黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（含答案）

哈师大青冈实验中学2023-2024学年度4月份考试
数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 Ⅰ 卷
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。）
1．一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，现从中任选1名同学参加学科竞赛，则不同的选派方法数为.（ ）
A．4 B．5 C．9 D．20
2．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的导函数为，且满足，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
4．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
①是函数的极值点； ②在处切线的斜率小于零；
③在区间上单调递增； ④是函数的最小值点．则正确命题的序号是（ ）
A．①③ B．①② C．③④ D．②③
5．一边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为的小正方形，然后做成一个无盖方盒.当方盒的容积最大时，（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6.给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的有（ ）个①． ②． ③． ④．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，其中是自然对数的底数，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知函数，则函数的单调递增区间有（ ）
A． B．(0，1) C．(2，＋∞) D．
10．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A．当时，过原点作曲线的切线l，则l的方程为
B．当时，在上单调递增
C．若在上单调递增，则
D．当时，在上有极小值点
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知函数在时取得极大值4，则 ．
13.在实验中学元旦晚会中有A、B、C、D、E，5个节目，为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目A不能安排在第一位和最后一位，节目D、E必须安排连在一起，则这五个节目演出顺序的编排方案共有 种．
14.若实数，，，满足，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．（13分）已知函数．
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
16．（15分）记函数的导函数为，已知，．
(1)求实数的值；
(2)求函数在上的最值．
17.（15分）已知函数在点处的切线方程为.
(1)求实数的值；
(2)求函数的极值．
18.（17分）已知函数 ，，是自然对数的底数.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于的方程 有两个不等实根，求的取值范围；
(3)若 ，为整数，且当时， 恒成立，求 的最大值.
19．（17分）已知函数.
（1）求在点处的切线方程；
（2）已知函数在区间上不存在极值点，求的取值范围；
（3）证明：，.
2023-2024高二下学期第一次月考
数学试卷答案
1——8 CBBA BCDA
9、AC 10、AC 11、ABD
12、3 13、24 14、2
15．（13分）【详解】（1）解：由函数，可得，可得，
因为切点为，所以切线方程为，即.
（2）解：由函数，其定义域为，且，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
16、（15分）【详解】（1）因为，所以，解得
（2）由（1）可知
由，解得或；由，解得
所以函数在，单调递增；在单调递减
又，，，．所以，．
17.（15分）解析：(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－，f(1)＝a＝1，f′(1)＝2a－b＝0，
将a＝1代入2a－b＝0，解得b＝2.
(2)由(1)得f(x)＝x2－2ln x(x>0)，所以f′(x)＝2x－＝，
令f′(x)>0，解得x>1，令f′(x)<0，解得0所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)极小值＝f(1)＝1，无极大值．
18.（17分）【详解】（1），若，则恒成立，所以在上单调递增，
若，，得，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上可知，时，的增区间是，当时，的减区间是，增区间是；
（2）方程，显然当时，方程不成立，则，，
若方程有两个不等实根，即与有2个交点，，
当时，，在区间和单调递减，
并且时，，当时，当时，，单调递增，时，当时，取得最小值，，
如图，函数的图象，与有2个交点，则；
（3）当时，，，所以，
当时，，，令，，则，
由（1）可知，在单调递增，而且，
所以在上存在唯一的零点，即在上存在唯一的零点，设此零点为，则，且，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以的最小值为，所以，
所以整数的最大值为2.
19．（17分）解：（1）由可得，
所以在点处的切线斜率为，
因为，所以切点为，
所以在点处的切线方程为即.
（2），定义域为，
，
若在区间上不存在极值点，
则或恒成立，
令，则或对于恒成立，
因为恒成立，所以在上单调递增，
所以，
若恒成立，则，所以符合题意；
因为对于不可能恒成立，
所以时，恒成立，此时在区间上不存在极值点，所以的取值范围为.
（3）设，定义域为，
则
由可得；由可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以即，
令，则，
所以，
所以，
即.