人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习19.1变量与函数
一、选择题
1．（2020八下·长沙期中）如图，在一个内角为60°的菱形 ABCD中，AB＝2，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD→DC的路径运动，到点C停止，过点P 作PQ⊥BD，PQ 与边AD（或边CD）交于点Q，△ABQ的面积y（cm2）与点P 的运动时间x（秒）的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．某种型号的计算器单价为40元，商家为了扩大销售量，现按八折销售，如果卖出x台这种计算器，共卖得y元，则用x表示y的关系式为（ ）
A．y=40x B．y=32x C．y=8x D．y=48x
3．（2023八下·辛集期末）甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地轿车的平均速度大于货车的平均速度，如图线段和折线分别表示两车离甲地的距离单位：千米与时间单位：小时之间的函数关系则下列说法正确的是（ ）
A．两车同时到达乙地
B．轿车在行驶过程中的平均速度为千米小时
C．货车出发小时后，轿车追上货车
D．两车在前千米的速度相等
4．（2023八下·望花期末）某油箱容量为的汽车，加满汽油后开了时，油箱中的汽油大约消耗了四分之一，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中的剩油量为，则与之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2022八下·鞍山期中）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
6．（2022八下·新乐期中）若等腰三角形的周长为60 cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，则y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围是（ ）
A．y＝60－2x(0C．y＝ (60－x)(07．（2021八下·朝阳期末）学校离小林家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，然后又行驶了5分钟到家，在下列图形中能大致描述他回家过程中离家的距离s（千米）与所用时间t（分）之间的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021八下·遵化期末）下列函数关系式中，自变量x的取值范围不正确的是（ ）
A．y＝2x2中，x为全体实数 B．y＝中，x≠﹣1
C．y＝中，x＝0 D．y＝中，x＞﹣7
9．（2021八下·东城期末）若定义一种新运算：，例如：；．则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021八下·黄石港期末）一次函数 ，若 ，则它的图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023八下·南充期末）如果直线经过点，那么关于x的方程的解是 ．
12．（2022八下·高阳期末）根据如图的程序计算，当输入时，输出的结果y= ；当输出的结果时，则输入x= ．
13．已知变量x，y满足 ，那么 与 之间的函数关系式为 .
14．（2021八下·遂宁期末）函数 中x的取值范围是 .
15．（2020八下·河池期末）小明参加了步行活动中，中途休息了一段时间．设他从学校出发后所用时间为 （分钟），所走的路程为 （米 ，s与t之间的函数关系如图17所示．则下列说法中，正确的序号为 ．
①小明中途休息用了20分钟．
②小明休息前步行的平均速度为每分钟70米．
③小明休息前步行的平均速度大于休息后步行的平均速度．
④小明行走的路程为6600米．
三、解答题
16．（2023八下·裕华期末）枣庄某公交车每天的支出费用为元，每天的乘车人数人与每天利润利润票款收入支出费用元的变化关系，如下表所示每位乘客的乘车票价固定不变：
人
元
根据表格中的数据，回答下列问题：
（1） 是自变量；
（2）观察表中数据可知，当乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）请写出公交车每天利润元与每天乘车人数人的关系式： ；
（4）当一天乘客人数为多少人时，利润是元？
四、综合题
17．（2023八下·滨海期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图像设计了一个问题情境．
已知小明家、食堂、图书馆依次在同一条直线上．食堂离小明家．图书馆离小明家．周末，小明从家出发，匀速走了到食堂；在食堂停留吃早餐后，匀速走了到图书馆；在图书馆读报停留，然后匀速走了返回家．给出的图像反映了这个过程中小明离家的距离与离开家的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
小明离开家的时间/min 8 20 40
小明离家的距离/km
（2）填空：
①食堂到图书馆的距离为 km；
②小明从图书馆返回家中的速度为 ；
③当小明离家的距离为时，他离开家的时间为 min．
（3）当时，请直接写出y关于x的函数解析式．
