高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业1 数列的概念及其通项公式（含答案）

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课时作业1 数列的概念及其通项公式
基础达标练习
一、数列的概念与分类
1. （多选题）下面四个结论中正确的是( )
A. 数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集 ）上的函数
B. 若用图象表示数列，则图象是一群孤立的点
C. 数列的项数是无限的
D. 数列的通项公式是唯一的
2. [2023湖北荆门高二测试]若数列 满足 ，则数列 是( )
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列
3. 给出下列数列： 年某市普通高中生人数（单位：万）构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个 构成数列 ， ， ， ， ； 的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂， 构成数列 ，4， ，16， .
其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列是 ，常数列是 ，摆动数列是 .
二、求数列的通项公式
4. 数列1， ， ， ， ， 的一个通项公式是( )
A. B. C. D.
5. （多选题）一个无穷数列 的前三项是1，2，3，则下列可以作为其通项公式的是( )
A. B.
C. D.
6. 数列2, ,4, ， 的一个通项公式为 .
写出一个同时具有下列性质①②③的数列 的通项公式： .
①无穷数列；②递减数列；③每一项都是正数.
三、数列的函数特征
8. [2023山东青岛高二测试]数列 中， ，则16是这个数列的( )
A. 第16项 B. 第8项 C. 第4项 D. 第2项
9. 已知数列 ， ， ， ， ， ，则它的第6项为 ( )
A. B. C. D.
10. [2023湖南高二测试]已知数列 的通项公式为 ，则此数列最大项的值是 .
11. [2022山东济南高二月考]已知数列 的通项公式为 ，若 为该数列的最小项，则 .
12. 在数列 中， , ，通项公式 是 的一次函数．
（1） 求 的通项公式；
（2） 判断96是不是数列 中的项.
素养提升练习
13. [2023福建漳州高二期中]（多选题）下列有关数列的说法正确的是( )
A. 数列 ，0，4与数列4，0， 是同一个数列
B. 数列中的每一项都与它的序号有关
C. 在数列1, , ,2, ,…中,第8个数可以是
D. 数列3,5,9,17,33, 的一个通项公式为
14. [2023广东鹤山鹤华中学高二期中改编]费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有如下形式： .若 ，则数列 的最大项、最小项分别为 .
15. [2023广东佛山南海第一中学高二开学考]已知数列 的通项公式为 ，则满足 的 的值为 .
16. 根据下面数列的前4项，写出数列的一个通项公式.
（1） ， ， ， ， ；
（2） ， ， ， ， ；
（3） 7,77,777, ， .
17. [2023黑龙江鹤岗一中高二期中]若数列 的通项公式为 ，求该数列中的最小项的值.
参考答案
基础达标练习
一、数列的概念与分类
1. (多选题）下面四个结论中正确的是( )
A. 数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集 ）上的函数
B. 若用图象表示数列，则图象是一群孤立的点
C. 数列的项数是无限的
D. 数列的通项公式是唯一的
【答案】 AB
【解析】数列可看作一个函数，它的定义域是正整数集或正整数集的有限子集，其图象是一群孤立的点，故 、 中结论正确.
数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故 中结论错误.
数列通项的表达式可以不唯一，例如，数列1，0， ，0，1，0， ，0， 的通项公式可以是 ，也可以是 ，故 中结论错误．
2. [2023湖北荆门高二测试]若数列 满足 ，则数列 是( )
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列
【答案】A
【解析】解法一：易知函数 在 上单调递增， 当 时，数列 是递增数列.故选 .
解法二： ， ，即 是递增数列.故选 .
3. 给出下列数列： 年某市普通高中生人数（单位：万）构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个 构成数列 ， ， ， ， ； 的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂， 构成数列 ，4， ，16， .
其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列是 ，常数列是 ，摆动数列是 .
【答案】①， ②③， ②， ③.
【解析】根据数列的相关概念及题意可知，①是有穷数列，②③是无穷数列，同时①也是递增数列，②也是常数列，③也是摆动数列.
二、求数列的通项公式
4. [2022安徽高二测试]数列1， ， ， ， ， 的一个通项公式是( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】易知项的分母为 ,分子为 ,故通项公式可以为 .
