2026 届高一年级第一次联考试题答案
一、选择题（单选） ：
1 2 3 4 5 6 7 8
C A D B B C A B
二、选择题（多选）：
9 10 11
BCD AC CD
9．【详解】对于 A，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，
故 A 正确；
对于 B，若 a b也有可能 a，b长度不等，但方向相同或相反，即共线，故 B 错误；
对于 C，若 AB DC ，则 AB，DC可以方向不同，所以四边形 ABCD不一定是平行四边形，
故 C 错误；
对于 D，因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故 D错误.
故选：BCD.
log 18 lg18 lg 2 lg9 2lg3 lg 2 2 m n10．【详解】对于 A： 5 lg5 1 lg 2 1 lg 2 1 n ，故 A 正确；
1
21 2 2 11 2 1 2 0 2 1 1 1 2 1 2对于 B： 1 2 1 2 1 2
2 1 2 1，故 B 错误；
1 2
对于 C： 2 ln ln ee 9 2 ln e 9 2 7，故 C 正确；
3
D log 3 log 4 log 3
log
2
4
对于 ： 2 9 2 log 3
2
1
log 9 2 2log 3 ，故 D错误， 故选：AC．2 2
11．【详解】对于 A，复数 2 i在复平面内对应的点为(2,-1)，在第四象限，故 A 错误；
对于 B， i4n 3 i4n i3 i3 i ，故 B 错误；
对于 C，复数 z a bi(a,b R)为纯虚数，则 a 0,b 0，故 C 正确；
对于 D， z z 1在复平面内表示到点 2,1 距离小于等于 1 的所有的点，所以形成的图形1
为以 2,1 为圆心 1 为半径的圆，所以面积为 S π，故 D 正确； 故选：CD.
三、填空题
3
12． 13 13． 14．3
1
{#{QQABCQIAogggAJJAARgCQQHwCEAQkBGCAIoOxAAMsAABiQFABAA=}#}
14、【详解】 AP FC 2AP AB 作 PP AB
要使 AP AB最大,必须让 cos AP, AB 0
所以 AP AB | AP | | AB | cos AP ,AB AP | AB |
C AP 如图可知，当 P在 处时, 最大,从而 AP AB最大
此时 | AP | | AC | 3, AP, AB , AP 3 3 AB 3 1 故答案为：3
6 2 2
四、解答题：
15、【详解】（1） a ( 2,3),b 20 , 1 ，且 c=a 2b
c=a 2b= 2,3 2 1, 1 2 2,3 2 0,1 ......2 分
a c 2,3 0,1 2,4 ， b c 1, 1 0,1 1,0 ......6 分
（2）设 a c与b c夹角为 ， a c b c 2, 4 1,0 2，......8 分
a c = 4+16=2 5， b c 1......11 分
cos (a c ) (b c ) 2 5
5 ．......13 分| a c | | b c | 2 5
sinC 2 c
16、【详解】（1）在 ABC中，由正弦定理可知原式 可化
sin B 2 sinC 2 sin A 2 b
c2 c
为 22 2 2 ，化简得，b c
2 a2 bc，......4 分
b c a b
2 2 2
在 ABC b c a 1中，由余弦定理得， cosA ，......7 分
2bc 2
又因为0 A π，所以 A π ......9 分
3
2
（2）由余弦定理得 7 b c 2 2 bc cos
3
（ b c ) 2 3bc ( b 3 c ) 2 ( b c ) 2
4
7 1 ( b c ) 2
4
b c 2 7 13 分
当且仅当b c时取等号，所以周长的最大值为3 7；......15 分
2
{#{QQABCQIAogggAJJAARgCQQHwCEAQkBGCAIoOxAAMsAABiQFABAA=}#}
17、【详解】（1）因为虚数不能比较大小，所以 z1, z2为实数，......2 分
a 1 0
a2 a 2
又因为 z
1 z2，所以 0 ......6 分 解得 a 1 ......8 分
8
2
3 a 3
4
（2）当 a 0时， z1 3 i z
3 1
， 2 i，......10 分4 4
所以，
ei 1 3 z1 z2 cos i sin i......12分2 2
cos 1 ,sin 3 ,......13分
2 2
0 2 5 （ ， ）， ......15分
3
18.【详解】（1）由题意知： ADC 360 120 90 60 90 ．......1 分
AC AD
在 ACD中，由正弦定理： ，即： AC 2 3 cos ，......2 分sin ADC sin ACD
在 ABC中，∵ ACB ，∴ CAB 60 ．
AB BC AC
由正弦定理： 4cos sin sin 60 sin120 ，......5 分
AB 4cos sin 2sin 2 ， BC 4cos sin 60 ，......6 分
∴ S AB BC 2sin 2 4cos sin 60 且0 60 ，又
S sin 2 3 cos 2 3 2sin 2 60 3，......7 分
∵0 60 ，∴60 2 60 180 ，
∴S的最大值为 2 3，当且仅当 15 时取得等号．......9 分