18．（2023八下·大同期末）大同市拥有完善的能源、重工业产业体系，是国内重要的煤化工、矿山机械等产业基地，具有较强的产业基础和技术优势，本市某企业的一个生产组有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获得利润100元，每生产一个乙种产品可获得利润180元，在这10名工人中，车间每天安排名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品．
（1）求出此车间每天获取利润（元）与（人）之间的函数解析式；
（2）若要使此车间每天获取利润不低于15600元，你认为最多派多少名工人去生产甲种产品才合适？
19．（2023八下·北京市期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对的图象与性质进行了探究：
下面是小亮的探究过程，请补充完整：
（1）函数中自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x …
y … 0 1 m …
求得表中m的值为 ；
（3）在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点．并结合对函数解析式分析，画出该函数的图象：
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
①该函数的图象与直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 越来越靠近而永不相交，因此因变量y的取值范围是 ．
②写出该函数的增减性为 ．
20．（2023八下·秦皇岛期中）如图：在中，，高，动点P由点C沿向点B运动（不与点B重合），设的长为x，的面积为S．
（1）在这个过程中，常量有 变量有
（2）请写出S与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围
（3）当x取时计算此时的S值
（4）S为时，求出对应x的值
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分段函数；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：①PQ与边CD交于点Q时，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∴∠DEA=90°，
在边长为2一个内角为60°的菱形ABCD中，
AD=DC=2，∠DAB=60°，
∴AE=1， ，
∴ ，
即当0≤x≤2时， ．
该函数图象是平行于x轴的一段线段；
②当PQ与边AD交于点Q时，如图，过点Q作QE⊥AB于点E，
∴∠QEA=90°，
∵PQ⊥BD，
∴∠DFP=∠DFQ=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠CDB=∠ADB，
DF=DF，
∴△DFP≌△DFQ（ASA），
∴DP=DQ，
∵AD=DC=2，
∴AQ=PC=4-x，
∴在Rt△AQE中，∠QAE=60°，
∴ ，
∴
即当2＜x≤4时， ，
该函数图象是y随x的增大而减小的一段线段．
所以△ABQ的面积y（cm2）与点P的运动时间x（秒）的函数图象大致是选项C．
故答案为：C．
【分析】由题意根据动点P的运动过程分两种情况说明：①PQ与边CD交于点Q时，过点D作DE⊥AB于点E，根据在边长为2一个内角为60°的菱形ABCD中，即可求当0≤x≤2时，y= ；②当PQ与边AD交于点Q时，过点Q作QE⊥AB于点E，即可求当2＜x≤4时，y=- x+4 ，进而可判断，△ABQ的面积y（cm2）与点P的运动时间x（秒）的函数图象．
2．【答案】B
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】依题意得 y=40×80%×x=32x．
选：B．
【分析】等量关系是：总价=单价×80%×数量．
3．【答案】C
【知识点】分段函数；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】由图可知乙车比甲车早半个小时到达乙地，故A错误；
，故B错误；
由图可求得，
令60x=110x-195，解得x=3.9，故C正确；
60≠，故D错误；
故答案为：C.
【分析】由图像提供的信息可以判定两车的行驶情况。
4．【答案】D
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得：，
当y=0时，0=50-0.0625x，解得x=800，
即y与x之间的函数解析式是y=50-0.0625x(0≤x≤800)，
故答案为：D.
【分析】根据加满汽油后开了200km时，油箱中的汽油大约消耗了四分之一，可以计算出每千米的耗油量，然后写出y与x之间的函数解析式，令y=0求出相应的x的值，即可得到x的自变量的范围.
5．【答案】B
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得
解得且
故答案为：B．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列出不等式组，再求解即可。
6．【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围；列一次函数关系式
【解析】【解答】∵2y+x=60，
∴y＝ (60－x)(0故答案为：D.
