广东省茂名市高州市第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（pdf版，含解析）

2023-2024学年高一级第二学期月考考试
数学 2024.4.15
一、单项选择题：（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每题给出的四
个选项中，只有一项是符合题意的，请将答案填涂到答题卡的指定位置）
2
1．若复数 z ，则 z （ ）
1 i
A.1 i B. 2 2i C.1 i D. 2 2i

2．已知向量 a ， b 满足 a (2,1 ) ， b 1 ,y ，且 a b ，则 a 2b （ ）
A. 5 B. 5 2 C.5 D.4
3．设复数 z满足： z z 2 i ，那么 z （ ）
3 3 3 3
A. i B. i C. i D. i
4 4 4 4

4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，向量m (a b,b c) , n (c b, a )，
若 ，则角 C＝（ ）
A． B． C． D．

5．已知向量 AB ( 1 , 2) , BC (4, 1 ) ，则向量 AC 在向量 AB 方向上的投影为（ ）
A． 2 5
5
B． 2 5 C． D． 5
5 5 5 5
6．甲船在岛 B的正南方 A处，AB＝10千米，甲船以每小时 4千米的速度向正北航行，同
时乙船自 B出发以每小时 6千米的速度向北偏东 60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最
近时，它们所航行的时间是（ ）
5 3 3
A． 小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时
1 4 2 4
7．已知棱长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1的一个面 A1B1C1 D1在一半球底面上，且 A、B、
C、D四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为
A. 4 6 B. 2 6 C. 1 6 3 D. 8 6
cos B cosC 2 3 sin A
8．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 , B ,
b c 3sinC 3
则 a+c的取值范围是（ ）
A．（ ） B． C． D．
1
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二、多项选择题（共 4小题，每小题 5分，共 20分，在每题给出的四个选项
中，有多项是符合题意的，全部选对得 5分，部分选对得 2分，有错选的得 0
分）

9.对于任意的平面向量 a ， b ， c 下列说法错误的是（ ）

A.若 a //b 且 b //c ，则 a //c B. a b c a c b c

C.若 a b a c ，且 a 0，则 b c D. a b c a b c
10. 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1，点E ，F 分别为A B，A C的中点，
1 1 1 1 1 1
则下列说法正确的是( )
A . BE1∥CF1 B. DF1∥平面 AE1B
1
C .V V B AF1C ABCD A1B1C1D6 1
D. 若在正方体的棱长为 2，则三棱锥 B AF C
1
的表面积为 2 2 5 2 2
11．在△ABC中，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）＝4：5：6，下列结论正确是( )
A. sinA：sinB：sinC＝7：5：3； B. 5 C＝
6
C. △ABC一定是钝角三角形； D. 若b+c＝8，则△ABC的面积是 ．

12．已知正三角形 ABC的边长为 6，D，E为边 AC上两点，且 AD DE E C ，F为边

AB上一点，且 AF F B ，则下列结论正确的是（ ）
1 2 2 1
A. BD BC BA B. BE BC AB
3 3 3 3

C. BD BE 24 D. F C 与 BD 0BE 的夹角为 60
三、填空题：本题共 6小题，每小题 5分，共 30分
13．复数 z满足（z﹣3）（2﹣i）＝5（i为虚数单位），则 z的共轭复数 ＝_______ ．
14．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图
所示的直观图，其中 3B O C O 1 , A O = ，
2
那么原△ABC的面积是____________.
3
15．若向量 ， 满足 a , b 1 , a ( a b ) ，则 2a b ＝
2
16. 如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，
2
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先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处(即
MD = 400)，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°,则山高BC=
m.
2
17．已知△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 ，c ＝2asinC，则 a
的最大值为 ．

AB BC BC CA
18．在△ABC 中，若 CA AB ，则 tan A __________.
3 2
四、解答题：本题共 5小题，共 60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，
19、(10分)已知复数 z a 2 i (a R ) ，且 z(2 i ) 是纯虚数．
(1)求复数 z ；
(2) 2若复数 ( z m i ) (m R )在复平面内对应的点在第四象限，求m 的取值范围．

20、(12分)已知向量 a （cos ,sin ）, b （ 3, 1）.

