八年级数学下册试题 第二十二章《四边形》单元复习题 -沪教版（含解析）
文档属性
| 名称 | 八年级数学下册试题 第二十二章《四边形》单元复习题 -沪教版（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 243.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-16 08:35:11 | ||
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文档简介
第二十二章《四边形》单元复习题
一、单选题
1.正方形具有而矩形不一定有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角互补 D．四个角相等
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．18
3.如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则 ABCD的周长是（ ）
A．60 B．30 C．20 D．16
4.如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5.已知，是两个非零向量，是一个单位向量，下列等式中正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．||＝ D．||＝
6.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF．关于下列四个结论：①∠BCF＝∠DCF；②∠FEC＝∠FCE；③∠AEF＝∠CFD；④S△CEF＝S△BCE，则所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．③④
二、填空题
7.在 ABCD中，若∠A+∠C＝342°，则∠B＝ 度．
8.如图， ABCD的一个外角∠CBE是70°，则∠D的大小是 ．
9.在 ABCD中，已知周长为44cm，AB比BC短2cm，则CD＝
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为 ．
11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝5，则DE＝ ．
12.已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是 ．
13.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °．
14.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为 ．
15.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，点F是CB延长线上一点，且△ADE≌△ABF，四边形AECF的面积为8，DE＝1，则AE的长为 ．
16.如图，已知在 ABCD中，E是边AB的中点，DE与对角线AC相交于点F．如果，，那么＝ （用含、的式子表示）．
17.如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD、CF、DF，若AB＝2，AC＝4，则BC2+DF2的值为 ．
18.如图所示，在正方形ABCD中，点E在AB边上，BE＝4，M是对角线BD上的一点（∠EMB是锐角），连接EM，EM＝5，过点M作MN⊥EM交BC边于点N．过点N作NH⊥BD于H，则△HMN的面积＝ ．
三、解答题
19.如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6，BD＝10，AB＝4．
（1）求∠BAC的度数：
（2）求 ABCD的面积．
20.已知线段a＝4cm．
（1）用尺规作图作一个边长为4cm的菱形ABCD，使∠A＝60°（保留作图痕迹），
（2）求这个菱形的面积．
21.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．
（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．
22.已知：在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE，且DE＝BC，过点A作AF⊥DE于点F．
（1）如图1，求证：AB＝AF；
（2）如图2，连接AE，当BE＝DF时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于AB的线段．
23.如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，OA＝2，OC＝3，E是AB中点，反比例函数图象过点E且和BC相交点F．
（1）直接写出点B和点E的坐标；
（2）求直线AB与反比例函数的解析式；
（3）连接OE、OF，求四边形OEBF的面积．
24.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为边AB上一点，且BE＝2AE．设＝，＝．
（1）填空：向量＝ ﹣ ；
（2）如果点F是线段OC的中点，那么向量＝ ，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．
（注：本题结果用向量，的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．
25.问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得∠AP′B＝ °，所以∠BPC＝∠AP′B＝ °，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为 ，问题得到解决．
（1）根据李明同学的思路填空：∠AP′B＝ °，∠BPC＝∠AP′B＝ °，等边三角形ABC的边长为 ．
