高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业6 等差数列的前项和公式（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业6 等差数列的前项和公式（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 328.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-17 09:47:27 | ||
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文档简介
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课时作业6 等差数列的前项和公式
基础达标练习
一、求等差数列的前 项和
1. 已知等差数列 的前 项和为 ， , ，则 ( )
A. 72 B. 75 C. 60 D. 100
2. 已知等差数列 的前 项和为 ， , ，则 ( )
A. 9 B. 12 C. 30 D. 45
3.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的前15项和 .
二、等差数列的基本量运算
4. 《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年长的儿子的岁数为( )
A. 32 B. 35 C. 38 D. 40
5. 若一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有( )
A. 10项 B. 11项 C. 12项 D. 13项
6. 已知等差数列 的前 项和是 ，且 ， ，则数列 的公差 .
7. [2023山东莱芜高二月考]在等差数列 中， ， .
（1） 求 的通项公式；
（2） 设 的前 项和为 ，求使 成立的 的值.
三、等差数列前 项和的函数特征及其应用
8. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，当 取得最大值时， 的值为 .
9. 若等差数列 的前 项和 ，则实数 的值为 .
10. 若数列 的前 项和 ，求数列 的通项公式，并判断数列 是不是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由.
素养提升练习
11. [2023山东省实验中学高二期末]设公差 不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
12. （多选题）在数列 中， ， ， ，则下列说法正确的是( )
A. B. 是等差数列 C. D.
13. [2023重庆南开中学高二期末]（多选题）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则( )
A. 数列 为递增数列 B.
C. 存在正整数 ，使得 D. 存在正整数 ，使得
14. 若单调递减的等差数列 中的两项 ， 是方程 的两个根，设数列 的前 项和为 ，则使 的 的最小值为 .
15. 已知等差数列的公差，且，则的前15项和 .
16. [2023陕西咸阳高二月考]如图所示，在坐标平面内有一质点从坐标原点出发，最开始向右，随后沿着箭头标注的路线运动，运动的方向始终与坐标轴平行，且每2秒移动1个单位长度，根据其运动的规律知，经过 秒后，该质点首次落在直线 上.
17. 已知在等差数列 中，公差 ，其前 项和为 ，且 ， ．
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 通过 构造一个新的数列 ，则非零常数 为何值时， 为等差数列？
18. 从 ， 中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
已知数列 是等差数列， 是 的前 项和， ， ．
（1）判断2 022是不是数列 中的项，并说明理由；
（2）求 的最小值．
参考答案
基础达标练习
一、求等差数列的前 项和
1. 已知等差数列 的前 项和为 ， , ，则 ( )
A. 72 B. 75 C. 60 D. 100
【答案】B
[解析] ，故选 .
2. 已知等差数列 的前 项和为 ， , ，则 ( )
A. 9 B. 12 C. 30 D. 45
【答案】 D
[解析] 数列 是等差数列， ，解得 ，
， ，即 ，
.
故选 .
3.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的前15项和 .
【答案】 30
[解析]设等差数列 的公差为 ，则 ，又 , ，所以 ，
即 ，所以 .
二、等差数列的基本量运算
4. 《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年长的儿子的岁数为( )
A. 32 B. 35 C. 38 D. 40
【答案】B
[解析]根据题意设最年长的儿子的岁数为 ，每个儿子的年龄依次成等差数列，公差 ，由 ，解得 ，故选 .
5. 若一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有( )
A. 10项 B. 11项 C. 12项 D. 13项
【答案】D
[解析]设这个数列共有 项，则 , ，
因此 ，即 ,则 ，
故 .
6. 已知等差数列 的前 项和是 ，且 ， ，则数列 的公差 .
【答案】2
[解析]由题意得 解得
7. [2023山东莱芜高二月考]在等差数列 中， ， .
（1） 求 的通项公式；
[解析]设 的公差为 ，由题意得 解得 所以 .
（2） 设 的前 项和为 ，求使 成立的 的值.
[解析]由（1）知， ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去），所以使 成立的 的值为11.
三、等差数列前 项和的函数特征及其应用
8. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，当 取得最大值时， 的值为 .
【答案】8
[解析]设等差数列 的公差为 ，
则 解得
所以 ，
即当 时， 取得最大值.
