2023-2024学年沪科版初中数学八年级上册 15.3等腰三角形 同步分层训练 培优卷
一、选择题
1．（2024八下·高州月考）下列条件中不能确定是等腰三角形的是（ ）
A．三条边都相等的三角形
B．有一个锐角是45°的直角三角形
C．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形
D．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形
2．如图，在中，是的角平分线，过点分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC=90° B． C． D．
3．如图，分别以A，B为圆心，大于的长度为半径作弧，交点分别为M，N，连接MN交AC于点，下列说法一定正确的是（ ）
A．是直角三角形 B．是等腰三角形
C．是等腰三角形 D．是等腰三角形
4．在△ABC和中，.已知，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．（2024八下·汕头开学）如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），再以AB为边作等边△ABC，连接PC.有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PC//QB；④PB=PA+PC；⑤当 BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，其中一定正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
6．（2024八上·盐田期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
7．（2024八上·寻乌期末）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④和都是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024八下·冷水滩开学考）如图，是等边三角形，D、E分别是的边、上的点，且，与相交于点P，于点F，，，则的长为（ ）
A．8 B．13 C．16 D．17
二、填空题
9．（2024八上·浏阳期末）由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点间的距离是 cm．
10．（2024八上·新昌期末）如图，在中，，，D是AB上一点，且，E是BC上一点，把沿DE翻折得，线段与BC交于点F，当所在的直线与的一边垂直时，DF的长是 ．
11．（2024八上·宁乡市期末）如图，是直线上一点，，平分，交于点，，于点，则 ．
12．（2024九下·西安开学考）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝5，BC＝4，点D为CB延长线上一点．当点D在CB延长线上运动时，AD-BD的最小值为 ．
13．（2021八上·柳州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交点于 ，且 ，以 为边长作等边三角形 ，过点 作 平行于 轴，交直线 于点 ，以 为边长作等边三角形 ，过点 作 平行于 轴，交直线 于点 ，以 为边长作等边三角形 ，…，按此规律进行下去，则点 的横坐标是 .
三、解答题
14．（2024八下·衡阳开学考）如图，在中，，，点D为内部一点，且.
（1）连接BD，求证：；
（2）若，延长AD至点E，使.
①求证：DE平分；
②在DE上截取DF，使，连接BF，请判断EF，CD的数量关系，并给出证明.
15．（2024八上·余姚期末）如图，∠BCD＝90°，BC＝CD，CD⊥AD，AC、BD交于点E，DA＝DE，BN平分∠DBC，交AC于点M，交DC于点N．
（1）求∠ACD的度数；
（2）求证：DB＝DA+DC；
（3）求证：AE＝2MN．
四、综合题
16．（2023八上·宁波期末）如图1，点的坐标是，垂直于轴于点，是直线在第一象限上的动点，交轴于点．
（1）求当点的坐标为时，
①求直线的解析式；
②求的面积；
③为坐标轴上一点，且是以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
（2）如图2，是线段上一点，且，取的中点，求的面积．
17．（2024八上·合江期末）已知，与都是等腰直角三角形，，，，如图，连接、．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点D在内，B、D、E三点在同一直线上．
①过点A作的高，证明：；
②如图3，若平分，交于点G，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：A、三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是等腰三角形，故此选项不符合题意；
B、 有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形，故此选项不符合题意；
C、如图，
CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，且CE∥AB，求证△ABC是等腰三角形，
证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠ACE，∠B=∠DCE，
∴∠A=∠B，
∴△ABC是等腰三角形，故此选项不符合题意；
D、根据等底同高的三角形面积相等可得任何三角形的任意一条中线把面积分成相等的两部分，
所以不能判定该三角形是等腰三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是腰与底相等的等腰三角形，据此可判断A选项；根据三角形的内角和定理可得有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形，据此可判断B选项；由平行线性质及角平分线的定义可推出“ 一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形 ”的量内角相等，进而根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，可判断C选项；根据根据等底同高的三角形面积相等可得任何三角形的任意一条中线把面积分成相等的两部分，据此可判断D选项.