（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，PB＝，PC＝1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．
答案
一、单选题
1.A
【解答】解：A．因为对角线互相垂直，正方形具有而矩形不具有，所以A选项符合题意；
B．因为对角线相等，正方形具有而矩形也具有，所以B选项不符合题意；
C．因为对角互补，正方形具有而矩形也具有，所以C选项不符合题意；
D．因为四个角相等，正方形具有而矩形也具有，所以D选项不符合题意．
故选：A．
2.A
【解答】解：在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴∠B＝180°﹣120°＝60°，
又∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝6，
∴菱形ABCD的周长＝6×4＝24．
故选：A．
3.C
【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵ ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
在 ABCD中，AD＝6，BE＝2，
∴AD＝BC＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，
∴CD＝AB＝4，
∴ ABCD的周长＝6+6+4+4＝20．
故选：C．
4.C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AB∥CD，
∴∠B＝∠DCF，
①∵添加BE＝CF，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠CEB＝∠F＝90°，
∴△BCE≌△CDF（AAS），
③∵添加CE＝DF，
不能确定△BCE≌△CDF；
④∵添加∠BCE＝∠CDF，
∴△BCE≌△CDF（ASA），
故选：C．
5.D
【解答】解：A、得出的是a的方向不是单位向量，故错误；
B、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误；
C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
D、符合向量的长度及方向，故正确；
故选：D．
6.B
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DFC＝∠BCF，
∵点F是AD的中点，
∴AD＝2DF，
∵AD＝2AB，
∴AD＝2CD，
∴DF＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠BCF＝∠DCF，故①正确；
取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，
∴FG∥AB，
∵CE⊥AB，
∴FG⊥CE，
∴EF＝CF，
∴∠FEC＝∠FCE，故②正确；
∵CE⊥AB，AB∥CD，
∴CE⊥CD，
∴∠AEC＝∠DCE＝90°，
即∠AEF+∠FEC＝∠DCF+∠FCE＝90°，
∴∠AEF＝∠DCF，
∵∠DCF＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFD，故③正确；
根据现有条件无法证明S△CEF＝S△BCE，故错误④．
故选：B．
二、填空题
7.9
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，
∵∠A+∠C＝342°，
∴∠A＝171°，
∴∠B＝180°﹣171°＝9°，
故答案为：9．
8.110°
【解答】解：∵∠CBE＝70°，
∴∠CBA＝110°，
在平行四边形中，
∴∠D＝∠CBA＝110°，
故答案为：110°．
9.10cm．
【解答】解：由四边形ABCD是平行四边形，可知：
2（AB+BC）＝44cm，
且BC﹣AB＝2cm，
∴，
解得BC＝12，AB＝10，
∴CD＝AB＝10cm．
故答案为：10cm．
10.4
【解答】解：∵OA＝1，OB＝2，
∴AC＝2，BD＝4，
∴菱形ABCD的面积为×2×4＝4．
故答案为：4．
11.5
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，F为CA的中点，BF＝5，
∴AC＝2BF＝10．
又∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE是Rt△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝5．
故答案是：5．
12.
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∴AD＝2，
当点E在CD上时，
∵AE2＝DE2+AD2＝EC2，
∴（6﹣DE）2＝DE2+4，
∴DE＝；
当点E'在AB上时，
∵CE'2＝BE'2+BC2＝E'A2，
∴AE'2＝（6﹣AE'）2+4，
∴AE'＝，
∴DE'＝＝＝，
综上所述：DE＝或，
故答案为：或．
13.135
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案为：135．
14.
【解答】解：如图，连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH于T，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AH＝HC，
又∵Q是AB中点，
∴QH＝BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2，
同理可求PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，
∴PO∥AD∥BC∥EF∥∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ，
∴MO＝OS＝SH＝NH，∠OPQ＝∠PQH＝90°，
∵OT⊥QH，
