福建省永安市第三中学高中校2023-2024学年高一下学期4月第一次月考数学试题（pdf版 ，含解析）

2023-2024 学年永安三中高中校高一（下）第一次月考数学试卷
（满分 150 分，完卷时间 120 分钟）
学校 班级 姓名 座号_______
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
2
1．已知复数 z = (1 i) （ i为虚数单位），则复数 z的虚部为（ ）
A． 2 B．2 C． 2i D． 2i
2．在 ABC 中，B = 30 ,b = 2， c = 2 2，则角 A的大小为（ ）
A． 45 B．135 或 45 C．15 D．105 或15
3．已知 a = (1,0)， b =1， a +b = 3，则 a 与b 的夹角为（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
4．秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计
算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，其公式为：
2 2
1 a2
2
2 +b
2 c2 1 2 b
2 + c2 a2 1 a2 + c2 b22 3
S ABC = (ab) = (bc) = (ac) .若ac = 2，cos B = ，
2 2 2 2 2 2 5
a b c，则利用“三斜求积术”求 ABC 的面积为（ ）
5 3 3 4
A． B． C． D．
4 4 5 5
5．桂林日月塔又称金塔银塔 情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.
如图 1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O 的同一水平面
上的 A, B两点处进行测量，如图 2.已知在A 处测得塔顶 P的仰角为 60°，在 B处测得塔顶 P的仰角
为 45°， AB = 25米， AOB = 30 ，则该塔的高度OP =（ ）
A． 25 2 米 B．25 3米
C．50 米 D．25 6 米
6．已知复数 z 满足： z =1，则 z 1+ i 的最大值为（ ）
A．2 B． 2 +1
C． 2 1 D．3
试卷第 1 页，共 4 页
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7．已知 ABC 的三个内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，满足 2a + b = 2ccos B，且sin A+ sin B =1，
则 ABC 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．顶角为120 的等腰三角形
C．顶角为150 的等腰三角形 D．等腰直角三角形
8．已知六边形 ABCDEF为正六边形，且 AC = a， BD = b ，以下不正确的是（ ）
2 1 1 1
A．DE = a + b B．BC = a + b
3 3 3 3
2 2 2 4
C． AF = a + b D．BE = a + b
3 3 3 3
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 5分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．若复数 z = m+ ni (m,n R)为纯虚数，则m 0 ， n 0
B．若复数 z =1+ i， z = 2i1 2 ，则 z1 = z2
1
C．复数 的共轭复数为 i
i
D．若复数 z满足 z2 R，则 z的实部与虚部至少有一个为 0
10．设点D是 ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的有（ ）
1
A．若 AD = (AB+ AC )，则点D是边 BC 的中点
2
1
B．若 AD = (AB + AC )，则点D是 ABC 的重心
3
C．若 AD = 2AB AC ，则点D在边 BC 的延长线上
1
D．若 AD = xAB+ yAC，且 x + y = ，则△BCD是 ABC 面积的一半
2
11．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图 1 是一个正八边形窗花隔断，
图 2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形 ABCDEFGH的边长为1, P是正八边
形 ABCDEFGH 边上任意一点，则（ ）
A． AH 与CF 能构成一组基底
B．OA+OC = 2OB
2
C． AD在 AB 向量上的投影向量为 +1 AB
2
试卷第 2 页，共 4 页
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D．若 P在线段 BC （包括端点）上，且 AP = xAB+ yAH ，则 x + y 取值范围 1,2+ 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分
12．若 (a 2i)(2+ i) = b i（ a,b R， i为虚数单位），则 a2 +b2 = ．
13．已知a = (1, 1),b = ( ,1)，若 a 与b 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是 .
14．十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔 德 费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三
角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是:当三角形的三个角
均小于120 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角
120 :当三角形有一内角大于或等于120 时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求
的点称为费马点.已知 a,b,c分别是 ABC 三个内角 A, B,C 的对边，且C = 60 ,a = 3,b = 2，若点 P为
ABC 的费马点，则 PA PB + PB PC + PA PC = .
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题 13 分）已知向量a = ( 3,2)，b = (1,m)，且b a与 c = (2,1)共线.
（1）求m的值；
（2）若 a b与2a b垂直，求实数 的值.
16．（本小题 15 分）（1）已知复数 z在复平面内对应的点在第一象限， z = 2，且 z + z = 2，求 z；
2m2
（2）已知复数 z = (1+ 2i)m 3(2+ i)为纯虚数，求实数 m的值．
1 i
17．（本小题 15分）已知在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 (b c)sinC = (b+ a)(sin B sin A)．
(1)求角 A的大小；
3 3
(2)若 a = 4，D为 BC 的中点， ABC 的面积为 ，求 AD的长．
2
试卷第 3 页，共 4 页
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18．（本小题 17 分）如图，在 ABC 中，D， E 分别为 BC ， AB 的中点， AD = 3AF ．
（1）试用 AB, AC表示 EF ；
（2）若 AB = 2， AC =1， BAC = 60 ，求cos AC, EF ．

