽取80名同学参加体质健康测试，随机数表的一部分如下：
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9243 4935 8200 3623 4869 6938 7481
2976 3413 2841 4241 2424 1985 9313 2322
在随机数表中从第2行第4列开始，横向依次读取三个数字，则被抽中的第5个编号是（ ）
A．036 B．341 C．328 D．693
【解题思路】根据随机数表的用法，依次列出有关数据即可.
【解答过程】由题意，从第2行，第4列开始，横向依次读取的三个数字是：492，434，935（无效，舍去），820（无效，舍去），036，234，869（无效，舍去），693，所以抽中的第5个编号是：693.
故选：D.
【变式3.2】（23-24高一上·江西景德镇·期末）国家高度重视青少年心理健康问题，某校为了调查学生的心理健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查．若某班有45名学生，将每一学生从01到45编号，从下面所给的随机数表的第2行第9列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第三个号码为（ ）随机数表如图：
2512 6317 6323 2616 8045 6011 2432 5327 0941
1457 2042 5332 3732 2707 3607 7424 6762 4281
2191 3726 3890 0140 0523 2617 3014 2310 2118
A．32 B．37 C．27 D．07
【解题思路】
利用随机数表法，按照给定条件一次选取符合要求的号码即可.
【解答过程】从随机数表第2行第9列的数开始，每次从左向右选取两个数字，去掉超过45和重复的号码，选取的前3个数依次为32、37、27，故选取的第三个号码为27.
故选：C.
【考点4 简单随机抽样估计总体】
【例4.1】（22-23高一下·安徽阜阳·期末）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（ ）
A．321石 B．166石 C．434石 D．623石
【解题思路】根据给定条件，利用样本的数字特征估计总体的相应特征作答.
【解答过程】设粮仓内的秕谷有石，依题意，，解得，
所以粮仓内的秕谷约为434石.
故选：C.
【例4.2】（23-24高一上·贵州遵义·期末）管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（ ）
A．2800 B．1800 C．1400 D．1200
【解题思路】由从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，按照比例即得解.
【解答过程】设估计该池塘内鱼的总条数为，
由题意，得从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，
所有池塘中有标记的鱼的概率为：，
又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，
所以，解得，
即估计该池塘内共有条鱼.
故选：C.
【变式4.1】（2024·河南·三模）中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，2022年2月4日北京冬奥会开幕式，以二十四节气的方式开始倒计时，惊艳全球.某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为（ ）
A．23 B．92 C．128 D．180
【解题思路】先计算100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数，根据抽样比例计算即可
【解答过程】由题意，100名学生中能说出一句或一句也说不出的人数为人
故该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为人
故选：B.
【变式4.2】（2024·广西来宾·模拟预测）为了弘扬文化自信，某中学随机抽取了320个学生，调查其是否
阅读过四大名著《三国演义》《西游记/水浒传》及《红楼梦》经统计，其中阅读过《三国演义》或《西游记》的有220人，阅读过《三国演义》的有180人，同时阅读过《三国演义》和《西游记》两本书的有120人.用样本估计总体，则该中学阅读过《西游记》的学生人数与该中学学生总人数之比的估计值为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【解题思路】求出阅读过《西游记》的人数为160人，即得解.
【解答过程】由题意知：该学校仅阅读过《三国演义》的有180-120=60人，
所以阅读过《西游记》的人数为220-60=160人，
则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该小区学生总人数之比的估计值为.
故选：A.
1．分层随机抽样
(1)分层随机抽样的必要性
简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比
较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样.
(2)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个
子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
(3)比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即
①=；
②=.
(4)分层随机抽样的步骤
①分层：根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层.
②求比：根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比.
③定数：确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni·k(Ni为总体中第i层所包含的个体数)，使得各ni之和
为n.
④抽样：按“定数”步骤中确定的个体数在各层中随机地抽取个体，合在一起便得到容量为n的样本.
(5)分层随机抽样的特点
①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体；
②分成的各层互不重叠；
③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量;
④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法.
2．分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量
分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，，第1层、第2层的样本平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则==+.
由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用=+估计总体平均数.
又==，
所以+=+=.
因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.
【考点5 抽样方法的选取】
【例5.1】（23-24高二上·上海长宁·期末）①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）
A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样
C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样
【解题思路】根据简单随机抽样和分层随机抽样的特点进行判断即可.
【解答过程】①乔木、灌木、草木，分类明显，可以采用分层随机抽样；
②并未有明显分层特点，且样本容量较小，可以采用简单随机抽样；
故选：C.
