齐河一中生态城校区高二数学月考试题 8．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个
注意事项： 2024.04 常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列 an 是由正数组成的等
1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷．
1
方差数列，且方公差为 2， a 5，则数列 的前 60 项和 S （ ）
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 13 an a
60
n 1
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
A 119 1． B．5
一、单选题.(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 2
要求的。） C．59 D．60
f x f 1 3Δx f 1
二、多选题(共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选
1．设 是可导函数，且 lim 2 ，则 f 1 （ ）
Δx 0 Δx 对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。）
2
A．2 B． C3 ． 1 D． 2 9．下列求导运算正确的有（ ）
2 1
2．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，且 a2 1， S15 165，则 a5 （ ） A． ln 1 2x B． log x 2x 1 2 2ln x
A．3 B．4 C．5 D．6
C． x2 sin x 1 2x cos x D x 1 x ．
1 ex
ex
3．已知函数 f (x)满足 f (x) x2 f (1) ln x ，则 f （ ）
2
q
A a S a． 1 B 1 C 2 D 2 10．在公比 为整数的等比数列 中， 是数列 ． ． ． n n n 的前 n项和，若a1 a4 32，a2 a3 12，下列说
4．已知 an 是等比数列， a3a5 8a4，且 a2， a 是方程 x26 34x m 0 法正确的是（ ）两根，则m （ ）
A． an 2
n B． q = 2
A．8 B． 8 C．64 D． 64
5 C． S 126 D．数列 S ， S ， S ， 为等比数列．生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡 6 2 4 6
得 1 积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多 2 分．若某天未打卡，则当天没有积分， 11 2．已知数列 an 的前 n项和 Sn n n ，则下列说法正确的是（ ）
且第二天打卡须从 1 积分重新开始．某会员参与打卡活动，从 3 月 1 日开始，到 3 月 20 日他共得 193 积 S
A．数列 an 为递减数列 B．数列 nn 为等差数列
分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ）
n
A．3 月 5 日或 3 月 16 S 2 日 B．3 月 6 日或 3 月 15 日 C．若数列 n 为递减数列，则 3 D．当 4时，则 S 取最大值时 n 3
n
n
C．3 月 7 日或 3 月 14 日 D．3 月 8 日或 3 月 13 日
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。）
1
6．若直线 y x b是曲线 y lnx（ x 0）的一条切线，则实数 b的值为（ ）
4 12 a a n．已知数列 n 中， 1 2 , an 1 2an 3 2 ,则数列 an 的通项公式为 ．
A．4 B． ln4 1 C． ln4 1 D． ln4
13．曲线 y alnx x2在点(1,-1)处的切线方程为3x y b 0，则 a b ．
7．设等差数列 an 的前 n项和为 Sn，已知 a1 0,a8,a9是方程 x2 x 2023 0的两根，则能使 Sn 0成立
14．已知数列 an 满足 a1 2，am an a *m n m,n N ，用 x 表示不超过 x的最大整数，则数列 log2 a n
的 n的最大值为（ ）
的前 10 项和为 ．
A．15 B．16 C．17 D．18
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四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。其中 15 题 13 分，16、17 题每题 15 分，18、19 题每题 17 分。
2an ,n为奇数
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 18．（17 分）已知 an 为等差数列，bn ，记 Sa 9,n n ,Tn分别为数列 an , bn 的前 n项和， n 为偶数
a S S S15．（13 分）已知数列 n 的前 n项和为 n .若 n 为等差数列，且满足 S1 8， 4 5 .
n 4 S4 28,T3 16 .
（1）求数列 an 的通项公式；
（1）求 an 的通项公式;
（2）设Tn a1 a2 an ，求Tn .
（2）求Tn .
