沂源县第二中学2023-2024学年高二下学期4月月考
数学题
一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）已知直线y＝kx+b既是曲线y＝lnx的切线，也是曲线y＝﹣ln（﹣x）的切线，则（ ）
A．k＝，b＝0 B．k＝1，b＝0 C．k＝，b＝﹣1 D．k＝1，b＝﹣1
2．（5分）在等比数列{an}中，a2＝，a6＝，则a10＝（ ）
A． B． C．3 D．4
3．（5分）已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，且，．则（ ）
A．a10＝20 B．a5+S7＝58 C．S5＝50 D．
4．（5分）已知数列{an}满足an+1＝3an+2，则“a1＝﹣1”是“{an}是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）（文）已知函数f（x）＝f′（）sinx+cosx，则f（）的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1
6．（5分）设a∈R，函数f（x）＝ex+a e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y＝f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A．ln2 B．﹣ln2 C． D．
7．（5分）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，n∈N*，都有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x）满足： x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，＜0成立，且f（4）＝12，则不等式f（x）＞3x的解集为（ ）
A．（12，+∞） B．（0，4） C．（0，12） D．（4，+∞）
二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分）
（多选）9．（6分）下列命题中，不正确的选项有（ ）
A．若a，b，c成等比数列，则b为a，c的等比中项，且
B．{an}为等比数列是的充要条件
C．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an bn}、、仍为等比数列
D．若{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，则Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m，…成等比数列
（多选）10．（6分）下列说法中正确的有（ ）
A．若f（x）＝xlnx，则f′（x）＝lnx+1
B．若y＝sin（x+1），则y′＝cosx
C．若，则
D．一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y（t）＝t2+2t，则该质点在t＝2s时的瞬时速度是6m/s
（多选）11．（6分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则以下四个选项中正确是（ ）
A．若a5＝0，则S9＝0
B．若S6﹣S9＝a10，且a2＞a1，则a8＜0且a9＞0
C．若S16＝64，且在前16项中，偶数项的和与奇数项的和之比为3：1，则公差为2
D．若（n+1）Sn＞nSn+1，且，则S3和S4均是Sn的最大值
三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）若函数，则的值为 ．
13．（5分）如图，三角形数阵由一个等差数列2，5，8，11，14，…排列而成，按照此规律，则该数阵中第10行从左至右的第4个数是 ．
14．（5分）若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为{an}，若数列{bn}满足，则数列{bn}的前n项和Sn＝ ．
四．解答题（本题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）求下列函数的导数．
①y＝lnx+；
②y＝（2x2﹣1）（3x+1）；
③f（x）＝．
④y＝sin；
16．（15分）已知在等差数列{an}中，a1+a4＝8，a2 a3＝15．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最值．
17．（15分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且．
（1）证明：数列为等差数列，并求{Sn}的通项公式；
（2）若，设数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＜k恒成立，求k的范围．
18．（17分）已知函数f（x）＝aln（x+1）﹣xsinx．
（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；