【例5.2】（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（ ）
A．抽签法 B．按性别分层随机抽样
C．按年龄段分层随机抽样 D．随机数法
【解题思路】根据抽样方法确定正确答案.
【解答过程】依题意，“居民人数多”， “男、女使用手机扫码支付的情况差异不大”，
“老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异”，
所以最合理的是按年龄段分层随机抽样.
故选：C.
【变式5.1】（2024·四川内江·模拟预测）某高中为了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的学生进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成如图所示的饼图．现从这些学生中抽出100人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法不正确的是（ ）
A．若按专业类型进行分层抽样，则张三被抽到的可能性比李四大
B．若按专业类型进行分层抽样，则理学专业和工学专业应分别抽取30人和20人
C．采用分层抽样比简单随机抽样更合理
D．该问题中的样本容量为100
【解题思路】由分层抽样的特点以及它的定义判断选项A、B、C,利用样本容量的定义判断选项D.
【解答过程】对于选项A，理学比工学抽取的人数多，但张三和李四作为一个个体被柚到的概率相等，
故张三与李四被抽到的可能性一样大，故A错误；
对于选项B，理学专业应抽取的人数为，工学专业应抽取的人数为，故B正确；
对于选项C，因为各专业差异比较大，所以采用分层抽样比简单随机抽样更合理，故C正确；
对于选项D，该问题中的样本容量为100，故D正确．
故选：A．
【变式5.2】（23-24高三上·新疆·阶段练习）现要完成下列项抽样调查：
①从盒酸奶中抽取盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有排，每排有个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请名听众进行座谈．
③高新中学共有名教职工，其中一般教师名，行政人员名，后勤人员名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为的样本．
较为合理的抽样方法是（ ）
A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
【解题思路】根据简单随机抽样，系统抽样，分层抽样的概念依次判断即可得答案.
【解答过程】解；观察所给的四组数据，
①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，
②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，
③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，
观察所给的四组数据，根据四组数据的特点，把所用的抽样选出来①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样．
故选：A．
【考点6 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算】
【例6.1】（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）某厂家生产的钢笔有蘸水式钢笔、自来水式钢笔和墨囊钢笔，这三种钢笔某月的产量分别为5万支，15万支，20万支．为检验该厂家的钢笔质量，现用按比例分层随机抽样的方法从该月生产的钢笔中抽取1000支进行检验，则自来水式钢笔应抽取（ ）
A．375支 B．350支 C．125支 D．500支
【解题思路】利用分层抽样的抽样比，列式计算即得.
【解答过程】依题意，自来水式钢笔应抽取的数量为.
故选：A.
【例6.2】（2024·四川南充·二模）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量n为（ ）
A．150 B．180 C．200 D．250
【解题思路】直接由分层抽样的定义按比例计算即可.
【解答过程】由题意样本容量为.
故选：A.
【变式6.1】（2024·陕西·二模）某医院有医生750人，护士1600人，其他工作人员150人，用分层抽样的方法从这些人中抽取一个容量为50的样本，则样本中，医生比护士少（ ）
A．19人 B．18人 C．17人 D．16人
【解题思路】根据分层抽样的比例，求出医生、护士抽取的人数，即可得答案.
【解答过程】由题意知某医院有医生750人，护士1600人，
用分层抽样的方法从这些人中抽取一个容量为50的样本，
则样本中，医生抽取（人），
护士抽取（人），
故样本中，医生比护士少17人，
故选：C.
【变式6.2】（23-24高三上·广东深圳·期末）某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（ ）
A．28 B．36 C．52 D．64
【解题思路】
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可得解.
【解答过程】由题意可知抽取到的男性职工人数为，
女性职工人数为，
则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多.
故选：A.
【考点7 分层抽样的概率】
【例7.1】（22-23高一下·天津滨海新·期末）从一个容量为100的总体中抽取容量为10的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本.在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，某个体第一次被抽中的概率为；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，则（ ）
A． B．
C． D．之间没有关系
【解题思路】根据简单随机抽样、分层抽样的定义即可得到结论．
【解答过程】根据抽样调查的原理可得简单随机抽样，分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即.
故选：B.
