人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习19.2一次函数
一、选择题
1．（2024八上·田阳期末） 一次函数y＝（m-2）x+2-m和y＝x+m在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·杭州月考）若直线与直线的交点在轴上，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2024九下·西安开学考）若直线y＝kx+2与直线y＝-3x+b关于直线x＝-1对称，则k、b值分别为（ ）
A．k＝-3、b＝-2 B．k＝3、b＝-2
C．k＝3、b＝-4 D．k＝3、b＝4
4．（2024八上·深圳期末） 一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为4. 5
C．关于的方程组的解为
D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3
5．（2024八上·桐乡市期末）关于函数，给出下列说法正确的是：（ ）
①当时，该函数是一次函数；
②若点在该函数图象上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；
④该函数恒过定点．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
6．（2020八上·慈溪期末）已知一次函数 图象上的三点 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·渠县期末）在同一坐标系中，对于以下几个函数①；②；③ ④的图象有四种说法（1）过点的是①和③；（2）②和④的交点在y轴上；（3）互相平行的是①和③；（4）关于x轴对称的是②和③．那么正确说法的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．已知为直线上的三个点，且，则下列判断中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．（2023八上·六盘水期中）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·金沙期中）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点P是对角线OB上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024八上·威宁期末）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是 .
12．（2024八上·南明期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线与轴交于点，直线：过点，点是横轴上任意一点，满足：是等腰三角形的点坐标是 ．
13．（2024八上·东阳月考）在平面直角坐标系中，已知点，，，在直线上找一点P，使得，请写出所有满足条件的点P的坐标 ．
14．如图，直线 与 x 轴、y轴分别相交于A，B两点，C是OB 的中点，D是AB上一点，四边形OEDC 是菱形，则△OAE的面积为 .
15．（2023八上·金华月考）如图，函数y＝﹣5x和y＝mx+3图象相交于点A（n，2），则不等式mx+3≥﹣5x＞0的解集为 ．
三、解答题
16．（2024·伊通模拟）在一条笔直公路上A、B两地相距120km，甲骑自行车从A地驶往B地，乙骑自行车从B地驶往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两人距A地的路程为y（千米），甲行驶的时间为x（小时）．y与x之间的关系如图所示．
（1）甲骑自行车的速度是 千米/小时，乙骑自行车的速度是 千米/小时；
（2）求乙骑自行车距A地的路程y（千米）与甲骑自行车行驶的时间x（小时）之间的函数关系式；
（3）当甲、乙两人相距20千米时，直接写出x的值．
17．（2024八上·舟山期末）如图1，已知在中，，边在轴上，点在轴上，，的坐标为，点是轴上一个动点，它的坐标是，，直线交直线于点．
（1）求直线的表达式；
（2）若，点为直线上一点，且平分，求的坐标；
（3）如图，连接，以为直角边作等腰直角（、、三点按照逆时针顺序排列），使得，．
①试说明在点的运动过程中，的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由；
②点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ▲ ．
18．（2023八上·砀山月考）如图1，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向平移，平移时交线段于点D，交线段于点C，当点C与点B重合时结束运动.
（1）求k的值；
（2）若直线的函数关系式为，P是直线上一点，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，在直线运动过程中，过点D作轴交于点E，连接，设运动时间为.当时，求t的值.
19．（2023八上·杭州月考）如图1，在平面直角坐标系中，点坐标为点坐标为是轴负半轴上一点，且是轴正半轴上一点，作于点，连接OD.
（1）C点坐标为 ， .
（2）①当点在线段OA上时，若是以OB为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的点坐标.
②如图2，设DP交直线AC于点，连结CP，若，则 (直接写出结果).
20．为了鼓励居民节约用水，某地区决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14m3（含14m3），则每立方米按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14m3，则超过部分每立方米按市场价n元收费．小明家3月份用水20m3，缴纳水费49元；4月份用水18m3，缴纳水费42元．
（1）每立方米水政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
（2）设每月用水量为x（m3），应缴纳水费为y（元），写出y关于x的函数表达式．
（3）小明家5月份用水26m3，则他家应缴纳水费多少元？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：在一次函数y＝（m-2）x+2-m中，当x=1时，y=0，
∴一次函数y＝（m-2）x+2-m 一定过定点(1，0)；
A、由 一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象可得，
解得0＜m＜1，
∴y=x+m的图象与y轴的交点在（0，1）下方，故此选项错误，不符合题意；
B、由 一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象可得，
解得1＜m＜2，
∴y=x+m的图象与y轴的交点在（0，1）上方且在（0，2）下方，故此选项正确，符合题意；
C、由 一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象可得，
解得m＞2，
∴y=x+m的图象与y轴的交点在（0，2）上方，故此选项错误，不符合题意；
D、由 一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象可得，
解得m＞2，
∴y=x+m的图象与y轴的交点在（0，2）上方，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】首先确定一次函数y＝（m-2）x+2-m 一定过定点(1，0)；然后根据一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象分别判断出m的取值范围，进而再根据m的取值范围确定一次函数y=x+m与y轴交点的位置，即可逐项判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵ 直线与直线的交点在轴上，
∴当y=0时，k1x+2=0，k2x-4=0
∴解之：
∴
故答案为：C.
