广东省东莞高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题(含答案)

2023-2024学年第二学期东莞高级中学－东莞六中4月
联合教学质量检测高二数学
说明：本试卷共4页，22题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．抛物线x2=4y在点（2，1）处的切线的斜率为（ ）
A．－1 B． C． D．1
2．如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
3．若，则（ ）
A．－4 B．4 C．2 D．－2
4．如图所示的是的导函数的图象，下列四个结论，
①在区间上是墙函数； ②足的极小值点；
③的条点为－1和4；④是的极大值点．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③④
5．若的展开式中含项的系数为10，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．函数在的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
7．某高中安排4名同学（不同姓）到甲、乙、丙3个小区参加垃圾分类宜传活动，若每名同学只去一个小区，每个小区至少安排1名同学，其中张同学不去乙小区，则不同的分配方案种数为（ ）
A．36 B．24 C．48 D．12
8．已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若m，n为正整数且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．的值域为 B．存两个极值点
C．有两个零点 D．方程有三个根
11．已知函数，且关于的方程有3个不筞实数根，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值是 B．在上单调递减
C．的取值范围是 D．的取值范围是
三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分，请将答案填写在答题卡相应的位置上．
12．在（2x2+1）6的展开式中，x2的系数为______．（用数字作答）
13．2023年10月11日，习近平总书记在江西省上饶市考察，他来到婺源县秋口镇王村石门自然村了解推进乡村振兴等情况，其中婺源“晒秋”展开的是一幅乡村振兴新图景。当地百姓不仅要晾晒农产品使其得到更好的保存和售卖，更要考虑晒出独一无二的“中国最美的符号”。当地百姓现将“金色南瓜”“白色扁豆”“红色辣椒”“黄色皇菊”四种农产品全部晒入如图所示的5个小区域中，规定每个区域只能晒一种农产品，且相邻区域的农产品不能相同，则不同的晾晒方案种数为_________．数字作答）
14．已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=－1时有极值为0，则=______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知函数，且．
（1）求曲线在点处的切线方程：
（2）求函数的单调区间．
16．（本小题满分15分）
已知，展开式中二项式系数的最大值为7m．
（1）求m的值；
（2）求的值（结果可以保留指数形式）．
17．（本小题满分15分）
从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复数字的五位数。求：
（1）共有多少个五位数？
（2）其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？
（3）其中两个偶数不相邻的有多少个？
18．（本小题满分17分）
设函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数的图象总在直线的下方，求实数的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性，
（2）若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：．
2023－2024学年第二学期东莞高级中学－东莞六中4月
联合教学质量检测高二数学参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B A B A B A
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 AD BCD ABD
三、填空题
12．12 13．48 14．11
四、解答题
15．（1）由题设，则，
所以且，则，
所以点处的切线方程为，即
（2）由（1），
当，即或，当，即
故在区间上递增，在区间上单调递减，
所以的增区间为；减区间为
16．（1）因展开式中共有8项，最中间两项的二项式系数最大，即和，依题知
解得；
（2）由（1）可得，
当时，①，
当时，①，
由①－②：，
即得：．
17．（1）依题意，从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，共有（种）情况，共有（个）五位数．
（2）把选出的偶数捆绑在一起，把选出的奇数也捆绑在一起，再全排列，故其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有（个）．
（3）先排3个奇数，2个偶数插空，故其中两个偶数不相邻的共有（个）．
（注：如果排列组合数列对了，最后结果不对，每个扣2分）
18．（1）当时，，
令，解得或．在上单调递增，在上单调递减．
所以函数的单调增区间为，减区间为；
（2）法一：函数的图象总在直线的下方，可知，，
当时，在上单调递增，无最大值，故不成立；
当时，令，令，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故为函数的唯一极大值点，
所以函数的最大值为，
由题意，有，解得，所以实数的取值范围为．
法二：函数的图象总在直线的下方，可知
即
令，时，时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，所以实数的取值范围为．
19．（1），则，．
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）因为方程有两个不等的根，且，
由（1）知，，
令，则，
所以函数在上单调递增，
所以
，
又在上单调递增，
所以，又，
所以，所以，
又，所以．