高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业3 等差数列的概念及其通项公式（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业3 等差数列的概念及其通项公式（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 305.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-17 09:44:35 | ||
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文档简介
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课时作业3 等差数列的概念及其通项公式
基础达标练习
一、等差数列的概念
1. [2023湖北黄冈高二测试]多选题下列数列中是等差数列的有( )
A. 2，5，8，11 B. ， ， ，
C. ， ， ， D. ， ， ，
2. 判断下面各数列是不是等差数列.如果是，写出它的公差，如果不是，请说明理由.
（1） 0，1，2,3,4；
， ， ， ；
, ， , ；
， ， .
二、等差中项及其简单应用
3. [2023广东深圳高二期末]下列数列中成等差数列的是 ( )
A. ， ， B. , , C. 1， ， D. 2，3，5
4. 设 是 与 的等差中项， 是 与 的等差中项，则 ， 的关系是( )
A. B. C. 或 D.
5. [2023河北邯郸高二期中]若等差数列 满足 ，则 .
6. [2023山东淄博高二测试]已知 ， ，则 ， 的等差中项为 .
三、等差数列的通项公式及其应用
7. 在等差数列 中， ， ，则数列 的公差为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 在数列 中， ， .若 为等差数列，则 ( )
A. B. C. D.
9. 为了参加冬季运动会的1万米长跑比赛，某同学给自己安排了7天的训练计划：第一天跑1万米，以后每一天比前一天多跑1千米，则第7天跑 万米.
10. 在等差数列 中， ， .
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 2 022是不是数列 中的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由.
素养提升练习
11. [2023河南鹤壁高二月考]在数列 中，若 ， ，则数列 的通项公式为( )
A. B. C. D.
12. （多选题）已知等差数列 中， ，公差为 ，若2 023是该数列中的一项，则公差 可能是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
13. 已知等差数列 中, ， ，则满足不等式 的 的值为( )
A. 2，3，4 B. 3，5 C. 2，3，5 D. 2，4，5
14. 椭圆 的左、右顶点分别是 ， ，左、右焦点分别是 , .若 , , 成等差数列，则此椭圆的离心率为 .
15. 方程 , 的四个根组成首项为 的等差数列，则其公差 ， .
16. 在圆 内，过点 有 条弦的长度成等差数列 ，最小弦长为数列的首项 ，最大弦长为 ，若公差 ，求 的取值集合.
17. （1） 三个数成等差数列，其和为9,前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.
（2） 四个数成等差数列，且公差大于0，中间两项的和为2,首末两项的积为 ,求这四个数.
课时评价作业（三）等差数列的概念及其通项公式
基础达标练习
一、等差数列的概念
1. [2023湖北黄冈高二测试]多选题下列数列中是等差数列的有( )
A. 2，5，8，11 B. ， ， ，
C. ， ， ， D. ， ， ，
【答案】ACD
【解析】[解析]对于 ，因为从第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数3，
所以此数列是等差数列，所以 正确；
对于 ，因为 ， ，即 ，所以此数列不是等差数列，所以 不正确；
对于 ，因为从第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列，所以 正确；
对于 ，数列 ， ， ， 可表示为 ， ， ， ，因为从第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列是等差数列，所以 正确.
故选 .
2. 判断下面各数列是不是等差数列.如果是，写出它的公差，如果不是，请说明理由.
（1） 0，1，2,3,4；
【解析】由等差数列的定义可知，数列0，1，2,3,4是公差为1的等差数列.
（2） ， ， ， ；
【解析】 ，所以数列 ， ， ， 不是等差数列.
（3） , ， , ；
【解析】由等差数列的定义可知，数列 , ， , 是公差为 的等差数列.
（4） ， ， .
【解析】由等差数列的定义可知，数列 ， ， 是公差为2的等差数列.