【例7.2】（2023·广西柳州·模拟预测）某高中高一学生从物化生政史地六科中选三科组合，其中选物化生组合的学生有600人，选物化地组合的学生有400人，选政史地组合的学生有250人，现从高一学生中选取25人作样本调研情况．为保证调研结果相对准确，下列判断错误的是（ ）
A．用分层抽样的方法抽取物化生组合的学生12人
B．用分层抽样的方法抽取政史地组合的学生5人
C．物化生组合学生小张被选中的概率比物化地组合学生小王被选中的概率大
D．政史地组合学生小刘被选中的概率为
【解题思路】根据分层抽样，计算各层抽取的人数以及抽样比，即可得出答案.
【解答过程】对于A项，用分层抽样的方法抽取物化生组合的学生为 人，故A项正确；
对于B项，用分层抽样的方法抽取政史地组合的学生为，故B项正确；
对于C项，根据分层抽样的特征知，每位同学被选中的概率相等，均为，故C项错误；
对于D项，由C知，每位同学被选中的概率均为，故D项正确.
故选：C.
【变式7.1】（23-24高一上·全国·单元测试）某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为 ．
【解题思路】先利用人数比例和青年教师人数计算该校全部教师人数，再利用古典概型计算每位老年教师被抽到的概率即可.
【解答过程】由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1， 知青年教师的人数比例为，故该校全部教师人数为：120÷＝300(人)．
采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，则每位老年教师被抽到的概率为P＝＝.
故答案为：.
【变式7.2】（2023高三上·全国·专题练习）在120个零件中有一级品24个、二级品36个、三级品60个，从中抽取一个容量为20的样本，若用简单随机抽样法抽取样本，则总体中每个个体被抽到的可能性为 ；若按比例分配的分层随机抽样法抽取样本，则总体中每个个体被抽到的可能性为 ．
【解题思路】由简单随机抽样的概念计算可能性即可，由分层抽样的概念确定每层被抽到的个体，从而计算每个个体被抽到的可能性即可.
【解答过程】因为总体中的个体数，样本容量，若用简单随机抽样法抽取样本，
则每个个体被抽到的可能性均为；
因为一、二、三级品的数量之比为，
，，，
故从一、二、三级品中分别抽取4个、6个、10个产品，
若按比例分配的分层随机抽样法抽取样本，
则每个个体被抽到的可能性分别为，，，都为．
故答案为：；.
1．（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）在以下调查中，适合用全面调查的个数是（ ）
①调查一个班级学生的吃早餐情况
②调查某种饮料质量合格情况
③调查某批飞行员的身体健康指标
④调查某个水库中草鱼的所占比例
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】结合全面调查和抽样调查的特点进行判断.
【解答过程】①因为一个班级学生的人数不太多，吃早餐情况的全面调查也容易操作，所以适合全面调查；
②某种饮料数量太多，质量合格情况适合抽样调查；
③飞行员职业特点决定了身体健康指标必须全面调查；
④某个水库中鱼的种类和数量一般都较多，不适合全面调查.
故选：B.
2．（2023高三·全国·专题练习）下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（ ）
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．
③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】按照简单随机抽样的定义判断即可.
【解答过程】解：①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本，不满足总体个数为有限个；
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验，不满足逐个抽取；
③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，不满足随机抽取；
④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，
在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里，不满足无放回抽取．
综上可得以上均不满足简单随机抽样的定义，
故选：A．
3．（23-24高一下·全国·课后作业）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（ ）
A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
【解题思路】根据抽签法适用样本容量少，并且样本需搅拌均匀，进行逐一判断即可.
【解答过程】因为A，D中总体的个体数较大，不适合用抽签法；
C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，
因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；
B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.
故选：B.
4．（2024·陕西西安·一模）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若
从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
【解题思路】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可
【解答过程】从第5行第6列开始向右读取数据，
第一个数为253，第二个数是313，
第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，
下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，
第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.
故选：A.
5．（2023高一·全国·专题练习）某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】
由题意结合简单随机抽样的特征即可确定实数a，b的值.
【解答过程】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到，
故五班在每次抽样中被抽到的可能性都是，所以，
故选：D.
6．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1600石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，估计这批米内所夹的谷有（ ）
A．320石 B．160石 C．80石 D．60石
【解题思路】利用米与米内夹谷的比例大致相同得到关于的方程，解之即可估算.
【解答过程】依题意，设这批米内所夹的谷有石，
则，解得，
所以估计这批米内所夹的谷有石.
故选：B.
7．（23-24高一·全国·课后作业）某单位有老年人28人 中年人54人 青年人81人,为了调查他们的身体状况,从中抽取一个容量为36的样本,则最适合抽取样本的方法是
A．随机数表法 B．抽签法
C．分层抽样 D．先从老年人中剔除1人,再用分层抽样
【解题思路】根据总体的特征，考虑用分层抽样，按照分层抽样方法的进行判断即可.
