高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业4 等差数列的判断与性质（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业4 等差数列的判断与性质（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 314.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-17 09:45:37 | ||
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文档简介
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课时作业4 等差数列的判断与性质
基础达标练习
一、等差数列通项公式的函数特征
1. [2023湖北高二期中]已知数列 的通项公式为 ，则此数列( )
A. 是公差为 的等差数列 B. 是公差为5的等差数列
C. 是首项为5的等差数列 D. 是公差为3的等差数列
2. [2023湖北荆州高二月考]已知等差数列 单调递增，且满足 ，则 的取值范围是 .
3. [2023山东枣庄高二质检]已知等差数列 中， ， .
（1） 求 的通项公式；
（2） 判断 的单调性.
二、等差数列的判定与证明
4. 若数列 满足 ，则数列 ( )
A. 是公差为1的等差数列 B. 是公差为 的等差数列
C. 是公差为 的等差数列 D. 不是等差数列
5. 若 ， ，分别判断 ， 是不是等差数列，并说明理由.
6. [2023福建福州高二月考]已知等差数列 中， ， .
（1） 求 的值；
（2） 若数列 满足 ，证明：数列 是等差数列.
三、 ， ， ， ，且 性质的应用
7. 在等差数列 中， ， ，则 ( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
8. [2023江西高二测试改编]某企业经统计知，2022年7月份到12月份的月产量逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中7月份的产量为10吨，12月份的产量为20吨，则8月到11月这四个月的产量之和为( )
A. 48吨 B. 54吨 C. 60吨 D. 66吨
9. [2023福建漳州高二月考]（多选题）在等差数列 中，公差 ， ，则下列一定成立的是 ( )
A. B. C. D.
10. [2023湖南师大附中高二月考]已知 为递增的等差数列， , ，若 ，则 .
11. 公差不为0的等差数列 中， ，请写出一个 的值： .
素养提升练习
12. [2023湖北荆门高二测试]已知数列 满足 , , ，则 等于( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
13. [2023湖南双峰第一中学高二期中]（多选题）已知各项均为正数的等差数列 单调递增，公差为 ,且 ，则( )
A. 公差 的取值范围是 B.
C. D. 的最小值为1
14. [2023湖北黄冈高二测试]（多选题）已知数列 满足 ， ， ，则下列说法正确的有( )
A. 数列 是等差数列 B.
C. D.
15. [2023湖北宜昌高二测试]设等差数列 满足 ， ，若 ，则项数 的最大值是 .
16. 已知在数列 中， ， ，数列 满足 .
（1） 求证：数列 是等差数列；
（2） 求数列 中的最大项和最小项.
课时作业4 等差数列的判断与性质
基础达标练习
一、等差数列通项公式的函数特征
1. [2023湖北高二期中]已知数列 的通项公式为 ，则此数列( )
A. 是公差为 的等差数列 B. 是公差为5的等差数列
C. 是首项为5的等差数列 D. 是公差为3的等差数列
【答案】A
【解析】由 的通项公式的函数特征知，数列 是以 为公差的等差数列.
故选 .
2. [2023湖北荆州高二月考]已知等差数列 单调递增，且满足 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ，因为数列 单调递增，所以 ，
又 ，所以 ，解得 .
3. [2023山东枣庄高二质检]已知等差数列 中， ， .
（1） 求 的通项公式；
【解析】设等差数列 的公差为 ，由 ， ，得 ，
即 ，整理得 ，解得 或 ，
所以 或 .
（2） 判断 的单调性.
【解析】当 时，数列是常数列， 不具有单调性；
当 时，显然 ， 单调递减.
二、等差数列的判定与证明
4. 若数列 满足 ，则数列 ( )
A. 是公差为1的等差数列 B. 是公差为 的等差数列
C. 是公差为 的等差数列 D. 不是等差数列
【答案】B
【解析】由 ，得 ，即 ，所以数列 是公差为 的等差数列．
5. 若 ， ，分别判断 ， 是不是等差数列，并说明理由.
【解析】由于 ,所以 ，所以 是等差数列.因为 ,所以 是等差数列.
6. [2023福建福州高二月考]已知等差数列 中， ， .
（1） 求 的值；
【解析】由 ，得 ，
设等差数列 的公差为 , , .
.
（2） 若数列 满足 ，证明：数列 是等差数列.
证明：由（1）可知 ， ，
，
数列 是首项为1，公差为2的等差数列.
三 ， ， ， ，且 性质的应用
7. 在等差数列 中， ， ，则 ( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】易知 , , .
故选 .
8. [2023江西高二测试改编]某企业经统计知，2022年7月份到12月份的月产量逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中7月份的产量为10吨，12月份的产量为20吨，则8月到11月这四个月的产量之和为( )
A. 48吨 B. 54吨 C. 60吨 D. 66吨
【答案】C
【解析】设2022年 月份的产量为 吨，
由题意可知，数列 是等差数列，且 ， ，则8月到11月这四个月的产量之和为 吨.