（1）当 时， 求向量 a 与 b 的夹角;
6

（2）求 2a b 的最大值.
21．（13分）如图，已知四棱锥 S﹣ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，侧棱 SD
⊥底面 ABCD，且 SD＝4，E为侧棱 SC的中点．
（1）求证：SA∥平面 EDB；
（2）求三棱锥 E﹣ABD的体积．
（3）若 F为侧棱 AB的中点，求证：EF∥平面 SAD．
3
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22．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足 2b cosC 2a c
（1）求角B；
2 6
（2）如图，若△ABC外接圆半径为 ，D为AC的中点，且 BD 2 ，求△ABC的周长.
3

23.（12分）在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，点 D满足 3BD BC 与

AD AC 0 .
（1）若 b c ，求 A的值：
（2）求 B的最大值.
4
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2023-2024学年高一级第二学期月考考试答案
k选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
AC
答案 A C B B D A A D CD AC AD
D
一、单项选择题：（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每题给出的四
个选项中，只有一项是符合题意的，请将答案填涂到答题卡的指定位置）
2
1．若复数 z ，则 z （ ）
1 i
A.1 i B. 2 2i C.1 i D. 2 2i
2 （2 1 i） （2 1 i）解： z 1 i， z 1 i . 故选 A.
1 i 1 i（ 1 i） 2

2．已知向量 a ， b 满足 a (2,1 ) ， b 1 ,y ，且 a b ，则 a 2b （ ）
A. 5 B. 5 2 C.5 D.4

解: 根据题意，a 2,1 , b 1 ,y ，且 a b ，则有 a b 2 y 0，解可得 y 2，即

b 1 , 2 ，则 a 2b 4, 3 ，故 a 2b 1 6 9 5 . 故选：C
3．设复数 z满足： z z 2 i ，那么 z （ ）
3 3 3 3
A. i B. i C. i D. i
4 4 4 4
2 2
解：设z a bi a , b R ，由已知 a bi a b 2 i
3 2 2a a b 2 a 3
由复数相等可得 ， 4，故 z i ， 选 B.
b 1 b
4
1

4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，向量m (a b,b c) , n (c b, a )，
若 ，则角 C＝（ ）
A． B． C． D．

解：△ABC中，向量m (a b,b c) , n (c b, a )，
2 2 2
若 ，则 a（a+b）﹣（b+c）（c﹣b）＝0，整理得 a +b ﹣c ＝﹣ab，
2 2 2
a b c ab 1
cosC＝ ＝ ；又 C∈（0，π），所以 C＝ ．故选：B．
2ab 2ab 2
5
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5．已知向量 AB ( 1 , 2) , BC (4, 1 ) ，则向量 AC 在向量 AB 方向上的投影为（ ）
5
A． 2 5 B． 2 5 C． D． 5
5 5 5 5

解： AB ( 1 , 2) , BC (4, 1 ) ， AC AB BC ( 1 , 2) (4, 1 ) (3,1 )

AC AB 1 3 2 1 1 , AB 5,

∴ AC 在 AB 方向上的投影为 AB AC 1 5 ．故选：D．

AB 5 5
6．甲船在岛 B的正南方 A处，AB＝10千米，甲船以每小时 4千米
的速度向正北航行，同时乙船自 B出发以每小时 6千米的速度向
北偏东 60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的
时间是（ ）
5 3
A． 小时 B． 小时 C． 小时
1 4 2
3
D． 小时
4
解：假设经过 x小时两船相距最近，甲乙分别行至 C，D如图示
可知 BC＝10﹣4x，BD＝6x，∠CBD＝120°
2 2 2
CD ＝BC +BD ﹣2BC×BD×cosCBD
2 2
＝（10﹣4x） +36x +2×（10﹣4x）×6x×
2
＝28x ﹣20x+100
当 x＝ 小时时甲、乙两船相距最近.故选：A．
7．已知棱长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1的一个面 A1B1C1 D1在一半球底面上，且 A、B、
C、D四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为
A. 4 6 B. 2 6 C. 1 6 3 D. 8 6
解析：球心 O在正方形 ABCD 中心上,设半球的半径为 R ，则 R OA
1
2 2 2 2 2 2在 R t A AO 中, AO AA OA 2 ( 2 ) R ，
1 1 1
2 3
解得 R 6 ，所以此半球的体积为 R 4 6 .故选：A．
3
cos B cosC 2 3 sin A
8．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 , B ,
b c 3sinC 3
6
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则 a+c的取值范围是（ ）
A．（ ） B． C． D．
cos B cosC 2 3 sin A
解：∵△ABC中， ，
b c 3sinC
∴ + ＝ ，∴ ＝ ，∴解得 b＝ ；
∵B＝ ； 2 2 2由余弦定理得：b a c 2ac cos , 3B 2 ( ) 2 2a c 2ac cos ,
2 3
3 32 2 2 2 a c a 2c ac, （a c） 3ac （a c） （3 ）,
4 4 2
2 3 3（a c） 3, a c 3, a c b , a c 3. 故选：D．
2 2
二、多项选择题（共 4小题，每小题 5分，共 20分，在每题给出的四个选项
中，有多项是符合题意的，全部选对得 5分，部分选对得 2分，有错选的得 0
分）

