高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业5 等差数列的综合应用（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业5 等差数列的综合应用（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 401.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-17 09:46:57 | ||
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文档简介
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课时作业5 等差数列的综合应用
题组一 由等差数列构造新的等差数列
1. 在等差数列 中， ， ，则 的值为( )
A. 30 B. 27 C. 24 D. 21
2. 已知数列 , 都是等差数列，公差分别为 , ，数列 满足 ，则数列 的公差为 .
3. 已知 是等差数列，且 ， .
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 若从数列 中，依次取出第2项，第4项，第6项， ，第 项，按原来的顺序组成一个新数列 ，求 的通项公式.
.
题组二 等差数列的实际应用
4. [2022山东威海高二期末]偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘利率.自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元,张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款,20年还清，贷款月利率为 ，设张华第 个月的还款金额为 元，则 ( )
A. 2 192 B. C. D.
5. 1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200这200个数中，被4除余2，且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则这个数列中的最大项为( )
A. 200 B. 194 C. 182 D. 198
题组三 等差数列与其他知识的交汇问题
6. 等差数列 中， ， 是方程 的两根，则 的值为( )
A. 2 B. 3 C. D.
7. 已知函数 ，数列 满足 ， .
（1） 判断数列 是不是等差数列，并说明理由；
（2） 求数列 的通项公式.
8. 在 中， 、 、 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ， 成等差数列.
（1） 证明： , , 成等差数列；
（2） 求角 的取值范围.
9. 多选题已知 ， 是等差数列,则下列数列是等差数列的是( )
A. B. C. D.
10. [2023湖北武汉高二测试]（多选题）在无穷等差数列 中，首项 ，公差 ，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列 ，则( )
A.
B.
C.
D. 中的第503项是 中的第2 020项
11. 图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中 ，若把图2中的直角三角形继续作下去，记 , , , 的长度构成的数列为 ，则此数列的通项公式为 ( )
图1 图2
A. B. C. D.
12. 已知两个等差数列 ，8，11， 与 ，7，11， ，它们的公共项组成数列 ，则数列 的通项公式为 ；若数列 和 的项数均为100，则 的项数是 .
命题分析 本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，确定新等差数列的公差是求解问题的关键.
答题要领 由已知结合等差数列的性质确定 的公差及通项公式，进而可求.
解题感悟 若两个等差数列 和 中存在公共项，且公差分别为 和 ，则由它们的公共项组成的数列也为等差数列，且公差为 与 的最小公倍数.
13. [2023湖北宜昌高二测试]设三个数 ，3， 成等差数列，则点 的轨迹方程是 .
14. 中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的庙宇，这类庙宇的顶部构造颇有讲究.武成王庙顶部的剖面直观图如图所示，其中 ， ， ，且数列 是第二项为 的等差数列.若以 为坐标原点， ， 的方向分别为 ， 轴的正方向建立平面直角坐标系，则直线 的斜率为0.4.
课时作业5 等差数列的综合应用
题组一 由等差数列构造新的等差数列
1. 在等差数列 中， ， ，则 的值为( )
A. 30 B. 27 C. 24 D. 21
【答案】A
【解析】设 ， ， .
因为 是等差数列，所以 ， ， 也成等差数列，
所以 ，所以 ，即 .
2. 已知数列 , 都是等差数列，公差分别为 , ，数列 满足 ，则数列 的公差为 .
【答案】
【解析】易知数列 为等差数列，且公差为 .
3. 已知 是等差数列，且 ， .
（1） 求数列 的通项公式；
【解析】设等差数列 的公差为 ， ， .
， ， ， .
（2） 若从数列 中，依次取出第2项，第4项，第6项， ，第 项，按原来的顺序组成一个新数列 ，求 的通项公式.
【解析】 ， ， ， ， ， .
当 时， ， 是以 为首项，4为公差的等差数列 .
