高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业18 变化率问题（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业18 变化率问题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 317.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-17 09:42:30 | ||
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文档简介
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课时作业18 变化率问题
基础达标练习
一、平均速度
1. 一物体的运动方程是 ，则在 这段时间内的路程的增量是( )
A. 0.4 B. 2 C. 0.3 D. 0.2
2. 一物体的运动方程是 ，则该物体在时间段 内的平均速度为( )
A. B. C. 1 D. 5
3. [2023山东德州高二月考]一物体的运动方程是 ，在时间段 内的平均速度为2，则 ( )
A. B. 2 C. 3 D. 1
4. （多选题）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 （单位： ）与时间 （单位： ）之间的函数关系为 ，则下列说法正确的是( )
A. 前 内球滚下的垂直距离的增量
B. 在时间段 内球滚下的垂直距离的增量
C. 前 内球在垂直方向上的平均速度为
D. 在时间段 内球在垂直方向上的平均速度为
二、瞬时速度
5. 某物体的运动方程为 （位移单位： ，时间单位： ），若 ，则下列说法中正确的是( )
A. 是物体从开始到 这段时间内的平均速度
B. 是物体从 到 这段时间内的速度
C. 是物体在 这一时刻的瞬时速度
D. 是物体从 到 这段时间内的平均速度
6. [2023湖北黄冈高二测试]某物体的运动路程 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系可用函数 表示，则该物体在 时的瞬时速度为 .
7. [2023江西南昌高二月考]某物体做直线运动，其运动方程是 （时间 的单位： ，位移 的单位： ），则它在 末的瞬时速度为 .
三、求曲线在某点处切线的斜率（或方程）
8. 已知函数 ，则该函数的图象在 处的切线斜率为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 曲线 在 处的切线方程为 ．
10. 求抛物线 在点 处的切线方程.
素养提升练习
11. （多选题）一做直线运动的物体，其位移 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系是 ,则下列说法正确的是( )
A. 物体从 到 的平均速度为
B. 物体在 时的瞬时速度为
C. 物体的初速度是
D. 物体在 时的瞬时速度的大小为 ，方向与初速度相反
12. （多选题）两个学校 ， 开展节能活动，活动开始后两学校的用电量 ， 与时间 （天）的关系如图所示，则一定有 ( )
A. 比 的节能效果好
B. 的用电量在 上的平均变化率比 的用电量在 上的平均变化率小
C. 两学校节能效果一样好
D. 与 自节能以来用电量总是一样大
13. 曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则点 的坐标为 .
14. 设 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角是 .
15. 有一边长为 的正方形铁板（此时铁板温度为 ），加热后铁板会膨胀，已知铁板温度为 时，其边长膨胀为 ，其中 为常数，求铁板面积在温度 时的瞬时膨胀速度.
16. [2023江苏启东中学高二测试]若一物体运动方程如下（位移单位： ，时间单位： ） 求：
（1） 物体在 内的平均速度；
（2） 物体的初速度 ；
（3） 物体在 时的瞬时速度.
参考答案
基础达标练习
一、平均速度
1. 一物体的运动方程是 ，则在 这段时间内的路程的增量是( )
A. 0.4 B. 2 C. 0.3 D. 0.2
【答案】 D
[解析]由题意得， ，即所求增量是0.2.故选 .
2. 一物体的运动方程是 ，则该物体在时间段 内的平均速度为( )
A. B. C. 1 D. 5
【答案】 D
[解析] .
3. [2023山东德州高二月考]一物体的运动方程是 ，在时间段 内的平均速度为2，则 ( )
A. B. 2 C. 3 D. 1
【答案】 D
[解析]由题得 ，所以 ，故选 .
4. （多选题）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 （单位： ）与时间 （单位： ）之间的函数关系为 ，则下列说法正确的是( )
A. 前 内球滚下的垂直距离的增量
B. 在时间段 内球滚下的垂直距离的增量
C. 前 内球在垂直方向上的平均速度为
D. 在时间段 内球在垂直方向上的平均速度为
【答案】BCD
[解析]前 内， ， ，此时球在垂直方向上的平均速度为 ， 错误， 正确；在时间段 内， ， ，此时球在垂直方向上的平均速度为 ， 正确， 正确.故选 .