（2）由（1）知： BC 4cos sin 60 ，CD 2 3 sin 30 ．
∴ S
1
4cos sin 60 2 3 sin 30 sin 60 ......11 分
2
=2cos sin 90 30 2 3 sin 30 sin 60
2cos sin(60 )2 3 cos(30 ) sin(30 )
3
{#{QQABCQIAogggAJJAARgCQQHwCEAQkBGCAIoOxAAMsAABiQFABAA=}#}
( 3 cos2 sin cos ) 3 sin(2 60 )
3 sin(2 60 )( 3 3 cos 2 1 sin 2 )
2 2 2
3 sin(2 60 )[sin(2 60 ) 3 ]，
2
∴ S 3 sin 2 3 60 sin 2 60 ，......14 分
2
不妨设 t sin 2 60 ，又∵0 60 ，∴60 2 60 180 ， t 0,1 ，
∴ S 3t 2
3
t而 S在 t 0,1 上单调递增，
2
Smax S 1
3
3，当且仅当 15 时取得等号.......17 分
2
19.解：（1） 由题知 ABC 105 .AB AD 10 2,BC 10
cos105 cos60 cos 45 sin 60 sin 45 2 6 ......2分
4
由余弦定理得：
AC 200 2 6 100 200 2 200 100 3......5分
4
(2) 延长 DA,CB 交于 E,易知
DEB 15 ......6分
cos 6 2 DEB cos(60 45 ) ......8分
4
AD BC 10 2 10 6 2 50( 3 1)......10分
4
(3)
DA DB DA
2 DB2 AB2
......11分
2
2
DA DC DA DC
2 AC 2
......12分
2
4
{#{QQABCQIAogggAJJAARgCQQHwCEAQkBGCAIoOxAAMsAABiQFABAA=}#}
两式相减得： 2 2 2 2
DA DC AB AC DB (DC DB) ......14分
2
2
AD BC AC BD
2 AB2 DC 2 16 9 13 2
5......17分
2 2
5
{#{QQABCQIAogggAJJAARgCQQHwCEAQkBGCAIoOxAAMsAABiQFABAA=}#}2026 届高一年级第一次联考试题
数学学科
考试时间：120 分钟：总分：150 分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
一 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1 2．设集合 A x x 2x 0 ，则下列表述正确的是（ ）
A． 2 A B． 2 A C． 0 A D．0 A
2．已知向量BC (2,1)，AB (ln1, 1)，则 AC （ ）
A．2 B．3 C． 2 D．2 2
Z=2cos i sin 11 3．已知复数 ，则复数 Z的共轭复数Z=（ ）3 6
1
A． 3 i
1 1 1
B． 3+ i C．1 i D．1+ i
2 2 2 2
4．已知 0A． 3 B．3 C．1 D．6
π
5. 已知锐角 的终边过点（2，1），则 cos （ ）
4
A 10 B 10 C 3 10 D 3 10． ． ． ．
10 10 10 10
6．已知向量 a log2 8,1 ，b
tan ,m ，若 a b，则m （ ）
3
A． 3 B． 2 3 C． 3 3 D．3 3
7 2． 若 函 数 f x m 1 x m 1 x 7 是 定 义 在 ( 2n,3n-3) 上 的 偶 函 数 ， 则
f n f m
A．34 B．25 C．16 D．9
8．已知 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a 2，b，c，若b ac，且2c a，则 cos A （ ）
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABCQIAogggAJJAARgCQQHwCEAQkBGCAIoOxAAMsAABiQFABAA=}#}
A 2 2 2 2． B． C． D．
3 4 3 4
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．下列结论中，错误的是（ ）
A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
B．若 a b，则 a，b不是共线向量；
C．若 AB DC ，则四边形 ABCD是平行四边形；
D a b a b a
． 与 同向，且 ，则 b
10．以下运算中正确的有（ ）
A．若 lg3 m, lg 2 n，则 log
2m n
518 1 n
1
B．
(1 2)
2 2 (1 2) 1 (1 2)
0 3 2 2
C 1
2
． e 2ln ln e 7
3
D． log2 3 log9 4 2
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数 2 i在复平面内对应的点在第二象限
B．若 i为虚数单位， n为正整数，则 i4n 3 i
C．若复数 z a bi(a,b R)为纯虚数，则 a 0，b 0
D．若 z 2 i， z1 x yi， z z1 1 ，则在复平面内 z1对应的点形成的图形的面积
为 .