9.对于任意的平面向量 a ， b ， c 下列说法错误的是（ ）

A.若 a //b 且 b //c ，则 a //c B. a b c a c b c

C.若 a b a

c ，且 a 0，则 b c D. a b c a b c

解：对于 A：当 b 0，命题不成立；对于 B：向量数量积满足分配律

对于 C：若 a 和 b 、 c都垂直，显然 b ， c最少在模长方面没有任何
关系，所以 C不成立：

对于 D： a b c a b c 很多时候是不成立的，如下图：

若 a AB , b AC , c AD ，则 a b c 与 a b c 是一个分别

和 c 、 a 共线的向量，显然命题不成立 B是分配律显然成立的.所以答案是 ACD
10. 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，点E ，F 分别为A B，A C的中点，
1 1 1 1 1 1
则下列说法正确的是( )
A . BE1∥CF1 B. DF1∥平面 AE1B
1
C .V V B AF1C ABCD A1B1C1D6 1
7
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D. 若在正方体的棱长为 2，则三棱锥 B AF C
1
的表面积为 2 2 5 2 2
解: 对于 A： 点E ，F 分别为A B，A C的中点，
1 1 1 1 1 1
E F B C BC， E F BC，四边形 E BCF 为梯形，
1 1 1 1 1 1 1 1
BE 与CF 不平行, ,故 A不正确
1 1
对于 B： DC AB , DC 平面AE B , D F 不平行平面AE B ,故 B不正确
1 1 1 1 1 1
对于 C： 1 S S ,
， F 到平面ABCD的距离为BB ,
1 1
ABC ABCD
2
1 1 1 1V V S BB ( S ) BB V 故 C正确B AF1C F1 ABC ABC 1 ABCD 1 ABCD A3 3 2 6 1B1C1D1 ,
对于 D：在R t A AF 中, 2 2 2 21 1 A F A A A F 2 ( 2 ) 61 1 1 1 1
在 AF B中,设 AB的中点为M,则
1
2 2 2 2F M AB , F M AF AM ( 6 ) 1 5
1 1 1
1 1 1
S AB CD 2, S AB F M 2 5 5,ABC F1 AB 12 2 2
1 1S S 5,F AB F BC S AC A A 2 2 2 2 2 ,1 1 F1 AC 12 2
三棱锥 B AF C 的表面积
1 S S S S表面积 ABC F1 AB S 2 2 5 2 2 ,F1BC F1 AC
故 D正确.故选：CD
11．在△ABC中，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）＝4：5：6，下列结论正确是( )
A. sinA：sinB：sinC＝7：5：3； B. 5 C＝
6
C. △ABC一定是钝角三角形； D. 若b+c＝8，则△ABC的面积是 ．
解：由已知可设 b+c＝4k，c+a＝5k，a+b＝6k（k＞0），则 a＝ k，b＝ k，c＝ k，
∴a：b：c＝7：5：3，∴sinA：sinB：sinC＝7：5：3，∴A正确；
又 cosA＝ ＝﹣ ＜0， 2 C＝ ,
3
∴△ABC为钝角三角形，∴B不正确；C正确；
若 b+c＝8，则 k＝2，∴b＝5，c＝3，
又 A＝120°，∴S△ABC＝ bcsinA＝ ，故 D错．故选：AC
8
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12．已知正三角形 ABC的边长为 6，D，E为边 AC上两点，且 AD DE E C ，F为边 AB