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，∠B=∠C，
∴∠ADC=90°，
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF，
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD=CD，∠B=∠C，由“AAS”可证△BDE≌△CDF，可得DE=DF．
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作一条线段的垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法知，MN垂直平分AB，所以AD=BD，所以 是等腰三角形.
故答案为：C.
【分析】根据作法，得出所作的直线是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质作答.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解： 当BC=B'C'时，△ABC≌△A'B'C'（SSS），
∴∠C'=∠C=n°，
当BC≠B'C'时，如图，
∵A'C'=A'C″，
∴∠A'C″C'=∠C'=n°，
∴∠A'C″B'=180°-n°，
∴∠C'=n°或180°-n°，
故答案为：C.
【分析】 分“BC=B'C'与BC≠B'C'”两种情况讨论，利用等腰三角形的性质求得∠A'C″C'=∠C'=n°，从而求得∠A'C″B'=180°-n°．
5．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵点A为上一动点（不与P，Q重合），，
∴与不一定相等，故①错误；
∵和都为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当时，最小，的周长最小，
此时，∴，
即当时，的周长最小，故⑤正确．
故答案为：D．
【分析】根据点A为上一动点（不与P，Q重合），，可知与不一定相等，可判断①；证明出，可得，即可推出，，即可判断出②③④，根据垂线段最短可知，当时，最小，即可判断⑤．
6．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数-动态几何问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥y轴于点E.
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=BC，∠DBC=90°.
∵∠DBE+∠DBC+∠CBO=180°，∠CBO+∠OCB=80°，
∴∠DBE=∠OCB.
在△DBE和△BCO中
∴△DBE≌△BCO（AAS），
∴DE=BO.
直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（-2，0），B（0，2），
∴DE=BO=2，
∴P（-1，1）.
故不论点C怎么移动，点D到y轴的距离固定不变都是2，即点D总在直线x=2上移动.
∴当DP垂直直线x=2时DP最小.
最小值为2+1=3.
故答案为：D.
【分析】已知P点为顶点，D点为动点，所以找到D点的运动轨迹，问题就可以解决. 过点D作DE⊥y轴于点E，就构造出一线三直角模型，又由BD=CB，可证得△DBE≌△BCO，从而DE=BO=2，为定值.所以点D的运动轨迹为直线，那么根据垂线段最短就可以解决问题.
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：
①；
故①结论正确
②；
故②结论正确
③；
故③结论正确
④和都是等腰三角形．
同理
故④结论正确
其中正确的结论有：①②③④
故答案为：D
【分析】已知条件相等角度较多，在草图中标示清楚以便分析；根据角平分线的定义可得等角或二倍角或半角关系式，根据外角定理可写出与不相邻的两个内角的等量关系式；从结论的一侧出发，不断进行等量代换，可得到角的倍或半的关系；由同位角相等两直线平行可以判定平行关系，由等角对等边的定理可以判定等腰三角形；本题需要逐一判定，故相关的定理要灵活应用以快速推导。
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC
∴∠BAC=∠C
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（SAS）
∴∠ABD=∠CAE，BD=AE
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°
∴∠BPF=∠APD=60°
∵∠BFP=90°，∠BPF=60°
∴∠PBF=30°
∴BP=2PF=10
∵PD=3
∴BD=BP+PD=13
∴AE=BD=13
故答案为：B
【分析】根据等边三角形性质及全等三角形判定定理可得△ABD≌△CAE（SAS），则∠ABD=∠CAE，BD=AE，再根据角之间的关系可得∠PBF=30°。再根据含30°角的直角三角形性质可得BP=2PF=10，则BD=BP+PD=13，即可求出答案.
9．【答案】15
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=15cm。
故答案为：15.
【分析】首先判断△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可得出AB=OA=OB=15cm。
10．【答案】2或
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°.
∵把沿DE翻折得，
∴BD=DB'=，∠B=∠B'=30°，∠BDE=∠B'DE.
①当直线DB'⊥BC时，如图
.
②当直线DB'⊥AB时，如图：
则，
∴
③当直线DB'⊥AC时，如图：
延长B'D，CA交于点G，过点D作DP⊥BC于点P.
∴∠G=∠DPB=90°.
