初中数学沪教版（五四学制）八年级数学下册试题 24章 四边形复习题--线段最值问题（含解析）

四边形复习题--线段最值问题
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=2AB=4，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B． C． D．
2．如图，正三角形ABC的边长为3+，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
3．如图，在，，，，点P为斜边上一动点，过点P作于点，于点，连结，则线段的最小值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
4．如图，、是正方形的边上的两个动点，满足，连接交于点，连接交于点，连接，若正方形的边长为2，则线段的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（　　）
A．0.5 B．2.5 C． D．1
6．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8 ，最小值为8，则菱形ABCD的边长为( )
A．4 B．10 C．12 D．16
7．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE=CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于（ ）
A． B．5 C． D．
8．如图，在正方形中，、分别为、上的点，且平分，，为线段上的动点，记的最小值为，若正方形边长为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形中，点是对角线上一点，是中点，若菱形周长是16，，则的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接CP，QD，则PC + QD的最小值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．20
二、填空题
11．已知，在菱形中，，对角线将菱形分成2个三角形，点、将对角线三等分，，点在菱形的边上（含顶点），则能够满足的点的个数有___________个．
12．如图，在中，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连结、、．若，，，则周长的最小值是_______．
13．如图，在平行四边形中，，，，
（1）平行四边形的面积为________．
（2）若M是边的中点，N是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________．
14．如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______．
15．如图①，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的面积为对角线乘积的一半，如图②，现有Rt△ABC，已知AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一个动点，点N为DE中点，若筝形ADPE的面积为18，则AN的最大值为_____．
16．如图，四边形是边长为的正方形，M为对角线（不含B点）上任意一点．
（1）的最小值是______．
（2）的最小值是________．
17．如图，F为正方形的边上一动点，，连接，过A作交于H，交于G，连接，当为最小值时，的长为___________．
18．如图，在矩形中，，，为的中点，为线段上一动点，为中点，连接，则线段长的取值范围是______
19．如图，在四边形中，，四边形的面积为，连接对角线，则的最小值为______．
20．如图，正方形的边长为4，为边上一点，AE=1.5，为边上一动点，连接，以为边向右作等腰直角，，连接．当取最小值时，的长度是______．
三、解答题
21．阅读理解，在平面直角坐标系中，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1P2的距离．
如图1，作Rt△P1P2Q，在Rt△P1P2Q中，＝＋＝，所以＝．因此，我们得到平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式为＝．
根据上面得到的公式，解决下列问题：
（1）已知平面两点A(－3，4)，B(5，10)，求AB的距离；
（2）若平面内三点A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，试判断△ABC的形状，说明理由；
（3）如图2，在有对称美的正方形AOBC中，A(－4，3)，点D在OA边上，且D(－1，)，直线l经过O，C两点，点E是直线l上的一个动点，求DE＋EA的最小值．
22．如图，在正方形中，边、分别在轴、轴上，点的坐标为，点在线段上，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交轴于点．
（1）当时，则点坐标为______；
（2）连接，当点在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长；
（3）连接，当点在线段上运动时，求的最小值．
23．已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
（1）当t何值时，四边形是平行四边形；
（2）在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）在线段上有一点M，且，当P运动_______秒时，四边形的周长最小，并在图3中画图标出点M的位置．
24．矩形中，，，是边上一点，且．
（1）如图1，当在边上时，求的长；
（2）如图2，若，求的值；
（3）如图3，为的中点，直接写出的最小值为_________．
25．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝6cm，将纸片沿对角线BD对折，边AB的对应边BF与CD边交于点E，此时△BCE恰为等边三角形．
（1）求AB的长度；
（2）重叠部分的面积为　 　；
（3）将线段BC沿射线BA方向移动，平移后的线段记作B'C'，请直接写出B'F+C'F的最小值．
26．如图①，四边形ABCD是边长为4的正方形，M是正方形对角线BD（不含B、D两个端点）上任意一点，将△BAM绕点B逆时针旋转60°得到△BEN，连接EA、MN；P是AD的中点，连接PM．
（1）AM+PM的最小值等于 　 　；
（2）求证：△BNM是等边三角形；
（3）如图②，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，若点M使得AM+BM+CM的值最小，求M点的坐标．
27．（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；
（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；
（3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．