三 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
a
2π
12．已知向量 ，b 的夹角为 ， a 1， b 2，则 3a 2b = ．3
13．一个扇形的弧长为6π，面积为 24 ，则此扇形的圆心角为 ．（用弧度制表示）
14．在 2022年 2月 4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一
场视觉盛宴，象征各国 各地区代表团的 91朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未
来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边 ABCDEF.已知
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABCQIAogggAJJAARgCQQHwCEAQkBGCAIoOxAAMsAABiQFABAA=}#}
正六边形的边长为 1，点 P是其内部一点（包含边界），则 AP FC的最大值是
第 16 题图
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知 a ( 2,3),b 1, 1 ，存在 c满足 c=a 2b。
(1) 求向量c、 a c、b c的坐标； (2)求 a c与b c夹角的余弦值.
16．（15分）
sinC 2
在 ABC中，内角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c
c
，已知 ．
sin B 2 sinC 2 sin A 2 b
(1)求角A；
(2)若 a 7，求 ABC周长的最大值。
17．（15分）
1707年 4月 15日，欧拉出生在瑞士巴塞尔一个牧师家庭，自幼受父亲的熏陶，喜爱数学。
13岁入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。是十八世纪数学界最杰出的人
物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：
2 2
z ei cos i sin i a 3 a a 2（ 是虚数单位）．已知复数 z1 3 a 1 i，z2 + i，4 8
a R．
(1)当 z z 时，求 a的值； (2)当 a 0时，若 ei 1 2 z1 z2且 （0，2 ）求 的值．
试卷第 3页，共 4页
{#{QQABCQIAogggAJJAARgCQQHwCEAQkBGCAIoOxAAMsAABiQFABAA=}#}
18．（17分）
今年 2月，贵州省多地连续高温，森林防灭火形势严峻，某县消防部门安排了甲、乙两名森
林防火护林员对该县一区域开展巡查．现甲、乙两名森林防火护林员同时从 A地出发，乙
沿着正西方向巡视走了 3km 后到达 D点，甲向正南方向巡视若干公里后到达 B点，又沿着
南偏西 60°的方向巡视走到了 C点，经过测量发现 ACD 60 ．设 ACB ，如图所示．
(1)设甲护林员巡视走过的路程为 S AB BC，请用 表示 S，并求 S的最大值；
(2)为了强化应急应战准备工作，有关部门决定在△BCD区域范围内储备应急物资，求
△BCD区域面积的最大值．
19.（17分）
小明将一套斜边相等的三角板拼在一起，构成四边形 ABCD（如图 1），其中
DAB BCD 90 , AB AD,BD 20, DBC 60
(1)求 AC的长 （2）求 AD BC的值
（3）如图 2，四边形 ABCD中，AB 13,BC 5,CD 2, AD 10, AC 4,BD 3
,求 AD BC的值 D D
C
A
A
C
B
B 19题图2
19 题图 1
试卷第 4页，共 4页
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