【分析】根据题意直接列出函数解析式即可。
7．【答案】D
【知识点】函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：因为小林家所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后离家的距离减少；因故停留10分钟，离家的距离不变；继续骑了5分钟到家，离家的距离减少；所以图象应分为三段，并且最后离家的距离为0．
故答案为：D．
【分析】根据题意分析可得：小林回家过程中离家的距离s与所用的时间t之间的关系有3个阶段：行驶了5分钟，距离变小；因故停留10分钟，距离不变；继续骑了5分钟到家，距离变小，到最后为0。
8．【答案】B
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：A、y＝2x2中，x为全体实数，自变量x的取值范围正确，不符合题意；
B、y＝，x＞﹣1，本选项自变量x的取值范围错误，符合题意；
C、y＝，x＝0，自变量x的取值范围正确，不符合题意；
D、y＝，x＞﹣7，自变量x的取值范围正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据整式、二次根式及分式成立的条件分别求出各项中自变量的取值范围，再判断即可.
9．【答案】A
【知识点】函数的图象；分段函数；定义新运算
【解析】【解答】解：当时，，
∴当时，，
即：，
当时，，
即：，
∴，
∴当时，，函数图象向上，y随x的增大而增大，
∴，
综上所述，A选项符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据题干中的定义及计算方法可得，再根据函数解析式作出图象即可。
10．【答案】D
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：A、将（1，1）代入y=ax+b得，1=a+b，整理得a+b=1，故本选项不符合；
B、将（-1，1）代入y=ax+b得，1=-a+b，整理得a-b=-1，故本选项不符合；
C、将（1，-1）代入y=ax+b得，-1=a+b，整理得a+b=-1，故本选项不符合；
D、将（-1，-1）代入y=ax+b得，-1=-a+b，整理得a-b=1，故本选项符合.
故答案为：D.
【分析】直接将各个选项中点的坐标代入y=ax+b中进行判断.
11．【答案】
【知识点】函数值；一次函数与一元一次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线经过点，
∴ -2k+6=4
∴ k=1
∴ y=x+6
∴ kx+6=0的解是x=-6
故答案为：x=-6.
【分析】本题考查函数和点的关系。点在函数上，则点的横纵坐标满足函数解析式，代入可确定k的值，方程可求解。
12．【答案】2；0.7
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：因为，
所以；
当输出的结果时，分以下两种情况：
①当时，则，解得，不符合题设，舍去，
②当时，则，解得，符合题设，
所以输入，
故答案为：2，0.7．
【分析】根据程序计算可知：当x=3＞1时，代入y=-x+5求值；当y=5.7时，可得y=-x+5=5.7或y=x+5=5.7，分别求出x值再检验即可.
13．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；函数解析式
【解析】【解答】解：∵（x-2y）2=（x+2y）2+10，
∴x2-4xy+4y2=x2+4xy+4y2+10，
∴8xy=-10，
∴y=-.
故答案为：y=-.
【分析】利用完全平方公式去括号，再整理化简，即可求得y与x的函数关系式.
14．【答案】x＞﹣2且x≠1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，x+2＞0，且x﹣1≠0，
解得x＞﹣2且x≠1，
所以x的取值范围是x＞﹣2且x≠1.
故答案为：x＞﹣2且x≠1.
【分析】观察含自变量的式子，含有分式及二次根式，可知分母不等于0，被开方数是非负数；根据任何不等于0的数的零次幂为1，可得到关于x的不等式组，求出不等式组的解集.
15．【答案】①②③
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】①由图象可知，在40~60分钟，路程没有发生变化，
∴小明中途休息的时间为60-40=20（分钟），故①正确；
②由图象知：当t=40时，s=2800，
∴小明休息前步行的平均速度为2800÷40=70（米/分），故B正确；
③休息后步行的平均速度为：（3800-2800）÷（100-60）=25（米/分），
由②知小明休息前步行的平均速度为70米/分，
∵70＞25，∴小明休息前步行的平均速度大于休息后步行的平均速度，故③正确；
④根据图形可知，小明行走的路程为3800米，故④错误；
∴正确有①②③.
【分析】①观察图相知，在40~60分钟，路程没有发生变化，据此求出休息的时间为60-40=20（分钟），据此判断即可；②观察图象知休息前小明40分钟走了2800米，利用速度=路程÷时间即得，然后判断即可；③利用速度=路程÷时间求出休息后步行的平均速度（3800-2800）÷（100-60）=25（米/分），然后与②中的结论相比，然后判断即可；④观察图形可知小明行走的路程为3800米，据此判断即可.
