高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业8 等比数列的概念及其通项公式（含答案）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选必修2 课时作业8 等比数列的概念及其通项公式（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 313.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-17 09:49:40 | ||
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文档简介
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课时作业8 等比数列的概念及其通项公式
基础达标练习
一、等比数列的概念
1. （多选题）下列说法正确的有( )
A. 等比数列中的项不能为0
B. 等比数列的公比的取值范围是
C. 若一个常数列是等比数列，则公比为1
D. ， ， ， ， 是等比数列
2. [2023湖北荆门高二测试]若 ，2， ， 成等比数列，则
3. 判断下列数列是不是等比数列.如果是，写出它的公比.
（1） 9， ， ， ；
（2） ， ， ， ；
（3） ， ， ， ；
（4） ， ， ， .
二、等比中项及其简单应用
4. 已知等差数列 中， ，公差 ，如果 ， ， 成等比数列，那么 等于( )
A. 2或 B. C. 2 D. 3
5. 已知 ， ， 是正实数，则“ ， ， 成等差数列”是“ ， ， 成等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 设等差数列 的公差 不为0， ,若 是 与 的等比中项,则 等于 ．
7. [2022山西大学附中高二期中]已知 , ，若 ,2, 成等比数列，则 的最小值为 ．
题组三 等比数列的通项公式及其简单应用
8. 已知等比数列单调递增，且 ， ，则 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
9. [2023湖北十堰高二测试]公比不为1的等比数列 中，若 , , 成等差数列，则数列 的公比为 .
10. [2023江西高二测试]等比数列 中， , ，则该数列的通项公式为 .
11. 在等比数列 中，
（1） 已知 ， ，且公比 ，求 ；
（2） 已知 ， ，求公比 和通项公式.
素养提升练习
12.（多选题）已知数列 中， ， ，则下列说法正确的是( )
A. 若 是等比数列，则 或8 B. 若 是等比数列，则 或
C. 若 是等差数列，则 D. 若 是等差数列，则公差为
13. 十二平均律是我国明代音乐家朱载堉发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次构成递增的等比数列，依此规律，新插入的第4个数应为( )
A. B. C. D.
14. 若在1和36之间添加一个实数 ,使1， ，36成等比数列，则 ；若在1和36之间添加三个实数 , , ，使1， ， ， ，36成等比数列，则 .
15. 已知三个数1， ，9成等比数列，则圆锥曲线 的离心率为 .
16.正项等比数列 中， ，且存在两项 , 使得 ，求 的最小值.
17. 在 ， ； ， ; ， 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，等比数列 的公比为 ，且 ， ， ，求数列 , 的通项公式.
参考答案
基础达标练习
一、等比数列的概念
1. （多选题）下列说法正确的有( )
A. 等比数列中的项不能为0
B. 等比数列的公比的取值范围是
C. 若一个常数列是等比数列，则公比为1
D. ， ， ， ， 是等比数列
【答案】 AC
[解析]显然 ， 中说法正确；等比数列的公比不能为0，故 中说法错误；
由于 ，故不是等比数列， 中说法错误．故选 .
2. [2023湖北荆门高二测试]若 ，2， ， 成等比数列，则
【答案】 4.
[解析]根据题意得， ，解得 ， ，所以 .
3. 判断下列数列是不是等比数列.如果是，写出它的公比.
（1） 9， ， ， ；
[解析]数列9， ， ， 的后一项与前一项的比值是同一个常数 ，所以根据等比数列的定义可知，该数列是以0.1为公比的等比数列.
（2） ， ， ， ；
[解析]数列 ， ， ， 的后一项与前一项的比值是同一个常数 ，所以根据等比数列的定义可知，该数列是以 为公比的等比数列.
（3） ， ， ， ；
[解析]数列 ， ， ， 的后一项与前一项的比值是同一个常数 ，所以根据等比数列的定义可知，该数列是以108为公比的等比数列.
（4） ， ， ， .
[解析]数列 ， ， ， 的后一项与前一项的比值不是同一个常数，所以该数列不是等比数列.
二、等比中项及其简单应用
4. 已知等差数列 中， ，公差 ，如果 ， ， 成等比数列，那么 等于( )
A. 2或 B. C. 2 D. 3
【答案】 C
[解析]因为 ， ， 成等比数列，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，解得 （ 舍去）.