28．如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．
（1）如图，连接交于点，若，求的长；
（2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，
①连接，，判断，的数量关系并说明理由；
②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ．
29．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
（提出问题）
（1）如图①，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”；
（类比探究）
（2）如图②，四边形是“等垂四边形”，，连接，点，，分别是，，的中点，连接，，．试判定的形状，并证明；
（综合运用）
（3）如图③，四边形是“等垂四边形”，，，则边长的最小值为________．
30．将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为（0，a），点E的坐标为（b，0），并且实数a，b使式子成立，
（1）直接写出点D、E的坐标；
（2）∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，
①如图①，求证AE=EF；
②如图②，连接AF交DC于点G，作GM∥AD交AE于点M，作EN∥AB交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积；
（3）如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且AP=CQ，请直接写出的最小值_____________________．
答案
一、单选题
1．C
【详解详析】
如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，
∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2，
∵AM=DM=DC=2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AC=2，
在Rt△ACN中，∵AC=2，∠ACN=∠DAC=30°，
∴AN=AC=，
∵AE=EH，GF=FH，
∴EF=AG，
易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为2，最小值为，
∴EF的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为．
2．D
【思路指引】
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得∠A=∠B=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得 ，，则 ，所以 ， ，接着确定m的取值范围为： ，然后根据二次函数的性质求出S的最小值．
【详解详析】
解：设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=60°， ，
在Rt△ADN中，，
在Rt△BPF中，，
∵BD+DE+EF+CF=AB，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵当点M落在AC上，则正方形DEMN的边长最大，正方形EFPH的边长最小，
当点H落在BC上，则正方形DEMN的边长最小，正方形EFPH的边长最大，
∴当点M落在AC上时：
为正三角形，
在中，，，
∴ ，解得
在中，，
∵BD+DE+EF+CF=AB，
∴
解得，
∴，
∴当 时，S最小，S的最小值为 ．
故选D．
3．D
【思路指引】
连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．
【详解详析】
解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴PC的最小值为：
∴线段EF长的最小值为4.8．
故选：D．
4．C
【思路指引】
根据正方形的性质可得BC＝AD＝CD，∠BCD＝∠CDA，∠ACD＝∠ACB，然后利用“HL”证明Rt△ADM和Rt△BCN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△DCE和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠DFA＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF＝AD＝1，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．
【详解详析】
解：在正方形ABCD中，BC＝AD＝CD，∠BCD＝∠CDA＝90°，∠ACD＝∠ACB，
在Rt△ADM和Rt△BCN中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），
∴∠1＝∠2，
在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠ADF+∠3＝∠ADC＝90°，
∴∠1+∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，
取AD的中点O，连接OF、OC，
则OF＝OD＝AD＝1，
在Rt△COD中，OC＝，
当O、F、C三点不共线时，OC－OF＜CF，
当O、F、C三点共线时，OC－OF＝CF，
∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，
最小值＝OC﹣OF＝．
故选：C．
5．B
【思路指引】
由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
【详解详析】
由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，
如图，将ΔEFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到ΔEFB ΔEHG，
从而可知ΔEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
如图，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则.
故选B．
6．B
【思路指引】
当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，当PQ⊥BC时，PQ的值最小，利用这两组数据，在Rt△ABQ中，可求得答案．
【详解详析】
当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，
当PQ⊥BC时，PQ的值最小，
∴PQ=8，∠Q=90°，
在Rt△ACQ中，
在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x，
∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2
解之：x=10.