16．【答案】（1）每天的乘车人数
（2）300
（3）
（4）解：把代入，得：，
解得：．
答：当乘车人数为人时，利润为元．
【知识点】常量、变量；函数解析式
【解析】【解答】解：（1）在这个变化关系中：自变量是：每天的乘车人数；
故答案为：每天的乘车人数；
（2）观察表格知：当x=300时，y=0，
当x＞300时，y＞0
∴ 当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损；
故答案为：300.
（3）由题意得：y=0+= ，
故答案为： .
【分析】（1）在变化关系中，哪个变量随着哪个变量的变化而变化的，从而确定自变量；
（2）观察表格知：当x=300时，y=0，当x＞300时，y＞0，进行解答即可；
（3）由表格知：当乘坐人数为300人，利润为0元，每增加50人，利润就增加100元，然后列出关系式即可；
（4）把代入（3）中式子中求出x值即可.
17．【答案】（1）5；；
（2）；；或
（3）
【知识点】分段函数；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，当时，运动图像是正比例函数，此时速度为，故，
当时，；
当时，停留在食堂，
故；
当时，停留在图书馆，
故；
故答案为：5；；．
（2）①食堂到图书馆的距离等于，
故答案为：．
②根据题意，的，
故答案为：．
③当去时，离家的距离为时，根据题意，得，
解得；
当返回时，离家的距离为时，根据题意，得，
解得；
故离家时间为
故答案为：或．
（3）根据题意，当时，运动图像是正比例函数，此时速度为，
故，
当时，运动图像是常数，
故；
当时，设直线解析式为，根据题意，得
，
解得，
故解析式为；
综上所述，函数关系式为：．
【分析】（1）根据函数图象，结合小明是匀速运动，先求出宿舍到食堂的速度，再根据路程＝时间×速度计算即可得出答案；
（2）①结合题意，根据图象分析即可得出答案；
②结合图像确定路程与时间，然后根据速度=路程÷时间进行计算即可；
③分两种情况进行分析，可能是从宿舍去食堂的过程，也有可能是从图书馆回宿舍；
（3）根据函数图象分段，结合路程＝速度×时间即可写出函数解析式。
18．【答案】（1）解：根据题意得出：
即
（2）解：根据题意可得，
即
解得：，
故最多派4名工人去生产甲种产品才合适．
【知识点】一元一次不等式的应用；函数解析式
【解析】【分析】（1）根据利润和等于甲种产品与 乙种产品的利润和，即可求解．
（2）根据题意可得，根据（1）的式子，列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
19．【答案】（1）
（2）解：
（3）解：如图：
（4）；；当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而增大
【知识点】函数自变量的取值范围；反比例函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）x+1≠0，∴x≠-1；
故第一空答案为：x≠-1；
（2）把x=2.5代入中，得，∴m=；
故第1空答案为：；
（4）观察函数图象，可以发现：①该函数的图象与直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 y=-1越来越靠近儿永不相交，即y的取值范围是y≠-1；②由图象知，当x＜-1时，y随x值的增大而增大，当x＞-1时，y随x的增大而增大。
故第1空答案为：y=-1；第2空答案为：y≠-1；第3空答案为：当x＜-1时，y随x值的增大而增大，当x＞-1时，y随x的增大而增大。
【分析】（1）根据分式的分母不等于0，即可求得自变量x的取值范围；
（2）把自变量x=2.5代入函数关系式中，求出所对应的函数值即可；
（3）利用描点法，按照表中的对应值，描点，连线即可得到函数图象；
（4）观察图像，可得函数的性质。
20．【答案】（1）18 ，10；x，S
（2）解：由题意可得，
，
∵动点P由点C沿 向点B运动（不与点B重合），
∴ ，
∴ ；
（3）解：当 时，
；
（4）解：当 时，
，
解得： ；
【知识点】常量、变量；三角形的面积；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：（1）由题意得常量有18，10；变量有x，S；
故答案为：18 ，10；x，S
【分析】（1）根据常量和变量的定义即可求解；
（2）根据三角形的面积公式即可得到，再根据题意得到x的取值范围即可求解；
（3）把x的值代入即可求解；
（4）把S的值代入即可求解。
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习19.1变量与函数
一、选择题