【分析】将y=0代入两函数解析式，可得到然后代入求出 的值.
3．【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：一次函数与y轴交点为，
点关于直线的对称点为，
把代入直线，得：，
解得：，
则一次函数为：，与y轴交点为，
关于直线的对称点为，
把代入直线，可得，
解得．
故答案为：C．
【分析】一次函数与y轴交点为，关于直线的对称点为，代入得到b的值，再求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，代入一次函数，求出k的值，即可得解．
4．【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：A、由图象，y＝kx+b与y轴交于点（0，-1），∴b＝-1；y＝mx+n与y轴交于点（0，2），∴n＝2；故A选项正确，不符合题意；
B、这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积为，故B选项正确，不符合题意；
C、由图象，两个函数图象的交点为（3，4），故关于x，y的方程组的解为.故C选项正确，不符合题意；
D、当x从0开始增加到3时，函数y=kx+b的图象始终在y=mx+n的图象下方，说明总有kx+b故答案为：D.
【分析】A、由图象与y轴交点可得b，n的值；B、求坐标系中三角形的面积要找准水平方向的宽和竖直方向的高；C、两个一次函数的图象交点的横、纵坐标即由两个函数表达式建立的方程组的解；D、根据图象位置的高低可以判断函数值的大小.
5．【答案】A
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①当时，该函数是一次函数，该说法正确，
②∵且
∴y随x增大而增大，
∴该说法正确，
③若该函数不经过第四象限，
∴
∴该说法错误
④∵
∴当x=-1时，y=-2，与k值无关，则该说法正确，
综上所述，正确的说法有：①②④，
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的定义可判断①；根据一次函数的增减性即可判断②；利用一次函数的图象与象限的关系即可判断③，将一次函数改写为即可判断④.
6．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数 中的k=
则y随x的增大而减小
故答案为：A.
【分析】由自变量的系数小于0可知y随x的增大而减小，故只要比较三个点的横坐标的大小即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：把（-1，0）分别代入① =1-1=0，②=-1+1=0， ③ =2， ④ =0，则 过点的是①②和④，故（1） 不符合题意；
① 与y轴的交点为（0，-1），②与y轴的交点为（0，1）， ③与y轴的交点为（0，1），④与y轴的交点为（0，-2） ，则 ②和③的交点在y轴上，故（2） 不符合题意；
∵①与③的k=-1，
∴ 互相平行的是①和③，故（3）符合题意；
∵关于x轴对称的两条直线，它们的y值互为相反数，
∴关于x轴对称的两条直线是①和②，故（4）不符合题意；
故答案为：D.
【分析】（1）把点（-1，0）分别代入个解析式进行验证即可；（2）分别求出各直线与y轴的交点坐标，即可判断；（3）要使两直线平行，只需k值相等即可；（4）于x轴对称的两条直线，它们的y值互为相反数，据此判断即可.
8．【答案】D
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，
当y=0时x=1.5，
A、若x1x2＞0，则x1与x2同号，不能确定y1y3的正负，故A不符合题意；
B、若x1x3＜0，则x1与x3异号，不能确定y1y2的正负，故B不符合题意；
C、若x2x3＞0，则x2与x3同号，不能确定y1y3的正负，故C不符合题意；
D、若x2x3＜0，则x2与x3异号，则x1与x2同为负数，y1与y2同为正数，则y1y2＞0，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的性质逐项进行判断，即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：联立方程组可得，
解得：，
∵直线与轴交于点，与直线交于点，
∴，
∵，
解得：，
∴，
∴关于的一元一次方程的解为x=-2，
故答案为：B.
【分析】先联立方程组求出，再求出，最后结合求出即可.
10．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两点之间线段最短；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、AD分别交OB于点G、点P，如图，
四边形OABC是菱形，
AC⊥OB，点A，点C关于直线OB对称，
PC+PD=PA+PD=AD，
此时PC+PD最短，
设直线OB的表达式为
直线OB过点O（0，0）和点B（8，4），
将O（0，0）和点B（8，4）代入表达式得解得
直线OB的表达式为
直线AD过点A（5，0）和点D（0，1），
同理：可求得直线AD的表达式为
联立方程组
解得
点P的坐标为（）
故答案为：D.
【分析】连接AC、AD分别交OB于点G、点P，作BK⊥OA的延长线于点K，已知四边形OABC是菱形，根据菱形的性质得到点A，点C关于直线OB对称，PC+PD=PA+PD=AD，此时PC+PD最短，利用待定系数法结合点O、A、B、D的坐标分别求出直线OB、直线AD的表达式，联立方程组即可求解点P的坐标.
11．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】将点H（h，4）代入y=-x+5，
可得：4=-h+5，
解得：h=1，
∴点H的坐标为（1，4），
∴方程组的解为，
故答案为：.
【分析】先求出点H的坐标，再利用两一次函数的图象交点坐标即是对应的方法组的解求解即可.