∵∠BAC=120°，
∴∠GAD=60°，
∴∠ADG=30°=∠BDF.
∴∠FDP=∠BDP－∠BDF=30°.
∵DP⊥BC，
∴
∴DF=2.
故答案为：2或.
【分析】根据所在的直线与的一边垂直分3种情况讨论，利用含30°角所对的直角边等于斜边长的一半，即可计算DF的长.
11．【答案】5
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】过点M作MH⊥BC于点H，如图所示：
∵PO平分∠AOC，
∴∠POC=∠POM，
∵PM//BC，
∴∠MPO=∠POC，
∴∠MPO=∠POM，
∴MO=MP=10cm，
∵∠MOH=30°，∠OHM=90°，
∴MH=MO=5cm，
∵PM//BC，PD⊥BC，MH⊥BC，
∴PD=MH=5cm，
故答案为：5cm.
【分析】过点M作MH⊥BC于点H，利用角平分线的定义及平行线的性质可得∠MPO=∠POM，再利用等角对等边的性质可得MO=MP=10cm，再利用含30°角的直角三角形的性质可得MH=MO=5cm，最后求出PD=MH=5cm即可.
12．【答案】
【知识点】三角形三边关系；含30°角的直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：作平分，交于点F，过点D作交于点E
，
∴在中，，
过点A作于点G
根据三角形三边关系可得：
即：
在中，，
即：的最小值为．
故答案为：.
【分析】作平分，交于点F，过点D作交于点E，过点A作于点G，根据角平分线的定义及含30度角的直角三角形性质得出，根据三角形三边关系及垂线段最短可得，再次根据根据含30度角的直角三角形性质求出的值，即可得解．
13．【答案】31.5
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA= OB1= ，
即A1的横坐标为 = ，
∵ °，
∴∠OB1D=30°，
∵A1B2//x轴，
∴∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，
∴∠A1B1B2=90°，
∴A1B2=2A1B1=2，
过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B= A1B2=1，
即A2的横坐标为 +1= ，
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C= A2B3=2，
即A3的横坐标为 +1+2= ，
同理可得，A4的横坐标为 +1+2+4= ，
由此可得，An的横坐标为 ，
∴点A6的横坐标是 ，
故答案为：31.5.
【分析】如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质分别求出A1的横坐标为 = ，A2的横坐标为 +1= ，A3的横坐标为 +1+2= ，继而得出An的横坐标为 ，求出当n=6时的横坐标即可.
14．【答案】（1）证明：在和中，，
（2）解：①证明：，，由（1）知，
，，
，，，
，，
，，
，平分；
②，理由如下：
，由①，是等边三角形，
，，
，，，
，，
，
由①知，，
在和中，，
，.∴EF=CD
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）利用SSS即可解决；
（2）①根据全等三角形的性质得出∠DBA=∠DBC=45°，∠BCD=∠BAD=15°，再根据等腰三角形的性质得出∠BAC=∠BCA=45°，根据三角形的外角的性质可得∠CDE=∠BDE=60°，即可证得；
②根据等边三角形的判定和性质及三角形外角的性质，利用SAS证明△BDC≌△BFE，最后证得EF=CD.
15．【答案】（1）解：∵∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴BC⊥CD，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∵BN平分∠DBC，
∴∠NBC＝∠DBC＝22.5°，
∴∠BNC＝90°﹣∠NBC＝67.5°，
∵CD⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵DA＝DE，
∴∠DAC＝∠AED，
∴∠AED＝∠BCA，
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠BCA，
∴BE＝BC，
∵BN平分∠DBC，
∴BN⊥AC，
∴∠ACD＝90°﹣∠BNC＝22.5°
（2）证明：由（1）得，BE＝BC＝CD，
∵BD＝BE+DE，
∴DB＝DA+DC；
（3）证明：如图，过点D作DH⊥AE于点H，
在△BCN和△CDA中，
，
∴△BCN≌△CDA（ASA），
∴CN＝DA，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴DE＝CN，AE＝2HE，∠HDE＝∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DBC＝45°，
∴∠HDE＝22.5°＝∠NCM，
在△HDE和△MCN中，
，
∴△HDE≌△MCN（AAS），
∴HE＝MN，
∴AE＝2MN．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义得出，，再根据及得出，进而得到，最后利用等腰三角形三线合一的性质得出BN⊥AC，计算即可.