上一点，且 AF F B ，则下列结论正确的是（ ）
1 2 2 1
A. BD BC BA B. BE BC AB
3 3 3 3

C. BD 0BE 24 D. F C 与 BD BE 的夹角为 60
1 1 1 2
解： BD BA AD BA AC BA (BC BA ) BC BA ，故 A正确；
3 3 3 3
2 2 2 1
BE BA AE BA AC BA (BC BA ) BC BA ，故 B不正确
3 3 3 3
1 2 2 1 2 2 5 2 2
BD BE BC BA BC BA BC BC BA BA
3 3 3 3 9 9 9
2
2
5 2 2
| BC | | BC || BA | cos 60 | BA |
9 9 9
2 2 5 1 2 26 6 6 6 26，故 C错误；
9 9 2 9

如图，取 DE的中点M，连接 BM交于 N，则 BD BE 2BM ，
因为♀ ABC 为等边三角形，
CF BA, F BM 030 , F NB 060 ,

所以 BM 与 F C 的夹角为 60 ，即 F C 与 BD BE 的夹角为 60 ，
故 D正确；故选：AD
三、填空题：本题共 6小题，每小题 5分，共 30分
13．复数 z满足（z﹣3）（2﹣i）＝5（i为虚数单位），则 z的共轭复数 ＝_______ ．
解：∵（z﹣3）（2﹣i）＝5，∴z﹣3＝ ＝2+i，∴z＝5+i，∴ ＝5﹣i．
14．已知水平放置的△ABC 是按 “斜二测画法 ”得到如图所示的直观图，其中
B O C O 1 , A
3
O = ， 那么原△ABC的面积是____________.
2
解：因为 ，
6
A B 0C 的边B C 上高为h =A O sin 45
4
1
且 S B C
1 6 6
h 2 ， S
A B C =2 2S = 3.ABC A B C
2 2 4 4
9
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3
15．若向量 ， 满足 a , b 1 , a ( a b ) ，则 2a b ＝
2
3
解：∵向量 ， 满足 a , b 1 , a ( a b ) ，
2
∴ （ ）＝ ＝ ﹣ ＝0，∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝
．
16. 如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的
高度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机
在离地面高400m的M处(即MD = 400)，观测到山顶C处的仰角
为15°，山脚A处的俯角为45°,则山高BC= m.
解：由题意知∠AMD = 45°,则 AM = 2MD = 400 2,又由∠CAB = 60°,
所以∠MAC = 180°-60°-45° = 75°,∠AMC = 45° + 15° = 60°,
∠ACM = 180° 75° 60° = 45°,
在△ MAC AC = MA , AC = 400 2中，由正弦定理得 即 , 解得
sin∠AMC sin∠ACM sin60° sin45°
AC = 400 3,
则BC = ACsin 60° = 600.
2
17．已知△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 ，c ＝2asinC，则 a
的最大值为 ．
2
解：由 c ＝2asinC，可得 csinC＝2sinAsinC，因为 sinC≠0，所以 c＝2sinA，
2 2 2 2
由余弦定理得，a ＝b +c ﹣2bccosA＝3 4 sin A 2 3 2 sin A cos A
3 2(1 cos 2 A ) 2 3 s 2 3 1in A 5 4( sin 2 A cos 2 A ) ＝5 sin（2 A ），
2 2 6
因为 A∈（0，π），所以 2A+ ∈ ，
所以当 3 2 2 A 即 A 时， ，
6 2 3
2
此时 a 取得最大值 9．所以 a的最大值为 3．故答案为 3．