12．【答案】或或或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：直线：过点，
，
直线为，
直线：与直线：交于点，
由，解得，
，
直线：与轴交于点，
，
如图，
当时，，
；
当时，，，
，；
当时，，
综上所述，点的坐标为或或或．
故答案为：或或或．
【分析】先根据直线与y轴的交点坐标，求得直线的表达式，联立、的表达式解方程组得点A的坐标为（-1，3），再根据直线的表达式求出点B的坐标为（-4，0），利用勾股定理求得AB的长为，然后分AB=AC，AB=BC，AC=BC三种情况进行讨论即可.
13．【答案】（-5，-8）或（1，-2）.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：设直线BC解析式为y=kx+b，
把B（0，-3），C（-1，-4）代入
得，
解得
∴直线BC为y=x-3，
如图，当点P在AB的左侧时，∠BAP=∠ABO，则AD=BD，
设OD=a，则BD=AD=3-a，
在Rt△AOD中，AO2+OD2=AD2，
即12+a2=(3-a)2，
解得a=，
∴D（0，-），
设直线AD解析式为：y=mx+n，
把A（1，0），D（0，-）代入，
得，
解得
∴∴直线AD为：y=x-，
联立得，
解得，
∴P（-5，-8）
如图，当点P在AB的左侧时，∠BAP=∠ABO，则AP∥y轴，
∵A（1，0），
∴点P的横坐标为1，
把x=1代入y=x-3中，得y=-2，
∴P（1，-2），
综上可知：P（-5，-8）或（1，-2）.
故答案为：（-5，-8）或（1，-2）.
【分析】分两种情况：当点P在AB的左侧时或当点P在AB的左侧时，利用待定系数法求出BC解析式，再结合∠BAP=∠ABO分别求解即可.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：延长DE交OA于点F，
令 中的x=0的y=4，
∴B(0，4)，
∴OB=4，
∵点C是OB的中点，
∴BC=OC=2，
令 中的y=0，得，
解得，
∴A（，0），
∴OA=
∴AB=，
∴AB=2OB，
∴∠BAO=30°，
∴∠ABO=60°，
∵四边形OCDE是菱形，
∴CD=CO=OE=2，DE∥OC，CD∥OE，
∴BC=CD=2，DE⊥OA，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠COE=∠BCD=60°，
∴∠EOA=90°-∠COE=30°，
在Rt△OEF中，∠EOA=30°，∴EF=OE=1，∴S△AOE=×OA×EF=××1=.
故答案为：.
【分析】延长DE交OA于F，如图，先利用一次函数解析式确定B(0，4)，A(，0)，利用勾股定理算出AB=8，进而根据含30°角直角三角形的性质及三角形内角和定理得到∠OBA=60°，接着根据菱形的性质及中点定义判定△BCD为等边三角形，则∠BCD= ∠COE = 60°，则∠EOF = 30°，由含30度角直角三角形的性质得，然后根据三角形面积公式计算.
15．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据题意得，-5n=2，
∴ n=，
即A(，2)，
将其代入y=mx+3，则2=m+3，
∴ m=，
∴ y=x+3，
x+3≥-5x＞0，即
由图象可得，.
故答案为：.
【分析】将点A(n，2)代入y=-5x可得n的值，再将A(，2)代入y=mx+3求得m的值，再根据不等式组可知，y=x+3的函数图象不在y=-5x的函数图象下方，且y=-5x在x轴的上方时，x的取值范围，即可求得.
16．【答案】（1）20；30
（2）解：当时，；当时，把代入，得解得．
（3）解：或
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）依题意，
∴甲骑自行车的速度是20千米/小时，乙骑自行车的速度是30千米/小时；
故答案为：20；30；
（3）设甲骑自行车距A地的路程y（千米）与甲骑自行车行驶的时间x（小时）之间的函数关系式为
把代入，得
∴
未相遇前，，解得；
相遇后，，解得；
综上当甲、乙两人相距20千米时，时间或
【分析】（1）根据函数图象的信息即可求解；
（2）设乙骑自行车距A地的路程y（千米）与甲骑自行车行驶的时间x（小时）之间的函数关系式为，再运用待定系数法即可求解；
（3）根据题意分类讨论，进而解一元一次方程即可求解。
17．【答案】（1）解：∵，的坐标为，，
∴，，
∴，，
∴的坐标为，的坐标为，
设直线的解析式为：，
∵直线的解析式为：过和，
∴，
解得，
∴；
（2）解：
又
，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
是的中点，
设直线的解析式为：，
∵直线的解析式为：过和，
∴，
解得，
∴表达式为：，
设直线为：，
∵直线为：过和，
∴，
解得，
∴表达式为：
联立
解得，
，
设
，
解得，
∴；
（3）解：①作，，垂足为、，
当在上方时，
∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
，，
，，
∴，
，
轴，
当在下方时，
同理得到：
∴
∴M在经过点C且平行x轴的直线上运动，
∴
②．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（3）②当点K与点O重合，点P与点B重合，点H与点N重合，
∴
∴四边形OBMC为平行四边形，
∴
当点K与点C重合，P、K、C三点重合，
∴，
∴
∴点的运动路径长为3+3=6，
故答案为：6.