（2）根据证得即可.
（3）过点作于点，利用ASA证明，得出，利用证明，得出即可.
16．【答案】（1）解：解：①设直线的解析式为y=kx+b，
∴，
解得
∴直线的解析式为；
②联立，
解得
∴E（6，2），
∴△OBE的面积=×9×2=9；
③，
（2）解：连接OC，如图2，
∵C（3，4），AC⊥y轴，
∴A（0，4）
∵，
∴D（0，3），
∴直线CD解析式为y=x+3，
∵直线OE为y=x，
∴CD∥OE，
∴△CFD的面积=△COD的面积，
∵△COD的面积=OD·CA=×3×3=，
∴△CFD的面积=.
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：③取OE的中点M，则M（3，1），作OE的垂直平分线MN，如图1，
∴直线MN的解析式为y=-3x+10，
当x=0时y=10，当y=0时x=，
∴点P的坐标为（0，10）（，0）；
【分析】（1）①利用待定系数法求出直线解析式即可；
②联立直线OE和直线BC解析式为方程组并解之，即得点E坐标，再利用三角形面积公式计算即可；
③作OE的垂直平分线MN，再求出直线MN的解析式，然后求出直线MN与坐标轴的交点坐标即得点P坐标；
（2）先求出A、D的坐标，可求出直线CD解析式，从而得出CD∥OE，继而得出△CFD的面积=△COD的面积，利用三角形的面积公式求解即可.
17．【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：①证明：由（1）知：，
，，
点是的中点，
，
，即，
B，D，E三点在同一直线上，
；
②解：如图，延长A交于点K，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
是平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【知识点】全等三角形的应用；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）通过“SAS”证明，即可求证；
（2）①根据等腰直角三角形的性质可得，DE=2AF，根据线段的和差关系，即可求解；②延长CE、BA交于点K，利用等腰直角三角形的性质，先证明，再证明即可。
1 / 12023-2024学年沪科版初中数学八年级上册 15.3等腰三角形 同步分层训练 培优卷
一、选择题
1．（2024八下·高州月考）下列条件中不能确定是等腰三角形的是（ ）
A．三条边都相等的三角形
B．有一个锐角是45°的直角三角形
C．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形
D．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：A、三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是等腰三角形，故此选项不符合题意；
B、 有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形，故此选项不符合题意；
C、如图，
CE是△ABC的外角∠ACD的角平分线，且CE∥AB，求证△ABC是等腰三角形，
证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠ACE，∠B=∠DCE，
∴∠A=∠B，
∴△ABC是等腰三角形，故此选项不符合题意；
D、根据等底同高的三角形面积相等可得任何三角形的任意一条中线把面积分成相等的两部分，
所以不能判定该三角形是等腰三角形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是腰与底相等的等腰三角形，据此可判断A选项；根据三角形的内角和定理可得有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形，据此可判断B选项；由平行线性质及角平分线的定义可推出“ 一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形 ”的量内角相等，进而根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，可判断C选项；根据根据等底同高的三角形面积相等可得任何三角形的任意一条中线把面积分成相等的两部分，据此可判断D选项.
2．如图，在中，是的角平分线，过点分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC=90° B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，∠B=∠C，
∴∠ADC=90°，
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF，
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD=CD，∠B=∠C，由“AAS”可证△BDE≌△CDF，可得DE=DF．
3．如图，分别以A，B为圆心，大于的长度为半径作弧，交点分别为M，N，连接MN交AC于点，下列说法一定正确的是（ ）
A．是直角三角形 B．是等腰三角形
C．是等腰三角形 D．是等腰三角形
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；尺规作图-作一条线段的垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法知，MN垂直平分AB，所以AD=BD，所以 是等腰三角形.
故答案为：C.
【分析】根据作法，得出所作的直线是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质作答.