题组二 等差数列的实际应用
4. [2022山东威海高二期末]偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘利率.自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元,张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款,20年还清，贷款月利率为 ，设张华第 个月的还款金额为 元，则 ( )
A. 2 192 B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知每月偿还的本金为2 000元,则 ,故选 .
5. 1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200这200个数中，被4除余2，且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则这个数列中的最大项为( )
A. 200 B. 194 C. 182 D. 198
【答案】B
【解析】由题意可知数列 中的项既是4的倍数，又是6的倍数，因此数列 是以2为首项，12为公差的等差数列，即 ，因此 ， ，故选 .
题组三 等差数列与其他知识的交汇问题
6. 等差数列 中， ， 是方程 的两根，则 的值为( )
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得 ，又 为等差数列， ， .故选 .
7. [2023湖北黄冈高二测试]已知函数 ，数列 满足 ， .
（1） 判断数列 是不是等差数列，并说明理由；
【解析】数列 是等差数列，理由如下：
因为 ， ，所以 ，
则 ，故 ，
又 ，则 ，所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列.
（2） 求数列 的通项公式.
【解析】由（1）得， ，所以 .
8. [2023陕西渭南高二期中]在 中， 、 、 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ， 成等差数列.
（1） 证明： , , 成等差数列；
证明：由 ， ， 成等差数列，得 ，
由正弦定理 ，得 ，
则 , , 成等差数列.
（2） 求角 的取值范围.
【解析】由（1）得， ，由余弦定理的推论得：
.
因为 , ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
则 .
又 ，所以角 的取值范围是 .
9. 多选题已知 ， 是等差数列,则下列数列是等差数列的是( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由 ， 是等差数列,可设公差分别为常数 ， ，
则
,
, ,
所以 ， ， 都是等差数列；
对于选项 ， ，
不一定是同一个常数，故 不一定是等差数列.
故选 .
10. [2023湖北武汉高二测试]（多选题）在无穷等差数列 中，首项 ，公差 ，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列 ，则( )
A.
B.
C.
D. 中的第503项是 中的第2 020项
【答案】AC
【解析】 ， ， ，故 正确；
数列 中项的序号被4除余3的项有第3项，第7项，第11项， ，
， ，故 正确， 错误；
设数列 中的第 项是数列 中的第 项，则 ，
当 时， ，
即数列 中的第503项是 中的第2 011项，故 错误.
故选 .
11. 图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中 ，若把图2中的直角三角形继续作下去，记 , , , 的长度构成的数列为 ，则此数列的通项公式为 ( )
图1 图2
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ， , , , 都是直角三角形，
所以 ，且 ，
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 ，又 ，所以 .故选 .
12. 已知两个等差数列 ，8，11， 与 ，7，11， ，它们的公共项组成数列 ，则数列 的通项公式为 ；若数列 和 的项数均为100，则 的项数是 .
命题分析 本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，确定新等差数列的公差是求解问题的关键.
答题要领 由已知结合等差数列的性质确定 的公差及通项公式，进而可求.
【答案】 ， 25
【解析】由于数列 是以5为首项，3为公差的等差数列，数列 是以3为首项，4为公差的等差数列，所以 也是等差数列，且公差为 ，
又 ，故 .
又 ， ，
所以 解得 ，
故 的项数为25.
解题感悟 若两个等差数列 和 中存在公共项，且公差分别为 和 ，则由它们的公共项组成的数列也为等差数列，且公差为 与 的最小公倍数.
13. [2023湖北宜昌高二测试]设三个数 ，3， 成等差数列，则点 的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】由 ，3， 成等差数列，
得 ，
点 到 和 的距离之和为6，且 ，
点 的轨迹是以 和 为焦点的椭圆，
设其方程为 ，则 解得
点 的轨迹方程是 .
14. 中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的庙宇，这类庙宇的顶部构造颇有讲究.武成王庙顶部的剖面直观图如图所示，其中 ， ， ，且数列 是第二项为 的等差数列.若以 为坐标原点， ， 的方向分别为 ， 轴的正方向建立平面直角坐标系，则直线 的斜率为0.4.
[解析]由题意可知, ，令 ， ， ，
则 ，
因为数列 是第二项为 的等差数列，
所以可设公差为 ，则 ，
因为 ，所以 ，同理 ,
则直线 的斜率 .