【分析】（1）根据题意得到点A和点C的坐标，设直线的解析式为：，进而利用待定系数法将点A和点C的坐标代入直线解析式即可求解；
（2）根据角的运算求出，进而利用"ASA"证明得到：，设直线的解析式为：，进而利用待定系数法即可求出直线BC解析式，同理求出直线AK解析式，然后联立BC和AK，即可求出点P的坐标，设，得到，解此方程即可求解；
（3）①作，，垂足为、，需分两种情况讨论，当在上方时，利用"ASA"证明，得到：，，然后根据等腰三角形的性质得到：，进而证明轴，当在下方时，同理得到：即可得到：M在经过点C且平行x轴的直线上运动，进而即可求解；
②分两种情况，①当点K与点O重合，点P与点B重合，点H与点N重合，则即可证明四边形OBMC为平行四边形，则②当点K与点C重合，P、K、C三点重合，根据全等得到：进而即可求解.
18．【答案】（1）解：直线与x轴交于点，
，解得，
即k的值为.
（2）解：由（l）知直线的函数关系式为，则点.
直线的函数关系式为，
点，点.
点，点，
，，.
设点.
，，
，
点或.
（3）解：如图，连接.
，
，
.
当时，作于点F，则.
设直线的解析式为.
，，解得，
，，
，，，
，解得，
即t的值为.
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据y=kx+b，A点坐标为（0，6），B点坐标为（3，0）代入即可得出解析式。
（2）根据题意，利用三角形的面积公式代入已知的关系式即可求出P点坐标。
（2）根据题意将进行分别讨论，根据面积公式，求出AD=2DE，然后利用等腰三角形性质得出等式即可得出答案。
19．【答案】（1）（-3，0）；
（2）解：①Ⅰ、如图，当OB=BD时，
∵∠PBD=∠CBO，BD=OB，∠PDB=90°=∠COB，
∴△PDB≌△COB（ASA），
∴PB=CB=，
∴PO=-1，即P（0，-1）；Ⅱ、当OB=OD时.
∴∠ODB=∠OBD，
∴90°-∠ODB=90°-∠OBD，即∠ODP=∠OPD，
∴OD=OP，
∴OB=OD=OP，
∴OP=1，即P（0，1），
综上可得，点P的坐标为（0，-1）或（0，1）；
②=3或9.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解（1）∵A（0，4），B（0，-1），
∴OA=4，OB=1，
∴AB=5，
∵AB=AC=5，
∴OC=，
而点C是x轴负半轴上的一点，
∴C（-3，0）；
BC=；
故答案为：（-3，0），；
（2）②当点P在线段OA上时，如图2，
∵S△ACP：S△AEP=5：2，
∴AC：AE=5：2，
∵AC=5，
∴AE=2，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠E+∠ACB=90°，∠DPB+∠ABC=90°，
∴∠E=∠BPD=∠APE，
∴AP=AE=2，
∴OP=OA-AP=4-2=2，
∴S△COP=；
当点P在点A的上方时，如图：
∵S△ACP：S△AEP=5：2，AC=5，
∴AC：AE=5：2，AE=2，
∵∠CED+∠ACB=90°，∠DPB+∠ABC=90°，
∴∠CED=∠BPD=∠PEA，
∴AP=AE=2，
∴OP=OA+AP=4+2=6，
S△COP=.
综上可知：S△COP=3或9.
【分析】（1）在直角三角形AOC中，用勾股定理求出OC的值，然后根据点C所在的位置可求出点C的坐标；在直角三角形BOC中，用勾股定理求出BC的值；
（2）①分两种情况：Ⅰ、当OB=DB时，易证△PDB≌△COB，则PB=CB，由线段的构成PO=PB-OB求出PO的值，于是可得点P的坐标；Ⅱ、当OB=OD时，易证O是PB的中点，于是PO=OB，可得点P的坐标；
②设点P的坐标为（0，m），根据待定系数法求出直线AC和BC的解析式，由PD⊥BC可将直线PD的解析式用含m的式子表示出来，把直线AC和PD的解析式联立解方程组可将E的坐标用含m的代数式表示出来，根据S△ACP：S△AEP=5：2可求出m的值，然后根据S△COP=OC·OP可求解.
20．【答案】（1）解：设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场调节价为n元，
由题意可得：，
解得，
∴每立方米水政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元；
（2）解：当0≤x≤14时，y=2x；
当x>14时，y=14×2+（x-14）×3.5=3.5x-21；
∴y关于x的函数解析式为：；
（3）解：∵26＞14，
∴将x=26代入y=3.5x-21，
得y=3.5×26-21=70，
答： 小明家5月份用水26m3，则他家应缴纳水费70元.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场调节价为n元，根据“ 小明家3月份用水20m3，缴纳水费49元；4月份用水18m3，缴纳水费42元 ”列出方程组，求解此方程组即可；
（2）根据用水量分别求出在两个不同的范围内y与x之间的函数关系，注意自变量的取值范围；
（3）根据小明家5月份用水26吨，判断其在哪个范围内，代入相应的函数关系式求值即可.