（2）若a＝1，研究函数f（x）在x∈（﹣1，0]上的单调性和零点个数．
19．（17分）已知函数．
（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线6x+y+1＝0平行，求出这条切线的方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性．沂源县第二中学2023-2024学年高二下学期4月月考
数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知直线y＝kx+b既是曲线y＝lnx的切线，也是曲线y＝﹣ln（﹣x）的切线，则（ ）
A．k＝，b＝0 B．k＝1，b＝0 C．k＝，b＝﹣1 D．k＝1，b＝﹣1
【答案】A
【分析】设出切点坐标（x1，lnx1）和（x2，﹣ln（﹣x2）），建立关于k，b，x1，x2的方程组，解出即可．
【解答】解：设曲线y＝lnx上的切点为（x1，lnx1），曲线y＝﹣ln（﹣x）上的切点为（x2，﹣ln（﹣x2）），
又，
则，解得．
故选：A．
2．（5分）在等比数列{an}中，a2＝，a6＝，则a10＝（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】由数列{an}是等比数列，得到，由此能求出结果．
【解答】解：在等比数列{an}中，a2＝，a5＝，
因为数列{an}是等比数列，
所以，即．
所以a10＝3．
故选：C．
3．（5分）已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，且，．则（ ）
A．a10＝20 B．a5+S7＝58 C．S5＝50 D．
【答案】B
【分析】由等差数列an，Sn的关系结合已知等式化简，可得d＝2，结合，求出首项，即可得等差数列的通项公式以及前n项和公式，由此一一判断各选项，即可得解．
【解答】解：设正项等差数列{an}的公差为d，
因为，，
所以两式相减得，可得4a4＝（a4﹣a3）（a4+a3+2），
即4（a1+3d）＝d（2a1+5d+2），所以（d﹣2）（2a1+5d）＝0，
因为{an}是正项等差数列，则an＞0，d≥0，则2a1+5d＞0，
所以d＝2，由，得，
得，即，所以a1＝1，
所以an＝2n﹣1，，得a10＝19，S5＝25，故A，C错误；
a5+S7＝9+49＝58，故B正确；
，故D错误．
故选：B．
4．（5分）已知数列{an}满足an+1＝3an+2，则“a1＝﹣1”是“{an}是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由an+1＝3an+2，a1＝﹣1，得出数列{an}是等比数列，判断充分性成立；由{an}是等比数列，得出a1＝﹣1，判断必要性成立．
【解答】解：数列{an}中，an+1＝3an+2，a1＝﹣1，
所以a2＝3a1+2＝3×（﹣1）+2＝﹣1，a3＝3a2+2＝﹣1，…，an＝3an﹣1+2＝﹣1，其中n≥2；
所以数列{an}是公比为1，首项为﹣1的等比数列，充分性成立；
设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由an+1＝3an+2，可得anq＝3an+2，即（q﹣3）an＝2，
当q＝3时，（q﹣3）an＝0≠2，不成立，应舍去；
当q≠3时，an＝为定值，所以a1＝a2＝...＝an，所以等比数列{an}的公比为q＝1，
所以，必要性成立．
所以“a1＝﹣1”是“{an}是等比数列”的充要条件．
故选：C．
5．（5分）（文）已知函数f（x）＝f′（）sinx+cosx，则f（）的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1
【答案】D
【分析】求函数的导数，即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）＝f′（）sinx+cosx，
∴f′（x）＝f′（）cosx﹣sinx，
令x＝，
则f′（）＝f′（）cos﹣sin＝f′（）﹣，
则f′（）＝＝﹣（），
则f（x）＝﹣（）sinx+cosx，
则f（）＝﹣（）sin+cos＝﹣（）×+＝﹣1，
故选：D．
6．（5分）设a∈R，函数f（x）＝ex+a e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y＝f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A．ln2 B．﹣ln2 C． D．
【答案】A
【分析】已知切线的斜率，要求切点的横坐标必须先求出切线的方程，我们可从奇函数入手求出切线的方程．
【解答】解：对f（x）＝ex+a e﹣x求导得
f′（x）＝ex﹣ae﹣x
又f′（x）是奇函数，故
f′（0）＝1﹣a＝0
解得a＝1，
故有f′（x）＝ex﹣e﹣x，
设切点为（x0，y0），
则，
得或（舍去），
得x0＝ln2．
故选：A．
7．（5分）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，n∈N*，都有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等差数列的性质与前n项和公式即可得解．