16．（15 分）已知函数 f (x) ln x ax3(a R)，且 f (1) 4．
（1）求 a的值； 19．（17 分）在数列的每相邻两项之间插入此两项之和的相反数，形成新的数列，这样的操作称为该数列
（2）设 g(x) f (x) ln x x，求 y g(x)过点 (1,0)的切线方程． 的一次“ 扩展”．已知数列 A0：1，2，3，该数列经过 n次“ 扩展”后得到数列 An：1，x1，x2，…， xm，
3，数列 An的所有项之和为 Sn．
（1）写出数列 A1， A2；
（2）求 S1， S2 的值；
（3）求数列 Sn的前 n项和公式．
17．（15 分）已知 an 是一个公差 d大于 0 的等差数列，且满足 a3a5 45， a2 a6 14．
（1）求数列 an 的通项公式；
b b b 2
（2）若数列 b 满足： 1 2 nn b S2 22 2n an n ，求数列 n 的前 n项和 n．
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{#{QQABIQAAogAgAoBAARgCQQ0ACkMQkBCCCKoOBBAEoAIBiBNABAA=}#}齐河一中生态城校区高二数学月考 8 B a 2 2 2 2． 因为 n 是方公差为 的等方差数列，所以 an 1 an 2, an 是公差为 2 的等差数列，
参考答案
a2 a2 12 2 25 a2所以 13 1 ，解得 1 1，又 a 0，所以 a 1,a2n 1 n 2n 1,a 2n 1，f 1 3Δx f 1 f 1 3Δ x f 1 n1．B ∵ lim 3 lim 2，
Δx 0 Δx Δ x 0 3Δ x 1 1
所以
1 2n 1 2n 1
f 1 3Δx f 1 2 an a
，
n 1 2n 1 2n 1 2
∴ lim ，
Δx 0 3Δx 3
S 1 3 1 1 2 n 1 1所以 n 1 5 3 2n 1 2n 1 ,
∴ f 1 f 1 Δxlim f 1 f 1 3Δx flim 1 2 2 2 2 2 .
Δx 0 Δx Δx 0 3Δx 3
S 121 1所以 60 5．
a S S 15(a a )2．C 2等差数列 的前 n项和为 ， 1 15n n 15 15a8 165 ，解得 a8 11，2 9．AD
a2 a所以 a5
8 5 .
2 对于 A：[ln 1 2x ] 1 2 2 ，A 正确；
1 2x 2x 1
3．B 因为 f (x) x2 f (1) ln x，所以 f (x) 2xf (1)
1
，所以 f (1) 2 f (1) 1，得 f (1) 1，所以 1
x 对于 B： log 2x ，B 错误；xln2
f (x) 2x 1 ，所以 f
1
1 2=1 .x 2 对于 C： x2sinx 1 2xsinx x2cosx ，C 错误；
4．C 2 2因为 an 是等比数列，所以 a3a5 a4 ， a2a6 a4 ，又 a3a5 8a4 ，所以 a4 8， x ex xex 1 x
对于 D： x e 2 ex ，D 正确； exa 2 2 又 2， a6是方程 x 34x m 0 两根，所以m a2a6 a4 64 .
10．ABC
5．D 若他连续打卡，则从打卡第 1 天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为 1，公差为 2，第
n天所得积分为 2n 1．假设他连续打卡 n天，第 n 1天中断了， 对于 B，因为数列 an 为等比数列，则 a2a3 a1a4 32，
则他所得积分之和为 (1 3 2n 1) 1 3 2(19 n) 1 a2a3 32 a2 4 a2 8
由 a a 12，解得 a 8 或 a 4，
n(1 2n 1) (19 n)[1 2(19 n) 1] 2
3 3 3
193，化简得 n22 2 19n 84 0
，
q a则 3 2 1或 ，又q为整数，所以 q = 2，故 B 正确；
解得 n 7或 12，所以他未打卡的那天是 3 月 8 日或 3 13 a 2月 日． 2
1 1 1 A a 4 a a qn 2 4 2n 2 2n
6．C ∵ y lnx
对于 ，此时 2 ，则 n 2 ，故 A 正确；
的导数 y ，∴令 ，得 x 4，∴切点为 4, ln4 ．
x x 4
y 1
1 a 2 1 2n
代入直线 x b，得 ln4 4 b，即 b ln4 1 2 ． 对于 CD，又 a1 2q ，所以 S 2n 14 4 n 2 ，1 2
7．A 因为 a8 ,a 29 是方程 x x 2023 0 的根， a8 a9 1, a8 a9 2023 ， 3
则 S2 2 2 6 S
5 7
， 4 2 2 30， S6 2 2 126 ，
2 2
又 a1＞0, a 28＞0, a9＜0 ，公差 d a9 a8＜0, a9 a8 a8 a9 4a8a9 8093＞80 , d a9 a8＜ 80 ， S4 S
因为 6 SS S ，所以 2
,S4 ,S6 , 不是等比数列，故 C 正确，D 错误；
2 4
由等差中项知： a8 a9 a1 a16 a2 a15 a7 a10 1 ， S16 a1 a2 a16 8＜0 ， 11．ABC
a16 a9 7d＜ 560 ， S15 S16 a16＞552＞0 ，即使得 Sn＞0 2的成立的最大 n 15 ； 根据题意，数列{an}的前 n项和 Sn n n ，当 n 1时， a1 S1 -1，
当n 2时， a S S n2n n n 1 n (n 1)2 (n 1) 2n +1，
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a1 -1也符合， an 2n +1，故 an 2n +1 a3＝a1+a2＝6，所以 b3＝[log26]＝2，
an 1 an 2 n 1 1 2n 1 2为常数， a4＝a2+a2＝8，所以 b4＝[log28]＝3，
a5＝a2+a3＝10，所以 b5＝[log210]＝3，
故数列{an}是公差为 2的等差数列，故 A 正确，
a6＝a2+a4＝12，所以 b6＝[log212]＝3，
由于 a 2n +1 S，则 n
1 2n 1 n 1 2n 1
n n ，
n 2n 2 a7＝a3+a4＝14，所以 b7＝[log214]＝3，
Sn 1 S故 n Sn 1 n 1 ，故 n 为等差数列，B 正确， a8＝a3+a5＝16，所以 b8＝[log216]＝4，n 1 n n
Sn 2
n S 2n 1 a9＝a4+a5＝18，所以 b9＝[log218]＝4，
由于 n 2n ，则 n 1 n 1 2n 1，
n n 1 a10＝a4+a6＝20，所以 b10＝[log220]＝4，
S n 1n 1 2 Sn 2
n
n 1 2n 1 n 2n n 2 2n，
n 1 n 所以 T10＝b1+b2+…+b10＝1+2+2+3+3+3+3+4+4+4＝29．