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年八年级下学期课时培优练习19.2一次函数
一、选择题
1．（2024八上·田阳期末） 一次函数y＝（m-2）x+2-m和y＝x+m在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：在一次函数y＝（m-2）x+2-m中，当x=1时，y=0，
∴一次函数y＝（m-2）x+2-m 一定过定点(1，0)；
A、由 一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象可得，
解得0＜m＜1，
∴y=x+m的图象与y轴的交点在（0，1）下方，故此选项错误，不符合题意；
B、由 一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象可得，
解得1＜m＜2，
∴y=x+m的图象与y轴的交点在（0，1）上方且在（0，2）下方，故此选项正确，符合题意；
C、由 一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象可得，
解得m＞2，
∴y=x+m的图象与y轴的交点在（0，2）上方，故此选项错误，不符合题意；
D、由 一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象可得，
解得m＞2，
∴y=x+m的图象与y轴的交点在（0，2）上方，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】首先确定一次函数y＝（m-2）x+2-m 一定过定点(1，0)；然后根据一次函数y＝（m-2）x+2-m 的图象分别判断出m的取值范围，进而再根据m的取值范围确定一次函数y=x+m与y轴交点的位置，即可逐项判断得出答案.
2．（2024八上·杭州月考）若直线与直线的交点在轴上，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵ 直线与直线的交点在轴上，
∴当y=0时，k1x+2=0，k2x-4=0
∴解之：
∴
故答案为：C.
【分析】将y=0代入两函数解析式，可得到然后代入求出 的值.
3．（2024九下·西安开学考）若直线y＝kx+2与直线y＝-3x+b关于直线x＝-1对称，则k、b值分别为（ ）
A．k＝-3、b＝-2 B．k＝3、b＝-2
C．k＝3、b＝-4 D．k＝3、b＝4
【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：一次函数与y轴交点为，
点关于直线的对称点为，
把代入直线，得：，
解得：，
则一次函数为：，与y轴交点为，
关于直线的对称点为，
把代入直线，可得，
解得．
故答案为：C．
【分析】一次函数与y轴交点为，关于直线的对称点为，代入得到b的值，再求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，代入一次函数，求出k的值，即可得解．
4．（2024八上·深圳期末） 一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为4. 5
C．关于的方程组的解为
D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3
【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：A、由图象，y＝kx+b与y轴交于点（0，-1），∴b＝-1；y＝mx+n与y轴交于点（0，2），∴n＝2；故A选项正确，不符合题意；
B、这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积为，故B选项正确，不符合题意；
C、由图象，两个函数图象的交点为（3，4），故关于x，y的方程组的解为.故C选项正确，不符合题意；
D、当x从0开始增加到3时，函数y=kx+b的图象始终在y=mx+n的图象下方，说明总有kx+b故答案为：D.
【分析】A、由图象与y轴交点可得b，n的值；B、求坐标系中三角形的面积要找准水平方向的宽和竖直方向的高；C、两个一次函数的图象交点的横、纵坐标即由两个函数表达式建立的方程组的解；D、根据图象位置的高低可以判断函数值的大小.
5．（2024八上·桐乡市期末）关于函数，给出下列说法正确的是：（ ）
①当时，该函数是一次函数；
②若点在该函数图象上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；
④该函数恒过定点．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①当时，该函数是一次函数，该说法正确，
②∵且
∴y随x增大而增大，
∴该说法正确，
③若该函数不经过第四象限，
∴
∴该说法错误
④∵
∴当x=-1时，y=-2，与k值无关，则该说法正确，
综上所述，正确的说法有：①②④，
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的定义可判断①；根据一次函数的增减性即可判断②；利用一次函数的图象与象限的关系即可判断③，将一次函数改写为即可判断④.
6．（2020八上·慈溪期末）已知一次函数 图象上的三点 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数 中的k=
则y随x的增大而减小
故答案为：A.
【分析】由自变量的系数小于0可知y随x的增大而减小，故只要比较三个点的横坐标的大小即可得出答案.
7．（2024八上·渠县期末）在同一坐标系中，对于以下几个函数①；②；③ ④的图象有四种说法（1）过点的是①和③；（2）②和④的交点在y轴上；（3）互相平行的是①和③；（4）关于x轴对称的是②和③．那么正确说法的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：把（-1，0）分别代入① =1-1=0，②=-1+1=0， ③ =2， ④ =0，则 过点的是①②和④，故（1） 不符合题意；
① 与y轴的交点为（0，-1），②与y轴的交点为（0，1）， ③与y轴的交点为（0，1），④与y轴的交点为（0，-2） ，则 ②和③的交点在y轴上，故（2） 不符合题意；
∵①与③的k=-1，
∴ 互相平行的是①和③，故（3）符合题意；
∵关于x轴对称的两条直线，它们的y值互为相反数，
∴关于x轴对称的两条直线是①和②，故（4）不符合题意；
故答案为：D.
【分析】（1）把点（-1，0）分别代入个解析式进行验证即可；（2）分别求出各直线与y轴的交点坐标，即可判断；（3）要使两直线平行，只需k值相等即可；（4）于x轴对称的两条直线，它们的y值互为相反数，据此判断即可.