∴四边形POTQ是矩形，
∴PO＝QT＝2，OT＝PQ＝4，
∴TH＝2，
∴OH＝＝＝2，
∴MN＝2OH＝4，
故答案为：4．
15.3
【解答】解：∵△ADE≌△ABF，
∴正方形ABCD的面积等于四边形AECF的面积，
∵四边形AECF的面积为8，
∴正方形ABCD的面积为8．
∴AD2＝8，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝3，
故答案为：3．
16.解：∵DF：EF＝DC：AE＝2：1，
∴DF：DE＝，
∵＝﹣＝﹣，
∴＝（﹣）＝﹣．
故答案为：﹣．
17.40
【解答】解：如图所示，连接BF，CD，
∵四边形ABEF，四边形ACGD都是正方形，
∴AB＝AF，AC＝AD，∠BAF＝∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠FAC，
∴△BAD≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ADB，
又∵∠AHC＝∠OHD，
∴∠CAH＝∠DOH＝90°，
∴CF⊥BD，
∴BC2＝OB2+OC2，DF2＝OD2+OF2，BF2＝OB2+OF2，DC2＝OD2+OC2，
∴BC2+DF2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
BF2+DC2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
即BC2+DF2＝BF2+DC2，
又∵△ABF和△ACD都是等腰直角三角形，且AB＝2，AC＝4，
∴BF2+DC2＝8+32＝40，
∴BC2+DF2＝40，
故答案为：40．
18.6
【解答】解：如图所示，过M作MP⊥AB于P，MQ⊥BC于Q，则∠EPM＝∠NQM＝90°，
∴∠PMQ＝90°＝∠EMN，
∴∠EMP＝∠NMQ，
又∵MB平分∠ABC，
∴MP＝MQ，
∴△EPM≌△NQM（ASA），
∴EM＝NM，
如图所示，过E作EF⊥BD于F，则∠EFM＝90°，
∵NH⊥BD，
∴∠MHN＝90°，
又∵∠EMN＝90°，
∴∠EMF+∠HMN＝∠MNH+∠HMN＝90°，
∴∠EMF＝∠MNH，
∴△EMF≌△MNH（AAS），
∴FM＝HN，
∵∠EBM＝45°，
∴∠BEF＝45°＝∠EBF，
∴△BEF是等腰直角三角形，
又∵BE＝4，
∴EF＝BF＝4，
又∵EM＝5，
∴Rt△EFM中，FM＝3，
∴HN＝3＝BH，
∴HF＝BF﹣BH＝4﹣3＝1，
∴HM＝1+3＝4，
∴△HMN的面积＝HM×HN＝×4×3＝6，
故答案为：6．
三、解答题
19.解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AC＝6，BD＝10，
∴AO＝3，BO＝5，
∵AB＝4，
∴AB2+AO2＝OB2，
∴∠BAC＝90°；
（2） ABCD的面积＝AB×AC＝4×6＝24．
20.解：（1）如图所示：四边形ABCD即为所求；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，
∵∠A＝60°，AD＝4cm，
∴∠DAH＝30°，则AH＝AD＝2cm，
故DH＝＝2（cm），
则这个菱形的面积为：AB DH＝4×2＝8（cm2）．
21.证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）如图，连接OP，
∵AD＝12，AB＝5，
∴BD＝＝＝13，
∴BO＝OD＝AO＝CO＝，
∵S△AOD＝S矩形ABCD＝×12×5＝15，
∴S△AOP+S△POD＝15，
∴××FP+××EP＝15，
∴PE+PF＝．
22.证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，AF⊥DE，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠C＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE＝BC，
∴AD＝DE，
在△ADF和△DEC中，
，
∴△ADF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝AB；
（2）AD，BC，DE的长度等于AB，
理由如下：∵△ADF≌△DEC，
∴CE＝DF，
∴BE＝EF，
∵BE＝DF，
∴BE＝EC＝DF＝EF，
∴DE＝2EC，
∵DE2＝EC2+CD2，
∴DE＝AB，
∴AD＝BC＝DE＝AB．
23.解：（1）∵OA＝2，OC＝3，E是AB中点，
∴B（2，3），E（2，）；
（2）设直线OB的解析式是y＝k1x，
把B点坐标代入，得k1＝，
则直线OB的解析式是y＝x．
设反比例函数解析式是y＝，
把E点坐标代入，得k2＝3，
则反比例函数的解析式是y＝；
（2）由题意得Fy＝3，代入，
得Fx＝1，即F（1，3）．
则四边形OEBF的面积＝矩形OABC的面积﹣△OAE的面积﹣△OCF的面积＝2×3﹣1×3﹣2×＝3．
24.解：（1）∵＝，BE＝2AE，
∴＝，
∵＝+＝﹣+．
故答案为﹣+．
（2）∵＝+＝+，AF＝AC，
∴＝+，
∵＝+＝﹣++＝+．
向量在向量和方向上的分向量分别为：，（如图所示）
故答案为＝+．
25.解：（1）根据旋转可知：
∠AP′B＝150°，∠BPC＝∠AP′B＝150°，
等边三角形ABC的边长为．
故答案为150°、150°、．
（2）解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′＝PC＝1，BP′＝PB＝．
连接PP′，如图．在Rt△BP′P中，
∵PB＝BP′＝，∠PBP′＝90°，
∴PP′＝2，∠BP′P＝45°．
在△AP′P中，AP′＝1，PP′＝2，PA＝，
∵12+22＝（）2，
即AP′2+PP′2＝PA2，
∴△AP′P是直角三角形，
即∠AP′P＝90°．
∴∠AP′B＝135°，
∴∠BPC＝∠AP′B＝135°．