4．在△ABC和中，.已知，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解： 当BC=B'C'时，△ABC≌△A'B'C'（SSS），
∴∠C'=∠C=n°，
当BC≠B'C'时，如图，
∵A'C'=A'C″，
∴∠A'C″C'=∠C'=n°，
∴∠A'C″B'=180°-n°，
∴∠C'=n°或180°-n°，
故答案为：C.
【分析】 分“BC=B'C'与BC≠B'C'”两种情况讨论，利用等腰三角形的性质求得∠A'C″C'=∠C'=n°，从而求得∠A'C″B'=180°-n°．
5．（2024八下·汕头开学）如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），再以AB为边作等边△ABC，连接PC.有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PC//QB；④PB=PA+PC；⑤当 BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，其中一定正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵点A为上一动点（不与P，Q重合），，
∴与不一定相等，故①错误；
∵和都为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当时，最小，的周长最小，
此时，∴，
即当时，的周长最小，故⑤正确．
故答案为：D．
【分析】根据点A为上一动点（不与P，Q重合），，可知与不一定相等，可判断①；证明出，可得，即可推出，，即可判断出②③④，根据垂线段最短可知，当时，最小，即可判断⑤．
6．（2024八上·盐田期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数-动态几何问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥y轴于点E.
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=BC，∠DBC=90°.
∵∠DBE+∠DBC+∠CBO=180°，∠CBO+∠OCB=80°，
∴∠DBE=∠OCB.
在△DBE和△BCO中
∴△DBE≌△BCO（AAS），
∴DE=BO.
直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（-2，0），B（0，2），
∴DE=BO=2，
∴P（-1，1）.
故不论点C怎么移动，点D到y轴的距离固定不变都是2，即点D总在直线x=2上移动.
∴当DP垂直直线x=2时DP最小.
最小值为2+1=3.
故答案为：D.
【分析】已知P点为顶点，D点为动点，所以找到D点的运动轨迹，问题就可以解决. 过点D作DE⊥y轴于点E，就构造出一线三直角模型，又由BD=CB，可证得△DBE≌△BCO，从而DE=BO=2，为定值.所以点D的运动轨迹为直线，那么根据垂线段最短就可以解决问题.
7．（2024八上·寻乌期末）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④和都是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：
①；
故①结论正确
②；
故②结论正确
③；
故③结论正确
④和都是等腰三角形．
同理
故④结论正确
其中正确的结论有：①②③④
故答案为：D
【分析】已知条件相等角度较多，在草图中标示清楚以便分析；根据角平分线的定义可得等角或二倍角或半角关系式，根据外角定理可写出与不相邻的两个内角的等量关系式；从结论的一侧出发，不断进行等量代换，可得到角的倍或半的关系；由同位角相等两直线平行可以判定平行关系，由等角对等边的定理可以判定等腰三角形；本题需要逐一判定，故相关的定理要灵活应用以快速推导。
8．（2024八下·冷水滩开学考）如图，是等边三角形，D、E分别是的边、上的点，且，与相交于点P，于点F，，，则的长为（ ）
A．8 B．13 C．16 D．17
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC
∴∠BAC=∠C
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（SAS）
∴∠ABD=∠CAE，BD=AE
∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°
∴∠BPF=∠APD=60°
∵∠BFP=90°，∠BPF=60°
∴∠PBF=30°
∴BP=2PF=10
∵PD=3
∴BD=BP+PD=13
∴AE=BD=13
故答案为：B
【分析】根据等边三角形性质及全等三角形判定定理可得△ABD≌△CAE（SAS），则∠ABD=∠CAE，BD=AE，再根据角之间的关系可得∠PBF=30°。再根据含30°角的直角三角形性质可得BP=2PF=10，则BD=BP+PD=13，即可求出答案.
二、填空题
9．（2024八上·浏阳期末）由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点间的距离是 cm．
【答案】15
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=15cm。
故答案为：15.
【分析】首先判断△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可得出AB=OA=OB=15cm。
10．（2024八上·新昌期末）如图，在中，，，D是AB上一点，且，E是BC上一点，把沿DE翻折得，线段与BC交于点F，当所在的直线与的一边垂直时，DF的长是 ．
【答案】2或
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°.
∵把沿DE翻折得，
∴BD=DB'=，∠B=∠B'=30°，∠BDE=∠B'DE.