19．（本小题 17 分）已知 a，b，c分别是 ABC 三个内角 A，B，C的对边，且2bcos A = 3c
6
(1)求角 B的大小；
(2)若 b = 6 ，求 ABC 面积的最大值；
(3)若b2 = ac，且外接圆半径为 2，圆心为 O，P为⊙O上的一动点，试求PA PB的取值范围．
试卷第 4 页，共 4 页
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参考答案：
1．A
2．D【详解】由题意知 ABC 中，B = 30 ,b = 2，c = 2 2 ，
b c csinB 2 2 sin30 2
故 = ，即sinC = = = ，
sinB sinC b 2 2
由于c b ，故C B = 30 ，则C = 45 或135 ，
故 A的大小为180 30 45 =105 或180 30 135 =15 ，
3．B【详解】设a 与b 的夹角为θ，
因为， a =1，b =1， a +b = 3，
2
所以： (a +b ) = a |2 +2 a b cos + b |2
1 π
= 3 2cosθ =1，cosθ = ，θ = .
2 3
a2 + c2 b2 3
4．D【详解】因为cos B = = ， ac = 2，
2ac 5
2 2 2 3 12
所以a + c b = 4 = ，
5 5
2 2
1 22 a + c
2 b2 1 6 4
则 S ABC = (ac) = 4 = ，
2 2 2 5 5
5．B【详解】
由题意可知， OAP = 60 , OBP = 45 ,
设OP = h米，则
OP h 3
在Rt△AOP中，OA = = = h米，
tan OAP 3 3
OP h
在Rt△BOP 中，OB = = = h 米.
tan OBP 1
由 余 弦 定 理 可 得 AB2 =OA2 +OB2 2OA OBcos AOB ， 即
1 3 3 1
AB2 = h2 + h2 2 h2 = h2 ，解得h = 3AB .
3 3 2 3
因为 AB = 25米，所以h = 25 3米.
6．B【详解】设 z = a + bi，其中a,b R，则 z 1+ i = (a 1)+ (b+1) i，
∵ z =1，
∴a2 +b2 =1，即点 (a,b)的轨迹是以 (0,0)为圆心，1为半径的圆，
答案第 1 页，共 8 页
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2 2
∴ z 1+ i = (a 1) + (b +1) 即为圆上动点到定点 (1, 1)的距离，
∴ z 1+ i
2 2
的最大值为 (0 1) + (0+1) +1= 2 +1.
7．B【详解】由正弦定理可得2sin A+ sin B = 2sin C cos B，
因为 A+ B+C = π，所以 B +C = π A，
所以 2sin (B +C ) + sin B = 2sin C cos B ，即2sin B cosC + 2cos B sin C + sin B = 2sin C cos B，
即 2sin B cosC + sin B = 0 ，因为B (0,π)，所以sin B 0 ，
1 2π π
所以cosC = ，因为C (0,π)，所以C = ，所以B + A = ，
2 3 3
π
因为sin A+ sin B =1，所以sin A+ sin A =1，
3
3 1 3 1
所以sin A+ cos A sin A =1，即 cos A+ sin A =1，
2 2 2 2
π π π π π