AB BC BC CA
18.在△ABC 中，若 CA AB ，则 tan A __________.
3 2
10
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AB BC BC CA
解： CA AB，， AB BC 3CA AB ,， BC CA 2CA AB
3 2
ca cos( B ) 3bc cos( A ) ,， ab cos( C ) 2 ，bc cos( A )
a cos B 3 ，c cos A, a cosC 2c cos A ， sin A cos B 3 s ，in C cos A,
sin A cosC 2 sin C cos A ， 3 t ，an B 2 tan C tan A,
5
tan A
tan B tan C 6 3 tan A
tan A tan(B C ) , ， tan A 1 1
tan B tan C 2 21 tan A tan 61
6
四、解答题：本题共 5小题，共 60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，
19、(10分)已知复数 z a 2 i (a R ) ，且 z(2 i ) 是纯虚数．
(1)求复数 z ；
(2) 2若复数 ( z m i ) (m R )在复平面内对应的点在第四象限，求m 的取值范围．
解：（1）∵ z a 2 i ，
∴ 2z(2 i ) (a 2 i ) (2 i ) 2a a i 4 i 2 i 2a a i 4 i 2 (2a 2) (4 a ) i -----2分
2a 2 0
又 z(2 i )是纯虚数， ，--------------3分
4 a 0
∴ a 1 ，--------------4分∴ z 1 2 i ．--------------5分
（2）由（1）得： z 1 2 i ，则
2 2 2 2( z m i ) ( 1 2 i m i ) [ 1 (2 m) i ] 1 (2 m) 2(2 m) i --------------6
分
∵ 2复数 ( z m i ) (m R )在复平面内对应的点在第四象限，
1 2
2
m 0 1 m 3
∴ ，--------------8分 解得 ，
2 2 m 0 m 2
故m 的取值范围为 (1 , 2) ．--------------10分

20、(12分)已知向量 a （cos ,sin ）, b （ 3, 1）.

（1）当 时， 求向量 a 与 b 的夹角;
6

（2）求 2a b 的最大值.

解：（1）当
3 1
时， a ， ，--------------1分6 2 2
11
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3 1
a 1, a b 3 （ 1） 1 ，--------------3分
2 2

a b 1 1设 a 与 的夹角为 ， 则 cos b ， --------------5分a b 1 3 1 2
而 0 ， ，
3

即 a 与 b 的夹角为 ；--------------6分
3

（2）解： 2a b 2cos 3, 2sin 1 ，--------------6分
，--------------7分
（ 2 2 22a b 2a b） （2cos 3） （2sin 1）
--------------10 分 8 4 3cos 4sin 8 8cos ，
6

当 cos 1 时， 2a b 8 8cos 1 6 4， 6 6

2a b 的最大值为 4.--------------12分
21．（13分）如图，已知四棱锥 S﹣ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，侧棱 SD
⊥底面 ABCD，且 SD＝4，E为侧棱 SC的中点．
（1）求证：SA∥平面 EDB；
（2）求三棱锥 E﹣ABD的体积．
（3）若 F为侧棱 AB的中点，求证：EF∥平面 SAD．
证明：（1）连接 AC交 BD于 O，连接 OE，-------------1分
∵E为侧棱 SC的中点，O是 AC的中点，
∴OE∥SA，-------------2分
∵SA 平面 EDB，OE 平面 EDB；-------------3分
∴SA∥平面 EDB．-------------4分
(2) E为侧棱SC的中点,
E到平面ABCD的距离等于S到平面ABCD的距离的一半，
1
- E到平面ABCD的距离h SD 2，------6分
2
12
{#{QQABCAQqoAlhggAQAkAJTJAACALxBLgQCQXQwWCgUCsEQEkQJGkBiJACoCsxIoQOARIqAAAYILoiAQIBFAiRBFAAAB=A}A#}=}#}
1
V ﹣ V ﹣ S h -------------7分B ADE E ABD ABD
3
1 1 4
( 2 2) 2 ----------8分
3 2 3
(3)法 1：设M为侧棱 SD的中点，连结ME，EF．-------------9分
∵E为侧棱 SC的中点，F为侧棱 AB的中点，
1
ME DC，ME DC ,-------------10分
2
1
AF DC，AF DC ,
2
ME AF，ME AF -------------11分
∴四边形 AFEMG为平行四边形，
E F AM，-------------12分
∵EF 平面 SAD，AM 平面 SAD； E F 平面SAD．-------------13分
法 2：设 G为侧棱 SB的中点，连结 EF,GE,GF．
∵E为侧棱 SC的中点，G为侧棱 SB的中点，
1
E G BC，E G BC ,-------------9分
2
AD BC，AD BC
1
E G AD，E G AD -------------10分
2
∵EG 平面 EDB，AD 平面 SAD；
∴EG∥平面 SAD．同理可证 EF∥平面 SAD．-------------11分
E G E F E , 平面E F G 平面SAD．-------------12分
∵EF 平面 EFG， E F 平面SAD．-------------13分
22、（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、
c，且满足 2b cosC 2a c
（1）求角B；
2 6
（2）如图，若△ABC外接圆半径为 ，D为AC的中点，
3
且 BD 2 ，求△ABC的周长.
13
{#{QQABACQqoAlhggAQAkAJTJAACALxBLgQCQXQwWCgUCsEQEkQJGkBiJACoCsxIoQOARIqAAAYILoiAQIBFAiRBFAAAB=A}A#}=}#}
解：(1)由正弦定理得： 2 sin B cosC 2 sin A sin C -----1分
又 A B C ，
2 sin B cosC 2 sin B C sin C 2 sin B cosC 2 cos B sin C sin C ------3
分
即 2 cos B sin C sin C ，------------4分
1
又C 0, ， sin C 0， cos B ，------------5分
2

