3.1.1 椭圆及其标准方程 课件（共16张PPT）

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椭圆及其标准方程
1 问题情境
问题1：用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆．如果改变截面与圆锥的轴所成的角，会得到怎样的截口曲线呢
通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线(conic sections)．
问题2：历史上，古希腊人曾用纯几何的方法研究圆锥曲线．17世纪后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线．你能猜测这些变化的大致原因吗 如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐标法研究直线与圆的基础上，猜想研究的大致思路与构架吗
现实背景——曲线概念——曲线方程——曲线性质——实际应用
学习目标
1．能通过观察平面截圆锥认识到：当平面与圆锥的轴所成的角不同时，可以分别得到圆、椭圆、双曲线和抛物线．能通过章引言初步认识本章的学习内容、学习方法与学习价值．
2．能通过绘制椭圆的过程认识椭圆的几何特征，给出椭圆的定义，并能用它解决简单的问题，发展数学抽象素养．
3．能建立适当的坐标系得到椭圆的标准方程，并能用它解决简单的问题．体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养．
2 新知建构
问题3：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么
问题4：你能用精确的数学语言刻画椭圆吗
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于| F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse)．
这两个定点叫做椭圆的焦点(focus)，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(focus distance)，焦距的一半称为半焦距．
椭圆的定义
当常数等于两定点间的距离时，点的轨迹是线段；
当常数小于两定点间的距离时，点的轨迹不存在．
问题5：遵循解析几何研究几何图形的内在逻辑，了解椭圆的概念后，应建立椭圆的方程．你能猜想建立椭圆方程的大致步骤吗 请尝试建立椭圆的方程．
以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy．
M(x，y)
F1
F2
x
y
(c，0)
P＝{M|MF1＋MF2＝2a}

P
F1
F2
x
y
O
问题6：如果椭圆的焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别为(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程又是什么
y
O
x
F1
F2
M
此时椭圆的方程为
这也是椭圆的标准方程．
椭圆的方程
根据椭圆的几何特征建立适当的直角坐标系

明确椭圆上的点满足的几何条件

将几何条件转化为代数表示列出方程

化简方程

检验方程
M
F1
F2
x
y
y
O
x
F1
F2
M
3 数学运用
3 数学运用
4 回顾反思
问题7：
(1)椭圆的概念中的要点与需要注意的地方分别是什么
(2)推导椭圆的标准方程时，建立直角坐标系的依据是什么
(3)椭圆标准方程的推导给了你怎样的启示 就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤 为什么是这些步骤
5 学习评价
1．尝试通过其他化简方案推导椭圆的标准方程．
2．完成教科书习题3.1第1，2题．
实践：请利用细绳、铅笔，动手操作，画一个椭圆．
再 见
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