即 sin A+ =1，因为 A 0, ，所以 A+ = ，所以 A = ，
3 3 3 2 6
π π
因为B + A = .所以 A = B = ，
3 6
所以 ABC 的形状为顶角为120 的等腰三角形.
8．C【详解】如图，设 AC BD =M
因为六边形 ABCDEF为正六边形，
所以 ABC = BCD =120 ，且 ABC DCB .
又 ABC 是等腰三角形，所以 BAC = BCA= 30 ，
从而可有 ACD = DBA = 90 ，
1
则CM = BM = AM sin30
= AM ，
2
1 2 1 2
所以MC = a, AM = a ,同理有BM = b, MD = b .
3 3 3 3
2 1
所以DE = BA = MA MB = a + b，所以选项 A 不符合题意；
3 3
答案第 2 页，共 8 页
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1 1
BC = BM +MC = b+ a ，所以选项 B 不符合题意；
3 3
1 2
AF =CD =CM +MD = a+ b，所以选项 C 符合题意；
3 3
2 4
BE = 2AF = a + b，所以选项 D 不符合题意.
3 3
9．CD【详解】对于 A，因为复数 z = m+ ni (m,n R)为纯虚数，所以m = 0,n 0，故错误；
对于 B，因为复数 z =1+ i， z = 2i，则 z = 1+1 = 2 ， z2 = 21 2 1 ，故错误；
1 i
对于 C，因为复数 = = i，则其共轭复数为 i ，故正确；
i i2
对于 D，设 z = a + bi，则由 z2 = a2 b2 + 2abi R ，可得ab = 0 ，所以 z的实部与虚部至少
有一个为 0，故正确；
1
10．ABD【详解】解：对 A， AD = (AB+ AC)，
2
1 1 1 1
即 AD AB = AC AD，
2 2 2 2
即 BD = DC ，
即点D是边BC 的中点，故 A 正确；
对 B，设BC 的中点为M ，
1 1 2
AD = (AB + AC ) = 2AM = AM ，
3 3 3
即点D是 ABC 的重心，故 B 正确；
对 C， AD = 2AB AC ，
即 AD AB = AB AC ，
即 BD = CB ，
即点D在边CB 的延长线上，故 C 错误；
1
对 D， AD = xAB + yAC ，且 x + y = ，
2
故 2AD = 2xAB+ 2yAC ，且2x+ 2y =1，
设 AM = 2AD，
则 AM = 2xAB+ 2yAC ，且2x+ 2y =1，
故M , B,C三点共线，且 AM = 2AD，
即△BCD是 ABC 面积的一半，故 D 正确.
答案第 3 页，共 8 页
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180 45
11．BCD【详解】连接 AF，因为 AOB = 45 °， OAB = = 67.5，
2
180 135
因为 AOF = 3 45 =135 ，现 OAF = = 22.5 ，
2
故 BAF = 67.5 + 22.5 = 90 .
以 AB所在直线为 x轴，AF所在直线为 y轴，建立平面直角坐标系.
2 2 2 2
则 A(0,0) , B (1,0),C 1+ , , D 1+ ,1+ , E (1, 2 +1 ), F (0, 2 +1)，
2 2 2 2
2 2 2 2 1 2 1
G ,1+
, H , ，且O , + ，
2 2 2 2