二、瞬时速度
5. 某物体的运动方程为 （位移单位： ，时间单位： ），若 ，则下列说法中正确的是( )
A. 是物体从开始到 这段时间内的平均速度
B. 是物体从 到 这段时间内的速度
C. 是物体在 这一时刻的瞬时速度
D. 是物体从 到 这段时间内的平均速度
【答案】C
[解析] 是物体在 这一时刻的瞬时速度.故选 .
6. [2023湖北黄冈高二测试]某物体的运动路程 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系可用函数 表示，则该物体在 时的瞬时速度为 .
【答案】3
[解析]该物体在时间段 内的平均速度为
，当 无限趋近于0时， 无限趋近于3，即该物体在 时的瞬时速度为 .
7. [2023江西南昌高二月考]某物体做直线运动，其运动方程是 （时间 的单位： ，位移 的单位： ），则它在 末的瞬时速度为 .
【答案】
[解析]
，
.
三、求曲线在某点处切线的斜率（或方程）
8. 已知函数 ，则该函数的图象在 处的切线斜率为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】 C
[解析]因为 ，
所以切线斜率
.故选 .
9. 曲线 在 处的切线方程为 ．
【答案】
[解析] ， ，
切线斜率 .易知切点为 ，
切线方程为 ，即 .
10. 求抛物线 在点 处的切线方程.
【答案】[解析] ,
所以切线的斜率 ，则切线方程为 ,即 .
素养提升练习
11. （多选题）一做直线运动的物体，其位移 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系是 ,则下列说法正确的是( )
A. 物体从 到 的平均速度为
B. 物体在 时的瞬时速度为
C. 物体的初速度是
D. 物体在 时的瞬时速度的大小为 ，方向与初速度相反
【答案】ACD
[解析] ，即物体从 到 的平均速度为 .故 中说法正确．
.故 中说法错误.物体的初速度 ．故 中说法正确.
，即此物体在 时的瞬时速度的大小为 ，方向与初速度相反．故 中说法正确．故选 .
12. （多选题）两个学校 ， 开展节能活动，活动开始后两学校的用电量 ， 与时间 （天）的关系如图所示，则一定有 ( )
A. 比 的节能效果好
B. 的用电量在 上的平均变化率比 的用电量在 上的平均变化率小
C. 两学校节能效果一样好
D. 与 自节能以来用电量总是一样大
【答案】AB
[解析]由题图可知，对任意的 ，曲线 在 处的切线比曲线 在 处的切线要“陡”，所以 比 的节能效果好， 正确， 错误；由题图可知， ，则 的用电量在 上的平均变化率比 的用电量在 上的平均变化率小， 正确；由于曲线 和曲线 不重合，故 错误．故选 .
13. 曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则点 的坐标为 .
【答案】 或
[解析]易知曲线在点 处的切线的斜率为 ，设 ，因为
，所以 ，解得 ，即 或 ，故点 的坐标为 或 .
14. 设 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角是 .
【答案】
[解析]设该切线的斜率为 ，倾斜角为 ，
，所以 ，则曲线 在点 处的切线斜率为 ，即 ，
又 ，所以所求切线的倾斜角 为 .
15. [2023湖南长沙高二测试]有一边长为 的正方形铁板（此时铁板温度为 ），加热后铁板会膨胀，已知铁板温度为 时，其边长膨胀为 ，其中 为常数，求铁板面积在温度 时的瞬时膨胀速度.
[解析]设温度的增量为 ，则铁板面积的增量为 ，
则 ，
所以 ，故铁板面积在温度 时的瞬时膨胀速度为 .
16. [2023江苏启东中学高二测试]若一物体运动方程如下（位移单位： ，时间单位： ） 求：
（1） 物体在 内的平均速度；
[解析]在 内，其时间变化量为 ，
其位移变化量为 ，
故所求平均速度为 .
（2） 物体的初速度 ；
[解析]物体的初速度 即为物体在 时的瞬时速度，
因为物体在 附近的平均速度为
，
所以物体在 处的瞬时速度为 ，即物体的初速度 .
（3） 物体在 时的瞬时速度.
[解析]因为物体在 附近的平均速度为
，
所以物体在 时的瞬时速度为 ，
即物体在 时的瞬时速度为 .