过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E，则△BEP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′B＝45°．
又∵BP′＝，
∴EP′＝BE＝1，∴AE＝2．
在Rt△ABE中，
∵BE＝1，AE＝2，
∴由勾股定理，得AB＝．
综上可得，∠BPC＝135°，正方形ABCD的边长为．
答：∠BPC的度数为135°，正方形ABCD的边长为．
一、单选题
1.正方形具有而矩形不一定有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角互补 D．四个角相等
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．18
3.如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则 ABCD的周长是（ ）
A．60 B．30 C．20 D．16
4.如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5.已知，是两个非零向量，是一个单位向量，下列等式中正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．||＝ D．||＝
6.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，作CE⊥AB于点E，点F是AD的中点，连接CF，EF．关于下列四个结论：①∠BCF＝∠DCF；②∠FEC＝∠FCE；③∠AEF＝∠CFD；④S△CEF＝S△BCE，则所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．③④
二、填空题
7.在 ABCD中，若∠A+∠C＝342°，则∠B＝ 度．
8.如图， ABCD的一个外角∠CBE是70°，则∠D的大小是 ．
9.在 ABCD中，已知周长为44cm，AB比BC短2cm，则CD＝
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为 ．
11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝5，则DE＝ ．
12.已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是 ．
13.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °．
14.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为 ．
15.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，点F是CB延长线上一点，且△ADE≌△ABF，四边形AECF的面积为8，DE＝1，则AE的长为 ．
16.如图，已知在 ABCD中，E是边AB的中点，DE与对角线AC相交于点F．如果，，那么＝ （用含、的式子表示）．
17.如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD、CF、DF，若AB＝2，AC＝4，则BC2+DF2的值为 ．
18.如图所示，在正方形ABCD中，点E在AB边上，BE＝4，M是对角线BD上的一点（∠EMB是锐角），连接EM，EM＝5，过点M作MN⊥EM交BC边于点N．过点N作NH⊥BD于H，则△HMN的面积＝ ．
三、解答题
19.如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6，BD＝10，AB＝4．
（1）求∠BAC的度数：
（2）求 ABCD的面积．
20.已知线段a＝4cm．
（1）用尺规作图作一个边长为4cm的菱形ABCD，使∠A＝60°（保留作图痕迹），
（2）求这个菱形的面积．
21.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．
（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．
22.已知：在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE，且DE＝BC，过点A作AF⊥DE于点F．
（1）如图1，求证：AB＝AF；
（2）如图2，连接AE，当BE＝DF时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于AB的线段．
23.如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，OA＝2，OC＝3，E是AB中点，反比例函数图象过点E且和BC相交点F．
（1）直接写出点B和点E的坐标；
（2）求直线AB与反比例函数的解析式；
（3）连接OE、OF，求四边形OEBF的面积．
24.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为边AB上一点，且BE＝2AE．设＝，＝．
（1）填空：向量＝ ﹣ ；
（2）如果点F是线段OC的中点，那么向量＝ ，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．
（注：本题结果用向量，的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．
25.问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得∠AP′B＝ °，所以∠BPC＝∠AP′B＝ °，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为 ，问题得到解决．
（1）根据李明同学的思路填空：∠AP′B＝ °，∠BPC＝∠AP′B＝ °，等边三角形ABC的边长为 ．
（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，PB＝，PC＝1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．