又 B 0, ， B .------------6分
3
b 2 6
（2）由正弦定理得： 2 ，解得： b 2 2 ，即 AC 2 2 ，------------7
sin B 3
分
Q D 为 AC 边上的中点， AD CD 2 ，
2 2 2 2 2
由余弦定理得：b a c 2ac cos B ，即 a c ac 8…①；------------8分
24 2 c
方法一：在♀ ABD 中， cos BDA ，
2 2 2
2
4 2 a
在♀ BCD 中， cos BDC ；------------9分
2 2 2
BDA BDC ， cos BDA cos BDC 0 ，
2 24 2 c 4 2 a
即 0 2 2，整理得： a c 1 2 …②-------10分
2 2 2 2 2 2
由①②得： ac 4 ，------------11分
2 2 2 a c a c 2ac 20，解得： a c 2 5 ，
ABC 的周长为 a b c 2 2 2 5 . ------------13分
uuur uur uuur
方法二：由向量加法得： 2BD BA BC ，---------9分
2 2 2
2 24BD BA BC 2BA BC ，即1 6 a c ac…②，-----10分
由①②得： ac 4，---------11分
2 2 2 a c a c 2ac 20，解得： a c 2 5 ，-------------12分
ABC 的周长为 a b c 2 2 2 5 .----------------13分
14
{#{QQABCAQqoAlhggAQAkAJTJAACALxBLgQCQXQwWCgUCsEQEkQJGkBiJACoCsxIoQOARIqAAAYILoiAQIBFAiRBFAAAB=A}A#}=}#}

23.（12分）在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，点 D满足 3BD BC 与

AD AC 0 .
（1）若 b c ，求 A的值： （2）求 B的最大值.
1
解:（1） 3BD BC , BD BC , AD AC 0，
3
1
AB BD AC 0 ,
AB BC AC 0 ，-------------1分
3
1 AB (BA AC ) AC 0 -------------2分
3
2 1 2 1 2
即 AB AC AC 0， AB AC AC 0,
3 3 3 3
2 1
2bc cosA b 0，-------------4分
3 3
1
因为 b c ，所以 cos A ，-------------5分
2
2
因为 0 A ，所以 A .-------------6分
3


2 1 2 1
（2）因为 AD AC AB

AC AC bc cos A
2
b 0，
3 3 3 3
2 2 2 2 2所以 b c a b 0，即 2b 2 2c a 0，-------------8分
2 2 2 2
2 2 a c a 3c
2 2 2 a c a c b 2 2 2 3
cos B ；-------------10分
2ac 2ac 2ac 2
因为 0 B ，所以 B的最大值为 .-------------12分
6
15
{#{QQABACQqoAlhggAQAkAJTJAACALxBLgQCQXQwWCgUCsEQEkQJGkBiJACoCsxIoQOARIqAAAYILoiAQIBFAiRBFAAAB=A}A#}=}#}