【解答过程】解析:因为总体是由差异明显的三部分组成,所以考虑用分层抽样.
因为总人数为,样本容量为36,
由于按抽样,无法得到整数解,
因此考虑先剔除1人,将抽样比变为.
若从老年人中随机地剔除1人,则老年人应抽取(人),中年人应抽取(人),青年人应抽取(人),从而组成容量为36的样本.
故选：D.
8．（23-24高一上·全国·课后作业）现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查．
③某中学共有320名教职工，其中教师240名，行政人员32名，后勤人员48名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为40的样本．
较为合理的抽样方法的选择是（ ）
A．①简单随机抽样，②分层随机抽样，③分层随机抽样
B．①简单随机抽样，②分层随机抽样，③简单随机抽样
C．①分层随机抽样，②简单随机抽样，③分层随机抽样
D．①分层随机抽样，②抽签法，③简单随机抽样
【解题思路】根据抽样定义判断各个小题即可.
【解答过程】①总体和样本量都很小，用简单随机抽样；
②③总体由差异明显的几部分构成，用分层随机抽样．
故选：A.
9．（23-24高一下·江西·阶段练习）2023年度江西省大学生电子商务创新创业挑战赛启动以来，该比赛受到了全省各高校和广大师生的高度重视并得到积极响应，真实场景的竞赛内容与形式极大地激发了大学生的创新创业热情．已知参加该比赛的高校共63所，其中本科院校有30所，高职院校有33所．若采用分层随机抽样的方法从所有本次参赛的院校中，随机抽取21所高校的比赛风采照片进行展示，则被抽取到的本科院校有（ ）
A．9所 B．10所 C．11所 D．12所
【解题思路】
由分层抽样的定义，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】由题意可知，被抽取到的本科院校有所.
故选：B.
10．（23-24高三上·江西吉安·期末）垃圾分类，人人有责．北京市从2020年5月1日开始实施《北京市生活垃圾管理条例》，北京将生活垃圾分为有害垃圾、可回收物、厨余垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某区四类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“有害垃圾”箱 “可回收物”箱 “厨余垃圾”箱 “其他垃圾”箱
有害垃圾 60 5 5 10
可回收物 5 185 10 10
厨余垃圾 10 40 540 10
其他垃圾 5 15 10 80
则下列结论中不正确的是（ ）
A．厨余垃圾占垃圾总量的60% B．有害垃圾投放正确的概率为75%
C．厨余垃圾投放正确的概率为90% D．生活垃圾投放错误的概率为15%
【解题思路】根据表中数据计算出厨余垃圾、垃圾总量可判断A；计算出正确投放有害垃圾的总量和有害垃圾的总量可判断B；计算出正确投放厨余垃圾的总量和厨余垃圾的总量可判断C；先计算出生活垃圾投放
正确的概率再用1减去这个值，可得生活垃圾投放错误的概率可判断D．
【解答过程】厨余垃圾共（吨），占垃圾总量的60%，选项A正确；
有害垃圾投放正确的概率为，选项B正确；
厨余垃圾投放正确的概率为，选项C正确；
生活垃圾投放正确的概率为，生活垃圾投放错误的概率为13.5%，选项D错误．
故选：D．
11．（23-24高一·全国·课时练习）下列调查中哪些是用普查方式，哪些是用抽样方法收集数据的？
(1)为了了解我们班级的每个学生穿几号鞋，向全班同学做调查；
(2)为了了解我们学校高一年级学生穿几号鞋，向我们所在班的全体同学做调查；
(3)为了了解我们班的同学们每天睡眠时间，在每个小组中各选取2名学生做调查；
(4)为了了解我们班的同学们每天的睡眠时间，选取班级中学号为双数的所有学生做调查.
【解题思路】通过普查与抽样调查的概念即可判断.
【解答过程】（1）因为调查的是班级的每个学生，所以用的是普查.
（2）通过我们班的全体同学穿几号鞋来了解学校高一年级学生穿几号鞋，这是抽样调查，样本是我们班的全体同学所穿的鞋号，总体是学校高一年级学生所穿的鞋号.
（3）通过每个小组中选取2名学生的睡眠时间做调查，了解我们班同学每天的睡眠时间，是抽样调查，样本是每小组中选取的2名学生的睡眠时间，总体是我们班的同学每天的睡眠时间.