n Sn 1 n S S S 2 S 2 S 2 15．（1）由题意，设等差数列 n 的公差为d ，又 1 8， 4
若 n
5，
为递减数列，则 n 1 n n 2 2n 0 ， n 1 4
n n 1 n
3d 5 8 3， d 1，...............................................................................................1
故 n+ 2 0对任意的 n N*恒成立，故 n 2 min ，即 3，C 正确， S n 8 n 1 1 9 n，
n
当 4时， an 2n 5，则 a1 0,a2 0，当 n 3,an 0, 故 Sn取最大值时 n 2，D 错误， S 2n n 9n，...................................................................................................................2
12． (3n 1) 2n 1 2
则 Sn 1 n 1 9 n 1 n2 11n 10 ，n 2，
n a a 3 a
由题意得 an 1 2an 3 2 ，则 n 1 n ，又因为 1 1，2n 1 2n 2 21 an Sn Sn 1 2n 10 ，...................................................................................................4
a
所以数列 n
3
是首项为 ，公差为 的等差数列，
2n
1
2 又a1 8，符合上式.................................................................................................................5
an 1 3 n 1 3 n 1 a (3n 1) 2n 1所以 n ，即2 2 2 2 n ， 不验证扣 1 分
n 1
即数列的通项公式为 an (3n 1) 2 . an 2n 10 ， n N*
13． 3 （2）由（1）得， a1 a2 L a5 0 a6 L ，
点(1,-1)在直线3x y b 0上，所以3 1 b 0,b 2 .直线 3x y 2 0 的斜率为 3， n 8 10 2n
当n 5 时，Tn a1 a2 an a1 a2 an n 2 9n ，....... ......82
由 y alnx x 2 得 y
a
2x, y |x 1 a 2 3,a 1，所以a b 3 .x 当 n 6 时，Tn a1 a2 L a5 a6 a7 L an 2S5 Sn
14．29
2 52 +5 9 n2 9n n2 9n 40，.............................................................................11
解：数列{an}满足 a1＝2，am+an＝am+n（m，n∈N*），设 bn＝[log2an]，
2
当 n＝m＝1 时，b ＝[log 2]＝1， n 9n,n 51 2 T *n 2 ,n N ..................................................................................................13
n 9n 40,n 6
a2＝a1+a1＝4，所以 b2＝[log24]＝2，
答案第 2页，共 4页
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1
16．（1）定义域为 x (0, )， f (x) 3ax 2，........................................................................................2 ∴ Sn 2
n 1 2n 1 ．........................................................................................................................................15
x
而 f (1) 1 3a，而已知 f (1) 4 ，可得1 3a 4， 错位相减的过程根据作答情况酌情给分。
解得 a 1，故 a的值为1，...............................................................................................................................5 18．（1）设等差数列 an 的公差为d ，
（2） g(x) f (x) ln x x x3 x，设切点为 (x0 , x
3
0 x0 )，设切线斜率为 k， 2an ,n为奇数 bn ，
an 9,n为偶数
而 g (x) 3x2 1，故切线方程为 y (x 30 x0 ) (3x
2
0 1)(x x0 )，.............................................................8
b1 2a1,b2 a2 9 a1 d 9,b3 2a3 2 a1 2d 2a1 4d,
(1,0) 0 (x 3将 代入方程中，可得 0 x0 ) (3x
2
0 1)(1 x0 ) ，解得 x0 1 (负根舍去)，..................................13
4a1 6d 28
故切线方程为 y 2x 2 ，................................................................................................................................15 S4 28,T3 16, 2a a d 9 2a 4d 16， 1 1 1
17．（1）∵ a3 a5 a2 a6 14，a3a5 45， 2a1 3d 14 a1 1,
整理得 a d 5 ，解得 ........................................................................................................5 d 4,
∴ a 1 3 5， a5 9 或a3 9，a5 5，
an 4n 3；............................................................................................................................................7