9. 若等差数列 的前 项和 ，则实数 的值为 .
【答案】
[解析]解法一：因为 ，且 是等差数列，
所以 ，解得 .
解法二：因为 ，所以 , , ,又因为 是等差数列，所以 ，即 ，解得 .
10. 若数列 的前 项和 ，求数列 的通项公式，并判断数列 是不是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由.
[解析]数列 不是等差数列.
证法一： 等差数列的前 项和 ，
当 时，其是不含常数项的二次函数，
不符合等差数列的前 项和的形式，
数列 不是等差数列.
证法二： ， 当 时， ；
当 时， ，
则 ，
当 时， 不满足上式，
故数列 不是等差数列.
素养提升练习
11. [2023山东省实验中学高二期末]设公差 不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
[解析]由题意得 ，得 ，令 ，则 ，所以 .故选 .
12. （多选题）在数列 中， ， ， ，则下列说法正确的是( )
A. B. 是等差数列 C. D.
【答案】ABC
[解析]因为 ， ，所以 ，
得 ， ，
又因为 ，所以 ，所以 ，且奇数项和偶数项均是公差为3的等差数列，故 ， 正确；
，故 正确；
由 ， 可知， 不成立，故 错误.
故选 .
13. [2023重庆南开中学高二期末]（多选题）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则( )
A. 数列 为递增数列 B.
C. 存在正整数 ，使得 D. 存在正整数 ，使得
【答案】 ACD
[解析]设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ,
所以 ,所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
由 ，得 ,得 ，所以数列 为递增数列， 正确.
， 错误.
由上述分析可知 ，所以当 时， ，所以存在正整数 ，使得 ， 正确.
, ，若 ，则 ，解得 （ 舍去）， 正确.
故选 .
14. 若单调递减的等差数列 中的两项 ， 是方程 的两个根，设数列 的前 项和为 ，则使 的 的最小值为 .
【答案】19
[解析]方程 的两根分别是9,1，设 的公差为 ，因为数列 单调递减，所以 , ，所以 , ,
所以 ，所以 ，
令 ,得 ，所以使 的 的最小值为19.
15. 已知等差数列的公差，且，则的前15项和 .
【答案】 15
[解析]由 ，得 ，
即 ，
又 ，所以 ，
由等差数列的性质可知， ，所以 ，
所以 .
16. [2023陕西咸阳高二月考]如图所示，在坐标平面内有一质点从坐标原点出发，最开始向右，随后沿着箭头标注的路线运动，运动的方向始终与坐标轴平行，且每2秒移动1个单位长度，根据其运动的规律知，经过 秒后，该质点首次落在直线 上.
【答案】1300
[解析]由 得 ，
根据题意可知，当该质点到达点 处时，首次落在直线 上.
质点到达 处走过的路程长度为2；质点到达 处走过的路程长度为 ；质点到达 处走过的路程长度为 ；……
以此类推，可知质点到达 处走过的路程长度为
，
故该质点到达 处时，走过的路程长度为 ，即经过1300秒.
17. 已知在等差数列 中，公差 ，其前 项和为 ，且 ， ．
（1） 求数列 的通项公式；
[解析]由题意得，
且 ，解得 或 （舍去），
所以 ，则 ，故 .
（2） 通过 构造一个新的数列 ，则非零常数 为何值时， 为等差数列？
[解析]由（1）可得， ，则 ，
所以 ， ， ．
因为 为等差数列，所以 ，
即 ，可得 或 （舍去），
所以当 时， 为等差数列．
18. 从 ， 中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
已知数列 是等差数列， 是 的前 项和， ， ．
（1）判断2 022是不是数列 中的项，并说明理由；
（2）求 的最小值．
[解析]若选①，
（1）设公差为 ，
则
解得 所以 ．
令 ，得 ，所以2 022不是数列 中的项．
（2）解法一：令 ，解得 ，所以当 时， ．
故当 时， 取到最小值，为 ．
解法二：由（1）得 ，
所以当 时， 取到最小值，为 .
若选②，
设公差为 ，则 解得
所以 ．
令 ，解得 ，所以2 022是数列 的第1 017项．
（2）解法一：令 ，得 ．
故当 或 时， 取到最小值，为 ．
解法二：由（1）得 ，
所以当 或 时， 取到最小值，为 .
