2024 年 4 月
绵阳南山中学高 2021 级高三下期绵阳三诊热身考试试题
理科数学
一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。）
1 2．已知集合M x∣x 3x 4 0 ,N {x∣y ln(x 1)}，则M N （ ）
A． (1, 4) B．[1,4) C． ( 1,4) D．[ 1, 4)
2．若复数 z满足 z 3 i 2，则 z （ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
3 x
2 y2
．已知双曲线 1的渐近线方程为 y 3x，则a （ ）．
a 2 3
A． 1 B．1 C． 3 D．3
1
4 ．已知向量 a,b 满足 a 2, b 5，且 a与b 夹角的余弦值为 ，则 a 2b 2a b5 （ ）
A．36 B． 36 C．32 D． 32
5．已知数列 an 是首项为 1的等比数列，Sn是数列 an 的前 n项和，且9S3 S6，则数列
an 的前 5项和为（ ）
A．30或 40 B．31或 40 C．31 D．30
6 2 2．点 P在圆C： x 4 y 4 9上，A 3,0 ，B 0,1 ，则 PBA最小时， PB （ ）
A．8 B．6 C． 4 D． 2
7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积
（单位： cm2）是（ ）
A．24 B．28
C．32 D．36
8．若 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， ABC的面积
S a2 sinC， c 6，角 C平分线 CM交边 AB于点 M，则 AM的长为（ ）
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A．2 B．4 C． 2 2 D．2 3
π
9 ． 设 函 数 f (x) 2sin( x ), ( 0), x , x [
π
若 存 在 1 2 ,
π ], 且 x x ， 使 得
6 3 3 1 2
f x1 f x2 1，则 的取值范围是（ ）
A． 4, B． 4,6 C． 6, D． 6,10
10．将甲、乙、丙、丁 4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至
少派 1 名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C
表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A．事件 A与 B相互独立 B．事件 A与 C相互独立
C． P B | A 5 5 D． P C | A
12 12
11．若实数 x， y满足 4ln x 2ln y x 2 4 y 4 ，则（ ）
A xy 2． B． x y 2 C． x y 1 2 D． x3y 1
2
2 2
12 x y．已知椭圆C： 2 2 1 a b 0 的左、右焦点分别为 F1、F2，以 F2为圆心的圆与 xa b
轴交于 F1， B两点，与 y轴正半轴交于点A，线段 AF1与C交于点M .若 BM 与C的焦距
31
的比值为 ，则C的离心率为（ ）
3
A 3 1 1 3 1 7 1． B．
2 2
C． D．
4 2
二、填空题:（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13． x y x 2y 5的展开式中 x4 y2的系数为 ．（用数字作答）
π 3 5 3π
14．已知 x 0, ,sinx cosx ，则 tan x ． 4 5
4
f x 1
x
15．若 x1, x2是函数 ax2 ex 1 a R 2的两个极值点，且 2x ，则实数 a的取值2 1
范围为 ．
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{#{QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyCkAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=}#}
16．将正方形 ABCD沿对角线 BD折起，当 AC 2 3时，三棱锥 A BCD 4 3的体积为 ，
3
则该三棱锥外接球的体积为 ．
三、解答题:（共 70 分）
17．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取 50个作为
样本，称出它们的重量 (单位：克 )，重量分组区间为 5,15 , 15,25 , 25,35 , 35,45 ，由
此得到样本的重量频率分布直方图 (如图 )．
（1）求 a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球
重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取 3个小球，其中重量 5,15 内
的小球个数为 X ，求 X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
S
18．设 Sn为数列 an 的前 n项和，已知a2 4, S4 20，且 n 为等差数列．
n
(1)求证：数列 an 为等差数列；
b a
(2) n 1 n若数列 b n 满足b1 6，且 b a ，求数列 bn 的前 n项和Tn．n n 2
19．如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中， AC BB1 2BC 2， CBB1 2 CAB
，且平
3
面 ABC 平面 B1C1CB .
（1）求证：平面 ABC 平面 ACB1；
（2）设点 P为直线BC的中点，求直线 A1P与平面 ACB1所成角的正
弦值.
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20 f x ae2x a 2 ex．已知函数 x
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 f x 有两个零点，求 a的取值范围.
21．已知点E 1, 2 2 C : y 2在抛物线 2px p 0 上， A,B为抛物线C上两个动点， AB
不垂直 x轴， F 为焦点，且满足 AF BF 8．
(1)求 p的值，并证明：线段 AB的垂直平分线过定点；
(2)设（1）中定点为M ，当 ABM 的面积最大时，求直线 AB的方程．
π 1
22．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为 ρ sin θ 0 ，以极点为坐标原点，极
3 2
x 2cos
轴为 x轴正半轴，建立直角坐标系，曲线C2的参数方程为 y 2sin （ 为参数）.
