湖北省部分学校2023-2024年度下学期期中考试
高一数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占30%，必修第二册第六章至第七章占70%。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合.A={x|-2x<-3},B={x∈Z|x2-3x≤0},则A∩B=
A.{0,1} B.{2,3} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}
2.复数 在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.下列结论错误的是
A.零向量与任一向量共线
B.零向量与任一向量的数量积为0
C.方向相反的两个向量是相反向量
D.模长等于1个单位长度的向量称为单位向量
4.如图,在矩形ABCD中,M是CD 的中点,则
5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列各组条件中，使得△ABC有两个解的是
6.已知向量a,b满足|a|=2|b|=2,且| 则a在b上的投影向量为
7.如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测量得∠CDB=120°,CD=30米,在点 C,D处测得塔顶A 的仰角分别为 30°,45°,则塔高 AB=
A.30米
米
米
米
8.若函数f(x)=cos2x+2cosx-a在[ 内有两个零点，则a的取值范围是
A.[0,1] B.[1,2]
C.[ ,2]
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数z满足z+1=|z|-3i,则
A. z=4-3i
C.|z|=5
10.已知函数 f(x)=2 -2- ,若 则
11.如图,设Ox, Oy是平面内相交成 角的两条数轴，e ，e 分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ斜坐标系，若 则把有序数对(x，y)叫做向量 的斜坐标，记为 在 的斜坐标系中,a=(-1,1),b=(1,1),则下列结论正确的是
A. a-b=(-2,0)
C. a⊥b D. a-b与b的夹角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15 分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.已知函数 则 f(f(3))= ▲ .
13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 则角 B 的最大值为 ▲ .
14.在△ABC 中,∠ABC=60°,O 是△ABC 的外心,OA=2,则 的取值范围为 ▲ .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知函数
(1)求 f(x)的最小正周期;
(2)求 f(x)的最大值及取得最大值时x的取值集合.
16.(15分)
已知向量a=(1,x),b=(2,3).
(1)若3b⊥(a-b),求|a-b|;
(2)若c=(-3,-4),b∥(a+c),求3b+c与a 的夹角的余弦值.
17.(15分)
已知f(x)=ln(x+2)-ln(ax+2)(a≠1)为奇函数.
(1)求a的值;
(2)若 ，求 m的取值范围.
18.(17分)
某时刻，船只甲在A处以每小时 30海里的速度向正东方向行驶，与此同时，在A 处南偏东 方向距离甲150海里的 B处，有一艘补给船同时出发，准备与甲会合.
(1)若要使得两船同时到达会合点时补给船行驶的路程最短，补给船应沿何种路线，以多大的速度行驶
(2)要使补给船能追上甲，该补给船的速度最小为多少 当该补给船以最小速度行驶时，要多长时间追上甲
(参考数据：取
19.(17分)
在 中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
(1)求 C.
(2)若 点M，N是边 AB上的两个动点，当 时，求 面积的取值范围.
(3)若点M，N是直线AB 上的两个动点，记 β.若 恒成立，求θ的值.高一数学考试参考答案
1.B因为A={x-2x<-3}={xx>号}，B={x∈Zx2-3x≤0}={0,12,3}，所以AnB
={2,3}.
2A=共-得+别+器-8}出=是十诗在复平面内对应的点（是总）位于第一
3-2i(3-2i)(3+2i)
象限，
3.C方向相反且长度相等的两个向量是相反向量.
4.AAC-Ai+MC=AM+2A店=AM+号(AM+M)=号AM-2BM
5.D对于A,B,C,只有一个解.对于D,由正弦定理a,=
nA“m五可得动B=5>n各
b
3，
所以B有两解.
6.D因为a-b2=a2+b-2a·b=8,所以a·6=-是.
a在6上的投影向量为合P·合=一多五，
(.A设该搭的高度为h米，则BC三IARC3tan30=3h,5D三anAA丽an
h
h
h.在△BCD中，BC=BD2+CD2-2BD·CDcos∠CDB,则3h2=h2+900-2hX
30cos120°，解得h=30(h=一15舍去).
8.D R:)-o0s 2x+2cosx-a-=2o0x+2cos x--a-2(0)
0,可得(c0sx+号)2=是+号因为x∈[-骨，晋]，所以c0sx[0,1,cosx+2>0,则
c0sx一√+号-合：要使cosx一√骨+受-号在[-骨，受]内有两个解，则吃-<1,解得2
9.AC设复数之=a+bi,a,b∈R,由之+1=|之|-3i,得a+bi+1=√a2+b-3i,所以
b=-3,
a+1-Va+,解得。
2=4,3,所以2=4-31则2=4+31,2=5,2=7-241
10.AC因为f(-x)=2x-2x=-f(x),所以f(x)是奇函数.因为函数y=2x和y=一2x都
是增函数，所以f(x)是增函数.因为x1<0,x1十x2>0,所以x1>一x2,f(x)>f(一x2),即
f(x1)一f(-x2)>0.因为f(x2)=-f(-x2),所以f(x1)+f(x2)>0.
11.ACD由题意得a=-e1十e2,b=e1十e2.
a-b=一e1+e2-(e1十e2)=一2e1,以a-b=(-2,0),A正确.
【高一数学·参考答案第1页（共5页）】
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|a=√(-e1十e2)z=√e+e吃-2e1·e2=1,B错误，
a·b=(-e1十e2)·(e1十e2)=-ef+e吃=0，所以a⊥b,C正确.
(a-b)·b=-2e1·(e1+e2)=-2e-2e1·e2=-3,la-b|=|-2e|=2,
lbl=√(e+e2)z=√e+e吃+2e1·e2=√3，
ama-6b=侣-82=-得所以a一b6=晋D正晚
12号
因为3)=io&(32-5)=2,所以ff3》=f2)=sing-g.
1音o日=-名=a+≥分因为B∈0x,所以B长登当且仅当a=1
时，等号成立
140,6]在△ABC中，由正弦定理得n2织=2，所以AC-2sin∠ABC-2X2X号-2V3.
AC
AC=AB2+BC-2AB·BCcos∠ABC≥2AB·BC-2AB·BCcos∠ABC,解得AB·BC
≤12，所以A店.C=AB·BC∈(0,6]，即A店.C的取值范围为(0,6].
15.解：(1)f(x)=sin(2x+否)-2cos2x
=sin 2xcos-
+cos2xsin吾-(cos2x+1)
2分
2sin2x-
2cos 2x-1
4分
=sin(2x-f)-1.
6分
所以f(x)的最小正周期为π.…
…8分
(2)f(x)的最大值为0.
10分
当f(x)取得最大值时，2红-吾=受十2kx,k∈Z,即x=等+kr,k∈乙
所以fx)的最大值为0，取得最大值时x的取值集合为{xx=号+kx,∈Z。…13分
16.解：(1)由3b⊥(a-b)可得3b·(a一b)=0,即a·b一b2=0.…2分
因为a·b=2+3x,b2=22+32=13,
所以2+3x-13=0,解得x=马
31
…5分
所以a=(1,号，a-b=(-1,号)，
1a-b1-√1+（号）=
31
…8分
(2)a+c=(-2,x-4),
…9分
【高一数学·参考答案第2页（共5页）】
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