2 2 2
2 2 2 2
故 AH = , ,CF = 1 , +1 2 2
，
2 2
2 2 2 2 1 2 2 1
故 +1 1 = + + = 0 ， 2 2 2 2 2 2 2 2
所以 AH 与CF 平行，不能构成一组基底，A 错误；
1 2 +1 1 2 +1 2 2 1 2 +1 2 +1 1
O , ,OA =
, ,OC = 1+ , ,
= ,
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
，

1 2 +1 1 2 +1 2 2 + 2
OB = (1,0) , = , ，故OA+OC = , = 2OB ，B 正确； 2 2
2 2 2 2
' 2 2 AD AB 2
又 AD = 1+ ,1+ , AB = (1,0 )，所以 = +1，
2 2

| AB |
2 2
2
即 AD在 AB 向量上的投影向量为 +1 AB ，C 正确；
2
若 P在线段BC （包括端点）上，设BP = BC, 0,1 ，
答案第 4 页，共 8 页
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2 2
所以 AP = AB+ BP = AB+ BC = 1+ , ，
2 2


2 2
AB = (1,0)， AH = ,
2 2


2 2
1+ = x y
2 2
由 AP = xAB+ yAH ，可得 ，则 x+ y =1+ ( 2 +1) , 0,1 ，
2 2 = y
2 2
所以 x+ y 1,2+ 2 ，D 正确.
12．73 【详解】因为 (a 2i)(2+ i) = b i 2a + 2+ (a 4)i = b i，
2a+2 = b
所以 ，解得a = 3,b = 8，
a 4 = 1
则 a2 +b2 = 9+ 64 = 73.
13． ( , 1) ( 1,1)
a b =1 + ( 1) 1= 1 0
【详解】因为 a 与b 的夹角为钝角，所以 ，
1 1 1
解得 1且 1，即实数 的取值范围是 ( , 1) ( 1,1) .
14． 3
【详解】由于C = 60 ，所以三角形 ABC 的三个角都小于120 ，
则由费马点定义可知： APB = BPC = APC =120 ，
设 PA = x, PB = y, PC = z ，由S APB + S BPC + S APC = S ABC得：
1 3 1 3 1 3 1 3
xy + yz + xz = 3 2 ，整理得 xy + yz + xz = 2 3 ，
2 2 2 2 2 2 2 2
则 PA PB + PB PC + PA PC
1 1 1 1
= xy + yz + xz = 2 3 = 3 .
2 2 2 2
15．（1）m = 4 ，（2） = 3 .
答案第 5 页，共 8 页
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【详解】（1）b a = (4,m 2) ..........................................................................................1 分
因为b a与 c 共线，所以4 1 2(m 2) = 0，................................................................3 分
解得m = 4 .............................................................................................................................4 分
（2）由（1）知b = (1,4)，所以 a = 13, b = 17,a b = 3 1+2 4 = 5 ....................10 分
2 2
由 a b 与2a b 垂直，得 (a b) (2a b) = 2a (1+ 2 )a b+ b = 0，................12 分
所以26 5(1+ 2 )+17 = 0，
解得 = 3 ............................................................................................................................13 分
16．（1） z =1+ 3i；（2）m = 2．
【详解】（1）设 z = a+bi(a,b R,a 0,b 0)，则 z = a bi ，......................................2 分
a2 + b2 = 4
依题意， ，.......................................................................................................6 分
2a = 2
解得a =1,b = 3，所以 z =1+ 3i ......................................................................................7 分
2m2 (1+ i) 2 2
（2）依题意， z = (m+ 2mi) (6+3i) = m +m i (m+ 6) (2m+3)i .........9 分
(1 i)(1+ i)
= (m2 m 6)+ (m2 2m 3)i，..........................................................................................11 分
m2 m 6 = 0
由 z 为纯虚数，得 ，...............................................................................13 分
m2 2m 3 0
解得m = 2，........................................................................................................................15 分
17．【详解】（1）∵ (b c)sinC = (b+ a)(sin B sin A)，
由正弦定理可得 (b c)c = (b+ a)(b a)，...........................................................................2 分
可得b2 a2 = bc c2，即b2 + c2 a2 = bc ，.......................................................................4 分
b2 + c2 a2 1
所以 cos A = = ．...............................................................................................5 分
2bc 2
π
因为 A (0,π)，所以 A = ．..............................................................................................6 分
3
π 3 3 1 3
（2）因为 A = ，a = 4， ABC 的面积为 = bcsin A = bc，.........................8 分
3 2 2 4
所以bc = 6，由（1）知b2 + c2 a2 = bc ，可得b2 + c2 = 22，.......................................10 分
因为2AD = AB + AC ，可得：
答案第 6 页，共 8 页
{#{QQABIQAEgggoAIBAABhCQQXgCEIQkBECACoOQBAAsAIBCANABAA=}#}
1
4 | AD |2=| AB |2 + | AC |2 +2AB AC = c2 + b2 + 2bccos A= 22+ 2 6 = 28，..................................14 分
2
解得 | AD |2= 7，可得 AD的长为 7 .........................................................................................15 分
1 1 13
18．（1）EF = AB+ AC ；（2） ．
3 6 13
【详解】解：（1）因为 AD = 3AF ，D为BC 的中点，
1 1 1
所以 AF = AD = AB + AC ．..............................................................................................4 分
3 6 6
1
又 E 为 AB 的中点，所以 AE = AB，
2
1 1
所以EF = AF AE = AB+ AC．......................................................................................8 分
3 6
（2）因为 AB = 2， AC =1， BAC = 60 ，
所以 AB AC =| AB | | AC | cos60 =1．...................................................................................10 分
1 1 1 1 2 1
所以 AC EF = AC AB+ AC = AC AB+ AC = ．.......................................12 分
3 6 3 6 6
2
2 1 1 1 1 2 2 13
又EF = AB+ AC = (AC 2AB)
2 = (AC + 4AB 4AB AC ) = ．
3 6 36 36 36
13
则 | EF |= ．.........................................................................................................................15 分
6
AC EF 13
故 cos AC, EF = = ．.............................................................................17 分
| AC || EF | 13