(1)写出C1的直角坐标方程和C2的普通方程；
1 1
(2)已知点 P 0,1 ，C 与C2相交于A， B两点，求 1 PA PB 的值.
23．已知 x、y、z均为正实数，且4x2 y2 z2 3．
(1)求 2x y z的最大值；
y 2x 1 1(2)若 ，证明： 3．
x z
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{#{QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyCkAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=}#}2021 级高三下期绵阳三诊热身考试试题
理科数学参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A A B C C C B A D A D
二、填空题
2 32π
13．30 14.3 15. , 16.
ln 2 3
三、解答题
17．（Ⅰ）由题意，得 0.02 0.032 a 0.018 10 1， 解得 a 0.03；
又由最高矩形中点的的横坐标为 20，可估计盒子中小球重量的众数约为 20（克）
而50个样本小球重量的平均值为： X 0.2 10 0.32 20 0.3 30 0.18 40 24.6（克）
故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为 24.6克；
（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在 5,15 内的概率为 0.2
X B(3, 1则 ) . X 的可能取值为 0、1、 2、3，
5
0 3
P X 0 C 0 1 4 64 1 4
2 48
1 3 5
， P X 1 C ，
5 125 3 5 5 125
2
P X 2 C 2 1 4 12 P X 3 C 3 1
3
4
0
1 3 ， 3 .
5 5 125 5 5 125
X 的分布列为：
X 0 1 2 3
64 48 12 1
P
125 125 125 125
EX 0 64 1 48 2 12 1 3 1 3 3 .（或者 EX 3 ）
125 125 125 125 5 5 5
S S S
18．（1）设等差数列 n 的公差为d ，则 4 1 3d，即 S 3d 5，①
n 4 1 1
因为 S2 a1 a2 S
S2 S1
1 4，所以由 d ，得 S2 1 1
2d 4．②
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{#{QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyCkAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=}#}
S
由①、②解得 S1 2,d 1，所以 n n 1，即 Sn n
n n 1 ，
当 n 2时，an Sn Sn 1 n n 1 n 1 n 2n，
当 n 1时， a1 S1 2，上式也成立，
所以 an 2n n N* ，所以数列 an 是等差数列；
b
2 1 n 1
a
n
2n n
（ ）由（ ）可知 bn a
，
n 2 2n 4 n 2
b bn bn 1 b2 b n 1 n 2 1 6 12当 n 2时， n 1 bn 1 b
，
n 2 b1 n 1 n 3 n n 1
b 12 1 1b 因为 1 6满足上式，所以 n 12 n N*n n 1 n n 1 ．
T 12 1 1 1 1 1 1 1 12n
12 1
12 ．
2 2 3 n n 1 n 1 n 1
19．（1）证明：因为 AC 2BC 2，所以 BC 1 .
因为 2 ACB ，所以 ACB .
3 6
BC AC 1 2
在 ABC 中， ，即
sin A sin B sin
sin B ，所以 sin B 1，即 AB BC .
6
又因为平面 ABC 平面 B1C1CB，平面 ABC 平面 B1C1CB BC ， AB 平面 ABC，
所以 AB 平面 B1C1CB .
又 B1C 平面 B1C1CB，所以 AB B1C，
在 B1BC中， B1B 2
， BC 1， CBB1 ，3
所以 BC 2
1 B B
2
1 BC
2 2B1B BC cos 3，即 B1C 3，所以B1C BC .3
而 AB B1C， AB 平面 ABC，BC 平面 ABC， AB BC B，
所以 B1C 平面 ABC .
又 B1C 平面 ACB1，所以平面 ABC 平面 ACB1 .
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（2）以 B为坐标原点，以 BC为 x轴， BA为 y轴，过 B作平面 ABC的垂线为 z轴建立如
图所示的空间直角坐标系：则 B 0,0,0 ，C 1,0,0 ，A 0, 3,0 ，
B1C 平面 ABC， B1 1,0, 3 ， BB1 1,0, 3 ，
在三棱柱中， AA1 //BB1 //CC1，可得C1 2,0, 3 ， A1 1, 3, 3 ，
1
P为 BC中点， P ,0,0 ，
2
1 A1P , 3, 3 ， AB1 1, 3, 3 ，CB2 1 0,0, 3 ，
设平面 ACB1的一个法向量为 n x, y, z ，
A B 1 n
0 x 3y 3z 0
则 ，即 ，令 x 3，可得 y 1, z 0，
CB1 n 0 3z 0
则 n 3,1,0 ，
设直线 A1P与平面 ACB1所成角为 ，
3
A P n 3 0 3 3
则 sin cos A P, n 11 2 5 ,A1P n 2 10
2
AP ACB 3 3故直线 1 与平面 1所成角的正弦值为 .
10
20．（1） f x 的定义域为 , ， f x 2ae2x a 2 ex 1 aex 1 2ex 1 ，
（ⅰ）若 a 0，则 f x 0，所以 f x 在 , 单调递减.