故答案为：B．
7．C
【思路指引】
作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N，连接PH，HQ，
当H、P、N、Q四点共线时，MN+NP=PQ的值最小，根据勾股定理HQ，再证明△ABE≌△BCF，进而得△APB为直角三角形，由直角三角形的性质，求得PH，进而求得PQ．
【详解详析】
解：作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N，连接PH，HQ，
则MN=QN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°，
在△ABE和△BCF中,
，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∠AEB=∠BFC，
∵ AB∥CD，
∴∠ABP=∠BFC=∠AEB，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∠BAE+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴PH=AB=2，
∵M点是BC的中点,
∴BM=MC=CQ=BC=2，
∵PH+PQ≥HQ，
∴当H、P、Q三点共线时，
PH+PQ=HQ==的值最小，
∴PQ的最小值为2 -2，
此时，若N与N'重合时，
MN+PN=MN=QN +PN =QN +PN =2 -2的值最小，
故答案为：C．
8．B
【思路指引】
连接EG，BP，由题意得当点P与点G重合时，的值最小=BF，再证明，从而得是等腰直角三角形，设CF=BE=GE=x，则EC=，列方程求出x的值，进而即可求解．
【详解详析】
解：连接EG，BP，
∵点B与点D关于AC对称，
∴=，
∴当点P与点G重合时，的值最小=BF，
∵在正方形中，AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵，
∴，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠BAE+∠ABM=∠CBF+∠ABM=90°，即：∠AMB=∠AMG=90°，
∵平分，
∴∠BAM=∠GAM，
又∵AM=AM，
∴
∴AB=AG，
又∵AE=AE，
∴
∴∠AGE=∠ABE=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴设CF=BE=GE=x，则EC=，
∴x+=，解得：，
∴BF=，即：，
∴=．
故选B．
9．A
【思路指引】
点和点是定点，点在直线上一动点，是轴对称最值问题，连接，由菱形的对称性可知，点和点关于对称，连接，即为所求．
【详解详析】
解：如图，由菱形的对称轴可知，点和点关于对称，连接，即为所求的最小值．
连接，
，四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
点为的中点，
，
菱形的周长为16，
，
在中，，
，
，
．
故选：A．
10．B
【思路指引】
连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE、CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．
【详解详析】
解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=6，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，CE，
则BE=2AB=8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∴CE==10，
∴PC+PB的最小值为10，
即PC+QD的最小值为10，
故选：B．
二、填空题
11．8
【思路指引】
先作点E关于AD的对称点E'，连接EF交AD与点P，求出PE+PF的最小值，再求出P与A重合及P与D重合时 PE+PF的值判断AD边上符合条件的P的个数，再根据对称性求解．
【详解详析】
解：①当点菱形的边上时，
在菱形中，，则和为等边三角形，
∵点、将对角线三等分，则，
作点关于的对称点，则、、共线，
连接交于点，则此时最小，
则最小值，
过点作，交的延长线于点，
在中，，，
则，
，
在中，，
则，
②当在点时，，
故在菱形的每条边上符合距离和等于11的点是两个，
那么四条边上一共8个．
故答案为：8．
12．
【思路指引】
作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F，交AD于E，此时△OEF的周长最小，周长的最小值＝MN，由作图得AN＝AO＝AM，∠NAD＝∠DAO，∠MAB＝∠BAO，于是得到∠MAN＝90°，过D作DP⊥AB于P，则△ADP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AP＝DP＝AD，求得AP＝DP＝5，根据三角形的中位线的性质得到OQ＝DP＝，BQ＝BP＝（AB AP）＝1，根据勾股定理求出AO＝，然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解详析】
解：作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F，交AD于E，此时△OEF的周长最小，周长的最小值＝MN，
∴AN＝AO＝AM，∠NAD＝∠DAO，∠MAB＝∠BAO，