【解答】解：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn且，
所以．
故选：D．
8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x）满足： x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，＜0成立，且f（4）＝12，则不等式f（x）＞3x的解集为（ ）
A．（12，+∞） B．（0，4） C．（0，12） D．（4，+∞）
【答案】B
【分析】根据题意，不妨设x1＞x2，由 x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，＜0成立，得 x1，x2∈（0，+∞）且x1＞x2，＜成立，令g（x）＝，x＞0，则g（x1）＜g（x2），可得g（x）的单调性，不等式f（x）＞3x，x＞0，可变形为＞3，进而可得答案．
【解答】解：根据题意，不妨设x1＞x2，
因为 x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，＜0成立，
所以 x1，x2∈（0，+∞）且x1＞x2，＜0成立，
即 x1，x2∈（0，+∞）且x1＞x2，x2f（x1）﹣x1f（x2）＜0成立，
即 x1，x2∈（0，+∞）且x1＞x2，x2f（x1）＜x1f（x2）成立，
即 x1，x2∈（0，+∞）且x1＞x2，＜成立，
令g（x）＝，x＞0，则g（x1）＜g（x2），
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，
不等式f（x）＞3x，x＞0，可变形为＞3，
又f（4）＝12，
所以3＝，
所以不等式式f（x）＞3x为＞，即g（x）＞g（4），
所以x＜4，
又0＜x，
所以0＜x＜4．
故选：B．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
（多选）9．（6分）下列命题中，不正确的选项有（ ）
A．若a，b，c成等比数列，则b为a，c的等比中项，且
B．{an}为等比数列是的充要条件
C．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an bn}、、仍为等比数列
D．若{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，则Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m，…成等比数列
【答案】ABD
【分析】选项A，等比数列中的项可以为负数，举出反例即可；选项B，判断必要性时，举出反例，通项为零的常数列，判断即可；选项C，分别设等比数列{an}的公比为q1，{bn}的公比为q2，接着分析它们积、商、倒数数列的首项和公比即可；选项D，举出反例，等比数列{an}为1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1，……，判断S2，S4﹣S2，S6﹣S4，…是不是等比数列即可．
【解答】解：对于选项A，若a＝1，b＝﹣2，c＝4，a，b，c成等比数列，b为a，c的等比中项，但，故A错误；
对于选项B，充分性：若{an}为等比数列，可得，得，满足充分性；
必要性：若数列{an}是各项为零的常数数列，满足，不满足{an}为等比数列，不满足必要性；故B错误；
对于选项C，两个等比数列{an}（公比为q1）与{bn}（公比为q2），它们的积数列{an bn}是以a1b1为首项，q1q2为公比的等比数列，
它们的商数列是以为首项为公比的等比数列，倒数数列是以为首项为公比的等比数列，故C正确；
对于选项D，若等比数列{an}为1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1，……，显然S2＝0，S4﹣S2＝0，S6﹣S4＝0，……
所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4，…不成等比数列，故D错误．
故选：ABD．
（多选）10．（6分）下列说法中正确的有（ ）
A．若f（x）＝xlnx，则f′（x）＝lnx+1
B．若y＝sin（x+1），则y′＝cosx
C．若，则
D．一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y（t）＝t2+2t，则该质点在t＝2s时的瞬时速度是6m/s
【答案】AD
【分析】利用求导公式可判断ABC选项；求导代入求出y′（2）可判断D选项．
【解答】解：对于A，，故A正确；
对于B，若y＝sin（x+1），则y′＝cos（x+1），故B错误；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，若y（t）＝t2+2t，y′（t）＝2t+2，y′（2）＝6，
故该质点在t＝2s时的瞬时速度是6m/s，故D正确．
故选：AD．