①当直线DB'⊥BC时，如图
.
②当直线DB'⊥AB时，如图：
则，
∴
③当直线DB'⊥AC时，如图：
延长B'D，CA交于点G，过点D作DP⊥BC于点P.
∴∠G=∠DPB=90°.
∵∠BAC=120°，
∴∠GAD=60°，
∴∠ADG=30°=∠BDF.
∴∠FDP=∠BDP－∠BDF=30°.
∵DP⊥BC，
∴
∴DF=2.
故答案为：2或.
【分析】根据所在的直线与的一边垂直分3种情况讨论，利用含30°角所对的直角边等于斜边长的一半，即可计算DF的长.
11．（2024八上·宁乡市期末）如图，是直线上一点，，平分，交于点，，于点，则 ．
【答案】5
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】过点M作MH⊥BC于点H，如图所示：
∵PO平分∠AOC，
∴∠POC=∠POM，
∵PM//BC，
∴∠MPO=∠POC，
∴∠MPO=∠POM，
∴MO=MP=10cm，
∵∠MOH=30°，∠OHM=90°，
∴MH=MO=5cm，
∵PM//BC，PD⊥BC，MH⊥BC，
∴PD=MH=5cm，
故答案为：5cm.
【分析】过点M作MH⊥BC于点H，利用角平分线的定义及平行线的性质可得∠MPO=∠POM，再利用等角对等边的性质可得MO=MP=10cm，再利用含30°角的直角三角形的性质可得MH=MO=5cm，最后求出PD=MH=5cm即可.
12．（2024九下·西安开学考）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝5，BC＝4，点D为CB延长线上一点．当点D在CB延长线上运动时，AD-BD的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；含30°角的直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的定义
【解析】【解答】解：作平分，交于点F，过点D作交于点E
，
∴在中，，
过点A作于点G
根据三角形三边关系可得：
即：
在中，，
即：的最小值为．
故答案为：.
【分析】作平分，交于点F，过点D作交于点E，过点A作于点G，根据角平分线的定义及含30度角的直角三角形性质得出，根据三角形三边关系及垂线段最短可得，再次根据根据含30度角的直角三角形性质求出的值，即可得解．
13．（2021八上·柳州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交点于 ，且 ，以 为边长作等边三角形 ，过点 作 平行于 轴，交直线 于点 ，以 为边长作等边三角形 ，过点 作 平行于 轴，交直线 于点 ，以 为边长作等边三角形 ，…，按此规律进行下去，则点 的横坐标是 .
【答案】31.5
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA= OB1= ，
即A1的横坐标为 = ，
∵ °，
∴∠OB1D=30°，
∵A1B2//x轴，
∴∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，
∴∠A1B1B2=90°，
∴A1B2=2A1B1=2，
过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B= A1B2=1，
即A2的横坐标为 +1= ，
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C= A2B3=2，
即A3的横坐标为 +1+2= ，
同理可得，A4的横坐标为 +1+2+4= ，
由此可得，An的横坐标为 ，
∴点A6的横坐标是 ，
故答案为：31.5.
【分析】如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质分别求出A1的横坐标为 = ，A2的横坐标为 +1= ，A3的横坐标为 +1+2= ，继而得出An的横坐标为 ，求出当n=6时的横坐标即可.
三、解答题
14．（2024八下·衡阳开学考）如图，在中，，，点D为内部一点，且.
（1）连接BD，求证：；
（2）若，延长AD至点E，使.
①求证：DE平分；
②在DE上截取DF，使，连接BF，请判断EF，CD的数量关系，并给出证明.
【答案】（1）证明：在和中，，
（2）解：①证明：，，由（1）知，
，，
，，，
，，
，，
，平分；
②，理由如下：
，由①，是等边三角形，
，，
，，，
，，
，
由①知，，
在和中，，
，.∴EF=CD
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）利用SSS即可解决；
（2）①根据全等三角形的性质得出∠DBA=∠DBC=45°，∠BCD=∠BAD=15°，再根据等腰三角形的性质得出∠BAC=∠BCA=45°，根据三角形的外角的性质可得∠CDE=∠BDE=60°，即可证得；
②根据等边三角形的判定和性质及三角形外角的性质，利用SAS证明△BDC≌△BFE，最后证得EF=CD.