（4）通过选取班级中学号为双数的所有学生的睡眠时间调查，了解我们班同学每天的睡眠时间,是抽样调查，样本是双数的所有学生的睡眠时间，总体是我们班的同学每天的睡眠时间.
12．（23-24高一·全国·课时练习）某单位拟从40名员工中选1人赠送电影票，可采用下面两种选法：
选法一：将这40名员工按1至40进行编号，并相应地制作号码为1至40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选；
选法二：将39个白球与1个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名员工逐一从中不放回地摸取1个球，则摸到红球的员工是幸运人选．试问：
(1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？
(2)这两种选法中每名员工被选中的可能性是否相等？
【解题思路】（1）根据抽签法的特征，分析即得解
（2）由于选法一中抽取每个签和选法二中摸到每个球都是等可能的，分析即得解
【解答过程】（1）选法一满足抽签法的特征，是抽签法．选法二不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而选法二中的39个白球无法相互区分；
（2）由于选法一中抽取每个签和选法二中摸到每个球都是等可能的，
因此选法一中抽取1个号签的概率和选法二中摸到红球的概率相等，均为
故这两种选法中每名员工被选中的可能性相等，均为．
13．（2024高一·全国·专题练习）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30
(1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值为多少
(2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值为多少
【解题思路】（1）分析题意，得到分层比，再进行计算均值即可
（2）首先找出男、女的样本量都是25，进行总样本均值计算即可.
【解答过程】（1）男、女的样本量按比例分配，
总样本的均值为cm.
（2）男、女的样本量都是25，
总样本的均值为cm.
14．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）某单位2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
人数 管理 技术开发 营销 生产 共计
老年 40 40 40 80 200
中年 80 120 160 240 600
青年 40 160 280 720 1 200
小计 160 320 480 1 040 2 000
（1）若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
（2）若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
（3）若要抽20人调查对北京9月3日阅兵情况的了解，则应怎样抽样？
【解题思路】（1）用分层抽样方法从老年人、中年人和青年人中抽取对应的人数即可；
（2）用分层抽样法从管理层、技术开发部、营销部以及生产部抽取对应的人数即可；
（3）用分层抽样方法从老年人、中年人和青年人中抽取对应的人数即可.
【详解（1）用分层抽样，并按老年4人，中年12人，青年24人抽取．
（2）用分层抽样，并按管理2人，技术开发4人，营销6人，生产13人抽取．
（3）用系统抽样．对全部2 000人随机编号，号码从0001～2 000，每100号分为一组，从第一组中用随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1 900，共20人组成一个样本．
15．（23-24高一·全国·单元测试）在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001-900.
（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，写出样本编号的中位数；
（2）采用分层抽样的方法按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计总体，求900名考生选做题得分的平均数与方差.
【解题思路】（1）根据题意读出编号，将有效编号从小到大排列，由此能求出中位数．
（2）记样本中8个A题目成绩分别为，，…，，2个B题目成绩分别为，.
分别计算出样本的平均数和方差，即可得到900名考生选做题得分的平均数与方差．
【解答过程】（1）根据题意，读出的编号依次是512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重复），687，858，554，876，647，547，332，将有效的编号从小到大排列，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876.
故中位数为.
（2）记样本中8个A题目成绩分别为，，…，，2个B题目成绩分别为，.
由题意可知，，
，，
故样本平均数为
样本方差为
.
故估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56.2023-2024学年高一数学9.1随机抽样（人教A版2019必修第二册）
·模块一 简单随机抽样
·模块二 分层随机抽样
·模块三 课后作业
1．抽样调查的必要性
(1)相关概念
名称 定义
全面调查（普查） 对每一个调查对象都进行调查的方法.
抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.
总体 调查对象的全体.
个体 从总体中抽取的那部分个体.
样本 从总体中抽取的那部分个体.
样本量 样本中包含的个体数.
(2)抽样的必要性
普查往往需要花费大量的财力、物力，而抽样调查具有花费少、效率高的特点.另外，在有些调查中，抽样调查则具有不可替代的作用，比如：
①一些个体具有破坏性.如不可能对所有的炮弹都进行试射检验其是否合格.
②一些检测具有毁损性.如不可能把地里所有的种子都挖出来检验其是否发芽.
2．简单随机抽样
(1)简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
(2)（不放回）简单随机抽样的特征
①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析.
②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作.
③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算.
④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性.