5. [2023湖北荆州高二测试](多选题）一个无穷数列 的前三项是1，2，3，则下列可以作为其通项公式的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于 ，若 ，则 ， ， ，符合题意；对于 ，若 ，则 ，不符合题意；对于 ，若 ，则 ，不符合题意；对于 ，若 ，则 ， ， ，符合题意.故选 .
6. 数列2, ,4, ， 的一个通项公式为 .
【答案】
【解析】观察发现奇数项为正，偶数项为负，且每一项的绝对值都是序号加1，故它的一个通项公式为 .
[2022广西桂林第十八中学高二开学考]写出一个同时具有下列性质①②③的数列 的通项公式： .
①无穷数列；②递减数列；③每一项都是正数.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】根据题意可得，数列 的通项公式可以为 （答案不唯一）.
三、数列的函数特征
8.数列 中， ，则16是这个数列的( )
A. 第16项 B. 第8项 C. 第4项 D. 第2项
【答案】C
【解析】由 ，解得 ，所以16是这个数列的第4项.故选 .
9. 已知数列 ， ， ， ， ， ，则它的第6项为 ( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】由题意知，数列的通项公式为 ， 当 时，
该项为 .
10. [2023湖南高二测试]已知数列 的通项公式为 ，则此数列最大项的值是 .
【答案】30
【解析】设 ，则当 时， 取得最大值，
又 ，且 ，
故当 或 时，此数列取得最大项，为 ，
故此数列最大项的值是30.
11. [2022山东济南高二月考]已知数列 的通项公式为 ，若 为该数列的最小项，则 .
【答案】9或10
【解析】令 ，解得 .
当 且 时， ，则 递减；
当 且 时， ，则 递增.
又 ， ，
，即 或10.
12. 在数列 中， , ，通项公式 是 的一次函数．
（1） 求 的通项公式；
【解析】设 ， ，
则 解得
， ．
（2） 判断96是不是数列 中的项.
【解析】令 ，即 ，解得 ．
不是数列 中的项．
素养提升练习
13. [2023福建漳州高二期中](多选题）下列有关数列的说法正确的是( )
A. 数列 ，0，4与数列4，0， 是同一个数列
B. 数列中的每一项都与它的序号有关
C. 在数列1, , ,2, ,…中,第8个数可以是
D. 数列3,5,9,17,33, 的一个通项公式为
【答案】BCD
【解析】对于 ,数列 ，0，4与数列4，0， 中数字的排列顺序不同,不是同一个数列,所以 中说法不正确;
对于 ，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号都是有关的，所以 中说法正确;
对于 ,由数列1, , ,2, ,…的前5项可知，该数列的通项公式可以为 ，所以 ，所以 中说法正确;
对于 ,由数列3,5,9,17,33, 的前5项可知，该数列的一个通项公式为 ,所以 中说法正确.故选 .
14. [2023广东鹤山鹤华中学高二期中改编]费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有如下形式： .若 ，则数列 的最大项、最小项分别为 .
【答案】 ，
【解析】 ，因为函数 单调递增，
且当 时， ，当 时， ，
所以数列 的最大项为 ，最小项为 .
15. [2023广东佛山南海第一中学高二开学考]已知数列 的通项公式为 ，则满足 的 的值为 .
【答案】5
【解析】因为数列 的通项公式为 ，且满足 ，
所以 ，即 .
当 , 时， ，无实数解；
当 , 时，解得 ，
因为 ，所以 ；
当 , 时， ，无实数解，
综上，满足 的 的值为5.
16. 根据下面数列的前4项，写出数列的一个通项公式.
（1） ， ， ， ， ；
【解析】这个数列前4项的分母都是序号乘比序号大1的数，分子都是1，并且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式为 ， .
（2） ， ， ， ， ；
【解析】这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，
所以它的一个通项公式为 ， .
（3） 7,77,777, ， .
【解析】这个数列的前4项可以写成 ， ， ， ，
即 ， ， ， ，
即 ， ， ， ，
所以它的一个通项公式为 ， .
17. [2023黑龙江鹤岗一中高二期中]若数列 的通项公式为 ，求该数列中的最小项的值.
【解析】 令 ，则 ，其图象的对称轴为直线 ，
由复合函数的单调性可知， 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 为正整数，则当 时， ；当 时， ，
因为 ，所以最小项的值为 .
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