8．已知为直线上的三个点，且，则下列判断中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，
当y=0时x=1.5，
A、若x1x2＞0，则x1与x2同号，不能确定y1y3的正负，故A不符合题意；
B、若x1x3＜0，则x1与x3异号，不能确定y1y2的正负，故B不符合题意；
C、若x2x3＞0，则x2与x3同号，不能确定y1y3的正负，故C不符合题意；
D、若x2x3＜0，则x2与x3异号，则x1与x2同为负数，y1与y2同为正数，则y1y2＞0，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数的性质逐项进行判断，即可得出答案.
9．（2023八上·六盘水期中）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：联立方程组可得，
解得：，
∵直线与轴交于点，与直线交于点，
∴，
∵，
解得：，
∴，
∴关于的一元一次方程的解为x=-2，
故答案为：B.
【分析】先联立方程组求出，再求出，最后结合求出即可.
10．（2023九上·金沙期中）已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点，，点P是对角线OB上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两点之间线段最短；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、AD分别交OB于点G、点P，如图，
四边形OABC是菱形，
AC⊥OB，点A，点C关于直线OB对称，
PC+PD=PA+PD=AD，
此时PC+PD最短，
设直线OB的表达式为
直线OB过点O（0，0）和点B（8，4），
将O（0，0）和点B（8，4）代入表达式得解得
直线OB的表达式为
直线AD过点A（5，0）和点D（0，1），
同理：可求得直线AD的表达式为
联立方程组
解得
点P的坐标为（）
故答案为：D.
【分析】连接AC、AD分别交OB于点G、点P，作BK⊥OA的延长线于点K，已知四边形OABC是菱形，根据菱形的性质得到点A，点C关于直线OB对称，PC+PD=PA+PD=AD，此时PC+PD最短，利用待定系数法结合点O、A、B、D的坐标分别求出直线OB、直线AD的表达式，联立方程组即可求解点P的坐标.
二、填空题
11．（2024八上·威宁期末）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是 .
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】将点H（h，4）代入y=-x+5，
可得：4=-h+5，
解得：h=1，
∴点H的坐标为（1，4），
∴方程组的解为，
故答案为：.
【分析】先求出点H的坐标，再利用两一次函数的图象交点坐标即是对应的方法组的解求解即可.
12．（2024八上·南明期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线与轴交于点，直线：过点，点是横轴上任意一点，满足：是等腰三角形的点坐标是 ．
【答案】或或或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：直线：过点，
，
直线为，
直线：与直线：交于点，
由，解得，
，
直线：与轴交于点，
，
如图，
当时，，
；
当时，，，
，；
当时，，
综上所述，点的坐标为或或或．
故答案为：或或或．
【分析】先根据直线与y轴的交点坐标，求得直线的表达式，联立、的表达式解方程组得点A的坐标为（-1，3），再根据直线的表达式求出点B的坐标为（-4，0），利用勾股定理求得AB的长为，然后分AB=AC，AB=BC，AC=BC三种情况进行讨论即可.
13．（2024八上·东阳月考）在平面直角坐标系中，已知点，，，在直线上找一点P，使得，请写出所有满足条件的点P的坐标 ．
【答案】（-5，-8）或（1，-2）.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：设直线BC解析式为y=kx+b，
把B（0，-3），C（-1，-4）代入
得，
解得
∴直线BC为y=x-3，
如图，当点P在AB的左侧时，∠BAP=∠ABO，则AD=BD，
设OD=a，则BD=AD=3-a，
在Rt△AOD中，AO2+OD2=AD2，
即12+a2=(3-a)2，
解得a=，
∴D（0，-），
设直线AD解析式为：y=mx+n，
把A（1，0），D（0，-）代入，
得，
解得
∴∴直线AD为：y=x-，
联立得，
解得，
∴P（-5，-8）
如图，当点P在AB的左侧时，∠BAP=∠ABO，则AP∥y轴，
∵A（1，0），
∴点P的横坐标为1，
把x=1代入y=x-3中，得y=-2，
∴P（1，-2），
综上可知：P（-5，-8）或（1，-2）.
故答案为：（-5，-8）或（1，-2）.
【分析】分两种情况：当点P在AB的左侧时或当点P在AB的左侧时，利用待定系数法求出BC解析式，再结合∠BAP=∠ABO分别求解即可.
14．如图，直线 与 x 轴、y轴分别相交于A，B两点，C是OB 的中点，D是AB上一点，四边形OEDC 是菱形，则△OAE的面积为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：延长DE交OA于点F，
令 中的x=0的y=4，
∴B(0，4)，
∴OB=4，
∵点C是OB的中点，
∴BC=OC=2，
令 中的y=0，得，
解得，
∴A（，0），
∴OA=
∴AB=，
∴AB=2OB，
∴∠BAO=30°，
∴∠ABO=60°，
∵四边形OCDE是菱形，
∴CD=CO=OE=2，DE∥OC，CD∥OE，
∴BC=CD=2，DE⊥OA，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠COE=∠BCD=60°，
∴∠EOA=90°-∠COE=30°，
在Rt△OEF中，∠EOA=30°，∴EF=OE=1，∴S△AOE=×OA×EF=××1=.