（ⅱ）若 a 0，则由 f x 0得 x lna .
当 x , lna 时， f x 0；当 x lna, 时， f x 0，
所以 f x 在 , lna 单调递减，在 lna, 单调递增.
（2）（ⅰ）若 a 0，由（1）知， f x 至多有一个零点.
试卷第 3页，共 6页
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1
（ⅱ）若a 0，由（1）知，当 x lna时， f x 取得最小值，最小值为 f lna 1 lna .
a
①当 a 1时，由于 f lna 0，故 f x 只有一个零点；
②当 a 1, 1时，由于1 lna 0，即 f lna 0，故 f x 没有零点；
a
③当 a 0,1 时，1 1 lna 0，即 f lna 0 .
a
f 2 ae 4 a 2 e 2 2 2e 2又 2 0，故 f x 在 , lna 有一个零点.
设正整数 n0满足 n0 ln
3 n n
1 ，则 f n0 e 0 ae 0 a 2 n0 en0 n0 2n0 n0 0 .
a
ln 3 由于 1 lna，因此 f x 在 lna, 有一个零点.
a
综上， a的取值范围为 0,1 .
2
21．（1）将点 E 1, 2 2 代入抛物线方程，可得 2 2 2 p 1，解得 p 4，
所以抛物线方程为 y2 8x，
设直线 AB的方程为： y kx m k 0 , A x1, y1 ,B x2 , y2 ，
y kx m y k 2x2联立方程 2 ，消去 得 2km 8 x m2 0， k 0，
y 8x
8 2km m2
由韦达定理得 x1 x2 2 , x1x2 ，k k 2
根据抛物线定义： AF
8 2km 4
BF x1 x2 4 2 4 8，可得m 2k ，k k
Δ 2km 8 2此时 4k 2m2 32 2 km 64 k 2 1 0，解得 k 1或 k 1，
x x 1
x2
0 2
设 AB的中点坐标为 x0 , y0 ，则 2 ，
y0 kx0 m 2k m
可得 AB的垂直平分线方程为： y 2k m
1
x 2 ，
k
将m
4 1
2k 代入整理得： y x 6 ，故 AB的垂直平分线过定点 6,0 ．
k k
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8 2 2km 4m 2 2
（2）由（1）可得 AB 1 k 2 2 2 1 k
2 8 1 k ，
k k k 2
4 k 1
且点M 6,0 到直线 AB的距离 6k md k ，
1 k 2 1 k 2
16 k 2 1 k 1
则 ABM 的面积为 S 1 AB d k ，
2 k 2
256 k 2 1 2 1 k 2 2 k 可得 S 2 4 256 1 1 1 1 ，k k 2 k 4 k 6
1
设 2 t，设 f t 1 t t
2 t3 0 t 1 2，则 f t 1 2t 3t
k
令 f t 0 1 1，解得0 t ；令 f t 0，解得 t 1；
3 3
1 1
则 f t 在 0, 上单调递增，在 ,1 上单调递减．
3 3
1
所以当 t 时， ABM 的面积取最大值，此时 k 2 3，即 k 3．此时 AB : y 3
x
2
.
3 3
C ρ sin θ π 122．（1）曲线 1的极坐标方程为 0 ，即3 2 sin 3 cos 1 0，
则曲线C1的直角坐标方程为 3x y 1 0，
把参数方程平方相加得曲线C2的普通方程为 x2 y2 4 .
π
（2）易知点 P在直线 3x y 1 0上，且该直线的斜率为 3，倾斜角为 ，3
1
x t
C 2则曲线 1的参数方程为 （ t为参数），
3
y 1 t 2
联立曲线C1的参数方程与曲线C2的普通方程得 t2 3t 3 0，
设点A， B在直线 3x y 1 0上对应的参数分别为 t1， t2 ，
由韦达定理可得 t1 t2 3， t1t2 3，
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1 1 1 1 t2 t1 t1 t 3 2
PA PB t1 t 2 t1t 2 t1t 2 3
.
23．（1）因为 4x2 y2 z2 3，所以 (2x)2 y2 z2 3，
又 x、y、z均为正实数，
2 2 2
由柯西不等式有 1 1 1 2x
2 y 2 z 2 2x y z
2
，
所以 2x y z 3，当且仅当 2x y z且 4x2 y2 z2 3，
即 2x y z 1时，等号成立，所以 2x y z的最大值为 3.
（2）因为 y 2x， x 0， y 0，z 0，
由（1）得 2x y z 4x z 3，
1 1
即0 4x z 3，所以 ，
4x z 3
当且仅当 2x z 1时，等号成立，
1 1 4x z 5 z 4x因为
5 2
z 4x
9，
x z x z x z
4x z
当且仅当 ，即 z 2x 1时，等号成立，
z x
1 1 1 1 9 3 1 1因为 ，所以 ，即 3．
4x z 3 x z 4x z x z
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