5. 已知 ， ， 是正实数，则“ ， ， 成等差数列”是“ ， ， 成等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 C
[解析]若 ， ， 成等差数列，则 ，
所以 ，即正实数 ， ， 成等比数列.若正实数 ， ， 成等比数列，则 ，所以 ，即 ，即 ， ， 成等差数列.所以“ ， ， 成等差数列”是“正实数 ， ， 成等比数列”的充要条件.
6. 设等差数列 的公差 不为0， ,若 是 与 的等比中项,则 等于 ．
【答案】 5
[解析]因为 , 是 与 的等比中项，所以 ，
即 ，整理得 ，
解得 或 （舍去）.
7. [2022山西大学附中高二期中]已知 , ，若 ,2, 成等比数列，则 的最小值为 ．
【答案】 8
[解析]由 , ， ,2, 成等比数列，得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号,故答案为8.
题组三 等比数列的通项公式及其简单应用
8. 已知等比数列单调递增，且 ， ，则 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
【答案】 C[解析]设 的公比为 ，因为 为等比数列，且单调递增，
所以 解得 （舍去）或
所以 ，
故选 .
9. [2023湖北十堰高二测试]公比不为1的等比数列 中，若 , , 成等差数列，则数列 的公比为 .
【答案】
[解析]由 , , 成等差数列，得 ，即 ， ，则 或 ，
又等比数列 的公比不为1， .
10. [2023江西高二测试]等比数列 中， , ，则该数列的通项公式为 .
【答案】
[解析]由 , ，可得
两式相除得 ，解得 ,
代入 ，得 ,所以 , .
11. 在等比数列 中，
（1） 已知 ， ，且公比 ，求 ；
[解析] ，
，又 , ,
.
（2） 已知 ， ，求公比 和通项公式.
[解析] ,
， .
当 时, ，
当 时， ，
数列 的公比为2或 ，
对应的通项公式分别为 和 .
素养提升练习
12.（多选题）已知数列 中， ， ，则下列说法正确的是( )
A. 若 是等比数列，则 或8 B. 若 是等比数列，则 或
C. 若 是等差数列，则 D. 若 是等差数列，则公差为
【答案】 BCD
[解析]由 ， ，数列 是等比数列，得 ，所以 ，解得 ，则 ， ，故 错误，故 正确；由 ， ，数列 是等差数列，得 ，解得 ，故 正确；由 ， ，数列 是等差数列，得 ，解得 ，故 正确.故选 .
13. 十二平均律是我国明代音乐家朱载堉发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次构成递增的等比数列，依此规律，新插入的第4个数应为( )
A. B. C. D.
【答案】 B
[解析]设这13个数组成的等比数列为 ，公比为 ，则 , ，所以 ，即 ，所以新插入的第4个数 .故选 .
14. 若在1和36之间添加一个实数 ,使1， ，36成等比数列，则 ；若在1和36之间添加三个实数 , , ，使1， ， ， ，36成等比数列，则 .
【答案】 , 6
[解析]若在1和36之间添加一个实数 ,使1， ，36成等比数列，则 ，解得 .若在1和36之间添加三个实数 , , ，使1， ， ， ，36成等比数列，则1， ，36仍然成等比数列，得 ，解得 .当 时，1， ， 不是等比数列（ 无实数解），不满足题意，所以 .
15. 已知三个数1， ，9成等比数列，则圆锥曲线 的离心率为 .
【答案】 或
[解析]因为三个数1， ，9成等比数列，所以 ，则 .
当 时，曲线方程为 ，表示椭圆，其长半轴长为 ，半焦距为1，所以离心率为 ；
当 时，曲线方程为 ，表示双曲线，其实半轴长为 ，半焦距为 ，所以离心率为 .
16.正项等比数列 中， ，且存在两项 , 使得 ，求 的最小值.
[解析]设正项等比数列 的公比为 ，
由 ，得 ，则 ，解得 （舍去）或 ，
由 ，得 ，
，即 ，
（当且仅当 ， 时取等号）， 的最小值为 .
17. 在 ， ； ， ; ， 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，等比数列 的公比为 ，且 ， ， ，求数列 , 的通项公式.
[解析]选条件①：
因为 ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ，
联立得 解得 或 （舍去），
则 , ,
故 , .
选条件②:
因为 , , ，所以 ，
因为 ，所以 ,
联立得 解得 或 （舍去），
则 , ,
故 , .