1．（2020八下·长沙期中）如图，在一个内角为60°的菱形 ABCD中，AB＝2，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD→DC的路径运动，到点C停止，过点P 作PQ⊥BD，PQ 与边AD（或边CD）交于点Q，△ABQ的面积y（cm2）与点P 的运动时间x（秒）的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分段函数；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：①PQ与边CD交于点Q时，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∴∠DEA=90°，
在边长为2一个内角为60°的菱形ABCD中，
AD=DC=2，∠DAB=60°，
∴AE=1， ，
∴ ，
即当0≤x≤2时， ．
该函数图象是平行于x轴的一段线段；
②当PQ与边AD交于点Q时，如图，过点Q作QE⊥AB于点E，
∴∠QEA=90°，
∵PQ⊥BD，
∴∠DFP=∠DFQ=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠CDB=∠ADB，
DF=DF，
∴△DFP≌△DFQ（ASA），
∴DP=DQ，
∵AD=DC=2，
∴AQ=PC=4-x，
∴在Rt△AQE中，∠QAE=60°，
∴ ，
∴
即当2＜x≤4时， ，
该函数图象是y随x的增大而减小的一段线段．
所以△ABQ的面积y（cm2）与点P的运动时间x（秒）的函数图象大致是选项C．
故答案为：C．
【分析】由题意根据动点P的运动过程分两种情况说明：①PQ与边CD交于点Q时，过点D作DE⊥AB于点E，根据在边长为2一个内角为60°的菱形ABCD中，即可求当0≤x≤2时，y= ；②当PQ与边AD交于点Q时，过点Q作QE⊥AB于点E，即可求当2＜x≤4时，y=- x+4 ，进而可判断，△ABQ的面积y（cm2）与点P的运动时间x（秒）的函数图象．
2．某种型号的计算器单价为40元，商家为了扩大销售量，现按八折销售，如果卖出x台这种计算器，共卖得y元，则用x表示y的关系式为（ ）
A．y=40x B．y=32x C．y=8x D．y=48x
【答案】B
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】依题意得 y=40×80%×x=32x．
选：B．
【分析】等量关系是：总价=单价×80%×数量．
3．（2023八下·辛集期末）甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地轿车的平均速度大于货车的平均速度，如图线段和折线分别表示两车离甲地的距离单位：千米与时间单位：小时之间的函数关系则下列说法正确的是（ ）
A．两车同时到达乙地
B．轿车在行驶过程中的平均速度为千米小时
C．货车出发小时后，轿车追上货车
D．两车在前千米的速度相等
【答案】C
【知识点】分段函数；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】由图可知乙车比甲车早半个小时到达乙地，故A错误；
，故B错误；
由图可求得，
令60x=110x-195，解得x=3.9，故C正确；
60≠，故D错误；
故答案为：C.
【分析】由图像提供的信息可以判定两车的行驶情况。
4．（2023八下·望花期末）某油箱容量为的汽车，加满汽油后开了时，油箱中的汽油大约消耗了四分之一，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中的剩油量为，则与之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得：，
当y=0时，0=50-0.0625x，解得x=800，
即y与x之间的函数解析式是y=50-0.0625x(0≤x≤800)，
故答案为：D.
【分析】根据加满汽油后开了200km时，油箱中的汽油大约消耗了四分之一，可以计算出每千米的耗油量，然后写出y与x之间的函数解析式，令y=0求出相应的x的值，即可得到x的自变量的范围.
5．（2022八下·鞍山期中）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得
解得且
故答案为：B．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列出不等式组，再求解即可。
6．（2022八下·新乐期中）若等腰三角形的周长为60 cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，则y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围是（ ）
A．y＝60－2x(0C．y＝ (60－x)(0【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围；列一次函数关系式
【解析】【解答】∵2y+x=60，
∴y＝ (60－x)(0故答案为：D.