∵ d 0，∴ a3 5， a5 9，...........................................................................................................................2
（2）当 n为偶数时，
a3 a1 2d 5
∴ a 1a a 4d 9，解得 1 ，d 2，.....................................................................................................4
Tn b1 b2 b3 bn
5 1
2 a a a a 9 a 9 a 9
∴ an 2n 1．...................................................................................................................................................6
1 3 n 1 2 4 n
b b b b b b n
（2）由 1 2 nn an n
2
，得 1 22
n
n 2n 1 n
2 n
， a a2 an 1 an 1 2 n 2 2 2 2 2 2 2 2 92 2
b1 b 2 2 b n 12 n 1 2 n 1 1 n 1
2
n 2 b ，两式相减得 nn 2n 1， 2 2 2 2
n
n [1 4(n 1) 3]
n
(5 4n 3 18)
∴bn 2 2n 1 n 2 ，...............................................................................................................................8 2 4
3n2b 7n ；.............................................................................................................................................11
又 1 a 1，∴b 4，
2 1 1 当n为奇数时， n 3，
b 2
n 2n 1 , n 2
∴ n
，.............................................................................................................................10 Tn Tn 1 bn 1
4,n 1 Tn 1 (an 1 9)
3(n 1)2T b b b 7(n 1) [4(n 1) 3 9]记 n 2 3 n ，
3n2 5n 4
则T 2n 2 5 2
3 7 2n 2n 1 ， 2T 3n 2 5 24 7 2n 1 2n 1 ， .....................................................................................................................................................................15
T 22两式相减得 n 5 2 23 24 2n 2n 1 2n 1 4 2n 1 1 2n ， T 3n
2 7n,n为偶数
n 2 .....................................................................................................................17
3n 5n 4,n为奇数
T 2n 1则 n 2n 1 4，
答案第 3页，共 4页
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19．（1）∵数列 A0 ：1，2，3，而且1 2 3，2 3 5，
∴数列 A1：1，-3，2，-5，3，..............................................................................................................2
同理，数列 A2：1，2，-3，1，2，3，-5，2，3；.............................................................................4
（2） S1 1 3 2 5 3 2 ， S2 1 2 3 1 2 3 5 2 3 6 ；.............................................6
（3）由题意知， Sn 1 x1 x2 xm 3 ，
Sn 1 1 x1 x2 xm 3 1 x1 x1 x2 x2 x3 xm 3
x1 x2 xm Sn 4，
故 Sn Sn 1 4，..................................................................................................................................10
S 2,n 2k 1, k N
故 n ．...........................................................................................................12
6,n 2k, k N
记数列 Sn的前 n项和为Tn，
当 n n为偶数时，Tn 4 2n，........................................................................................................142
当 n为奇数时，Tn Tn 1 6 2 n 1 6 2n 4；.......................................................................16
T 2n,n 2k, k N
故 n ．....................................................................................................17
2n 4,n 2k 1, k N
答案第 4页，共 4页
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