滨海华附2023～2024学年第二学期第一次段考
高二数学试题
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，.若，则（ ）
A． B． C． D．
3．经过点，且倾斜角为的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（ ）
A．3种 B．4种 C．6种 D．12种
5．在等比数列中，若，则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（ ）
A．1440 B．120 C．60 D．24
7．在的展开式中，项的系数为（ ）
A．1 B．10 C．40 D．80
8．第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A．150种 B．300种 C．720种 D．1008种
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A.在上函数为增函数．
B.在上函数为增函数．
C.在上函数有极大值．
D.是函数在区间上的极小值点．
10．在的展开式中，则（ ）
A．二项式系数最大的项为第3项和第4项．
B．所有项的系数和为1．
C．常数项为-1．
D．所有项的二项式系数和为64．
11．我国古代数学著作《九章算术》中记载：斜解立方，得两堑堵．其意思是：一个长方体沿对角面一分为二，得到两个一模一样的堑堵．如图，在长方体中，，，，将长方体沿平面一分为二，得到堑堵，下列结论正确的序号为（ ）
A.堑堵的体积为30．
B.与平面所成角的正弦值为．
C.堑堵外接球的表面积为50π．
D.堑堵没有内切球．
三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分
12．从甲地去乙地有5班高铁，从乙地去丙地有4班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有 种．
13．以点为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是 .
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两支分别交于A，B两点．若，且，则双曲线的离心率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
等差数列的前项和为，其中：；
求数列的通项公式.
(2)，求数列的前项和.
16．（15分）
已知函数.
(1)求函数在处的切线方程.
(2)求函数的单调区间和极值.
（15分）
在正方体中（如图所示），棱长为2，连接
(1)证明：C∥平面BD.
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
(3)底面正方形的内切圆上是否存在点使得与平面所成角的正弦值为，若存在求长度，若不存在说明理由．
(17分）
设函数.
当=1时，求函数的单调区间.
求函数的极值.
(3)若时，，求的取值范围.
19．（17分）
已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为直线上的动点.
(1)求椭圆的离心率.
(2)若，求点的坐标.
(3)若直线和直线分别交椭圆于，两点，请问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.滨海华附2023～2024学年第二学期第一次段考试
高二数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A D C D B D A AC ABC ACD
12．20 13． 14．
解析
8．A【详解】若三个场地分别承担个项目，则有种安排，
若三个场地分别承担个项目，则有种安排，
综上，不同的安排方法有种.故选：A
11．ACD
【详解】对于D，假设堑堵有内切球，设该内切球的球心为，半径为，
则在堑堵内部，且到堑堵的每个面的距离都是.
所以堑堵的体积等于四棱锥、四棱锥、三棱锥和三棱锥、四棱锥的体积之和，
记矩形、矩形、三角形和三角形、矩形的面积分别为，
则，，，，.
同时，堑堵是对长方体一分为二得到的，
故堑堵的体积是长方体的一半，
从而堑堵的体积，这就说明：
.
但是到平面和平面的距离相等，且平面和平面是长方体的一组对面，
故它们平行，且距离为.
所以到平面和平面的距离都等于平面和平面距离的一半，
从而.
这就导致了矛盾，所以堑堵不存在内切球，D正确.
故答案为：ACD
14．
【详解】设，则.
由双曲线的定义可得.
因为，所以，所以，
则，.
在中，由余弦定理可得，
即，即，
在中，由余弦定理可得，
则，即，
从而，即，即，故.故答案为：.
15．(1)；(2).
【详解】
设等差数列的公差为，由题可得：，又，解得，-
------------------------------------------------------------------------------------------------（3分）
故. ---------------------------------------------------------------------（6分）
（2），-------------------------------------------------（9分）
故.
故数列的前项和.---------------------------------------------------------（13分）
16．(1)
(2)单调增区间为，，单调减区间为；极大值为，极小值为.
【详解】（1）函数的定义域为R.
导函数.-----------------------------------------------------------------（2分）
所以，---------------------------------------------------------------（3分）
，----------------------------------------------------------------（4分）
所以函数在点处的切线方程为，即.----------------（6分）
（2）令，解得：或.列表得：
x 1 3
+ 2 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
--------------------------------------------------------------------------------------------------（11分）
所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；-----------（13分）
的极大值为，极小值为.-------------------（15分）
17
【详解】（1）略-----------------------------------------------------------------------------（4分）
（2）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则．
平面的法向量为，
，令，则=(1,-1,-1)----------------------------------------（6分）
平面的法向量为，
，令，则，-------------------------------------（8分）
平面与平面夹角为，
；-----------------------------------------（11分）
（3）
设，且，
与平面所成角为，
，
即，-------------------------------------------------------------（13分）
解得或，故或，-------------------------------------（14分）
所以.-----------------------------------------------------------------（15分）
18．
【详解】（1）略------------------------------------------------------------------------（5分）
（2），
当时，在上单调递增，无极值，-----------------（7分）
当时，由，得，由0得
则在上单调递减，在上单调递增，----------------------（9分）
则当时，取得极小值，无极大值，---------------------------（11分）
所以当时，函数无极值，
当时，函数有极小值，无极大值；-------------------------------（12分）
（3）由（2）知当时，在上单调递增，符合题意，--------------------------------------------------------------------------------------------------（13分）
当时，在上单调递增，符合题意，------------（14分）
当时，在上单调递减，在上单调递增，
等价于，得.---------------------------------（16分）
综上的取值范围是-----------------------------------------------------------------（17分）
19．(1)；(2)或；(3)
【详解】（1）椭圆的离心率为-------------------------------------------（5分）
（2）
设，直线交轴于点，由，∴
∴或-------------------------------------------------------------------（10分）
（3）
，，，
∴代入得：
，
设，
∴，∴，
∴.---------------------------------------------------------（12分）
代入得：
，
∴，∴，
∴----------------------------------------------------------------（14分）
∴，∴
∴
即直线方程为：------------------------------------------------（16分）
恒过定点为-------------------------------------------------------------------------（17分）
