高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业7 等差数列的前项和的综合应用（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业7 等差数列的前项和的综合应用（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 359.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-17 09:49:33 | ||
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文档简介
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课时作业7 等差数列的前项和的综合应用
基础达标练习
等差数列前 项和的性质及其应用
1. 已知等差数列 共有 项，若数列 中奇数项的和为190，偶数项的和为210， ，则公差 的值为 ( )
A. 2 B. 4 C. D.
2. 若等差数列 和 的前 项和分别是 和 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ( )
A. 1 B. 2 019 C. 2 020 D. 2 021
4. 若 是等差数列， 的前 项和，前 项和，前 项和分别是 , , ，则 ( )
A. B.
C. D.
5. （多选题）记 为等差数列 的前 项和，则( )
A. ， ， 成等差数列 B. ， ， 成等差数列
C. D.
6. 记等差数列 与 的前项和分别为和，若 ，则 .
二 、等差数列前 项和的综合应用
7. 已知数列 满足 , ,则 ( )
A. 9 B. 15 C. 18 D. 30
8. 在古巴比伦泥板上有这样一个数学问题：10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分.已知每一个级差相等，还知道老八分得6个金币（每个人分得的金币数可以是分数），那么老三应该得 个金币，老大比老二多得 个金币.
9. 已知数列 的前 项和 .
（1） 求证： 是等差数列；
（2） 求数列 的前 项和 .
10. 某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入使用后每年的收益均为21万元.设2021年为第1年，且该公司第 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和 （单位：万元）的情况如图所示.
（1） 求 ；
（2） 引进这种设备后，该公司从第几年开始获利？
素养提升练习
11. （多选题）将全体正整数按照以下排列的规律排成一个三角形数阵，则下列结论正确的是( )
A. 第8行最右边的数为36 B. 第10行从左向右第4个数为50
C. 第10行所有数的和为505 D. 第64行从左向右第5个数为2 021
12. （多选题）已知公差为 的等差数列 ， 为其前 项和，则下列说法正确的是( )
A. 若 ， ，则 是数列 中绝对值最小的项
B. 若 ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
13. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分为上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则第三层（即下层）共有扇面形石板 块.
14. 数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则 ，使得为整数的的个数为 .
15. 一本书的页码自1至，在把这本书的各页码累加起来的时候，有一个页码被错误地多加了一次，结果得到的错误和为，则这个被多加了一次的页码是 .
16. 已知等差数列 的前 项和为 ， , , ,数列 的前 项和为 .
（1） 求 ， ；
（2） 求 ， .
参考答案
基础达标练习
等差数列前 项和的性质及其应用
1. 已知等差数列 共有 项，若数列 中奇数项的和为190，偶数项的和为210， ，则公差 的值为 ( )
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】 A
[解析]由题意得 ， ，
所以 ，
，
所以 ， .
2. 若等差数列 和 的前 项和分别是 和 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
[解析]因为 和 是等差数列,所以 ，故选 .
3. 已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ( )
A. 1 B. 2 019 C. 2 020 D. 2 021
【答案】 C
[解析]由等差数列的性质可得 也为等差数列，设其公差为 ，
则 ，
，
.
4. 若 是等差数列， 的前 项和，前 项和，前 项和分别是 , , ，则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
[解析] 等差数列 的前 项和，前 项和，前 项和分别是 , , ，
， ， 成等差数列，
，整理得 ，故选 .
5. （多选题）记 为等差数列 的前 项和，则( )
A. ， ， 成等差数列 B. ， ， 成等差数列
C. D.
【答案】ABD
[解析]易知 ， ， 成等差数列， 正确；
由 ， ， ，知 ， ， 成等差数列， 正确；
， 错误；
， 正确.
故选 .
6. 记等差数列与的前项和分别为和，若，则 .
【答案】
[解析] ，
由 ，可得 ，
所以 .
二 、等差数列前 项和的综合应用
7. 已知数列 满足 , ,则 ( )
A. 9 B. 15 C. 18 D. 30
【答案】C
[解析] , , 数列 是公差为2,首项为 的等差数列， 数列 的前 项和 .令 ,解得 . 时， ; 时， ，则 .