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课时作业6 等差数列的前项和公式
基础达标练习
一、求等差数列的前 项和
1. 已知等差数列 的前 项和为 ， , ，则 ( )
A. 72 B. 75 C. 60 D. 100
2. 已知等差数列 的前 项和为 ， , ，则 ( )
A. 9 B. 12 C. 30 D. 45
3.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的前15项和 .
二、等差数列的基本量运算
4. 《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年长的儿子的岁数为( )
A. 32 B. 35 C. 38 D. 40
5. 若一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有( )
A. 10项 B. 11项 C. 12项 D. 13项
6. 已知等差数列 的前 项和是 ，且 ， ，则数列 的公差 .
7. [2023山东莱芜高二月考]在等差数列 中， ， .
（1） 求 的通项公式；
（2） 设 的前 项和为 ，求使 成立的 的值.
三、等差数列前 项和的函数特征及其应用
8. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，当 取得最大值时， 的值为 .
9. 若等差数列 的前 项和 ，则实数 的值为 .
10. 若数列 的前 项和 ，求数列 的通项公式，并判断数列 是不是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由.
素养提升练习
11. [2023山东省实验中学高二期末]设公差 不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
12. （多选题）在数列 中， ， ， ，则下列说法正确的是( )
A. B. 是等差数列 C. D.
13. [2023重庆南开中学高二期末]（多选题）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则( )
A. 数列 为递增数列 B.
C. 存在正整数 ，使得 D. 存在正整数 ，使得
14. 若单调递减的等差数列 中的两项 ， 是方程 的两个根，设数列 的前 项和为 ，则使 的 的最小值为 .
15. 已知等差数列的公差，且，则的前15项和 .
16. [2023陕西咸阳高二月考]如图所示，在坐标平面内有一质点从坐标原点出发，最开始向右，随后沿着箭头标注的路线运动，运动的方向始终与坐标轴平行，且每2秒移动1个单位长度，根据其运动的规律知，经过 秒后，该质点首次落在直线 上.
17. 已知在等差数列 中，公差 ，其前 项和为 ，且 ， ．
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 通过 构造一个新的数列 ，则非零常数 为何值时， 为等差数列？
18. 从 ， 中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
已知数列 是等差数列， 是 的前 项和， ， ．
（1）判断2 022是不是数列 中的项，并说明理由；
（2）求 的最小值．
参考答案
基础达标练习
一、求等差数列的前 项和
1. 已知等差数列 的前 项和为 ， , ，则 ( )
A. 72 B. 75 C. 60 D. 100
【答案】B
[解析] ，故选 .
2. 已知等差数列 的前 项和为 ， , ，则 ( )
A. 9 B. 12 C. 30 D. 45
【答案】 D
[解析] 数列 是等差数列， ，解得 ，
， ，即 ，
.
故选 .
3.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的前15项和 .
【答案】 30
[解析]设等差数列 的公差为 ，则 ，又 , ，所以 ，
即 ，所以 .
二、等差数列的基本量运算
4. 《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公最年长的儿子的岁数为( )
A. 32 B. 35 C. 38 D. 40
【答案】B
[解析]根据题意设最年长的儿子的岁数为 ，每个儿子的年龄依次成等差数列，公差 ，由 ，解得 ，故选 .
5. 若一个等差数列的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有( )
A. 10项 B. 11项 C. 12项 D. 13项
【答案】D
[解析]设这个数列共有 项，则 , ，
因此 ，即 ,则 ，
故 .
6. 已知等差数列 的前 项和是 ，且 ， ，则数列 的公差 .
【答案】2
[解析]由题意得 解得
7. [2023山东莱芜高二月考]在等差数列 中， ， .
（1） 求 的通项公式；
[解析]设 的公差为 ，由题意得 解得 所以 .
（2） 设 的前 项和为 ，求使 成立的 的值.
[解析]由（1）知， ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去），所以使 成立的 的值为11.
三、等差数列前 项和的函数特征及其应用
8. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，当 取得最大值时， 的值为 .
【答案】8
[解析]设等差数列 的公差为 ，
则 解得
所以 ，
即当 时， 取得最大值.
9. 若等差数列 的前 项和 ，则实数 的值为 .