∵∠DAB＝45°，
∴∠MAN＝90°，
过D作DP⊥AB于P，则△ADP是等腰直角三角形，
∴AP＝DP＝AD，
∵AD＝BC＝，
∴AP＝DP＝5，
设OM⊥AB于Q，则OQ∥DP，
∵OD＝OB，
∴OQ＝DP＝，BQ＝BP＝（AB AP）＝1，
∴AQ＝6，
∴AO＝ == ，
∴AM＝AN＝AO＝，
∴MN＝AM＝，
∴△OEF周长的最小值是．
故答案为：．
13．
【思路指引】
（1）过点C作CF⊥AB，交AB延长线于F，求出CF的长，利用平行四边形的面积公式计算即可；
（2）连接MC；过点M作ME⊥CD于E首先求出线段ME、DE的长度；运用勾股定理求出MC的长度，即可解决问题．
【详解详析】
解：（1）过点C作CF⊥AB，交AB延长线于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC=6，AB=CD=，
∵∠BCD=30°=∠CBF，
∴CF=BC=3，
∴四边形ABCD的面积===；
（2）连接MC，过点M作ME⊥CD于E，
交CD的延长线于点E；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6，
∵点M为AD的中点，∠BCD=30°，
∴DM=MA=3，∠MDE=∠BCD=30°，
∴ME=DM=，DE=，
∴CE=CD+DE==，
由勾股定理得：CM2=ME2+CE2，
∴CM==，
由翻折变换的性质得：MA′=MA=3，
∵MA′+A′C≥MC，
∴A′C≥MC- MA′= MC-3，
显然，当折线MA′C与线段MC重合时，
线段A′C的长度最短，此时A′C=，
故答案为：（1）；（2）．
14．
【思路指引】
根据题意，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，此时四边形的周长为，则当点、、三点共线时，四边形的周长最小，进而计算即可得解．
【详解详析】
如下图，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，
∴，，
此时四边形的周长为，
当点、、三点共线时，四边形的周长最小，
，，，
经过点，
，
，
，
，
，
，
四边形周长的最小值为，
故答案为：．
15．．
【思路指引】
根据题意可知，可知当AP取最小值时，DE有最大值；根据直角三角形斜边中线的性质可知AN=DE，故当DE取最大值时，AN有最大值；求出AP的最小值即可解决问题．当AP⊥BC时，AP取到最小值，利用三角形面积公式可求出AP的最小值．
【详解详析】
解：如图②，
∵ADPE是筝形，
∴筝形ADPE的面积=，
∴，
∴当AP取最小值时，DE有最大值，
∵P为BC边上一个动点，
∴当AP⊥BC时，AP取到最小值，
∴AP的最小值= = ，
∴，
∴DE=，
∴DE的最大值是，
∵Rt△ADE中，点N为DE中点，
∴AN=DE，
∴当DE取最大值时，AN有最大值，
∴AN的最大值是．
故答案是：．
16．2 +1
【思路指引】
（1）连接AC，与BD交于M，此时AM+CM最小，即为AC，根据正方形的边长求出AC即可；
（2）以AB为边作等边△ABE，连接CE，根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，由题意求出∠EBF=30°，求出EF和BF，再利用勾股定理求出CE的长即可．
【详解详析】
解：（1）连接AC，与BD交于M，此时AM+CM最小，即为AC，
∵AB=BC=CD=DA=，
∴AC=2；
（2）如图，以AB为边作等边△ABE，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小．
理由如下：在EC上截取EN=CM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
又∵BM=BM，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴AM=CM，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=BC，∠ABE=60°，
∴∠BEC=∠BCE=15°，
又∵BE=BC，EN=CM，
∴△BEN≌△BCM（SAS），
∴BM=BN，∠EBN=∠CBM=45°，
∴∠ABN=15°，
∴∠MBN=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短，
∴当点M在BD上使∠BCM=15°时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
∵正方形ABCD的边长为，
如图，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=90°-60°=30°，
∴EF=BE=，
∴BF==，
∴EC===+1，
故答案为：2，+1．
17．
【思路指引】
如图1中，取AB的中点O，连接OG，OC．首先证明O，G，C共线时，CG的值最小（如图2中），证明CF=CG=BH即可解决问题（图2中）．
【详解详析】
解：如图1中，取的中点，连接，．
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当，，共线时，的值最小，最小值（如图2中），
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18．
【思路指引】