8. 在古巴比伦泥板上有这样一个数学问题：10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分.已知每一个级差相等，还知道老八分得6个金币（每个人分得的金币数可以是分数），那么老三应该得 个金币，老大比老二多得 个金币.
【答案】14，
[解析]设10个兄弟由大到小依次分得 个金币，且数列 为等差数列，其公差为 ，前 项和为 ，
则 解得
所以老三应该得 个金币，老大比老二多 个金币.
9. 已知数列 的前 项和 .
（1） 求证： 是等差数列；
证明：由题意得，
当 时， ，
又 时， 满足上式，所以 .
由 可知，数列 是首项为23，公差为 的等差数列.
（2） 求数列 的前 项和 .
[解析]由（1）知，
当 时， ；
当 时， .
综上， .
10. 某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入使用后每年的收益均为21万元.设2021年为第1年，且该公司第 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和 （单位：万元）的情况如图所示.
（1） 求 ；
[解析]由题意知，数列 是 ，公差 的等差数列，
所以 .
（2） 引进这种设备后，该公司从第几年开始获利？
[解析]设引进这种设备后，净利润与年数 的关系为 ，
则 .
令 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以 ，3，4， ，18，
即该公司从第2年开始获利.
素养提升练习
11. （多选题）将全体正整数按照以下排列的规律排成一个三角形数阵，则下列结论正确的是( )
A. 第8行最右边的数为36 B. 第10行从左向右第4个数为50
C. 第10行所有数的和为505 D. 第64行从左向右第5个数为2 021
【答案】ACD
[解析]由正整数排列的规律可得，第 行结束的时候共排了 个数，则第 行的第一个数为 ，
所以第8行的第一个数为29，最右边的数为 ；第10行左边第一个数为46，从左向右的第4个数为49，第10行所有数的和为 ；第64行第1个数为 ，从左向右第5个数为2 021.故选 ．
12. （多选题）已知公差为 的等差数列 ， 为其前 项和，则下列说法正确的是( )
A. 若 ， ，则 是数列 中绝对值最小的项
B. 若 ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
【答案】ABD
[解析]因为 为等差数列，且 所以 即 所以 ， ，故 是数列 中绝对值最小的项，故 中说法正确；
因为 为等差数列，所以 ， ， 为等差数列，设 ，由 ，得 ，故 ， ， 为等差数列，故 ，所以 ，故 中说法正确；
因为 为等差数列，且 ， ，所以 ， ，则 ，则 ，故 中说法错误；
因为 为等差数列，且 ， ，所以 ，则 ，则 ，故 中说法正确.
故选 .
13. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分为上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则第三层（即下层）共有扇面形石板 块.
【答案】1 863
[解析]由题意可知，从上到下，从内到外，每环的扇面形石板数构成以9为首项，9为公差的等差数列，
设为 ，设上层有 环，则上层扇面形石板总数为 ，中层扇面形石板总数为 ，下层扇面形石板总数为 ，三层扇面形石板总数为 ，
因为 是等差数列，所以 , , 构成等差数列，公差为 ，
因为下层比中层多729块，所以 ，解得 ，
所以 .
14. 数列 与 均为等差数列，其前 项和分别为 与 ，若 ，则 ，使得 为整数的 的个数为 .
【答案】，2
[解析]易得 ，
，
若 为整数，且 ，则4能被 整除，故 或4，解得 或3，所以使得 为整数的 的个数为2.
15. 一本书的页码自1至 ，在把这本书的各页码累加起来的时候，有一个页码被错误地多加了一次，结果得到的错误和为 ，则这个被多加了一次的页码是 .
【答案】47
[解析]设被多加了一次的页码为 ，则 ，
显然有 ，
即有 ，
即
显然 是稍大于60的数，注意到 ， ，
有 ，则 ，
进而得 ．因此，被多加了一次的页码为47．
16. 已知等差数列 的前 项和为 ， , , ,数列 的前 项和为 .
（1） 求 ， ；
[解析]设 的公差为 ， 等差数列 中， , , , ，即 , ， ， ， ， ， ， .
（2） 求 ， .