二、等差中项及其简单应用
3. [2023广东深圳高二期末]下列数列中成等差数列的是 ( )
A. ， ， B. , , C. 1， ， D. 2，3，5
【答案】C
【解析】对于 ， ， 不是等差数列；
对于 ， ， 不是等差数列；
对于 ， ， 是等差数列；
对于 ， ， 不是等差数列.故选 .
4. 设 是 与 的等差中项， 是 与 的等差中项，则 ， 的关系是( )
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】由等差中项的定义知 ， ，
所以 ，即 ，故 或 ．
5. [2023河北邯郸高二期中]若等差数列 满足 ，则 .
【答案】8
【解析】由题意得 ，解得 .
6. [2023山东淄博高二测试]已知 ， ，则 ， 的等差中项为 .
【答案】
【解析】由等差中项的定义得， ， 的等差中项 .
三、等差数列的通项公式及其应用
7. 在等差数列 中， ， ，则数列 的公差为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】在等差数列 中，设公差为 ，由 ， ，得 解得 故选 .
8. 在数列 中， ， .若 为等差数列，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ， ，且数列 是等差数列， 公差 ，
， ， .
9. 为了参加冬季运动会的1万米长跑比赛，某同学给自己安排了7天的训练计划：第一天跑1万米，以后每一天比前一天多跑1千米，则第7天跑 万米.
【答案】1.6
【解析】设该同学第 天跑 万米，由题意得 是等差数列且 ，
公差 ，所以 ，所以 .
10. 在等差数列 中， ， .
（1） 求数列 的通项公式；
【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 .
由 ， ，
得 解得
所以数列 的通项公式为 .
（2） 2 022是不是数列 中的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由.
【解析】令 ，解得 ，
所以2 022是数列 中的项，且是第506项.
素养提升练习
11. [2023河南鹤壁高二月考]在数列 中，若 ， ，则数列 的通项公式为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
所以{ }是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，所以 .故选 .
12. （多选题）已知等差数列 中， ，公差为 ，若2 023是该数列中的一项，则公差 可能是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】ACD
【解析】由2 023是该数列中的一项，得 ，所以 ，易知 是2 020的约数，结合选项知 可能是2，4和5,不可能是3.
故选 .
13. 已知等差数列 中, ， ，则满足不等式 的 的值为( )
A. 2，3，4 B. 3，5 C. 2，3，5 D. 2，4，5
【答案】C
【解析】因为等差数列 中, ， ，所以公差 ,首项 ，则 ，显然 ， ， ， ， ，以后相邻三项的积都小于0，结合不等式 ，得 ,3，5.
14. 椭圆 的左、右顶点分别是 ， ，左、右焦点分别是 , .若 , , 成等差数列，则此椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】由题意可知， , , ，又 , , 成等差数列，所以 ，即 ，所以 ，则 .
15. 方程 , 的四个根组成首项为 的等差数列，则其公差 ， .
【答案】
【解析】设 的两根为 , , 的两根为 , ，
它们组成的等差数列为 .根据等差数列的性质，可设
, , , ，
则有 和
, ， 公差 ，
, , , ，
, , , ，
则有 和
, ， 公差 ，
, , , ， .
综上所述，公差 , .
16. 在圆 内，过点 有 条弦的长度成等差数列 ，最小弦长为数列的首项 ，最大弦长为 ，若公差 ，求 的取值集合.
【解析】由圆 的方程 ，得圆心 ，半径为 .
过点 的最长弦为圆的直径，即 ，
过 且与直径垂直的弦为圆的最短弦，
即 ，
由 ，得 ， ，
， ， , ,
的取值集合为 .
17. （1） 三个数成等差数列，其和为9,前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.
【解析】设这三个数依次为 , , ,
由题意可得 解得
所以这三个数依次为4，3,2.
（2） 四个数成等差数列，且公差大于0，中间两项的和为2,首末两项的积为 ,求这四个数.
【解析】设这四个数依次为 , , , （公差为 ）,
由题意可得 解得 或 （舍去），
故所求的四个数依次为 ，0，2,4.