（多选）11．（6分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则以下四个选项中正确是（ ）
A．若a5＝0，则S9＝0
B．若S6﹣S9＝a10，且a2＞a1，则a8＜0且a9＞0
C．若S16＝64，且在前16项中，偶数项的和与奇数项的和之比为3：1，则公差为2
D．若（n+1）Sn＞nSn+1，且，则S3和S4均是Sn的最大值
【答案】ABD
【分析】利用等差数列的通项公式、下标和性质与前项和公式，依次分析各结论即可得解．
【解答】解：对于A，∵{an} 是等差数列，a5＝0，
∴，故A正确；
对于B，∵a2＞a1，∴d＝a2﹣a1＞0，∴{an} 是递增数列，
∵S6﹣S9＝a10，∴S9﹣S6＝﹣a10，∴a9+a8+a7＝﹣a10，
∴a10+a9+a8+a7＝0，∴a8+a9＝0，∴a8＜0 且 a9＞0，故B正确；
对于C，∵S16＝64，∴，∴a1+a16＝8，∴a8+a9＝8，
∵a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16＝8a9，a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15＝8a8，
∴8a9＝3×8a8，∴a9＝3a8，∴4a8＝8，得a8＝2，a9＝6，
∴{an}的公差为a9﹣a8＝4，故C错误；
对于D，（n+1）Sn＞nSn+1，∴，
∴，整理得d＜0，
∵，∴（a6+a2）（a6﹣a2）＝0，
∵a6﹣a2＝4d≠0，∴a6+a2＝0，∴2a4＝0，∴a4＝0，
∵d＜0，∴{an}是递减数列，∴a3＞0，a5＜0，
∴S3＞S2＞S1，S3＝S4＞S5＞S6＞ ，
∴S3和S4均是Sn的最大值，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（5分）若函数，则的值为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由复合函数的求导公式求出导函数，再代入自变量求值即可．
【解答】解：由
故
＝
故答案为：．
13．（5分）如图，三角形数阵由一个等差数列2，5，8，11，14，…排列而成，按照此规律，则该数阵中第10行从左至右的第4个数是 146 ．
【答案】146．
【分析】由题意可知，构成三角形数阵的等差数列的通项公式为an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，再结合数阵中第十行的第一个数是整个数阵中的第46个数求解即可．
【解答】解：根据已知可得，构成三角形数阵的等差数列的通项公式为an＝a1+（n﹣1）d＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，即an＝3n﹣1，
所以数阵中第十行的第一个数是整个数阵中的第个数，
所以第十行的第四个数是整个数阵的第46+3＝49个数，该数为a49＝49×3﹣1＝146．
故答案为：146．
14．（5分）若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为{an}，若数列{bn}满足，则数列{bn}的前n项和Sn＝ ．
【答案】．
【分析】累加法求出数列an+1，再求出，利用裂项相消法求和，即可得出答案．
【解答】解：由题意得数列是以a2﹣a1＝1为首项，1为公差的等差数列，
∴．
∴（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+ +（an+1﹣an）＝an+1﹣a1＝1+2+ +n，
∴，
∴，
故，
∴数列{bn}的前n项和．
故答案为：．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）求下列函数的导数．
①y＝lnx+；
②y＝（2x2﹣1）（3x+1）；
③f（x）＝．
④y＝sin
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知结合函数的求导公式及求导法则分别进行求解即可．
【解答】解：①y＝lnx+，
则＝；
②y＝（2x2﹣1）（3x+1），
则y′＝4x（3x+1）+3（2x2﹣1）＝18x2+4x﹣3；
③f′（x）＝＝．
④根据题意，函数y＝sin，
设t＝，则t′＝＝，
则y′＝cos；声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/22 14:56:08；用户：张珍；邮箱：15253350526；学号：41745738
16．（15分）已知在等差数列{an}中，a1+a4＝8，a2 a3＝15．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最值．
【答案】（1）an＝2n﹣1，n∈N+或an＝﹣2n+9，n∈N+；
（2）Sn＝n2，（Sn）min＝1，无最大值或Sn＝﹣n2+8n，（Sn）max＝16，无最小值．
【分析】（1）由等差数列性质可以计算a2和a3，再求通项公式；
（2）利用差数列数列的前n项和公式求Sn，可求Sn的最值．
【解答】解：（1）∵{an}是等差数列，
∴a2+a3＝a1+a4＝8，
又∵a2 a3＝15，
