沂源县第二中学2023-2024学年高一下学期4月阶段性检测
数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③若，则或；则所有正确命题的号是（ ）
A．③ B．① C．①③ D．①②
2. 与共线的向量是（ ）
A. B. C. D.
3．已知向量，，若，，与的夹角为，则＝（ ）
A．6 B． C．3 D．
4．若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
5. 如图，若D点在三角形ABC的边BC上，且，则的值为（ ）
A. 0 B. C. D. 1
6. 已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则（ ）
A. B.
C. D.
7．化简的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最小值为 D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
10．下列式子化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C. 若与共线，则为或
D. 存在，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点，，共线，则的值为__________
13．已知，，则 ..
14．在锐角中，，若点为的外心，且，则实数的值为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量，，．
（1）求
（2）若，求实数的值．
16．（15分）已知为第一象限角，为第二象限角，且，
（1）求的值；
（2）求的值.
17．（15分）已知向量，，且.
（1）求的值；
（2）求的取值范围；
（3）记函数，若的最小值为，求实数的值.
18.（17分）已知一个半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，且按顺时针方向匀速转动，每秒转动一圈.如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，
记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为.
(1)在水轮转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式；
(2)在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间段.
19．（17分）已知在区间上最大值为6.
（1）求单调增区间；
（2）当时，关于不等式有解，求实数取值范围.沂源县第二中学2023-2024学年高一下学期4月阶段性检测
数学
参考答案
选择题
1-5 B B A D C B A B
①零向量的长度为零，方向是任意的；②若，都是单位向量，则；③若，则或；则所有正确命题的号是（ ）
A．③ B．① C．①③ D．①②
2. 与共线的向量是（ ）
A. B. C. D.
3．已知向量，，若，，与的夹角为，则＝（ ）
A．6 B． C．3 D．
4．若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
5. 如图，若D点在三角形ABC的边BC上，且，则的值为（ ）
A. 0 B. C. D. 1
6. 已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则（ ）
A. B.
C. D.
7．化简的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则（9.AC ）
A．若，则 B．若，则
C．的最小值为 D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
10．下列式子化简正确的是（10. BC ）
A． B．
C． D．
11. 已知向量，，则下列命题正确的是（11.AB ）
A. 若，则
B. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C. 若与共线，则为或
D. 存在，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点，，共线，则的值为____-8______
13．已知，，则 ..
14．在锐角中，，若点为的外心，且，则实数的值为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量，，．
（1）求
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，，,
所以
（2），，
因为，
所以，解得.
16．（15分）已知为第一象限角，为第二象限角，且，
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为为第一象限角，，则，
所以，
则；
（2）由为第一象限角，，则，所以，
由于为第二象限角，，则，
所以，则.
17．（15分）已知向量，，且.
（1）求的值；
（2）求的取值范围；
（3）记函数，若的最小值为，求实数的值.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）向量，，
.
（2），，
，，，
所以的取值范围为.
（3）由（1）（2）可知，函数，
令，则，
，其图像抛物线开口向上，对称轴方程为，
当，即时，最小值为，解得（舍去）；
当，即时，最小值为，解得或（舍去）；
当，即时，最小值为.
综上可知，.
18.（17分）已知一个半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，且按顺时针方向匀速转动，每秒转动一圈.如果以水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，
记点距离水面的高度关于时间的函数解析式为.
(1)在水轮转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式；
(2)在水轮转动的一周内，求点在水面下方的时间段.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据函数的最大值和最小值可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，求出该函数的最小正周期，可得出的值，再由，结合的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式；
（2）在时，解不等式即可得出结论.
【详解】（1）解：由题意知的最大值为，最小值为，
所以，，解得，
由题意可知，函数的最小正周期为，
则，所以.
当时，，即，可得，
又，所以，所以，.
（2）解：令，得.
由，得，所以，解得，
即在水轮转动的一圈内，点在水面下方的时段是秒到秒.
19．（17分）已知在区间上最大值为6.
（1）求单调增区间；
（2）当时，关于不等式有解，求实数取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）依题意，，
由，得，则当，
即时，，解得，
因此，
由，得，
所以函数的单调增区间为.
（2）由（1）知，，不等式化为，
依题意，不等式对有解，
由，得，则，因此，
从而，则，
所以实数取值范围是.