[解析]由（1）知， ，
当 时， ;
当 时， ，
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课时作业7 等差数列的前项和的综合应用
基础达标练习
等差数列前 项和的性质及其应用
1. 已知等差数列 共有 项，若数列 中奇数项的和为190，偶数项的和为210， ，则公差 的值为 ( )
A. 2 B. 4 C. D.
2. 若等差数列 和 的前 项和分别是 和 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ( )
A. 1 B. 2 019 C. 2 020 D. 2 021
4. 若 是等差数列， 的前 项和，前 项和，前 项和分别是 , , ，则 ( )
A. B.
C. D.
5. （多选题）记 为等差数列 的前 项和，则( )
A. ， ， 成等差数列 B. ， ， 成等差数列
C. D.
6. 记等差数列 与 的前项和分别为和，若 ，则 .
二 、等差数列前 项和的综合应用
7. 已知数列 满足 , ,则 ( )
A. 9 B. 15 C. 18 D. 30
8. 在古巴比伦泥板上有这样一个数学问题：10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分.已知每一个级差相等，还知道老八分得6个金币（每个人分得的金币数可以是分数），那么老三应该得 个金币，老大比老二多得 个金币.
9. 已知数列 的前 项和 .
（1） 求证： 是等差数列；
（2） 求数列 的前 项和 .
10. 某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入使用后每年的收益均为21万元.设2021年为第1年，且该公司第 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和 （单位：万元）的情况如图所示.
（1） 求 ；
（2） 引进这种设备后，该公司从第几年开始获利？
素养提升练习
11. （多选题）将全体正整数按照以下排列的规律排成一个三角形数阵，则下列结论正确的是( )
A. 第8行最右边的数为36 B. 第10行从左向右第4个数为50
C. 第10行所有数的和为505 D. 第64行从左向右第5个数为2 021
12. （多选题）已知公差为 的等差数列 ， 为其前 项和，则下列说法正确的是( )
A. 若 ， ，则 是数列 中绝对值最小的项
B. 若 ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
13. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分为上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则第三层（即下层）共有扇面形石板 块.
14. 数列与均为等差数列，其前项和分别为与，若，则 ，使得为整数的的个数为 .
15. 一本书的页码自1至，在把这本书的各页码累加起来的时候，有一个页码被错误地多加了一次，结果得到的错误和为，则这个被多加了一次的页码是 .
16. 已知等差数列 的前 项和为 ， , , ,数列 的前 项和为 .
（1） 求 ， ；
（2） 求 ， .
参考答案
基础达标练习
等差数列前 项和的性质及其应用
1. 已知等差数列 共有 项，若数列 中奇数项的和为190，偶数项的和为210， ，则公差 的值为 ( )
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】 A
[解析]由题意得 ， ，
所以 ，
，
所以 ， .
2. 若等差数列 和 的前 项和分别是 和 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
[解析]因为 和 是等差数列,所以 ，故选 .
3. 已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ( )
A. 1 B. 2 019 C. 2 020 D. 2 021
【答案】 C
[解析]由等差数列的性质可得 也为等差数列，设其公差为 ，
则 ，
，
.
4. 若 是等差数列， 的前 项和，前 项和，前 项和分别是 , , ，则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
[解析] 等差数列 的前 项和，前 项和，前 项和分别是 , , ，
， ， 成等差数列，
，整理得 ，故选 .
5. （多选题）记 为等差数列 的前 项和，则( )
A. ， ， 成等差数列 B. ， ， 成等差数列
C. D.
【答案】ABD
[解析]易知 ， ， 成等差数列， 正确；
由 ， ， ，知 ， ， 成等差数列， 正确；
， 错误；
， 正确.
故选 .
6. 记等差数列与的前项和分别为和，若，则 .
【答案】
[解析] ，
由 ，可得 ，
所以 .
二 、等差数列前 项和的综合应用
7. 已知数列 满足 , ,则 ( )
A. 9 B. 15 C. 18 D. 30
【答案】C
[解析] , , 数列 是公差为2,首项为 的等差数列， 数列 的前 项和 .令 ,解得 . 时， ; 时， ，则 .