故选 .
9. [2023福建漳州高二月考]（多选题）在等差数列 中，公差 ， ，则下列一定成立的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】由 ，得 是递增数列，因此由 得 ， ，故 ， 正确； ，
即 ， ，故 正确；
，故 错误.
故选 .
10. [2023湖南师大附中高二月考]已知 为递增的等差数列， , ，若 ，则 .
【答案】 12
【解析】设等差数列 的公差为 ， ，
又 ，且 递增， , , ，
, ，即 ，解得 .
11. 公差不为0的等差数列 中， ，请写出一个 的值： .
【答案】10（或18或24或28或30，答案不唯一）
【解析】在等差数列 中，若 ，则 ，
又 ， ， 或 或 或 或 或
或 或 或 或
的值为10或18或24或28或30.
素养提升练习
12. [2023湖北荆门高二测试]已知数列 满足 , , ，则 等于( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】 ，
是等差数列.由等差数列的性质可得， ，
， ， ， .
故选 .
13. [2023湖南双峰第一中学高二期中]（多选题）已知各项均为正数的等差数列 单调递增，公差为 ,且 ，则( )
A. 公差 的取值范围是 B.
C. D. 的最小值为1
【答案】AB
【解析】由题意得 , ,又 ， ，解得 ， ，故 正确；
，故 正确；
由 ，可知 ，
故 错误；由 ，得 ，则 ，当且仅当 时取等号，但 ，故不能取等号，所以 错误.
故选 .
14. [2023湖北黄冈高二测试]（多选题）已知数列 满足 ， ， ，则下列说法正确的有( )
A. 数列 是等差数列 B.
C. D.
【答案】BC
【解析】因为 ， ，所以 ，又 ，所以 ，故 错误；
因为 ，所以数列的奇数项和偶数项分别构成等差数列，当 , 时， , ，
当 , 时， , ，故 ， 正确；
因为 不满足 ，所以 错误.
故选 .
15. [2023湖北宜昌高二测试]设等差数列 满足 ， ，若 ，则项数 的最大值是 .
【答案】8
【解析】 ， ，
所以 , , , ，故等差数列 是递减数列，
所以当 时， 的最大值为8.
16. 已知在数列 中， ， ，数列 满足 .
（1） 求证：数列 是等差数列；
证明：因为 , ， ，
所以当 时， .
又 ，所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列.
（2） 求数列 中的最大项和最小项.
【解析】由（1）知 ，则 .
当 时，数列 单调递减且 ；
当 时，数列 单调递减且 ，
所以数列 的最大项为 ，最小项为 .
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课时作业4 等差数列的判断与性质
基础达标练习
一、等差数列通项公式的函数特征
1. [2023湖北高二期中]已知数列 的通项公式为 ，则此数列( )
A. 是公差为 的等差数列 B. 是公差为5的等差数列
C. 是首项为5的等差数列 D. 是公差为3的等差数列
2. [2023湖北荆州高二月考]已知等差数列 单调递增，且满足 ，则 的取值范围是 .
3. [2023山东枣庄高二质检]已知等差数列 中， ， .
（1） 求 的通项公式；
（2） 判断 的单调性.
二、等差数列的判定与证明
4. 若数列 满足 ，则数列 ( )
A. 是公差为1的等差数列 B. 是公差为 的等差数列
C. 是公差为 的等差数列 D. 不是等差数列
5. 若 ， ，分别判断 ， 是不是等差数列，并说明理由.
6. [2023福建福州高二月考]已知等差数列 中， ， .
（1） 求 的值；
（2） 若数列 满足 ，证明：数列 是等差数列.
三、 ， ， ， ，且 性质的应用
7. 在等差数列 中， ， ，则 ( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
8. [2023江西高二测试改编]某企业经统计知，2022年7月份到12月份的月产量逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中7月份的产量为10吨，12月份的产量为20吨，则8月到11月这四个月的产量之和为( )
A. 48吨 B. 54吨 C. 60吨 D. 66吨
9. [2023福建漳州高二月考]（多选题）在等差数列 中，公差 ， ，则下列一定成立的是 ( )
A. B. C. D.
10. [2023湖南师大附中高二月考]已知 为递增的等差数列， , ，若 ，则 .
11. 公差不为0的等差数列 中， ，请写出一个 的值： .
素养提升练习
12. [2023湖北荆门高二测试]已知数列 满足 , , ，则 等于( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
13. [2023湖南双峰第一中学高二期中]（多选题）已知各项均为正数的等差数列 单调递增，公差为 ,且 ，则( )
A. 公差 的取值范围是 B.
C. D. 的最小值为1
14. [2023湖北黄冈高二测试]（多选题）已知数列 满足 ， ， ，则下列说法正确的有( )
A. 数列 是等差数列 B.
C. D.
15. [2023湖北宜昌高二测试]设等差数列 满足 ， ，若 ，则项数 的最大值是 .
16. 已知在数列 中， ， ，数列 满足 .