根据中位线定理先判断出点P的轨迹是线段P1P2，再根据矩形的性质及已知条件判断△DP1P2是直角三角形，从而得出点D到线段P1P2上各点的连线中，DP1最小，DP2最大．
【详解详析】
解：如图：
当点F与点C重合时，点P在点P1 处，CP1=BP1，
当点F与点E重合时，点P在点P2处，EP2=BP2，
∴P1P2∥EC且P1P2=CE，
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有BP=FP，
由中位线定理可知：P1P∥CF且P1P=CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∵矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为AD的中点，
∴△ABE，△BEC、△DCP1为等腰直角三角形，
∴∠ECB=45°，∠DP1C=45°，
∵P1P2∥EC，
∴∠P2P1B=∠ECB=45°，
∴∠P2P1D=90°，
∴DP的长DP1最小，DP2最大，
∵CD=CP1=DE=2，
∴DP1=，CE=，
∴P1P2=，
∴DP2=，
故答案为：．
19．
【思路指引】
连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，利用直角三角形的性质和勾股定理求出相应线段，从而计算出△ABC的面积，结合四边形ABCD的面积得到△ADC的面积，从而求出点D到AC的距离h，过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，过点C作DE 的对称点为F，连接EF，DF，BF，CF，过点F作FG⊥CE于点G，结合对称的性质证明△CEF是等边三角形，利用勾股定理求出BF的长，根据对称的性质判断出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值，即为BF即可．
【详解详析】
解：如图，连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，
在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH=60°，AB=2，
∴∠BAH=30°，
∴BH=AB=1，
∴AH=，
∵BC=4，
∴CH=BC-BH=3，
∴AC=，
∴AC=2AH，
∴∠ACH=30°，
∵S△ABC=，S四边形ABCD=，
∴S△ADC=S四边形ABCD-S△ABC=，
设点D到AC的距离为h，
∴S△ADC=，
∴h=1，即点D到AC的距离为1，
过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C关于直线DE 的对称点F，
连接EF，DF，BF，CF，过点F作FG⊥CE于点G，
∵AC∥DE，
∴∠ACH=∠DEC=30°，
由对称性可知：DC=DF，EC=EF，∠DEC=∠DEF=30°，
∴∠CEF=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF=2h=2，
∵FG⊥CE，
∴CG=EG=1，BG=BC+CG=5，
∴FG=，
在△BGF中，∠BGF=90°，BF=，
∵BD+CD=BD+DF≥BF，
∴当且仅当B，D，F三点共线时，
BD+CD取得最小值，即为BF，
∴BD+CD的最小值为，
故答案为：．
20．1.5
【思路指引】
如图所示，过点G作GH⊥AB，交AB的延长线于点H，根据正方形的性质和三角形的内角和可以推出∠1=∠3，根据全等三角形的判定可得△AFE≌△HEG，正方形的边长为4，AE=1.5，设FD=x，BG=y，根据勾股定理可得y =（1.5-x） +1.5 =（x-1.5） +1.5 ，再根据非负数的性质知，当x=1.5时，y 有最小值1.5 ，即当BG取最小值时，FD的长度为1.5．
【详解详析】
解：如图所示，
过点G作GH⊥AB，交AB的延长线于点H，
∵正方形ABCD，
∴AD=AB，∠A=90°=∠EHG，
又∵∠FEG=90°，FE=EG，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴△AFE≌△HEG（AAS），
∴AE=GH，AF=EH，
∵正方形的边长为4，AE=1.5，设FD=x，BG=y，
则EH=AF=4-x，EB=4-1.5=2.5，GH=AE=1.5，
BH=EH-EB=4-x-2.5=1.5-x，
由BG2=BH2+GH2得，
y2=（1.5-x）2+1.52=（x-1.5）2+1.52≥1.52，
∴当x=1.5时，y2有最小值1.52，
∴当BG取最小值时，FD的长度为1.5，
故答案为：1.5．
三、解答题
21．
(1) ∵点A(－3，4)，B(5，10)，
∴AB= =10;
(2) △ABC是直角三角形;理由如下:
∵A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，
∴= =65,
= =52,
= =13,
∴+=,
故△ABC是直角三角形；
(3)过点A,B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∵∠AOM+∠NOB=90°，∠AOM+∠MAO=90°，
∴∠MAO=∠NOB，
∴△MAO≌△NOB，
∴AM=ON，MO=BN，
∵A(-4,3)，
∴OM=4，AM=3,
∴ON=3,BN=4，
∴B（3,4），
∵点A关于直线OC的对称点是B,
∴EA+ED的最小值为BD,
∵D(－1，)，
∴BD= =,
故DE＋EA的最小值为.