【分析】根据题意直接列出函数解析式即可。
7．（2021八下·朝阳期末）学校离小林家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，然后又行驶了5分钟到家，在下列图形中能大致描述他回家过程中离家的距离s（千米）与所用时间t（分）之间的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：因为小林家所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后离家的距离减少；因故停留10分钟，离家的距离不变；继续骑了5分钟到家，离家的距离减少；所以图象应分为三段，并且最后离家的距离为0．
故答案为：D．
【分析】根据题意分析可得：小林回家过程中离家的距离s与所用的时间t之间的关系有3个阶段：行驶了5分钟，距离变小；因故停留10分钟，距离不变；继续骑了5分钟到家，距离变小，到最后为0。
8．（2021八下·遵化期末）下列函数关系式中，自变量x的取值范围不正确的是（ ）
A．y＝2x2中，x为全体实数 B．y＝中，x≠﹣1
C．y＝中，x＝0 D．y＝中，x＞﹣7
【答案】B
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：A、y＝2x2中，x为全体实数，自变量x的取值范围正确，不符合题意；
B、y＝，x＞﹣1，本选项自变量x的取值范围错误，符合题意；
C、y＝，x＝0，自变量x的取值范围正确，不符合题意；
D、y＝，x＞﹣7，自变量x的取值范围正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据整式、二次根式及分式成立的条件分别求出各项中自变量的取值范围，再判断即可.
9．（2021八下·东城期末）若定义一种新运算：，例如：；．则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；分段函数；定义新运算
【解析】【解答】解：当时，，
∴当时，，
即：，
当时，，
即：，
∴，
∴当时，，函数图象向上，y随x的增大而增大，
∴，
综上所述，A选项符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据题干中的定义及计算方法可得，再根据函数解析式作出图象即可。
10．（2021八下·黄石港期末）一次函数 ，若 ，则它的图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：A、将（1，1）代入y=ax+b得，1=a+b，整理得a+b=1，故本选项不符合；
B、将（-1，1）代入y=ax+b得，1=-a+b，整理得a-b=-1，故本选项不符合；
C、将（1，-1）代入y=ax+b得，-1=a+b，整理得a+b=-1，故本选项不符合；
D、将（-1，-1）代入y=ax+b得，-1=-a+b，整理得a-b=1，故本选项符合.
故答案为：D.
【分析】直接将各个选项中点的坐标代入y=ax+b中进行判断.
二、填空题
11．（2023八下·南充期末）如果直线经过点，那么关于x的方程的解是 ．
【答案】
【知识点】函数值；一次函数与一元一次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵直线经过点，
∴ -2k+6=4
∴ k=1
∴ y=x+6
∴ kx+6=0的解是x=-6
故答案为：x=-6.
【分析】本题考查函数和点的关系。点在函数上，则点的横纵坐标满足函数解析式，代入可确定k的值，方程可求解。
12．（2022八下·高阳期末）根据如图的程序计算，当输入时，输出的结果y= ；当输出的结果时，则输入x= ．
【答案】2；0.7
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：因为，
所以；
当输出的结果时，分以下两种情况：
①当时，则，解得，不符合题设，舍去，
②当时，则，解得，符合题设，
所以输入，
故答案为：2，0.7．
【分析】根据程序计算可知：当x=3＞1时，代入y=-x+5求值；当y=5.7时，可得y=-x+5=5.7或y=x+5=5.7，分别求出x值再检验即可.
13．已知变量x，y满足 ，那么 与 之间的函数关系式为 .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；函数解析式
【解析】【解答】解：∵（x-2y）2=（x+2y）2+10，
∴x2-4xy+4y2=x2+4xy+4y2+10，
∴8xy=-10，
∴y=-.
故答案为：y=-.
【分析】利用完全平方公式去括号，再整理化简，即可求得y与x的函数关系式.
14．（2021八下·遂宁期末）函数 中x的取值范围是 .
【答案】x＞﹣2且x≠1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意得，x+2＞0，且x﹣1≠0，
解得x＞﹣2且x≠1，
所以x的取值范围是x＞﹣2且x≠1.
故答案为：x＞﹣2且x≠1.
