贵州省贵阳市清华中学、安顺一中等校2023-2024学年高一下学期第一次联考数学试题(含答案)

2026届高一年级第一次联考试题
数学学科
考试时间：120分钟：总分：150分
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，则下列表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．已知复数，则复数Z的共轭复数=（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的最大值是（ ）
A． B．3 C．1 D．6
5. 已知锐角的终边过点（2，1），则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．若函数是定义在上的偶函数，则
A．34 B．25 C．16 D．9
8．已知的内角A，B，C的对边分别为，若，且，则 （ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列结论中，错误的是（ ）
A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
B．若，则，不是共线向量；
C．若，则四边形是平行四边形；
D．与同向，且，则
10．以下运算中正确的有（ ）
A．若，则
B．
C．
D．
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数在复平面内对应的点在第二象限
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．若复数为纯虚数，则，
D．若，， ，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，的夹角为，，，则= ．
13．一个扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为 ．（用弧度制表示）
14．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国 各地区代表团的91朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.已知正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是
第16题图
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知，存在满足。
求向量、、的坐标； (2)求与夹角的余弦值.
（15分）
在中，内角所对的边分别是，已知．
(1)求角；
(2)若，求周长的最大值。
17．（15分）
1707年4月15日，欧拉出生在瑞士巴塞尔一个牧师家庭，自幼受父亲的熏陶，喜爱数学。13岁入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）．已知复数，，．
(1)当时，求的值； (2)当时，若且求的值．
18．（17分）
今年2月，贵州省多地连续高温，森林防灭火形势严峻，某县消防部门安排了甲、乙两名森林防火护林员对该县一区域开展巡查．现甲、乙两名森林防火护林员同时从A地出发，乙沿着正西方向巡视走了3km后到达D点，甲向正南方向巡视若干公里后到达B点，又沿着南偏西60°的方向巡视走到了C点，经过测量发现．设，如图所示．

(1)设甲护林员巡视走过的路程为，请用表示S，并求S的最大值；
(2)为了强化应急应战准备工作，有关部门决定在区域范围内储备应急物资，求区域面积的最大值．
19.（17分）
小明将一套斜边相等的三角板拼在一起，构成四边形ABCD（如图1），其中
(1)求AC的长 （2）求的值
（3）如图2，四边形ABCD中，
,求的值
2026届高一年级第一次联考试题答案
选择题（单选） ：
1 2 3 4 5 6 7 8
C A D B B C A B
选择题（多选）：
9 10 11
BCD AC CD
9．【详解】对于A，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确；
对于B，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误；
对于C，若，则，可以方向不同，所以四边形不一定是平行四边形，故C错误；
对于D，因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故D错误.
故选：BCD.
10．【详解】对于A：，故A正确；
对于B：
，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误， 故选：AC．
11．【详解】对于A，复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，复数为纯虚数，则，故C正确；
对于D，在复平面内表示到点距离小于等于1的所有的点，所以形成的图形为以为圆心1为半径的圆，所以面积为，故D正确； 故选：CD.
填空题
13． 14．3
14、【详解】 作
要使最大,必须让
所以
如图可知，当在处时,最大,从而最大
此时 故答案为：3
四、解答题：
15、【详解】（1），且
......2分
，......6分
设与夹角为，，......8分
，......11分
．......13分
【详解】（1）在中，由正弦定理可知原式 可化为 ，化简得，，......4分
在中，由余弦定理得，，......7分
又因为，所以......9分
（2）由余弦定理得
当且仅当时取等号，所以周长的最大值为；......15分
【详解】（1）因为虚数不能比较大小，所以为实数，......2分
又因为，所以 ......6分 解得......8分
（2）当时，，，......10分
所以，
18.【详解】（1）由题意知：．......1分
在中，由正弦定理：，即：，......2分
在中，∵，∴．
由正弦定理：，......5分
，，......6分
∴且，又，......7分
∵，∴，
∴S的最大值为，当且仅当时取得等号．......9分
（2）由（1）知：，．
∴......11分
，
∴，......14分
不妨设，又∵，∴，，
∴而S在上单调递增，
，当且仅当时取得等号.......17分
解：（1） 由题知
由余弦定理得：
延长DA,CB交于E,易知
两式相减得：
D
D
B
19题图1
C
A
19题图2
A
B
C