故答案为：.
【分析】延长DE交OA于F，如图，先利用一次函数解析式确定B(0，4)，A(，0)，利用勾股定理算出AB=8，进而根据含30°角直角三角形的性质及三角形内角和定理得到∠OBA=60°，接着根据菱形的性质及中点定义判定△BCD为等边三角形，则∠BCD= ∠COE = 60°，则∠EOF = 30°，由含30度角直角三角形的性质得，然后根据三角形面积公式计算.
15．（2023八上·金华月考）如图，函数y＝﹣5x和y＝mx+3图象相交于点A（n，2），则不等式mx+3≥﹣5x＞0的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据题意得，-5n=2，
∴ n=，
即A(，2)，
将其代入y=mx+3，则2=m+3，
∴ m=，
∴ y=x+3，
x+3≥-5x＞0，即
由图象可得，.
故答案为：.
【分析】将点A(n，2)代入y=-5x可得n的值，再将A(，2)代入y=mx+3求得m的值，再根据不等式组可知，y=x+3的函数图象不在y=-5x的函数图象下方，且y=-5x在x轴的上方时，x的取值范围，即可求得.
三、解答题
16．（2024·伊通模拟）在一条笔直公路上A、B两地相距120km，甲骑自行车从A地驶往B地，乙骑自行车从B地驶往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两人距A地的路程为y（千米），甲行驶的时间为x（小时）．y与x之间的关系如图所示．
（1）甲骑自行车的速度是 千米/小时，乙骑自行车的速度是 千米/小时；
（2）求乙骑自行车距A地的路程y（千米）与甲骑自行车行驶的时间x（小时）之间的函数关系式；
（3）当甲、乙两人相距20千米时，直接写出x的值．
【答案】（1）20；30
（2）解：当时，；当时，把代入，得解得．
（3）解：或
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）依题意，
∴甲骑自行车的速度是20千米/小时，乙骑自行车的速度是30千米/小时；
故答案为：20；30；
（3）设甲骑自行车距A地的路程y（千米）与甲骑自行车行驶的时间x（小时）之间的函数关系式为
把代入，得
∴
未相遇前，，解得；
相遇后，，解得；
综上当甲、乙两人相距20千米时，时间或
【分析】（1）根据函数图象的信息即可求解；
（2）设乙骑自行车距A地的路程y（千米）与甲骑自行车行驶的时间x（小时）之间的函数关系式为，再运用待定系数法即可求解；
（3）根据题意分类讨论，进而解一元一次方程即可求解。
17．（2024八上·舟山期末）如图1，已知在中，，边在轴上，点在轴上，，的坐标为，点是轴上一个动点，它的坐标是，，直线交直线于点．
（1）求直线的表达式；
（2）若，点为直线上一点，且平分，求的坐标；
（3）如图，连接，以为直角边作等腰直角（、、三点按照逆时针顺序排列），使得，．
①试说明在点的运动过程中，的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由；
②点从运动到的过程中，点的运动路径长为 ▲ ．
【答案】（1）解：∵，的坐标为，，
∴，，
∴，，
∴的坐标为，的坐标为，
设直线的解析式为：，
∵直线的解析式为：过和，
∴，
解得，
∴；
（2）解：
又
，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴
是的中点，
设直线的解析式为：，
∵直线的解析式为：过和，
∴，
解得，
∴表达式为：，
设直线为：，
∵直线为：过和，
∴，
解得，
∴表达式为：
联立
解得，
，
设
，
解得，
∴；
（3）解：①作，，垂足为、，
当在上方时，
∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
，，
，，
∴，
，
轴，
当在下方时，
同理得到：
∴
∴M在经过点C且平行x轴的直线上运动，
∴
②．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（3）②当点K与点O重合，点P与点B重合，点H与点N重合，
∴
∴四边形OBMC为平行四边形，
∴
当点K与点C重合，P、K、C三点重合，
∴，
∴
∴点的运动路径长为3+3=6，
故答案为：6.
【分析】（1）根据题意得到点A和点C的坐标，设直线的解析式为：，进而利用待定系数法将点A和点C的坐标代入直线解析式即可求解；
（2）根据角的运算求出，进而利用"ASA"证明得到：，设直线的解析式为：，进而利用待定系数法即可求出直线BC解析式，同理求出直线AK解析式，然后联立BC和AK，即可求出点P的坐标，设，得到，解此方程即可求解；
（3）①作，，垂足为、，需分两种情况讨论，当在上方时，利用"ASA"证明，得到：，，然后根据等腰三角形的性质得到：，进而证明轴，当在下方时，同理得到：即可得到：M在经过点C且平行x轴的直线上运动，进而即可求解；
②分两种情况，①当点K与点O重合，点P与点B重合，点H与点N重合，则即可证明四边形OBMC为平行四边形，则②当点K与点C重合，P、K、C三点重合，根据全等得到：进而即可求解.
18．（2023八上·砀山月考）如图1，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向平移，平移时交线段于点D，交线段于点C，当点C与点B重合时结束运动.