∴a2，a3是方程x2﹣8x+15＝0的两根，
∴a2＝3，a3＝5或a2＝5，a3＝3，
∴d＝2，a1＝1或d＝﹣2，a1＝7，
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N+或an＝7﹣2（n﹣1）＝﹣2n+9，n∈N+；
（2）当首项为1，公差为2时，
∴数列{an}的前n项和为Sn＝n+×2＝n2，
当n＝1时，（Sn）min＝1，无最大值．
当首项为7，公差为﹣2时，
∴数列{an}的前n项和为Sn＝7n+×（﹣2）＝﹣n2+8n，
当n＝4时，（Sn）max＝16，无最小值．
17．（15分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且．
（1）证明：数列为等差数列，并求{Sn}的通项公式；
（2）若，设数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＜k恒成立，求k的范围．
【答案】（1）证明见解析，；
（2）[1，+∞）．
【分析】（1）对任意的n∈N*，nSn+1﹣（n+1）Sn＝n（n+1），两边除以n（n+1），化简整理，结合等差数列的定义与通项公式即可得出．
（2）先求出an，后运用裂项相消法求Tn即可．
【解答】解：（1）对任意的n∈N*，nSn+1﹣（n+1）Sn＝n（n+1），
则，
∴数列为等差数列，且其首项为，公差为1，
∴，化为．
（2）当n≥2时，，
a1＝1也满足an＝2n﹣1，故对任意的n∈N*，an＝2n﹣1．
∴，
故．
因此k的范围为[1，+∞）．
18．（17分）已知函数f（x）＝aln（x+1）﹣xsinx．
（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；
（2）若a＝1，研究函数f（x）在x∈（﹣1，0]上的单调性和零点个数．
【答案】（1）y＝﹣x；
（2）f（x）在x∈（﹣1，0]上单调递增；1．
【分析】（1）当a＝0时，求出，，从而可求出切线方程．
（2）当a＝1时，利用导数求出f（x）在x∈（﹣1，0]上单调递增．又f（0）＝0，从而可求解．
【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝﹣xsinx，
则f′（x）＝﹣sinx﹣xcosx，则，，
所以曲线y＝f（x）在点处的切线方程为y＝﹣x．
（2）当a＝1时，f（x）＝ln（x+1）﹣xsinx，则，
当x∈（﹣1，0]时，，﹣sinx≥0，﹣xcosx≥0，则f′（x）＞0，
故f（x）在x∈（﹣1，0]上单调递增．
又因为f（0）＝0，所以f（x）在x∈（﹣1，0]上的零点个数为1．
19．（17分）已知函数．
（1）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线6x+y+1＝0平行，求出这条切线的方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
【答案】（1）18x+3y﹣5＝0．
（2）当a＞2时，f（x）的单调递减区间为（1﹣a，﹣1），单调递增区间为（﹣∞，1﹣a），（﹣1，+∞），
当a＝2时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间，
当a＜2时，f（x）的单调递减区间为（﹣1，1﹣a），单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1﹣a，+∞）．
【分析】（1）求导数，可得切线的斜率，从而可求切线的方程．
（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间．
【解答】解：（1）根据题意可得f'（x）＝x2+ax+a﹣1，f（2）＝3a+3，
由已知f′（2）＝﹣6，
∴3a+3＝﹣6，得a＝﹣3，
∴，
∴曲线f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为，
化简得18x+3y﹣5＝0．
（2）f′（x）＝（x+a﹣1）（x+1），
令f′（x）＝0得x＝1﹣a或 x＝﹣1，
①当1﹣a＜﹣1，即a＞2时，f（x）单调递减区间为（1﹣a，﹣1），
单调递增区间为（﹣∞，1﹣a），（﹣1，+∞），
②当1﹣a＝﹣1，即a＝2时，f（x）单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间，
③当1﹣a＞﹣1 即a＜2时，f（x）单调减区间为（﹣1，1﹣a），单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1﹣a，+∞），
综上所述，当a＞2时，f（x）的单调递减区间为（1﹣a，﹣1），单调递增区间为（﹣∞，1﹣a），（﹣1，+∞）
当a＝2时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间，
当a＜2时，f（x）的单调递减区间为（﹣1，1﹣a），单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1﹣a，+∞）．