19． 【详解】（1）由2bcos A = 3c及正弦定理可得：
6

2sin Bcos A = 3sinC ..............................................................................................2 分
6
又∵ A+ B+C = π，
π π
∴2sin B cos Acos + sin Asin = 3sin π (A+ B) ，.............................................4 分
6 6
整理可得： 3cos Asin B+sin Asin B = 3sin (A+B)，
可得 3cos Asin B+sin Asin B = 3sin Acos B+ 3cos Asin B，
可得：sin Asin B = 3sin Acos B，
∵ sin A 0 ，
∴ tan B = 3，........................................................................................................................6 分
答案第 7 页，共 8 页
{#{QQABIQAEgggoAIBAABhCQQXgCEIQkBECACoOQBAAsAIBCANABAA=}#}
∵ B (0,π)，
π
∴ B = ．......................................................................................................................................7 分
3
2 2 π
（2）若b = 6 ，根据余弦定理得：a + c 2ac cos = 6，化简a2 + c2 ac = 6，..........8 分
3
又∵a2 + c2 ac 2ac ac = ac，.........................................................................................9 分
∴ ac 6，即：当且仅当a = c = 6时， ac 有最大值 6，
1 3 3 3 3
∵ ABC 的面积 S = ac sin B = ac 6 = ．
2 4 4 2
3 3
∴当且仅当a = c时， ABC 面积有最大值，最大值等于 ..............................................11
2
分
b
（3）由正弦定理 = 2R ，则b = 2 3，则ac = b2 =12，...............................................12 分
sin B
由a2 + c2 = b2 + ac ，可得a2 + c2 = 24，则a = c = 2 3 ，.....................................................13 分
则三角形 ABC为等边三角形，取 AB中点 M，如图所示：
则PA PB = (PM +MA) (PM +MB) .................................................................................15 分
2 2 2 2
= PM + PM (MA+MB)+MA MB = PM MA = PM 3 .........................................16 分
由 OP=2，OM=1，则PM 1,3 ，则PA PB 2,6 ．.................................................17 分
答案第 8 页，共 8 页
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