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课时作业3 等差数列的概念及其通项公式
基础达标练习
一、等差数列的概念
1. [2023湖北黄冈高二测试]多选题下列数列中是等差数列的有( )
A. 2，5，8，11 B. ， ， ，
C. ， ， ， D. ， ， ，
2. 判断下面各数列是不是等差数列.如果是，写出它的公差，如果不是，请说明理由.
（1） 0，1，2,3,4；
， ， ， ；
, ， , ；
， ， .
二、等差中项及其简单应用
3. [2023广东深圳高二期末]下列数列中成等差数列的是 ( )
A. ， ， B. , , C. 1， ， D. 2，3，5
4. 设 是 与 的等差中项， 是 与 的等差中项，则 ， 的关系是( )
A. B. C. 或 D.
5. [2023河北邯郸高二期中]若等差数列 满足 ，则 .
6. [2023山东淄博高二测试]已知 ， ，则 ， 的等差中项为 .
三、等差数列的通项公式及其应用
7. 在等差数列 中， ， ，则数列 的公差为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 在数列 中， ， .若 为等差数列，则 ( )
A. B. C. D.
9. 为了参加冬季运动会的1万米长跑比赛，某同学给自己安排了7天的训练计划：第一天跑1万米，以后每一天比前一天多跑1千米，则第7天跑 万米.
10. 在等差数列 中， ， .
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 2 022是不是数列 中的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由.
素养提升练习
11. [2023河南鹤壁高二月考]在数列 中，若 ， ，则数列 的通项公式为( )
A. B. C. D.
12. （多选题）已知等差数列 中， ，公差为 ，若2 023是该数列中的一项，则公差 可能是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
13. 已知等差数列 中, ， ，则满足不等式 的 的值为( )
A. 2，3，4 B. 3，5 C. 2，3，5 D. 2，4，5
14. 椭圆 的左、右顶点分别是 ， ，左、右焦点分别是 , .若 , , 成等差数列，则此椭圆的离心率为 .
15. 方程 , 的四个根组成首项为 的等差数列，则其公差 ， .
16. 在圆 内，过点 有 条弦的长度成等差数列 ，最小弦长为数列的首项 ，最大弦长为 ，若公差 ，求 的取值集合.
17. （1） 三个数成等差数列，其和为9,前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.
（2） 四个数成等差数列，且公差大于0，中间两项的和为2,首末两项的积为 ,求这四个数.
课时评价作业（三）等差数列的概念及其通项公式
基础达标练习
一、等差数列的概念
1. [2023湖北黄冈高二测试]多选题下列数列中是等差数列的有( )
A. 2，5，8，11 B. ， ， ，
C. ， ， ， D. ， ， ，
【答案】ACD
【解析】[解析]对于 ，因为从第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数3，
所以此数列是等差数列，所以 正确；
对于 ，因为 ， ，即 ，所以此数列不是等差数列，所以 不正确；
对于 ，因为从第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列，所以 正确；
对于 ，数列 ， ， ， 可表示为 ， ， ， ，因为从第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列是等差数列，所以 正确.
故选 .
2. 判断下面各数列是不是等差数列.如果是，写出它的公差，如果不是，请说明理由.
（1） 0，1，2,3,4；
【解析】由等差数列的定义可知，数列0，1，2,3,4是公差为1的等差数列.
（2） ， ， ， ；
【解析】 ，所以数列 ， ， ， 不是等差数列.
（3） , ， , ；
【解析】由等差数列的定义可知，数列 , ， , 是公差为 的等差数列.
（4） ， ， .
【解析】由等差数列的定义可知，数列 ， ， 是公差为2的等差数列.