15．（2024八上·余姚期末）如图，∠BCD＝90°，BC＝CD，CD⊥AD，AC、BD交于点E，DA＝DE，BN平分∠DBC，交AC于点M，交DC于点N．
（1）求∠ACD的度数；
（2）求证：DB＝DA+DC；
（3）求证：AE＝2MN．
【答案】（1）解：∵∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴BC⊥CD，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∵BN平分∠DBC，
∴∠NBC＝∠DBC＝22.5°，
∴∠BNC＝90°﹣∠NBC＝67.5°，
∵CD⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵DA＝DE，
∴∠DAC＝∠AED，
∴∠AED＝∠BCA，
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠BCA，
∴BE＝BC，
∵BN平分∠DBC，
∴BN⊥AC，
∴∠ACD＝90°﹣∠BNC＝22.5°
（2）证明：由（1）得，BE＝BC＝CD，
∵BD＝BE+DE，
∴DB＝DA+DC；
（3）证明：如图，过点D作DH⊥AE于点H，
在△BCN和△CDA中，
，
∴△BCN≌△CDA（ASA），
∴CN＝DA，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴DE＝CN，AE＝2HE，∠HDE＝∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DBC＝45°，
∴∠HDE＝22.5°＝∠NCM，
在△HDE和△MCN中，
，
∴△HDE≌△MCN（AAS），
∴HE＝MN，
∴AE＝2MN．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义得出，，再根据及得出，进而得到，最后利用等腰三角形三线合一的性质得出BN⊥AC，计算即可.
（2）根据证得即可.
（3）过点作于点，利用ASA证明，得出，利用证明，得出即可.
四、综合题
16．（2023八上·宁波期末）如图1，点的坐标是，垂直于轴于点，是直线在第一象限上的动点，交轴于点．
（1）求当点的坐标为时，
①求直线的解析式；
②求的面积；
③为坐标轴上一点，且是以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
（2）如图2，是线段上一点，且，取的中点，求的面积．
【答案】（1）解：解：①设直线的解析式为y=kx+b，
∴，
解得
∴直线的解析式为；
②联立，
解得
∴E（6，2），
∴△OBE的面积=×9×2=9；
③，
（2）解：连接OC，如图2，
∵C（3，4），AC⊥y轴，
∴A（0，4）
∵，
∴D（0，3），
∴直线CD解析式为y=x+3，
∵直线OE为y=x，
∴CD∥OE，
∴△CFD的面积=△COD的面积，
∵△COD的面积=OD·CA=×3×3=，
∴△CFD的面积=.
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：③取OE的中点M，则M（3，1），作OE的垂直平分线MN，如图1，
∴直线MN的解析式为y=-3x+10，
当x=0时y=10，当y=0时x=，
∴点P的坐标为（0，10）（，0）；
【分析】（1）①利用待定系数法求出直线解析式即可；
②联立直线OE和直线BC解析式为方程组并解之，即得点E坐标，再利用三角形面积公式计算即可；
③作OE的垂直平分线MN，再求出直线MN的解析式，然后求出直线MN与坐标轴的交点坐标即得点P坐标；
（2）先求出A、D的坐标，可求出直线CD解析式，从而得出CD∥OE，继而得出△CFD的面积=△COD的面积，利用三角形的面积公式求解即可.
17．（2024八上·合江期末）已知，与都是等腰直角三角形，，，，如图，连接、．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点D在内，B、D、E三点在同一直线上．
①过点A作的高，证明：；
②如图3，若平分，交于点G，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：①证明：由（1）知：，
，，
点是的中点，
，
，即，
B，D，E三点在同一直线上，
；
②解：如图，延长A交于点K，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
是平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【知识点】全等三角形的应用；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）通过“SAS”证明，即可求证；
（2）①根据等腰直角三角形的性质可得，DE=2AF，根据线段的和差关系，即可求解；②延长CE、BA交于点K，利用等腰直角三角形的性质，先证明，再证明即可。
1 / 1