22．
解：（1）如图，过点作轴于．
四边形是正方形，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）结论：的周长不变．
理由：将绕点B逆时针旋转得到．
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
的周长．
（3）由（1）可知，，
，
点的运动轨迹是射线，
过点作于，当点与点重合时，的值最小，
最小值，
的最小值为．
23．
解：（1）∵四边形OABC为矩形，A（26，0），C（0，12），
∴BC=OA=26，AB=OC=12，
∵点D是OA的中点，
∴OD=OA=13，
由运动知，PC=2t，
∴BP=BC-PC=26-2t，
∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB=OD=13，
∴26-2t=13，
∴t=；
（2）①当Q点在P的右边时，如图1，
∵四边形ODQP为菱形，
∴OD=OP=PQ=13，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=5，
∴2t=5；
∴t=，
∴CQ=CP+PQ=5+13=18，
∴Q（18，12）；
②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图2，
同①的方法得出 t=9，CQ=5，
∴Q（5，12），
③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图3，
同①的方法得出，t=4，CQ=5，
∴Q（-5，12），
综上：t=，Q（18，12）；t=9，Q（5，12）；t=4，Q（-5，12）；
（3）如图4，由（1）知，OD=13，
∵PM=13，
∴OD=PM，
∵BC∥OA，
∴四边形OPMD是平行四边形，
∴OP=DM，
∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP
=26+AM+13+DM=39+AM+DM，
∴AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小，
∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交PB于M，
∴AB=EB，
∵BC∥OA，
∴BM=AD=，
∴PC=BC-BM-PM=26--13=，
∴t=÷2=．
24．
解：（1）在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，BC=AD=8，CD=AB=6，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴EF⊥AE，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∵EF=AE，
在△ABE和△ECF中，
，
∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴CE=AB=6，
∴BE=BC-CE=8-6=2；
（2）如图，延长EC，DF交于点P，
∵DF⊥EF，EF⊥AE，
∴AE∥DF，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴四边形AEPD是平行四边形，
∴PE=AD=8，
∴S AEPD=PE CD=AE EF即8×6=AE2，
∴AE2=48，
在Rt△ABE中，BE=，
∴；
（3）如图，连接BQ，EQ，过点Q作QT⊥BQ交BC的延长线于点T，
∵△AEF是等腰直角三角形，Q是AF的中点，
∴∠AQE=∠AQB+∠BQE=90°，AQ=EQ，
∵BQ⊥QT，
∴∠BQT=∠BQE+∠EQT=90°，
∴∠AQB=∠EQT，
∵∠ABC=90°，∠AQE=90°，
∴∠BAQ+∠BEQ=360°-90°-90°=180°，
∵∠BEQ+∠QET=180°，
∴∠BAQ=∠QET，
∴△ABQ≌△ETQ（ASA），
∴∠ABQ=∠QTB，BQ=TQ，
∴∠QBT=∠QTB，
∴∠ABQ=∠QBT，
即点Q在∠ABC的角平分线上，
∴当CQ⊥BQ时，CQ取最小值，此时点T与点C重合，
∴△BCQ为等腰直角三角形，
∴CQ=BQ=BC=，
故答案为：．
25．
解：（1）∵△BCE是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=60°，CD∥AB，
∴∠EDB=∠DBA，
由翻折可知，∠ABD=∠DBF，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=EB=EC，
∴∠DCB=90°，
∵AD∥BC，
∴BD⊥AF，
∴A，D，F共线，AD=DF=6cm，
∵BA=BF，∠A=60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=AF=12cm；
（2）∵∠DBC=90°，BC=AD=6cm，∠C=60°，
∴BD=BC=cm，
∵DE=EC，
∴S△DEB=S△DCB=××6×=cm2；
（3）由平移可知：BC=B′C′，BC∥B′C′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AD=B′C′，AD∥B′C′，
∴四边形ADC′B′是平行四边形，
∴C′F=B′D，
作点D关于AB的对称点D′，
则B′D=B′D′，即C′F+B′F=B′D′+B′F，
当F，B′，D′共线时，C′F+B′F最短，即为DF′，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴AG=3，DG===D′G，
过F作FH⊥DG，垂足为H，同理可求：GH=，
∴HD′=HG+D′G=，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDE=∠F=60°，