3．两种常见的简单随机抽样方法
(1)抽签法
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也
可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回
地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量.
(2)随机数法
先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中
的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量.
(3)两种抽样方法的优缺点
抽样方法 优点 缺点 适用范围
抽签法 简单易行. 总体量较大时，操作起来比较麻烦. 适用于总体中个体数不多的情形.
随机数法 简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题. 总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便. 总体量较大，样本量较小的情形.
4．总体平均数与样本平均数
(1)概念
名称 定义
总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式.
样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数.
说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确.
(2)求和符号的性质
①；
②，其中k为常数.
【考点1 简单随机抽样的特征及适用条件】
【例1.1】（23-24高一·全国·课后作业）下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）
A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B．可口可乐公司从仓库的1000瓶可乐中一次性抽取20瓶进行质量检查
C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士参加抢险救灾
D．从10个手机中不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编号随机抽取）
【例1.2】（23-24高一·全国·课后作业）在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性（ ）
A．与第几次抽样有关，第一次被抽中的可能性要大些
B．与第几次抽样无关，每次被抽中的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次被抽中的可能性要大些
D．每个个体被抽中的可能性无法确定
【变式1.1】（2024高三·全国·专题练习）下列抽取样本的方式是简单随机抽样的是（ ）
A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本
B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验
C．从100部手机中一次性抽取5部进行质量检验
D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛
【变式1.2】（22-23高一下·四川乐山·期末）关于简单随机抽样，下列说法错误的是（ ）
A．它是从总体中逐个随机抽取 B．被抽取样本的总体可以是无限的
C．它是等可能抽取的 D．样本抽取可以是放回抽样也可以是不放回抽样
【考点2 抽签法及其应用】
【例2.1】（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期中）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100中随机抽取10人，那么下列说法正确的是（ ）
A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会
B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的
机会也是均等的
C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少
D．每个人被抽到的可能性不相等
【例2.2】（2024高一下·全国·专题练习）某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛，制作了11个形状、大小相同的签，抽签中确保公平性的关键是（ ）
A．制签 B．搅拌均匀 C．逐一抽取 D．抽取后不放回
【变式2.1】（23-24高一·全国·课前预习）为迎接2022年北京冬奥会，奥委会现从报名的某高校30名志愿者中选取6人组成奥运志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．
【变式2.2】（2023高一·全国·专题练习）某高校共有50名志愿者被选中参加某志愿服务活动，暑假期间，该校欲从这50名志愿者中选取8人组成志愿服务小组，请用抽签法设计抽样方案．
【考点3 随机数法及其应用】
【例3.1】（2024·云南贵州·二模）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按01、02、、55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为（ ）
0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
0140 0523 2617 3726 3890 5124 5179 3014 2310 2118 2191
A．51 B．25 C．32 D．12
【例3.2】（2024·陕西·一模）我校高三年级为了学生某项身体指标，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650进行编号，001，002，，649，650．从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，
若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第7个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
【变式3.1】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）为了解高一新生的体质健康状况，某校将组织高一学生进行体质健康抽测．已知该校高一年级共有800名学生，将他们依次编号，拟利用随机数表随机抽取80名同学参加体质健康测试，随机数表的一部分如下：
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9243 4935 8200 3623 4869 6938 7481
2976 3413 2841 4241 2424 1985 9313 2322
在随机数表中从第2行第4列开始，横向依次读取三个数字，则被抽中的第5个编号是（ ）
A．036 B．341 C．328 D．693
【变式3.2】（23-24高一上·江西景德镇·期末）国家高度重视青少年心理健康问题，某校为了调查学生的心理健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查．若某班有45名学生，将每一学生从01到45编号，从下面所给的随机数表的第2行第9列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第三个号码为（ ）随机数表如图：
2512 6317 6323 2616 8045 6011 2432 5327 0941
1457 2042 5332 3732 2707 3607 7424 6762 4281
2191 3726 3890 0140 0523 2617 3014 2310 2118
A．32 B．37 C．27 D．07
【考点4 简单随机抽样估计总体】
【例4.1】（22-23高一下·安徽阜阳·期末）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（ ）
A．321石 B．166石 C．434石 D．623石
【例4.2】（23-24高一上·贵州遵义·期末）管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（ ）
A．2800 B．1800 C．1400 D．1200
【变式4.1】（2024·河南·三模）中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，2022年2月4日北京冬奥会开幕式，以二十四节气的方式开始倒计时，惊艳全球.某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有32人，能说出三句或三句以上的有45人，据此估计该校一年级的400名学生中对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为（ ）
A．23 B．92 C．128 D．180
【变式4.2】（2024·广西来宾·模拟预测）为了弘扬文化自信，某中学随机抽取了320个学生，调查其是否阅读过四大名著《三国演义》《西游记/水浒传》及《红楼梦》经统计，其中阅读过《三国演义》或《西游记》的有220人，阅读过《三国演义》的有180人，同时阅读过《三国演义》和《西游记》两本书的有120人.用样本估计总体，则该中学阅读过《西游记》的学生人数与该中学学生总人数之比的估计值为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
1．分层随机抽样
(1)分层随机抽样的必要性
简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比
较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样.