8. 在古巴比伦泥板上有这样一个数学问题：10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分.已知每一个级差相等，还知道老八分得6个金币（每个人分得的金币数可以是分数），那么老三应该得 个金币，老大比老二多得 个金币.
【答案】14，
[解析]设10个兄弟由大到小依次分得 个金币，且数列 为等差数列，其公差为 ，前 项和为 ，
则 解得
所以老三应该得 个金币，老大比老二多 个金币.
9. 已知数列 的前 项和 .
（1） 求证： 是等差数列；
证明：由题意得，
当 时， ，
又 时， 满足上式，所以 .
由 可知，数列 是首项为23，公差为 的等差数列.
（2） 求数列 的前 项和 .
[解析]由（1）知，
当 时， ；
当 时， .
综上， .
10. 某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入使用后每年的收益均为21万元.设2021年为第1年，且该公司第 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和 （单位：万元）的情况如图所示.
（1） 求 ；
[解析]由题意知，数列 是 ，公差 的等差数列，
所以 .
（2） 引进这种设备后，该公司从第几年开始获利？
[解析]设引进这种设备后，净利润与年数 的关系为 ，
则 .
令 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以 ，3，4， ，18，
即该公司从第2年开始获利.
素养提升练习
11. （多选题）将全体正整数按照以下排列的规律排成一个三角形数阵，则下列结论正确的是( )
A. 第8行最右边的数为36 B. 第10行从左向右第4个数为50
C. 第10行所有数的和为505 D. 第64行从左向右第5个数为2 021
【答案】ACD
[解析]由正整数排列的规律可得，第 行结束的时候共排了 个数，则第 行的第一个数为 ，
所以第8行的第一个数为29，最右边的数为 ；第10行左边第一个数为46，从左向右的第4个数为49，第10行所有数的和为 ；第64行第1个数为 ，从左向右第5个数为2 021.故选 ．
12. （多选题）已知公差为 的等差数列 ， 为其前 项和，则下列说法正确的是( )
A. 若 ， ，则 是数列 中绝对值最小的项
B. 若 ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
【答案】ABD
[解析]因为 为等差数列，且 所以 即 所以 ， ，故 是数列 中绝对值最小的项，故 中说法正确；
因为 为等差数列，所以 ， ， 为等差数列，设 ，由 ，得 ，故 ， ， 为等差数列，故 ，所以 ，故 中说法正确；
因为 为等差数列，且 ， ，所以 ， ，则 ，则 ，故 中说法错误；
因为 为等差数列，且 ， ，所以 ，则 ，则 ，故 中说法正确.
故选 .
13. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分为上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则第三层（即下层）共有扇面形石板 块.
【答案】1 863
[解析]由题意可知，从上到下，从内到外，每环的扇面形石板数构成以9为首项，9为公差的等差数列，
设为 ，设上层有 环，则上层扇面形石板总数为 ，中层扇面形石板总数为 ，下层扇面形石板总数为 ，三层扇面形石板总数为 ，
因为 是等差数列，所以 , , 构成等差数列，公差为 ，
因为下层比中层多729块，所以 ，解得 ，
所以 .
14. 数列 与 均为等差数列，其前 项和分别为 与 ，若 ，则 ，使得 为整数的 的个数为 .
【答案】，2
[解析]易得 ，
，
若 为整数，且 ，则4能被 整除，故 或4，解得 或3，所以使得 为整数的 的个数为2.
15. 一本书的页码自1至 ，在把这本书的各页码累加起来的时候，有一个页码被错误地多加了一次，结果得到的错误和为 ，则这个被多加了一次的页码是 .
【答案】47
[解析]设被多加了一次的页码为 ，则 ，
显然有 ，
即有 ，
即
显然 是稍大于60的数，注意到 ， ，
有 ，则 ，
进而得 ．因此，被多加了一次的页码为47．
16. 已知等差数列 的前 项和为 ， , , ,数列 的前 项和为 .
（1） 求 ， ；
[解析]设 的公差为 ， 等差数列 中， , , , ，即 , ， ， ， ， ， ， .
（2） 求 ， .
[解析]由（1）知， ，
当 时， ;
当 时， ，
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