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课时作业5 等差数列的综合应用
题组一 由等差数列构造新的等差数列
1. 在等差数列 中， ， ，则 的值为( )
A. 30 B. 27 C. 24 D. 21
2. 已知数列 , 都是等差数列，公差分别为 , ，数列 满足 ，则数列 的公差为 .
3. 已知 是等差数列，且 ， .
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 若从数列 中，依次取出第2项，第4项，第6项， ，第 项，按原来的顺序组成一个新数列 ，求 的通项公式.
.
题组二 等差数列的实际应用
4. [2022山东威海高二期末]偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘利率.自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元,张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款,20年还清，贷款月利率为 ，设张华第 个月的还款金额为 元，则 ( )
A. 2 192 B. C. D.
5. 1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200这200个数中，被4除余2，且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则这个数列中的最大项为( )
A. 200 B. 194 C. 182 D. 198
题组三 等差数列与其他知识的交汇问题
6. 等差数列 中， ， 是方程 的两根，则 的值为( )
A. 2 B. 3 C. D.
7. 已知函数 ，数列 满足 ， .
（1） 判断数列 是不是等差数列，并说明理由；
（2） 求数列 的通项公式.
8. 在 中， 、 、 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ， 成等差数列.
（1） 证明： , , 成等差数列；
（2） 求角 的取值范围.
9. 多选题已知 ， 是等差数列,则下列数列是等差数列的是( )
A. B. C. D.
10. [2023湖北武汉高二测试]（多选题）在无穷等差数列 中，首项 ，公差 ，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列 ，则( )
A.
B.
C.
D. 中的第503项是 中的第2 020项
11. 图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中 ，若把图2中的直角三角形继续作下去，记 , , , 的长度构成的数列为 ，则此数列的通项公式为 ( )
图1 图2
A. B. C. D.
12. 已知两个等差数列 ，8，11， 与 ，7，11， ，它们的公共项组成数列 ，则数列 的通项公式为 ；若数列 和 的项数均为100，则 的项数是 .
命题分析 本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，确定新等差数列的公差是求解问题的关键.
答题要领 由已知结合等差数列的性质确定 的公差及通项公式，进而可求.
解题感悟 若两个等差数列 和 中存在公共项，且公差分别为 和 ，则由它们的公共项组成的数列也为等差数列，且公差为 与 的最小公倍数.
13. [2023湖北宜昌高二测试]设三个数 ，3， 成等差数列，则点 的轨迹方程是 .
14. 中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的庙宇，这类庙宇的顶部构造颇有讲究.武成王庙顶部的剖面直观图如图所示，其中 ， ， ，且数列 是第二项为 的等差数列.若以 为坐标原点， ， 的方向分别为 ， 轴的正方向建立平面直角坐标系，则直线 的斜率为0.4.
课时作业5 等差数列的综合应用
题组一 由等差数列构造新的等差数列
1. 在等差数列 中， ， ，则 的值为( )
A. 30 B. 27 C. 24 D. 21
【答案】A
【解析】设 ， ， .
因为 是等差数列，所以 ， ， 也成等差数列，
所以 ，所以 ，即 .
2. 已知数列 , 都是等差数列，公差分别为 , ，数列 满足 ，则数列 的公差为 .
【答案】
【解析】易知数列 为等差数列，且公差为 .
3. 已知 是等差数列，且 ， .
（1） 求数列 的通项公式；
【解析】设等差数列 的公差为 ， ， .
， ， ， .
（2） 若从数列 中，依次取出第2项，第4项，第6项， ，第 项，按原来的顺序组成一个新数列 ，求 的通项公式.
【解析】 ， ， ， ， ， .
当 时， ， 是以 为首项，4为公差的等差数列 .