(2)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个
子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
(3)比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即
①=；
②=.
(4)分层随机抽样的步骤
①分层：根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层.
②求比：根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比.
③定数：确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni·k(Ni为总体中第i层所包含的个体数)，使得各ni之和
为n.
④抽样：按“定数”步骤中确定的个体数在各层中随机地抽取个体，合在一起便得到容量为n的样本.
(5)分层随机抽样的特点
①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体；
②分成的各层互不重叠；
③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量;
④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法.
2．分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量
分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，，第1层、第2层的样本平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则==+.
由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用=+估计总体平均数.
又==，
所以+=+=.
因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.
【考点5 抽样方法的选取】
【例5.1】（23-24高二上·上海长宁·期末）①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）
A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样
C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样
【例5.2】（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的
情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（ ）
A．抽签法 B．按性别分层随机抽样
C．按年龄段分层随机抽样 D．随机数法
【变式5.1】（2024·四川内江·模拟预测）某高中为了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的学生进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成如图所示的饼图．现从这些学生中抽出100人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法不正确的是（ ）
A．若按专业类型进行分层抽样，则张三被抽到的可能性比李四大
B．若按专业类型进行分层抽样，则理学专业和工学专业应分别抽取30人和20人
C．采用分层抽样比简单随机抽样更合理
D．该问题中的样本容量为100
【变式5.2】（23-24高三上·新疆·阶段练习）现要完成下列项抽样调查：
①从盒酸奶中抽取盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有排，每排有个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请名听众进行座谈．
③高新中学共有名教职工，其中一般教师名，行政人员名，后勤人员名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为的样本．
较为合理的抽样方法是（ ）
A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
【考点6 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算】
【例6.1】（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）某厂家生产的钢笔有蘸水式钢笔、自来水式钢笔和墨囊钢笔，这三种钢笔某月的产量分别为5万支，15万支，20万支．为检验该厂家的钢笔质量，现用按比例分层随机
抽样的方法从该月生产的钢笔中抽取1000支进行检验，则自来水式钢笔应抽取（ ）
A．375支 B．350支 C．125支 D．500支
【例6.2】（2024·四川南充·二模）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量n为（ ）
A．150 B．180 C．200 D．250
【变式6.1】（2024·陕西·二模）某医院有医生750人，护士1600人，其他工作人员150人，用分层抽样的方法从这些人中抽取一个容量为50的样本，则样本中，医生比护士少（ ）
A．19人 B．18人 C．17人 D．16人
【变式6.2】（23-24高三上·广东深圳·期末）某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（ ）
A．28 B．36 C．52 D．64
【考点7 分层抽样的概率】
【例7.1】（22-23高一下·天津滨海新·期末）从一个容量为100的总体中抽取容量为10的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本.在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，某个体第一次被抽中的概率为；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，则（ ）
A． B．
C． D．之间没有关系
【例7.2】（2023·广西柳州·模拟预测）某高中高一学生从物化生政史地六科中选三科组合，其中选物化生组合的学生有600人，选物化地组合的学生有400人，选政史地组合的学生有250人，现从高一学生中选取25人作样本调研情况．为保证调研结果相对准确，下列判断错误的是（ ）
A．用分层抽样的方法抽取物化生组合的学生12人
B．用分层抽样的方法抽取政史地组合的学生5人
C．物化生组合学生小张被选中的概率比物化地组合学生小王被选中的概率大
D．政史地组合学生小刘被选中的概率为
【变式7.1】（23-24高一上·全国·单元测试）某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4∶5∶1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况，则每位老年教师被抽到的概率为 ．
【变式7.2】（2023高三上·全国·专题练习）在120个零件中有一级品24个、二级品36个、三级品60个，