【分析】观察含自变量的式子，含有分式及二次根式，可知分母不等于0，被开方数是非负数；根据任何不等于0的数的零次幂为1，可得到关于x的不等式组，求出不等式组的解集.
15．（2020八下·河池期末）小明参加了步行活动中，中途休息了一段时间．设他从学校出发后所用时间为 （分钟），所走的路程为 （米 ，s与t之间的函数关系如图17所示．则下列说法中，正确的序号为 ．
①小明中途休息用了20分钟．
②小明休息前步行的平均速度为每分钟70米．
③小明休息前步行的平均速度大于休息后步行的平均速度．
④小明行走的路程为6600米．
【答案】①②③
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】①由图象可知，在40~60分钟，路程没有发生变化，
∴小明中途休息的时间为60-40=20（分钟），故①正确；
②由图象知：当t=40时，s=2800，
∴小明休息前步行的平均速度为2800÷40=70（米/分），故B正确；
③休息后步行的平均速度为：（3800-2800）÷（100-60）=25（米/分），
由②知小明休息前步行的平均速度为70米/分，
∵70＞25，∴小明休息前步行的平均速度大于休息后步行的平均速度，故③正确；
④根据图形可知，小明行走的路程为3800米，故④错误；
∴正确有①②③.
【分析】①观察图相知，在40~60分钟，路程没有发生变化，据此求出休息的时间为60-40=20（分钟），据此判断即可；②观察图象知休息前小明40分钟走了2800米，利用速度=路程÷时间即得，然后判断即可；③利用速度=路程÷时间求出休息后步行的平均速度（3800-2800）÷（100-60）=25（米/分），然后与②中的结论相比，然后判断即可；④观察图形可知小明行走的路程为3800米，据此判断即可.
三、解答题
16．（2023八下·裕华期末）枣庄某公交车每天的支出费用为元，每天的乘车人数人与每天利润利润票款收入支出费用元的变化关系，如下表所示每位乘客的乘车票价固定不变：
人
元
根据表格中的数据，回答下列问题：
（1） 是自变量；
（2）观察表中数据可知，当乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）请写出公交车每天利润元与每天乘车人数人的关系式： ；
（4）当一天乘客人数为多少人时，利润是元？
【答案】（1）每天的乘车人数
（2）300
（3）
（4）解：把代入，得：，
解得：．
答：当乘车人数为人时，利润为元．
【知识点】常量、变量；函数解析式
【解析】【解答】解：（1）在这个变化关系中：自变量是：每天的乘车人数；
故答案为：每天的乘车人数；
（2）观察表格知：当x=300时，y=0，
当x＞300时，y＞0
∴ 当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损；
故答案为：300.
（3）由题意得：y=0+= ，
故答案为： .
【分析】（1）在变化关系中，哪个变量随着哪个变量的变化而变化的，从而确定自变量；
（2）观察表格知：当x=300时，y=0，当x＞300时，y＞0，进行解答即可；
（3）由表格知：当乘坐人数为300人，利润为0元，每增加50人，利润就增加100元，然后列出关系式即可；
（4）把代入（3）中式子中求出x值即可.