二、等差中项及其简单应用
3. [2023广东深圳高二期末]下列数列中成等差数列的是 ( )
A. ， ， B. , , C. 1， ， D. 2，3，5
【答案】C
【解析】对于 ， ， 不是等差数列；
对于 ， ， 不是等差数列；
对于 ， ， 是等差数列；
对于 ， ， 不是等差数列.故选 .
4. 设 是 与 的等差中项， 是 与 的等差中项，则 ， 的关系是( )
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】由等差中项的定义知 ， ，
所以 ，即 ，故 或 ．
5. [2023河北邯郸高二期中]若等差数列 满足 ，则 .
【答案】8
【解析】由题意得 ，解得 .
6. [2023山东淄博高二测试]已知 ， ，则 ， 的等差中项为 .
【答案】
【解析】由等差中项的定义得， ， 的等差中项 .
三、等差数列的通项公式及其应用
7. 在等差数列 中， ， ，则数列 的公差为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】在等差数列 中，设公差为 ，由 ， ，得 解得 故选 .
8. 在数列 中， ， .若 为等差数列，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ， ，且数列 是等差数列， 公差 ，
， ， .
9. 为了参加冬季运动会的1万米长跑比赛，某同学给自己安排了7天的训练计划：第一天跑1万米，以后每一天比前一天多跑1千米，则第7天跑 万米.
【答案】1.6
【解析】设该同学第 天跑 万米，由题意得 是等差数列且 ，
公差 ，所以 ，所以 .
10. 在等差数列 中， ， .
（1） 求数列 的通项公式；
【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 .
由 ， ，
得 解得
所以数列 的通项公式为 .
（2） 2 022是不是数列 中的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由.
【解析】令 ，解得 ，
所以2 022是数列 中的项，且是第506项.
素养提升练习
11. [2023河南鹤壁高二月考]在数列 中，若 ， ，则数列 的通项公式为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
所以{ }是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，所以 .故选 .
12. （多选题）已知等差数列 中， ，公差为 ，若2 023是该数列中的一项，则公差 可能是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】ACD
【解析】由2 023是该数列中的一项，得 ，所以 ，易知 是2 020的约数，结合选项知 可能是2，4和5,不可能是3.
故选 .
13. 已知等差数列 中, ， ，则满足不等式 的 的值为( )
A. 2，3，4 B. 3，5 C. 2，3，5 D. 2，4，5
【答案】C
【解析】因为等差数列 中, ， ，所以公差 ,首项 ，则 ，显然 ， ， ， ， ，以后相邻三项的积都小于0，结合不等式 ，得 ,3，5.
14. 椭圆 的左、右顶点分别是 ， ，左、右焦点分别是 , .若 , , 成等差数列，则此椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】由题意可知， , , ，又 , , 成等差数列，所以 ，即 ，所以 ，则 .
15. 方程 , 的四个根组成首项为 的等差数列，则其公差 ， .
【答案】
【解析】设 的两根为 , , 的两根为 , ，
它们组成的等差数列为 .根据等差数列的性质，可设
, , , ，
则有 和
, ， 公差 ，
, , , ，
, , , ，
则有 和
, ， 公差 ，
, , , ， .
综上所述，公差 , .
16. 在圆 内，过点 有 条弦的长度成等差数列 ，最小弦长为数列的首项 ，最大弦长为 ，若公差 ，求 的取值集合.
【解析】由圆 的方程 ，得圆心 ，半径为 .
过点 的最长弦为圆的直径，即 ，
过 且与直径垂直的弦为圆的最短弦，
即 ，
由 ，得 ， ，
， ， , ,
的取值集合为 .
17. （1） 三个数成等差数列，其和为9,前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.
【解析】设这三个数依次为 , , ,
由题意可得 解得
所以这三个数依次为4，3,2.
（2） 四个数成等差数列，且公差大于0，中间两项的和为2,首末两项的积为 ,求这四个数.
【解析】设这四个数依次为 , , , （公差为 ）,
由题意可得 解得 或 （舍去），
故所求的四个数依次为 ，0，2,4.
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