∴HF=DF=3，
∴D′F==，即C′F+B′F的最小值为．
26．
解：（1）如图①中，连接．
四边形是正方形，
，，，
是的中点，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
（2）证明：由旋转的性质可知，
，
是等边三角形．
（3）解：如图②中，过点作轴于，连接．
由旋转的性质可知，，
是等边三角形，
，
，
，
，，，共线时，的值最小，此时点在与的交点处，
，，
，
，，
，，
，，
设直线解析式为，则有，
解得，
，
同法可得直线的解析式为，
由，解得，
，．
27．
（1）如图1，过B点作BH∥MN交CD于H，则AP⊥BH，
∵BM∥NH，
∴四边形MBHN为平行四边形，
∴MN＝BH，
∵四边形ABCD是正方形．
∴AB＝BC，∠ABP＝90°＝∠C，
∴∠CBH+∠ABH＝∠BAP+∠ABH＝90°，
∴∠BAP＝∠CBH，
∴△ABP≌△BCH（ASA），
∴BH＝AP，
∴MN＝AP；
（2）如图2，连接FA，FP，FC
∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，
∴FA＝FC，
又∵FE垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴FP＝FC，
∴∠FPC＝∠FCP，
∵∠FAB＝∠FCP，
∴∠FAB＝∠FPC，
∴∠FAB+∠FPB＝180°，
∴∠ABC+∠AFP＝180°，
∴∠AFP＝90°，
∴FE＝AP，
由（1）知，AP＝MN，
∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，
∴EF＝ME+FN；
（3）由（2）有，EF＝ME+FN，
∵MN＝EF+ME+NF，
∴EF＝MN，
∵AC，BD是正方形的对角线，
∴BD＝2，
当点P和点B重合时，EF最小值＝MN＝AB＝1，
当点P和C重合时，EF最大值＝MN＝BD＝．
28．
解：（1）如图1，过点作于点，
四边形是边长为2的正方形，
，，，
，
，
，
，
，即，
，
又，，
，，
，，
设，则，
由勾股定理得，
又，
，
，即，
，
中，，
由勾股定理得：；
（2）①，理由如下：
如图2，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，
设，则，，
，
四边形是边长为2的正方形，点在的延长线上，
，
在和中，，
分别由勾股定理得：
，，
，
；
②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于，
，为中点，
，
、分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
当、、三点共线时，最小，
当、、三点共线时，最小，
即最小，
此时，，，
，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
29．
解：（1）如图①，延长，交于点，
四边形与四边形都为正方形，
，，．
．
．
，．
，
，
即，
．
．
又，
四边形是“等垂四边形”．
（2）是等腰直角三角形．
理由如下：如图②，延长，交于点，
四边形是“等垂四边形”， ，
，，
点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，．
．
是等腰直角三角形．
（3）延长，交于点，分别取，的中点，．连接，，，
则，
由（2）可知．
最小值为，
故答案为：．
30．
解：∵实数a，b使式子成立，
∴，
∴a=6，b=3，
∴OA=6，
∵在正方形ABCD中，
∴D（6，6），E（3，0）；
故答案为：（6，6），（3，0）；
（2）①取OA的中点K，连接KE，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEO=∠AEO+∠OAE=90°，
∴∠FEC=∠OAE，
∵OE=EC=3，K为OA的中点，OA=OC，
∴AK=EC，OK=OE，
∴∠OKE=45°，
∴∠AKE=135°，
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°，
∴∠AKE=∠ECF，
在△AKE和△ECF中，
，
∴△AKE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
②延长CD，并在延长线上截取DH=OE，连接AH，
∵四边形AOCD是正方形，
∴AO=AD，∠AOE=∠ADH=90°，
∴△AOE≌△ADH（SAS），
∴∠OAE=∠DAH，AE=AH，∠AEO=∠AHD，
由①知AE=EF，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠EAF=45°，
∴∠OAE+∠DAG=∠DAH+∠DAG=∠GAH=45°，
∴∠GAH=∠GAE，
∴△AEG≌△AHG（SAS），
∴EG=GH=DG+OE，∠AGE=∠AGH，∠AEG=∠AHD，
∴∠AEO=∠AEG，
∵EN∥CD，
∴∠AGH=∠GNE=∠AGE，
∴EN=EG，
同理可得GM=GE，
∴GM=EN，
又∵GM⊥EN，
设DG=x，则CG=6-x，
∴OE=CE=3，
∴EG=x+3，
在Rt△ECG中，32+（6-x）2=（x+3）2，
解得x=2，
∴EG=EN=GM=5，
∴S四边形MNGE=GM EN＝，
（3）在外角平分线上取点F，使CF=AO，
∴∠OAP=∠QCF=45°，
∵AP=CQ，
∴△APB≌△CQF（SAS），
∴PB=QF，
∴BP+BQ=BQ+QF，
∴当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长，
过点F作FR⊥x轴于点R，
∵∠DCF=∠RCF=45°，
∴△CFR为等腰直角三角形，
∵AO=CF=6，
∴CR=FR=，
∴OR=，
在Rt△ORF中，，
的最小值为，
故答案为：．