选条件③:
因为 ，所以 ，
因为 , , ,所以 ,
联立得
解得 或 （舍去），
则 , ，
故 , .
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课时作业8 等比数列的概念及其通项公式
基础达标练习
一、等比数列的概念
1. （多选题）下列说法正确的有( )
A. 等比数列中的项不能为0
B. 等比数列的公比的取值范围是
C. 若一个常数列是等比数列，则公比为1
D. ， ， ， ， 是等比数列
2. [2023湖北荆门高二测试]若 ，2， ， 成等比数列，则
3. 判断下列数列是不是等比数列.如果是，写出它的公比.
（1） 9， ， ， ；
（2） ， ， ， ；
（3） ， ， ， ；
（4） ， ， ， .
二、等比中项及其简单应用
4. 已知等差数列 中， ，公差 ，如果 ， ， 成等比数列，那么 等于( )
A. 2或 B. C. 2 D. 3
5. 已知 ， ， 是正实数，则“ ， ， 成等差数列”是“ ， ， 成等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 设等差数列 的公差 不为0， ,若 是 与 的等比中项,则 等于 ．
7. [2022山西大学附中高二期中]已知 , ，若 ,2, 成等比数列，则 的最小值为 ．
题组三 等比数列的通项公式及其简单应用
8. 已知等比数列单调递增，且 ， ，则 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
9. [2023湖北十堰高二测试]公比不为1的等比数列 中，若 , , 成等差数列，则数列 的公比为 .
10. [2023江西高二测试]等比数列 中， , ，则该数列的通项公式为 .
11. 在等比数列 中，
（1） 已知 ， ，且公比 ，求 ；
（2） 已知 ， ，求公比 和通项公式.
素养提升练习
12.（多选题）已知数列 中， ， ，则下列说法正确的是( )
A. 若 是等比数列，则 或8 B. 若 是等比数列，则 或
C. 若 是等差数列，则 D. 若 是等差数列，则公差为
13. 十二平均律是我国明代音乐家朱载堉发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次构成递增的等比数列，依此规律，新插入的第4个数应为( )
A. B. C. D.
14. 若在1和36之间添加一个实数 ,使1， ，36成等比数列，则 ；若在1和36之间添加三个实数 , , ，使1， ， ， ，36成等比数列，则 .
15. 已知三个数1， ，9成等比数列，则圆锥曲线 的离心率为 .
16.正项等比数列 中， ，且存在两项 , 使得 ，求 的最小值.
17. 在 ， ； ， ; ， 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，等比数列 的公比为 ，且 ， ， ，求数列 , 的通项公式.
参考答案
基础达标练习
一、等比数列的概念
1. （多选题）下列说法正确的有( )
A. 等比数列中的项不能为0
B. 等比数列的公比的取值范围是
C. 若一个常数列是等比数列，则公比为1
D. ， ， ， ， 是等比数列
【答案】 AC
[解析]显然 ， 中说法正确；等比数列的公比不能为0，故 中说法错误；
由于 ，故不是等比数列， 中说法错误．故选 .
2. [2023湖北荆门高二测试]若 ，2， ， 成等比数列，则
【答案】 4.
[解析]根据题意得， ，解得 ， ，所以 .
3. 判断下列数列是不是等比数列.如果是，写出它的公比.
（1） 9， ， ， ；
[解析]数列9， ， ， 的后一项与前一项的比值是同一个常数 ，所以根据等比数列的定义可知，该数列是以0.1为公比的等比数列.
（2） ， ， ， ；
[解析]数列 ， ， ， 的后一项与前一项的比值是同一个常数 ，所以根据等比数列的定义可知，该数列是以 为公比的等比数列.
（3） ， ， ， ；
[解析]数列 ， ， ， 的后一项与前一项的比值是同一个常数 ，所以根据等比数列的定义可知，该数列是以108为公比的等比数列.
（4） ， ， ， .
[解析]数列 ， ， ， 的后一项与前一项的比值不是同一个常数，所以该数列不是等比数列.
二、等比中项及其简单应用
4. 已知等差数列 中， ，公差 ，如果 ， ， 成等比数列，那么 等于( )
A. 2或 B. C. 2 D. 3
【答案】 C
[解析]因为 ， ， 成等比数列，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，解得 （ 舍去）.