从中抽取一个容量为20的样本，若用简单随机抽样法抽取样本，则总体中每个个体被抽到的可能性为 ；若按比例分配的分层随机抽样法抽取样本，则总体中每个个体被抽到的可能性为 ．
1．（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）在以下调查中，适合用全面调查的个数是（ ）
①调查一个班级学生的吃早餐情况
②调查某种饮料质量合格情况
③调查某批飞行员的身体健康指标
④调查某个水库中草鱼的所占比例
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023高三·全国·专题练习）下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（ ）
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．
③某班有56个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
④盒子中共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（23-24高一下·全国·课后作业）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（ ）
A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
4．（2024·陕西西安·一模）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
5．（2023高一·全国·专题练习）某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样
本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1600石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，估计这批米内所夹的谷有（ ）
A．320石 B．160石 C．80石 D．60石
7．（23-24高一·全国·课后作业）某单位有老年人28人 中年人54人 青年人81人,为了调查他们的身体状况,从中抽取一个容量为36的样本,则最适合抽取样本的方法是
A．随机数表法 B．抽签法
C．分层抽样 D．先从老年人中剔除1人,再用分层抽样
8．（23-24高一上·全国·课后作业）现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查．
③某中学共有320名教职工，其中教师240名，行政人员32名，后勤人员48名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为40的样本．
较为合理的抽样方法的选择是（ ）
A．①简单随机抽样，②分层随机抽样，③分层随机抽样
B．①简单随机抽样，②分层随机抽样，③简单随机抽样
C．①分层随机抽样，②简单随机抽样，③分层随机抽样
D．①分层随机抽样，②抽签法，③简单随机抽样
9．（23-24高一下·江西·阶段练习）2023年度江西省大学生电子商务创新创业挑战赛启动以来，该比赛受到了全省各高校和广大师生的高度重视并得到积极响应，真实场景的竞赛内容与形式极大地激发了大学生的创新创业热情．已知参加该比赛的高校共63所，其中本科院校有30所，高职院校有33所．若采用分层随机抽样的方法从所有本次参赛的院校中，随机抽取21所高校的比赛风采照片进行展示，则被抽取到的本科院校有（ ）
A．9所 B．10所 C．11所 D．12所
10．（23-24高三上·江西吉安·期末）垃圾分类，人人有责．北京市从2020年5月1日开始实施《北京市生活垃圾管理条例》，北京将生活垃圾分为有害垃圾、可回收物、厨余垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某区四类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“有害垃圾”箱 “可回收物”箱 “厨余垃圾”箱 “其他垃圾”箱
有害垃圾 60 5 5 10
可回收物 5 185 10 10
厨余垃圾 10 40 540 10
其他垃圾 5 15 10 80
则下列结论中不正确的是（ ）
A．厨余垃圾占垃圾总量的60% B．有害垃圾投放正确的概率为75%
C．厨余垃圾投放正确的概率为90% D．生活垃圾投放错误的概率为15%
11．（23-24高一·全国·课时练习）下列调查中哪些是用普查方式，哪些是用抽样方法收集数据的？
(1)为了了解我们班级的每个学生穿几号鞋，向全班同学做调查；
(2)为了了解我们学校高一年级学生穿几号鞋，向我们所在班的全体同学做调查；
(3)为了了解我们班的同学们每天睡眠时间，在每个小组中各选取2名学生做调查；
(4)为了了解我们班的同学们每天的睡眠时间，选取班级中学号为双数的所有学生做调查.
12．（23-24高一·全国·课时练习）某单位拟从40名员工中选1人赠送电影票，可采用下面两种选法：
选法一：将这40名员工按1至40进行编号，并相应地制作号码为1至40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选；
选法二：将39个白球与1个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让40名员工逐一从中不放回地摸取1个球，则摸到红球的员工是幸运人选．试问：
(1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？
(2)这两种选法中每名员工被选中的可能性是否相等？
13．（2024高一·全国·专题练习）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30
(1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值为多少
(2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值为多少
14．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）某单位2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
人数 管理 技术开发 营销 生产 共计
老年 40 40 40 80 200
中年 80 120 160 240 600
青年 40 160 280 720 1 200
小计 160 320 480 1 040 2 000
（1）若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
（2）若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
（3）若要抽20人调查对北京9月3日阅兵情况的了解，则应怎样抽样？
15．（23-24高一·全国·单元测试）在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001-900.
（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，写出样本编号的中位数；
（2）采用分层抽样的方法按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计总体，求900名考生选做题得分的平均数与方差.
