永安三中高中校2023-2024学年高二（下）4月月考（数学）试卷
（考试时间：120分钟；满分：150分）
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．等于（ ）
A． B． C． D．
4．下列各组函数相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．若，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
6．如果复数是纯虚数,则实数 = ( )
A． B． C． D．
7．要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
8. 设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A. 函数有极大值 和极小值
B. 函数有极大值 和极小值
C 函数有极大值 和极小值
D. 函数有极大值 和极小值
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
1 3 5 7
24 13 1
则一定包含的零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法不 正确的是（ ）
A．若，当时，，则在上为增函数
B．函数在上为增函数
C．函数 在定义域内为增函数
D．函数的单调增区间为
11．如图，在正方体中，下列结论中正确的有（ ）
A．平面 B．平面
C．与底面ABCD所成角的正切值是 D．与BD为异面直线
12．已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请将答案填在题中横线上．）
13．已知函数为偶函数，且当时，，则 .
14．已知函数，则 ．
15．曲线在点（）处切线方程为 ．
16．有男女共名学生被分派去三个公司实习,每个公司至少人,且公司要且只要个女生,共有_ 种不同的分派方法.(用数字作答)
四、解答题（本大题共6小题， 17、18,各11分，19、20、21、22各12分, 共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知，且为第二象限角.
(1)求的值； (2)求的值.
18．已知函数，．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求实数m的取值范围．
19．已知的展开式中的所有二项式系数之和为．
(1)求的值；
(2)求展开式中的常数项．
20．在菱形中，，，将沿对角线翻折至的位置，使得.
(1)证明：；
(2)求三棱锥的体积.
21．已知函数 在时取得极值.
(1)求实数；
(2)若，求的单调区间和极值
22．拉鲁湿地国家级自然保护区位于西藏自治区首府拉萨市西北角，是国内最大的城市湿地自然保护区，也是世界上海拔最高、面积最大的城市天然湿地．其中央有一座凉亭，凉亭的俯瞰图的平面图是如图所示的正方形结构，其中EFIJ和GHKL为两个相同的矩形，俯瞰图白色部分面积为20平方米．现计划对下图平面正方形染色，在四个角区域（即图中阴影部分）用特等颜料，造价为200元/平方米，中间部分即正方形MNPQ区域使用一等颜料，造价为150元/平方米，在四个相同的矩形区域即EFNM，GHPN，PQJI，MQKL用二等颜料，造价为100元/平方米．
(1)设总造价为W元，MN的边长为x米，AB的边长为y米，试建立W关于x的函数关系式；
(2)计划至少要投入多少元，才能完成平面染色．永安三中高中校2023-2024学年高二（下）4月月考（数学）试卷
试卷答案
1、选择题：1~5：CCDDC，6~8：CDD 9、BCD，10、ACD，11、BCD，12、BC.
8、【答案】D
【解析】
【详解】则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减
12、【详解】因为，所以在R上单调递减，
则要满足，解得，故.
故选：BC
三、填空题:
13．【答案】
14． 【答案】
15． 【答案】
【分析】求导得导函数，根据平行得到，结合点斜式即可求解.
【详解】，则，切线斜率为，
由于切线与直线平行，切线斜率为，
于是得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
故答案为：
16．有男女共名学生被分派去三个公司实习,每个公司至少人,且公司要且只要个女生,共有 种不同的分派方法.(用数字作答)
【答案】
【分析】按照分步乘法计数原理,先分派公司的人选,再分派公司的人选,然后方法数相乘即可.
【详解】解:公司只要个女生,有种分派方案,
则公司分派人数可以为或者或者共3种分派方案,共种,
所以一共有种分派方案.
故答案为:.
四、解答题
17.【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，求和的值；
（2）用诱导公式化简原式，再利用（1）中的三角函数值计算.
【详解】（1）因为，且为第二象限角，
所以，
（2）.
18、【答案】(1)在上单调递增；证明见解析
(2)．
【详解】（1）证明：任取，
可知，
因为，所以，，，
所以，即，
故在上单调递减；
（2）由（1）知：在上单调递减，
所以，可得，解得
故实数m的范围是．
19、【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用二项式系数和可求得的值；
（2）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】（1）解：展开式中所有二项式系数之和为，解得．
（2）解：由（1）知
所以展开式通项为，
令，解得，则，
所以展开式中的常数项为．
20、【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设，
四边形为菱形，，即；
，即，为中点，；
，平面，平面，
平面，.
（2）由平面可得：是三棱锥的高，
，，为等边三角形，，，
又，，又，
，，
.
21、【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，再检验即可；
（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调区间与极值.
【详解】（1）因为，所以，
由题意得，
即，解得，经检验符合题意；
（2）由（1）得，，
则，
由得或，得，
即的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以的极大值为，极小值为
22、【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）根据已知条件及矩形正方形的面积公式即可建立函数关系式；
（2）利用基本不等式求最小值，确定取值条件即可.
【详解】（1）由题意得，阴影部分的面积为，
，化简得，
显然，所以．
则
，
故W关于x的函数关系式．
（2），
当且仅当时，即时，W有最小值，
所以当米时，元，
故计划至少要投入元，才能完成平面染色．