答案
一、单选题
1.A
【解答】解：A．因为对角线互相垂直，正方形具有而矩形不具有，所以A选项符合题意；
B．因为对角线相等，正方形具有而矩形也具有，所以B选项不符合题意；
C．因为对角互补，正方形具有而矩形也具有，所以C选项不符合题意；
D．因为四个角相等，正方形具有而矩形也具有，所以D选项不符合题意．
故选：A．
2.A
【解答】解：在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴∠B＝180°﹣120°＝60°，
又∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝6，
∴菱形ABCD的周长＝6×4＝24．
故选：A．
3.C
【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵ ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
在 ABCD中，AD＝6，BE＝2，
∴AD＝BC＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，
∴CD＝AB＝4，
∴ ABCD的周长＝6+6+4+4＝20．
故选：C．
4.C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AB∥CD，
∴∠B＝∠DCF，
①∵添加BE＝CF，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠CEB＝∠F＝90°，
∴△BCE≌△CDF（AAS），
③∵添加CE＝DF，
不能确定△BCE≌△CDF；
④∵添加∠BCE＝∠CDF，
∴△BCE≌△CDF（ASA），
故选：C．
5.D
【解答】解：A、得出的是a的方向不是单位向量，故错误；
B、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误；
C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
D、符合向量的长度及方向，故正确；
故选：D．
6.B
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DFC＝∠BCF，
∵点F是AD的中点，
∴AD＝2DF，
∵AD＝2AB，
∴AD＝2CD，
∴DF＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴∠BCF＝∠DCF，故①正确；
取EC的中点G，连接FG，则FG为梯形AECD的中位线，
∴FG∥AB，
∵CE⊥AB，
∴FG⊥CE，
∴EF＝CF，
∴∠FEC＝∠FCE，故②正确；
∵CE⊥AB，AB∥CD，
∴CE⊥CD，
∴∠AEC＝∠DCE＝90°，
即∠AEF+∠FEC＝∠DCF+∠FCE＝90°，
∴∠AEF＝∠DCF，
∵∠DCF＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFD，故③正确；
根据现有条件无法证明S△CEF＝S△BCE，故错误④．
故选：B．
二、填空题
7.9
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，
∵∠A+∠C＝342°，
∴∠A＝171°，
∴∠B＝180°﹣171°＝9°，
故答案为：9．
8.110°
【解答】解：∵∠CBE＝70°，
∴∠CBA＝110°，
在平行四边形中，
∴∠D＝∠CBA＝110°，
故答案为：110°．
9.10cm．
【解答】解：由四边形ABCD是平行四边形，可知：
2（AB+BC）＝44cm，
且BC﹣AB＝2cm，
∴，
解得BC＝12，AB＝10，
∴CD＝AB＝10cm．
故答案为：10cm．
10.4
【解答】解：∵OA＝1，OB＝2，
∴AC＝2，BD＝4，
∴菱形ABCD的面积为×2×4＝4．
故答案为：4．
11.5
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，F为CA的中点，BF＝5，
∴AC＝2BF＝10．
又∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE是Rt△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝5．
故答案是：5．
12.
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∴AD＝2，
当点E在CD上时，
∵AE2＝DE2+AD2＝EC2，
∴（6﹣DE）2＝DE2+4，
∴DE＝；
当点E'在AB上时，
∵CE'2＝BE'2+BC2＝E'A2，
∴AE'2＝（6﹣AE'）2+4，
∴AE'＝，
∴DE'＝＝＝，
综上所述：DE＝或，
故答案为：或．
13.135
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，
故答案为：135．
14.
【解答】解：如图，连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH于T，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AH＝HC，
又∵Q是AB中点，
∴QH＝BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2，
同理可求PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，
∴PO∥AD∥BC∥EF∥∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ，
∴MO＝OS＝SH＝NH，∠OPQ＝∠PQH＝90°，
∵OT⊥QH，
∴四边形POTQ是矩形，
∴PO＝QT＝2，OT＝PQ＝4，
∴TH＝2，
∴OH＝＝＝2，
∴MN＝2OH＝4，
故答案为：4．
15.3
【解答】解：∵△ADE≌△ABF，