（1） 求证：数列 是等差数列；
（2） 求数列 中的最大项和最小项.
课时作业4 等差数列的判断与性质
基础达标练习
一、等差数列通项公式的函数特征
1. [2023湖北高二期中]已知数列 的通项公式为 ，则此数列( )
A. 是公差为 的等差数列 B. 是公差为5的等差数列
C. 是首项为5的等差数列 D. 是公差为3的等差数列
【答案】A
【解析】由 的通项公式的函数特征知，数列 是以 为公差的等差数列.
故选 .
2. [2023湖北荆州高二月考]已知等差数列 单调递增，且满足 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ，因为数列 单调递增，所以 ，
又 ，所以 ，解得 .
3. [2023山东枣庄高二质检]已知等差数列 中， ， .
（1） 求 的通项公式；
【解析】设等差数列 的公差为 ，由 ， ，得 ，
即 ，整理得 ，解得 或 ，
所以 或 .
（2） 判断 的单调性.
【解析】当 时，数列是常数列， 不具有单调性；
当 时，显然 ， 单调递减.
二、等差数列的判定与证明
4. 若数列 满足 ，则数列 ( )
A. 是公差为1的等差数列 B. 是公差为 的等差数列
C. 是公差为 的等差数列 D. 不是等差数列
【答案】B
【解析】由 ，得 ，即 ，所以数列 是公差为 的等差数列．
5. 若 ， ，分别判断 ， 是不是等差数列，并说明理由.
【解析】由于 ,所以 ，所以 是等差数列.因为 ,所以 是等差数列.
6. [2023福建福州高二月考]已知等差数列 中， ， .
（1） 求 的值；
【解析】由 ，得 ，
设等差数列 的公差为 , , .
.
（2） 若数列 满足 ，证明：数列 是等差数列.
证明：由（1）可知 ， ，
，
数列 是首项为1，公差为2的等差数列.
三 ， ， ， ，且 性质的应用
7. 在等差数列 中， ， ，则 ( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】易知 , , .
故选 .
8. [2023江西高二测试改编]某企业经统计知，2022年7月份到12月份的月产量逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中7月份的产量为10吨，12月份的产量为20吨，则8月到11月这四个月的产量之和为( )
A. 48吨 B. 54吨 C. 60吨 D. 66吨
【答案】C
【解析】设2022年 月份的产量为 吨，
由题意可知，数列 是等差数列，且 ， ，则8月到11月这四个月的产量之和为 吨.
故选 .
9. [2023福建漳州高二月考]（多选题）在等差数列 中，公差 ， ，则下列一定成立的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】由 ，得 是递增数列，因此由 得 ， ，故 ， 正确； ，
即 ， ，故 正确；
，故 错误.
故选 .
10. [2023湖南师大附中高二月考]已知 为递增的等差数列， , ，若 ，则 .
【答案】 12
【解析】设等差数列 的公差为 ， ，
又 ，且 递增， , , ，
, ，即 ，解得 .
11. 公差不为0的等差数列 中， ，请写出一个 的值： .
【答案】10（或18或24或28或30，答案不唯一）
【解析】在等差数列 中，若 ，则 ，
又 ， ， 或 或 或 或 或
或 或 或 或
的值为10或18或24或28或30.
素养提升练习
12. [2023湖北荆门高二测试]已知数列 满足 , , ，则 等于( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】 ，
是等差数列.由等差数列的性质可得， ，
， ， ， .
故选 .
13. [2023湖南双峰第一中学高二期中]（多选题）已知各项均为正数的等差数列 单调递增，公差为 ,且 ，则( )
A. 公差 的取值范围是 B.
C. D. 的最小值为1
【答案】AB
【解析】由题意得 , ,又 ， ，解得 ， ，故 正确；
，故 正确；
由 ，可知 ，
故 错误；由 ，得 ，则 ，当且仅当 时取等号，但 ，故不能取等号，所以 错误.
故选 .
14. [2023湖北黄冈高二测试]（多选题）已知数列 满足 ， ， ，则下列说法正确的有( )
A. 数列 是等差数列 B.
C. D.
【答案】BC
【解析】因为 ， ，所以 ，又 ，所以 ，故 错误；
因为 ，所以数列的奇数项和偶数项分别构成等差数列，当 , 时， , ，
当 , 时， , ，故 ， 正确；
因为 不满足 ，所以 错误.
故选 .
15. [2023湖北宜昌高二测试]设等差数列 满足 ， ，若 ，则项数 的最大值是 .
【答案】8
【解析】 ， ，
所以 , , , ，故等差数列 是递减数列，
所以当 时， 的最大值为8.
16. 已知在数列 中， ， ，数列 满足 .
（1） 求证：数列 是等差数列；
证明：因为 , ， ，
所以当 时， .
又 ，所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列.
（2） 求数列 中的最大项和最小项.
【解析】由（1）知 ，则 .
当 时，数列 单调递减且 ；
当 时，数列 单调递减且 ，
所以数列 的最大项为 ，最小项为 .
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