3.3　幂函数课件(共54张PPT)——高中数学人教A版（2019）必修第一册

(共54张PPT)
3.3　幂函数
学习目标
1
知识梳理
自主探究
1.幂函数
一般地,函数 叫做幂函数,
其中 是自变量, 是常数.
y=xα
α
x
①⑥
2.常见幂函数的图象和性质
{x|x≠0}
[0,+∞)
值域 R . R . .
奇偶性 函数 函数 函数 函数 .
函数
单调性 在(-∞,+∞) 上单调 . 在(-∞,0] 上单调 , 在(0,+∞)上单调 . 在(-∞, +∞)上单调 . 在(-∞,0) 上单调 ,在(0,+∞)上单调 . 在[0,+∞)上单调
.
定点 . [0,+∞)
{y|y≠0}
[0,+∞)
奇
偶
奇
奇
非奇非偶
递增
递减
递增
递增
递减
递减
递增
(1,1)
一般幂函数的图象与性质
当指数α=1时,y=x的图象是直线;当α=0时,y=x0=1是断直线(不过点(0,1)),除此以外幂函数的图象都是曲线.
0<α<1
α>1
奇偶性 奇函数 偶函数 非奇非
偶函数
在(0,+∞) 上的 单调性 α<0时,单调递减,α>0时,单调递增 2
师生互动
合作探究
幂函数的概念
解析:(1)依题意,a-1=1,所以a=2,则f(x)=x3,
所以f(2)=8.
8
2
幂函数解析式特征
(1)xα的系数是1.
(2)xα的底数是自变量,指数α为常数.
(3)项数只有一项.
√
(2)已知点(a,2)在幂函数f(x)=(a-3)xb的图象上,则函数f(x)的解析式是(　　)
√
幂函数的图象
√
(1)幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第二或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性.
(2)幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1的右侧,按“逆时针”方向,图象所对应的幂指数依次增大(如图).
(3)根据图象研究函数解析式时,应结合函数在第一象限的单调性确定y=xα中α的符号,根据图象的对称性,确定α是奇数还是偶数.
针对训练2:图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xα在第一象限内的图象,则解析式中指数α的值依次可以是(　　)
√
角度1　利用幂函数单调性比较大小
幂函数的性质
[例3]比较大小.
(2)(-1.2)3,(-1.25)3;
解:(2)因为函数y=x3在R上是增函数,
且-1.2>-1.25,
所以(-1.2)3>(-1.25)3.
(3)5.25-1,5.26-1.
解:(3)因为函数y=x-1在(0,+∞)上单调递减,
且5.25<5.26,
所以5.25-1>5.26-1.
利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法
针对训练3:比较下列各组数的大小.
角度2　幂函数性质的综合运用
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断函数的单调性,并进行证明;
(3)若f(a+1)>f(2a-3),求实数a的取值范围.
解决幂函数的综合问题时的注意点
掌握并熟悉幂函数的图象和单调性,会根据待定系数法求幂函数的解析式,并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性.
针对训练4:已知幂函数f(x)的图象过点(3,27).
(1)求f(x)的解析式,并用定义证明其在定义域上的单
调性;
(2)解关于t的不等式f(4t2-3t-1)+f(t-t2)>0.
1
2
3
4
√
1
2
3
4
2.(多选题)下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是(　 　)
1
2
3
4
√
√
解析:结合幂函数图象,选项A,B符合题意.故选AB.
1
2
3
4
3.已知幂函数f(x)=xa-3是偶函数,且a∈{-2,1,2,4},则a=(　 　)
A.-2 B.1
C.2 D.4
√
1
2
3
4
解析:因为a∈{-2,1,2,4},当a=-2时,f(x)=x-5为奇函数,不符合题意;
当a=1时,f(x)=x-2为偶函数,符合题意;
当a=2时,f(x)=x-1为奇函数,不符合题意;
当a=4时,f(x)=x为奇函数,不符合题意.故选B.
4.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则f(x)A.(-∞,0)∪(1,+∞)
B.(0,1)
C.(-∞,0)
D.(1,+∞)
1
2
3
4
√
1
2
3
4
[例1] 幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是(　　)
A.a>b>c>d
B.d>b>c>a
C.d>c>b>a
D.b>c>d>a
√
解析:根据幂函数的性质,在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以由图象得,
b>c>d>a.故选D.
√
[例3] 已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)x-m-1(m∈R)为偶函数.
16
(2)若f(2a+1)=f(a),则实数a的值为　　　　.
(1)求函数y=f(x)的解析式;