（1）求k的值；
（2）若直线的函数关系式为，P是直线上一点，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，在直线运动过程中，过点D作轴交于点E，连接，设运动时间为.当时，求t的值.
【答案】（1）解：直线与x轴交于点，
，解得，
即k的值为.
（2）解：由（l）知直线的函数关系式为，则点.
直线的函数关系式为，
点，点.
点，点，
，，.
设点.
，，
，
点或.
（3）解：如图，连接.
，
，
.
当时，作于点F，则.
设直线的解析式为.
，，解得，
，，
，，，
，解得，
即t的值为.
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据y=kx+b，A点坐标为（0，6），B点坐标为（3，0）代入即可得出解析式。
（2）根据题意，利用三角形的面积公式代入已知的关系式即可求出P点坐标。
（2）根据题意将进行分别讨论，根据面积公式，求出AD=2DE，然后利用等腰三角形性质得出等式即可得出答案。
19．（2023八上·杭州月考）如图1，在平面直角坐标系中，点坐标为点坐标为是轴负半轴上一点，且是轴正半轴上一点，作于点，连接OD.
（1）C点坐标为 ， .
（2）①当点在线段OA上时，若是以OB为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的点坐标.
②如图2，设DP交直线AC于点，连结CP，若，则 (直接写出结果).
【答案】（1）（-3，0）；
（2）解：①Ⅰ、如图，当OB=BD时，
∵∠PBD=∠CBO，BD=OB，∠PDB=90°=∠COB，
∴△PDB≌△COB（ASA），
∴PB=CB=，
∴PO=-1，即P（0，-1）；Ⅱ、当OB=OD时.
∴∠ODB=∠OBD，
∴90°-∠ODB=90°-∠OBD，即∠ODP=∠OPD，
∴OD=OP，
∴OB=OD=OP，
∴OP=1，即P（0，1），
综上可得，点P的坐标为（0，-1）或（0，1）；
②=3或9.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解（1）∵A（0，4），B（0，-1），
∴OA=4，OB=1，
∴AB=5，
∵AB=AC=5，
∴OC=，
而点C是x轴负半轴上的一点，
∴C（-3，0）；
BC=；
故答案为：（-3，0），；
（2）②当点P在线段OA上时，如图2，
∵S△ACP：S△AEP=5：2，
∴AC：AE=5：2，
∵AC=5，
∴AE=2，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠E+∠ACB=90°，∠DPB+∠ABC=90°，
∴∠E=∠BPD=∠APE，
∴AP=AE=2，
∴OP=OA-AP=4-2=2，
∴S△COP=；
当点P在点A的上方时，如图：
∵S△ACP：S△AEP=5：2，AC=5，
∴AC：AE=5：2，AE=2，
∵∠CED+∠ACB=90°，∠DPB+∠ABC=90°，
∴∠CED=∠BPD=∠PEA，
∴AP=AE=2，
∴OP=OA+AP=4+2=6，
S△COP=.
综上可知：S△COP=3或9.
【分析】（1）在直角三角形AOC中，用勾股定理求出OC的值，然后根据点C所在的位置可求出点C的坐标；在直角三角形BOC中，用勾股定理求出BC的值；
（2）①分两种情况：Ⅰ、当OB=DB时，易证△PDB≌△COB，则PB=CB，由线段的构成PO=PB-OB求出PO的值，于是可得点P的坐标；Ⅱ、当OB=OD时，易证O是PB的中点，于是PO=OB，可得点P的坐标；
②设点P的坐标为（0，m），根据待定系数法求出直线AC和BC的解析式，由PD⊥BC可将直线PD的解析式用含m的式子表示出来，把直线AC和PD的解析式联立解方程组可将E的坐标用含m的代数式表示出来，根据S△ACP：S△AEP=5：2可求出m的值，然后根据S△COP=OC·OP可求解.
20．为了鼓励居民节约用水，某地区决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14m3（含14m3），则每立方米按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14m3，则超过部分每立方米按市场价n元收费．小明家3月份用水20m3，缴纳水费49元；4月份用水18m3，缴纳水费42元．
（1）每立方米水政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
（2）设每月用水量为x（m3），应缴纳水费为y（元），写出y关于x的函数表达式．
（3）小明家5月份用水26m3，则他家应缴纳水费多少元？
【答案】（1）解：设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场调节价为n元，
由题意可得：，
解得，
∴每立方米水政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元；
（2）解：当0≤x≤14时，y=2x；
当x>14时，y=14×2+（x-14）×3.5=3.5x-21；
∴y关于x的函数解析式为：；
（3）解：∵26＞14，
∴将x=26代入y=3.5x-21，
得y=3.5×26-21=70，
答： 小明家5月份用水26m3，则他家应缴纳水费70元.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场调节价为n元，根据“ 小明家3月份用水20m3，缴纳水费49元；4月份用水18m3，缴纳水费42元 ”列出方程组，求解此方程组即可；
（2）根据用水量分别求出在两个不同的范围内y与x之间的函数关系，注意自变量的取值范围；
（3）根据小明家5月份用水26吨，判断其在哪个范围内，代入相应的函数关系式求值即可.
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