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课时作业18 变化率问题
基础达标练习
一、平均速度
1. 一物体的运动方程是 ，则在 这段时间内的路程的增量是( )
A. 0.4 B. 2 C. 0.3 D. 0.2
2. 一物体的运动方程是 ，则该物体在时间段 内的平均速度为( )
A. B. C. 1 D. 5
3. [2023山东德州高二月考]一物体的运动方程是 ，在时间段 内的平均速度为2，则 ( )
A. B. 2 C. 3 D. 1
4. （多选题）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 （单位： ）与时间 （单位： ）之间的函数关系为 ，则下列说法正确的是( )
A. 前 内球滚下的垂直距离的增量
B. 在时间段 内球滚下的垂直距离的增量
C. 前 内球在垂直方向上的平均速度为
D. 在时间段 内球在垂直方向上的平均速度为
二、瞬时速度
5. 某物体的运动方程为 （位移单位： ，时间单位： ），若 ，则下列说法中正确的是( )
A. 是物体从开始到 这段时间内的平均速度
B. 是物体从 到 这段时间内的速度
C. 是物体在 这一时刻的瞬时速度
D. 是物体从 到 这段时间内的平均速度
6. [2023湖北黄冈高二测试]某物体的运动路程 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系可用函数 表示，则该物体在 时的瞬时速度为 .
7. [2023江西南昌高二月考]某物体做直线运动，其运动方程是 （时间 的单位： ，位移 的单位： ），则它在 末的瞬时速度为 .
三、求曲线在某点处切线的斜率（或方程）
8. 已知函数 ，则该函数的图象在 处的切线斜率为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 曲线 在 处的切线方程为 ．
10. 求抛物线 在点 处的切线方程.
素养提升练习
11. （多选题）一做直线运动的物体，其位移 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系是 ,则下列说法正确的是( )
A. 物体从 到 的平均速度为
B. 物体在 时的瞬时速度为
C. 物体的初速度是
D. 物体在 时的瞬时速度的大小为 ，方向与初速度相反
12. （多选题）两个学校 ， 开展节能活动，活动开始后两学校的用电量 ， 与时间 （天）的关系如图所示，则一定有 ( )
A. 比 的节能效果好
B. 的用电量在 上的平均变化率比 的用电量在 上的平均变化率小
C. 两学校节能效果一样好
D. 与 自节能以来用电量总是一样大
13. 曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则点 的坐标为 .
14. 设 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角是 .
15. 有一边长为 的正方形铁板（此时铁板温度为 ），加热后铁板会膨胀，已知铁板温度为 时，其边长膨胀为 ，其中 为常数，求铁板面积在温度 时的瞬时膨胀速度.
16. [2023江苏启东中学高二测试]若一物体运动方程如下（位移单位： ，时间单位： ） 求：
（1） 物体在 内的平均速度；
（2） 物体的初速度 ；
（3） 物体在 时的瞬时速度.
参考答案
基础达标练习
一、平均速度
1. 一物体的运动方程是 ，则在 这段时间内的路程的增量是( )
A. 0.4 B. 2 C. 0.3 D. 0.2
【答案】 D
[解析]由题意得， ，即所求增量是0.2.故选 .
2. 一物体的运动方程是 ，则该物体在时间段 内的平均速度为( )
A. B. C. 1 D. 5
【答案】 D
[解析] .
3. [2023山东德州高二月考]一物体的运动方程是 ，在时间段 内的平均速度为2，则 ( )
A. B. 2 C. 3 D. 1
【答案】 D
[解析]由题得 ，所以 ，故选 .
4. （多选题）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 （单位： ）与时间 （单位： ）之间的函数关系为 ，则下列说法正确的是( )
A. 前 内球滚下的垂直距离的增量
B. 在时间段 内球滚下的垂直距离的增量
C. 前 内球在垂直方向上的平均速度为
D. 在时间段 内球在垂直方向上的平均速度为
【答案】BCD
[解析]前 内， ， ，此时球在垂直方向上的平均速度为 ， 错误， 正确；在时间段 内， ， ，此时球在垂直方向上的平均速度为 ， 正确， 正确.故选 .