5. 已知 ， ， 是正实数，则“ ， ， 成等差数列”是“ ， ， 成等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 C
[解析]若 ， ， 成等差数列，则 ，
所以 ，即正实数 ， ， 成等比数列.若正实数 ， ， 成等比数列，则 ，所以 ，即 ，即 ， ， 成等差数列.所以“ ， ， 成等差数列”是“正实数 ， ， 成等比数列”的充要条件.
6. 设等差数列 的公差 不为0， ,若 是 与 的等比中项,则 等于 ．
【答案】 5
[解析]因为 , 是 与 的等比中项，所以 ，
即 ，整理得 ，
解得 或 （舍去）.
7. [2022山西大学附中高二期中]已知 , ，若 ,2, 成等比数列，则 的最小值为 ．
【答案】 8
[解析]由 , ， ,2, 成等比数列，得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号,故答案为8.
题组三 等比数列的通项公式及其简单应用
8. 已知等比数列单调递增，且 ， ，则 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
【答案】 C[解析]设 的公比为 ，因为 为等比数列，且单调递增，
所以 解得 （舍去）或
所以 ，
故选 .
9. [2023湖北十堰高二测试]公比不为1的等比数列 中，若 , , 成等差数列，则数列 的公比为 .
【答案】
[解析]由 , , 成等差数列，得 ，即 ， ，则 或 ，
又等比数列 的公比不为1， .
10. [2023江西高二测试]等比数列 中， , ，则该数列的通项公式为 .
【答案】
[解析]由 , ，可得
两式相除得 ，解得 ,
代入 ，得 ,所以 , .
11. 在等比数列 中，
（1） 已知 ， ，且公比 ，求 ；
[解析] ，
，又 , ,
.
（2） 已知 ， ，求公比 和通项公式.
[解析] ,
， .
当 时, ，
当 时， ，
数列 的公比为2或 ，
对应的通项公式分别为 和 .
素养提升练习
12.（多选题）已知数列 中， ， ，则下列说法正确的是( )
A. 若 是等比数列，则 或8 B. 若 是等比数列，则 或
C. 若 是等差数列，则 D. 若 是等差数列，则公差为
【答案】 BCD
[解析]由 ， ，数列 是等比数列，得 ，所以 ，解得 ，则 ， ，故 错误，故 正确；由 ， ，数列 是等差数列，得 ，解得 ，故 正确；由 ， ，数列 是等差数列，得 ，解得 ，故 正确.故选 .
13. 十二平均律是我国明代音乐家朱载堉发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次构成递增的等比数列，依此规律，新插入的第4个数应为( )
A. B. C. D.
【答案】 B
[解析]设这13个数组成的等比数列为 ，公比为 ，则 , ，所以 ，即 ，所以新插入的第4个数 .故选 .
14. 若在1和36之间添加一个实数 ,使1， ，36成等比数列，则 ；若在1和36之间添加三个实数 , , ，使1， ， ， ，36成等比数列，则 .
【答案】 , 6
[解析]若在1和36之间添加一个实数 ,使1， ，36成等比数列，则 ，解得 .若在1和36之间添加三个实数 , , ，使1， ， ， ，36成等比数列，则1， ，36仍然成等比数列，得 ，解得 .当 时，1， ， 不是等比数列（ 无实数解），不满足题意，所以 .
15. 已知三个数1， ，9成等比数列，则圆锥曲线 的离心率为 .
【答案】 或
[解析]因为三个数1， ，9成等比数列，所以 ，则 .
当 时，曲线方程为 ，表示椭圆，其长半轴长为 ，半焦距为1，所以离心率为 ；
当 时，曲线方程为 ，表示双曲线，其实半轴长为 ，半焦距为 ，所以离心率为 .
16.正项等比数列 中， ，且存在两项 , 使得 ，求 的最小值.
[解析]设正项等比数列 的公比为 ，
由 ，得 ，则 ，解得 （舍去）或 ，
由 ，得 ，
，即 ，
（当且仅当 ， 时取等号）， 的最小值为 .
17. 在 ， ； ， ; ， 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，等比数列 的公比为 ，且 ， ， ，求数列 , 的通项公式.
[解析]选条件①：
因为 ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ，
联立得 解得 或 （舍去），
则 , ,
故 , .
选条件②:
因为 , , ，所以 ，
因为 ，所以 ,
联立得 解得 或 （舍去），
则 , ,
故 , .
选条件③:
因为 ，所以 ，
因为 , , ,所以 ,
联立得
解得 或 （舍去），
则 , ，
故 , .
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