【答案】
[解析]解法一：因为 ，且 是等差数列，
所以 ，解得 .
解法二：因为 ，所以 , , ,又因为 是等差数列，所以 ，即 ，解得 .
10. 若数列 的前 项和 ，求数列 的通项公式，并判断数列 是不是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由.
[解析]数列 不是等差数列.
证法一： 等差数列的前 项和 ，
当 时，其是不含常数项的二次函数，
不符合等差数列的前 项和的形式，
数列 不是等差数列.
证法二： ， 当 时， ；
当 时， ，
则 ，
当 时， 不满足上式，
故数列 不是等差数列.
素养提升练习
11. [2023山东省实验中学高二期末]设公差 不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
[解析]由题意得 ，得 ，令 ，则 ，所以 .故选 .
12. （多选题）在数列 中， ， ， ，则下列说法正确的是( )
A. B. 是等差数列 C. D.
【答案】ABC
[解析]因为 ， ，所以 ，
得 ， ，
又因为 ，所以 ，所以 ，且奇数项和偶数项均是公差为3的等差数列，故 ， 正确；
，故 正确；
由 ， 可知， 不成立，故 错误.
故选 .
13. [2023重庆南开中学高二期末]（多选题）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则( )
A. 数列 为递增数列 B.
C. 存在正整数 ，使得 D. 存在正整数 ，使得
【答案】 ACD
[解析]设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ,
所以 ,所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
由 ，得 ,得 ，所以数列 为递增数列， 正确.
， 错误.
由上述分析可知 ，所以当 时， ，所以存在正整数 ，使得 ， 正确.
, ，若 ，则 ，解得 （ 舍去）， 正确.
故选 .
14. 若单调递减的等差数列 中的两项 ， 是方程 的两个根，设数列 的前 项和为 ，则使 的 的最小值为 .
【答案】19
[解析]方程 的两根分别是9,1，设 的公差为 ，因为数列 单调递减，所以 , ，所以 , ,
所以 ，所以 ，
令 ,得 ，所以使 的 的最小值为19.
15. 已知等差数列的公差，且，则的前15项和 .
【答案】 15
[解析]由 ，得 ，
即 ，
又 ，所以 ，
由等差数列的性质可知， ，所以 ，
所以 .
16. [2023陕西咸阳高二月考]如图所示，在坐标平面内有一质点从坐标原点出发，最开始向右，随后沿着箭头标注的路线运动，运动的方向始终与坐标轴平行，且每2秒移动1个单位长度，根据其运动的规律知，经过 秒后，该质点首次落在直线 上.
【答案】1300
[解析]由 得 ，
根据题意可知，当该质点到达点 处时，首次落在直线 上.
质点到达 处走过的路程长度为2；质点到达 处走过的路程长度为 ；质点到达 处走过的路程长度为 ；……
以此类推，可知质点到达 处走过的路程长度为
，
故该质点到达 处时，走过的路程长度为 ，即经过1300秒.
17. 已知在等差数列 中，公差 ，其前 项和为 ，且 ， ．
（1） 求数列 的通项公式；
[解析]由题意得，
且 ，解得 或 （舍去），
所以 ，则 ，故 .
（2） 通过 构造一个新的数列 ，则非零常数 为何值时， 为等差数列？
[解析]由（1）可得， ，则 ，
所以 ， ， ．
因为 为等差数列，所以 ，
即 ，可得 或 （舍去），
所以当 时， 为等差数列．
18. 从 ， 中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
已知数列 是等差数列， 是 的前 项和， ， ．
（1）判断2 022是不是数列 中的项，并说明理由；
（2）求 的最小值．
[解析]若选①，
（1）设公差为 ，
则
解得 所以 ．
令 ，得 ，所以2 022不是数列 中的项．
（2）解法一：令 ，解得 ，所以当 时， ．
故当 时， 取到最小值，为 ．
解法二：由（1）得 ，
所以当 时， 取到最小值，为 .
若选②，
设公差为 ，则 解得
所以 ．
令 ，解得 ，所以2 022是数列 的第1 017项．
（2）解法一：令 ，得 ．
故当 或 时， 取到最小值，为 ．
解法二：由（1）得 ，
所以当 或 时， 取到最小值，为 .
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