题组二 等差数列的实际应用
4. [2022山东威海高二期末]偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘利率.自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元,张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款,20年还清，贷款月利率为 ，设张华第 个月的还款金额为 元，则 ( )
A. 2 192 B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知每月偿还的本金为2 000元,则 ,故选 .
5. 1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200这200个数中，被4除余2，且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则这个数列中的最大项为( )
A. 200 B. 194 C. 182 D. 198
【答案】B
【解析】由题意可知数列 中的项既是4的倍数，又是6的倍数，因此数列 是以2为首项，12为公差的等差数列，即 ，因此 ， ，故选 .
题组三 等差数列与其他知识的交汇问题
6. 等差数列 中， ， 是方程 的两根，则 的值为( )
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得 ，又 为等差数列， ， .故选 .
7. [2023湖北黄冈高二测试]已知函数 ，数列 满足 ， .
（1） 判断数列 是不是等差数列，并说明理由；
【解析】数列 是等差数列，理由如下：
因为 ， ，所以 ，
则 ，故 ，
又 ，则 ，所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列.
（2） 求数列 的通项公式.
【解析】由（1）得， ，所以 .
8. [2023陕西渭南高二期中]在 中， 、 、 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ， 成等差数列.
（1） 证明： , , 成等差数列；
证明：由 ， ， 成等差数列，得 ，
由正弦定理 ，得 ，
则 , , 成等差数列.
（2） 求角 的取值范围.
【解析】由（1）得， ，由余弦定理的推论得：
.
因为 , ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
则 .
又 ，所以角 的取值范围是 .
9. 多选题已知 ， 是等差数列,则下列数列是等差数列的是( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由 ， 是等差数列,可设公差分别为常数 ， ，
则
,
, ,
所以 ， ， 都是等差数列；
对于选项 ， ，
不一定是同一个常数，故 不一定是等差数列.
故选 .
10. [2023湖北武汉高二测试]（多选题）在无穷等差数列 中，首项 ，公差 ，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列 ，则( )
A.
B.
C.
D. 中的第503项是 中的第2 020项
【答案】AC
【解析】 ， ， ，故 正确；
数列 中项的序号被4除余3的项有第3项，第7项，第11项， ，
， ，故 正确， 错误；
设数列 中的第 项是数列 中的第 项，则 ，
当 时， ，
即数列 中的第503项是 中的第2 011项，故 错误.
故选 .
11. 图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中 ，若把图2中的直角三角形继续作下去，记 , , , 的长度构成的数列为 ，则此数列的通项公式为 ( )
图1 图2
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ， , , , 都是直角三角形，
所以 ，且 ，
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 ，又 ，所以 .故选 .
12. 已知两个等差数列 ，8，11， 与 ，7，11， ，它们的公共项组成数列 ，则数列 的通项公式为 ；若数列 和 的项数均为100，则 的项数是 .
命题分析 本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，确定新等差数列的公差是求解问题的关键.
答题要领 由已知结合等差数列的性质确定 的公差及通项公式，进而可求.
【答案】 ， 25
【解析】由于数列 是以5为首项，3为公差的等差数列，数列 是以3为首项，4为公差的等差数列，所以 也是等差数列，且公差为 ，
又 ，故 .
又 ， ，
所以 解得 ，
故 的项数为25.
解题感悟 若两个等差数列 和 中存在公共项，且公差分别为 和 ，则由它们的公共项组成的数列也为等差数列，且公差为 与 的最小公倍数.
13. [2023湖北宜昌高二测试]设三个数 ，3， 成等差数列，则点 的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】由 ，3， 成等差数列，
得 ，
点 到 和 的距离之和为6，且 ，
点 的轨迹是以 和 为焦点的椭圆，
设其方程为 ，则 解得
点 的轨迹方程是 .
14. 中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的庙宇，这类庙宇的顶部构造颇有讲究.武成王庙顶部的剖面直观图如图所示，其中 ， ， ，且数列 是第二项为 的等差数列.若以 为坐标原点， ， 的方向分别为 ， 轴的正方向建立平面直角坐标系，则直线 的斜率为0.4.
[解析]由题意可知, ，令 ， ， ，
则 ，
因为数列 是第二项为 的等差数列，
所以可设公差为 ，则 ，
因为 ，所以 ，同理 ,
则直线 的斜率 .
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