二、瞬时速度
5. 某物体的运动方程为 （位移单位： ，时间单位： ），若 ，则下列说法中正确的是( )
A. 是物体从开始到 这段时间内的平均速度
B. 是物体从 到 这段时间内的速度
C. 是物体在 这一时刻的瞬时速度
D. 是物体从 到 这段时间内的平均速度
【答案】C
[解析] 是物体在 这一时刻的瞬时速度.故选 .
6. [2023湖北黄冈高二测试]某物体的运动路程 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系可用函数 表示，则该物体在 时的瞬时速度为 .
【答案】3
[解析]该物体在时间段 内的平均速度为
，当 无限趋近于0时， 无限趋近于3，即该物体在 时的瞬时速度为 .
7. [2023江西南昌高二月考]某物体做直线运动，其运动方程是 （时间 的单位： ，位移 的单位： ），则它在 末的瞬时速度为 .
【答案】
[解析]
，
.
三、求曲线在某点处切线的斜率（或方程）
8. 已知函数 ，则该函数的图象在 处的切线斜率为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】 C
[解析]因为 ，
所以切线斜率
.故选 .
9. 曲线 在 处的切线方程为 ．
【答案】
[解析] ， ，
切线斜率 .易知切点为 ，
切线方程为 ，即 .
10. 求抛物线 在点 处的切线方程.
【答案】[解析] ,
所以切线的斜率 ，则切线方程为 ,即 .
素养提升练习
11. （多选题）一做直线运动的物体，其位移 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系是 ,则下列说法正确的是( )
A. 物体从 到 的平均速度为
B. 物体在 时的瞬时速度为
C. 物体的初速度是
D. 物体在 时的瞬时速度的大小为 ，方向与初速度相反
【答案】ACD
[解析] ，即物体从 到 的平均速度为 .故 中说法正确．
.故 中说法错误.物体的初速度 ．故 中说法正确.
，即此物体在 时的瞬时速度的大小为 ，方向与初速度相反．故 中说法正确．故选 .
12. （多选题）两个学校 ， 开展节能活动，活动开始后两学校的用电量 ， 与时间 （天）的关系如图所示，则一定有 ( )
A. 比 的节能效果好
B. 的用电量在 上的平均变化率比 的用电量在 上的平均变化率小
C. 两学校节能效果一样好
D. 与 自节能以来用电量总是一样大
【答案】AB
[解析]由题图可知，对任意的 ，曲线 在 处的切线比曲线 在 处的切线要“陡”，所以 比 的节能效果好， 正确， 错误；由题图可知， ，则 的用电量在 上的平均变化率比 的用电量在 上的平均变化率小， 正确；由于曲线 和曲线 不重合，故 错误．故选 .
13. 曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则点 的坐标为 .
【答案】 或
[解析]易知曲线在点 处的切线的斜率为 ，设 ，因为
，所以 ，解得 ，即 或 ，故点 的坐标为 或 .
14. 设 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角是 .
【答案】
[解析]设该切线的斜率为 ，倾斜角为 ，
，所以 ，则曲线 在点 处的切线斜率为 ，即 ，
又 ，所以所求切线的倾斜角 为 .
15. [2023湖南长沙高二测试]有一边长为 的正方形铁板（此时铁板温度为 ），加热后铁板会膨胀，已知铁板温度为 时，其边长膨胀为 ，其中 为常数，求铁板面积在温度 时的瞬时膨胀速度.
[解析]设温度的增量为 ，则铁板面积的增量为 ，
则 ，
所以 ，故铁板面积在温度 时的瞬时膨胀速度为 .
16. [2023江苏启东中学高二测试]若一物体运动方程如下（位移单位： ，时间单位： ） 求：
（1） 物体在 内的平均速度；
[解析]在 内，其时间变化量为 ，
其位移变化量为 ，
故所求平均速度为 .
（2） 物体的初速度 ；
[解析]物体的初速度 即为物体在 时的瞬时速度，
因为物体在 附近的平均速度为
，
所以物体在 处的瞬时速度为 ，即物体的初速度 .
（3） 物体在 时的瞬时速度.
[解析]因为物体在 附近的平均速度为
，
所以物体在 时的瞬时速度为 ，
即物体在 时的瞬时速度为 .
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