四、综合题
17．（2023八下·滨海期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图像设计了一个问题情境．
已知小明家、食堂、图书馆依次在同一条直线上．食堂离小明家．图书馆离小明家．周末，小明从家出发，匀速走了到食堂；在食堂停留吃早餐后，匀速走了到图书馆；在图书馆读报停留，然后匀速走了返回家．给出的图像反映了这个过程中小明离家的距离与离开家的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
小明离开家的时间/min 8 20 40
小明离家的距离/km
（2）填空：
①食堂到图书馆的距离为 km；
②小明从图书馆返回家中的速度为 ；
③当小明离家的距离为时，他离开家的时间为 min．
（3）当时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】（1）5；；
（2）；；或
（3）
【知识点】分段函数；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，当时，运动图像是正比例函数，此时速度为，故，
当时，；
当时，停留在食堂，
故；
当时，停留在图书馆，
故；
故答案为：5；；．
（2）①食堂到图书馆的距离等于，
故答案为：．
②根据题意，的，
故答案为：．
③当去时，离家的距离为时，根据题意，得，
解得；
当返回时，离家的距离为时，根据题意，得，
解得；
故离家时间为
故答案为：或．
（3）根据题意，当时，运动图像是正比例函数，此时速度为，
故，
当时，运动图像是常数，
故；
当时，设直线解析式为，根据题意，得
，
解得，
故解析式为；
综上所述，函数关系式为：．
【分析】（1）根据函数图象，结合小明是匀速运动，先求出宿舍到食堂的速度，再根据路程＝时间×速度计算即可得出答案；
（2）①结合题意，根据图象分析即可得出答案；
②结合图像确定路程与时间，然后根据速度=路程÷时间进行计算即可；
③分两种情况进行分析，可能是从宿舍去食堂的过程，也有可能是从图书馆回宿舍；
（3）根据函数图象分段，结合路程＝速度×时间即可写出函数解析式。
18．（2023八下·大同期末）大同市拥有完善的能源、重工业产业体系，是国内重要的煤化工、矿山机械等产业基地，具有较强的产业基础和技术优势，本市某企业的一个生产组有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获得利润100元，每生产一个乙种产品可获得利润180元，在这10名工人中，车间每天安排名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品．
（1）求出此车间每天获取利润（元）与（人）之间的函数解析式；
（2）若要使此车间每天获取利润不低于15600元，你认为最多派多少名工人去生产甲种产品才合适？
【答案】（1）解：根据题意得出：
即
（2）解：根据题意可得，
即
解得：，
故最多派4名工人去生产甲种产品才合适．
【知识点】一元一次不等式的应用；函数解析式
【解析】【分析】（1）根据利润和等于甲种产品与 乙种产品的利润和，即可求解．
（2）根据题意可得，根据（1）的式子，列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
19．（2023八下·北京市期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对的图象与性质进行了探究：
下面是小亮的探究过程，请补充完整：
（1）函数中自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x …
y … 0 1 m …
求得表中m的值为 ；
（3）在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点．并结合对函数解析式分析，画出该函数的图象：
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
①该函数的图象与直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 越来越靠近而永不相交，因此因变量y的取值范围是 ．
②写出该函数的增减性为 ．
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：如图：
（4）；；当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而增大
【知识点】函数自变量的取值范围；反比例函数的性质；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）x+1≠0，∴x≠-1；
故第一空答案为：x≠-1；
（2）把x=2.5代入中，得，∴m=；
故第1空答案为：；
（4）观察函数图象，可以发现：①该函数的图象与直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线 y=-1越来越靠近儿永不相交，即y的取值范围是y≠-1；②由图象知，当x＜-1时，y随x值的增大而增大，当x＞-1时，y随x的增大而增大。
故第1空答案为：y=-1；第2空答案为：y≠-1；第3空答案为：当x＜-1时，y随x值的增大而增大，当x＞-1时，y随x的增大而增大。
【分析】（1）根据分式的分母不等于0，即可求得自变量x的取值范围；
（2）把自变量x=2.5代入函数关系式中，求出所对应的函数值即可；
（3）利用描点法，按照表中的对应值，描点，连线即可得到函数图象；
（4）观察图像，可得函数的性质。
20．（2023八下·秦皇岛期中）如图：在中，，高，动点P由点C沿向点B运动（不与点B重合），设的长为x，的面积为S．
（1）在这个过程中，常量有 变量有
（2）请写出S与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围
（3）当x取时计算此时的S值
（4）S为时，求出对应x的值
【答案】（1）18 ，10；x，S
（2）解：由题意可得，
，
∵动点P由点C沿 向点B运动（不与点B重合），
∴ ，
∴ ；
（3）解：当 时，
；
（4）解：当 时，
，
解得： ；
【知识点】常量、变量；三角形的面积；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：（1）由题意得常量有18，10；变量有x，S；
故答案为：18 ，10；x，S
【分析】（1）根据常量和变量的定义即可求解；
（2）根据三角形的面积公式即可得到，再根据题意得到x的取值范围即可求解；
（3）把x的值代入即可求解；
（4）把S的值代入即可求解。
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