∴正方形ABCD的面积等于四边形AECF的面积，
∵四边形AECF的面积为8，
∴正方形ABCD的面积为8．
∴AD2＝8，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝3，
故答案为：3．
16.解：∵DF：EF＝DC：AE＝2：1，
∴DF：DE＝，
∵＝﹣＝﹣，
∴＝（﹣）＝﹣．
故答案为：﹣．
17.40
【解答】解：如图所示，连接BF，CD，
∵四边形ABEF，四边形ACGD都是正方形，
∴AB＝AF，AC＝AD，∠BAF＝∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠FAC，
∴△BAD≌△FAC（SAS），
∴∠ACF＝∠ADB，
又∵∠AHC＝∠OHD，
∴∠CAH＝∠DOH＝90°，
∴CF⊥BD，
∴BC2＝OB2+OC2，DF2＝OD2+OF2，BF2＝OB2+OF2，DC2＝OD2+OC2，
∴BC2+DF2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
BF2+DC2＝OD2+OF2+OB2+OC2，
即BC2+DF2＝BF2+DC2，
又∵△ABF和△ACD都是等腰直角三角形，且AB＝2，AC＝4，
∴BF2+DC2＝8+32＝40，
∴BC2+DF2＝40，
故答案为：40．
18.6
【解答】解：如图所示，过M作MP⊥AB于P，MQ⊥BC于Q，则∠EPM＝∠NQM＝90°，
∴∠PMQ＝90°＝∠EMN，
∴∠EMP＝∠NMQ，
又∵MB平分∠ABC，
∴MP＝MQ，
∴△EPM≌△NQM（ASA），
∴EM＝NM，
如图所示，过E作EF⊥BD于F，则∠EFM＝90°，
∵NH⊥BD，
∴∠MHN＝90°，
又∵∠EMN＝90°，
∴∠EMF+∠HMN＝∠MNH+∠HMN＝90°，
∴∠EMF＝∠MNH，
∴△EMF≌△MNH（AAS），
∴FM＝HN，
∵∠EBM＝45°，
∴∠BEF＝45°＝∠EBF，
∴△BEF是等腰直角三角形，
又∵BE＝4，
∴EF＝BF＝4，
又∵EM＝5，
∴Rt△EFM中，FM＝3，
∴HN＝3＝BH，
∴HF＝BF﹣BH＝4﹣3＝1，
∴HM＝1+3＝4，
∴△HMN的面积＝HM×HN＝×4×3＝6，
故答案为：6．
三、解答题
19.解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AC＝6，BD＝10，
∴AO＝3，BO＝5，
∵AB＝4，
∴AB2+AO2＝OB2，
∴∠BAC＝90°；
（2） ABCD的面积＝AB×AC＝4×6＝24．
20.解：（1）如图所示：四边形ABCD即为所求；
（2）过点D作DH⊥AB于点H，
∵∠A＝60°，AD＝4cm，
∴∠DAH＝30°，则AH＝AD＝2cm，
故DH＝＝2（cm），
则这个菱形的面积为：AB DH＝4×2＝8（cm2）．
21.证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）如图，连接OP，
∵AD＝12，AB＝5，
∴BD＝＝＝13，
∴BO＝OD＝AO＝CO＝，
∵S△AOD＝S矩形ABCD＝×12×5＝15，
∴S△AOP+S△POD＝15，
∴××FP+××EP＝15，
∴PE+PF＝．
22.证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，AF⊥DE，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠C＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE＝BC，
∴AD＝DE，
在△ADF和△DEC中，
，
∴△ADF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝AB；
（2）AD，BC，DE的长度等于AB，
理由如下：∵△ADF≌△DEC，
∴CE＝DF，
∴BE＝EF，
∵BE＝DF，
∴BE＝EC＝DF＝EF，
∴DE＝2EC，
∵DE2＝EC2+CD2，
∴DE＝AB，
∴AD＝BC＝DE＝AB．
23.解：（1）∵OA＝2，OC＝3，E是AB中点，
∴B（2，3），E（2，）；
（2）设直线OB的解析式是y＝k1x，
把B点坐标代入，得k1＝，
则直线OB的解析式是y＝x．
设反比例函数解析式是y＝，
把E点坐标代入，得k2＝3，
则反比例函数的解析式是y＝；
（2）由题意得Fy＝3，代入，
得Fx＝1，即F（1，3）．
则四边形OEBF的面积＝矩形OABC的面积﹣△OAE的面积﹣△OCF的面积＝2×3﹣1×3﹣2×＝3．
24.解：（1）∵＝，BE＝2AE，
∴＝，
∵＝+＝﹣+．
故答案为﹣+．
（2）∵＝+＝+，AF＝AC，
∴＝+，
∵＝+＝﹣++＝+．
向量在向量和方向上的分向量分别为：，（如图所示）
故答案为＝+．
25.解：（1）根据旋转可知：
∠AP′B＝150°，∠BPC＝∠AP′B＝150°，
等边三角形ABC的边长为．
故答案为150°、150°、．
（2）解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′＝PC＝1，BP′＝PB＝．
连接PP′，如图．在Rt△BP′P中，
∵PB＝BP′＝，∠PBP′＝90°，
∴PP′＝2，∠BP′P＝45°．
在△AP′P中，AP′＝1，PP′＝2，PA＝，
∵12+22＝（）2，
即AP′2+PP′2＝PA2，
∴△AP′P是直角三角形，
即∠AP′P＝90°．
∴∠AP′B＝135°，
∴∠BPC＝∠AP′B＝135°．
过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E，则△BEP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′B＝45°．
又∵BP′＝，
∴EP′＝BE＝1，∴AE＝2．
在Rt△ABE中，
∵BE＝1，AE＝2，
∴由勾股定理，得AB＝．
综上可得，∠BPC＝135°，正方形ABCD的边长为．
答：∠BPC的度数为135°，正方形ABCD的边长为．