课件32张PPT。九 年 级 数 学 22.2二次函数与一元二次方程 二次函数的一般式：（a≠0）______是自变量，____是____的函数。xyx 当 y = 0 时，ax2 + bx + c = 0ax2 + bx + c = 0这是什么方程？ 我们学习了“一元二次方程”复习.1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由 确定。＞ 0= 0＜ 0有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根b2- 4ac 二次函数与一元二次方程有什么关系？学科网总结函数y=ax2+bx+c,当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0.
一元二次方程的解与y=0时的二次函数之间有什么关系呢？1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1的图象如图所示。(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程 x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0，
x2 – x+ 1 =0有几个根?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的个数与
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数有什么关系?答：2个，1个，0个边观察边思考有两个不等的实数根
有两个相等的实数根
没有数学根有两个交点
有一个交点
没有交点b2 – 4ac > 0b2 – 4ac = 0b2 – 4ac < 0二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系ax2+bx+c = 0 的根 y=ax2+bx+c 的图象与x轴的交点 若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则________________ 。b2 – 4ac ≥ 0 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：有两个交点有两个不相等的实数根只有一个交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根b2 – 4ac > 0b2 – 4ac = 0b2 – 4ac < 0 下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗?
（1） y = 2x2＋x－3
（2） y = 4x2 －4x +1
（3） y = x2 – x+ 1例题1(3),二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?(-2,0),(1,0)x1=-2,x2=1(3,0)x1=x2=3无交点无实根 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+c =0的根。归纳zxxk学.科.网(1)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则
一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 .
X1=0，x2=5例题22.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿.(-2,0) (5/3,0)例题3 下面，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．由于作图或观察可能存在误差，由图象将得的根，一般是近似的．例 利用函数图象求方程x2－2x－2=0 的实数根．解：作y = x2－2x－2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约
是－0.7，2.7. 所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7y = x2－2x－2( 2.7, 0 )(－0.7, 0 ).根据下列表格的对应值:
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 （1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地需要用多少时间？ 所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方
程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h
的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值．解：（1）解方程15＝20t－5t 2t 2－4t＋3=0t1=1，t2=3当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t 2t1=1st2=3s15m15m（2）解方程20＝20t－5t 2t 2－4t＋4=0t1=t2=2当球飞行2s时，它的高度为20m．t1=2s20m（3）解方程20.5＝20t－5t 2t 2－4t＋4.1=0因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解．球的飞行高度达不到20.5m．20m（4）解方程0＝20t－5t2t2－4t=0t1=0,t2=4当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面发出，4s时球落回地面．0ｓ４ｓ从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次方程。如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程。
zxxk所以二次函数与一元二次方程关系密切．例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，
可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0 又可
以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． .已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个异号绝对值相等的实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 没有实数根xA1.3.学.科.网例题5例题6原创新课堂 38页第4题例题71.画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答：
（1）方程x2-2x-3=0的解是什么？
（2）x取什么值时，函数值大于0？
（3）x取什么值时，函数值小于0？学科网学.科.网解：图象如图所示：
（1）当x1=3，x2=-1
（2）当x＜-1或x＞3时函数值大于0
（3）当-1＜x＜3时，函数值小于0zxxk提升训练1.若抛物线y=x2-x-m与x轴没有公共点，则m的取值范围是 。
2.求证：抛物线y=x2+ax+a-2与x轴总有两个交点。学.科.网1.不与x轴相交的抛物线是（ ）
A. y = 2x2 – 3 B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3 2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x轴交点情况是（ ）
A. 无交点 B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定DC 3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点. 4.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c =＿＿.1116 5.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿.b2－4ac < 0 无实数根 6.抛物线 y=2x2－3x－5 与y轴交于点＿＿＿＿，与x轴交于点 . 7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿.(0，－5)(5/2，0) (－1，0)(-2，0) (5/3，0) 8. 已知抛物线 和直线
相交于点P(3，4m)。
（1）求这两个函数的关系式；
（2）当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。解：（1）因为点P（3，4m）在直线 上，所以 ，解得m＝1
所以 ，P（3，4）。因为点P（3，4）在抛物线 上，所以有4＝18－24＋k＋8 解得 k＝2
所以
（2）依题意，得
解这个方程组，得
所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是（3，4），（1.5，2.5）。课件15张PPT。奎屯市第八中学数学组 常红霞
22.2二次函数与一元二次方程教学目标：1）掌握二次函数与一元二次方程的关系。
2）会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。
3）会利用一元二次方程的根的判别式来判定二次函数的图像与x轴的交点的个数。复习与导入：1.一次函数与一元一次方程的关系，举例说明。
2.二次函数与相应的一元二次方程有怎样的关系呢？1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0) 的关系：已知函数y=-x2+4x的值为3,求自变量x的值,
换句话说，也就是当y=3时，求x的值,
即 3 =-x2+4x, x2-4x +3=0。
反过来，又可以看作函数y=x2-4x +3值为0时，求x的值。
画出y=x2-4x +3和y=-x2+4x的图像，
由图像知, y=x2-4x +3与x轴交于A(1,0),B(3,0)，
同学们动手解一解， x2-4x +3=0,
x1=1, x2=3,
你们发现了什么？·xyo123456789123-1-2-3······-2-3-1-2-3x123-1-2-3-1ABy=x2-4x +3y=-x2+4x结论(1)：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0) 的解。
注意：画图像时要先确定顶点及对称轴。2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点的个数与一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0) 的根的个数之间的关系： 同学们在同一坐标系中画出下列函数的图像
1) y=x2+2x-1 , 2) y=x2-6x+9 , 3) y=x2+2x+2
·xyo123456789123-1-2-3······-2-3-1-2-3x123-1-2-345-1y=x2+2x+2y=x2+2x-1y=x2-6x+9问题：1)它们与x轴有公共点吗？若有，公共点的横坐标是多少？
2)x取公共点的横坐标时，函数值是多少？
3)令这三个函数的函数值都为0时，相应的一元二次方程的根的个数你能确定吗？
不解方程，计算b2-4ac的值即可。
动手算一算。在y=x2+2x-1中,y=0时, x2+2x-1=0, b2-4ac=8>0
该方程有两个不相等的实数根。
函数与x轴有两个交点。
在y=x2-6x+9中,y=0时, x2-6x+9=0, b2-4ac=0
该方程有两个相等的实数根。
函数与x轴有一个交点。
在y=x2+2x+2中,y=0时, x2+2x+2=0, b2-4ac=-4<0
该方程无实数根。
函数与x轴无交点。
结论(2)：在函数y=ax2+bx+c(a≠0)中1)b2-4ac>0时， ax2+bx+c=0(a ≠0) 有两个不相等的实数根，函数图像与x轴有两个交点。
1)b2-4ac=0时， ax2+bx+c=0(a ≠0) 有两个相等的实数根，函数图像与x轴有一个交点。
1)b2-4ac<0时， ax2+bx+c=0(a ≠0) 没有实数根，函数图像与x轴没有交点。
例题学习：例1，不画图像，判断下列二次函数图像与x轴的交点的个数。
1)y=2x2+5x-3 , 2) y=-4x2+8x-4
3) y=3x2-4x+7 , 4) y=x2-4x+4
例2，用函数图像求方程x2-4x-5=0的解。例3，求二次函数y=x2-4，y=3x2-x-2与x轴交点的坐标.例4，m为何值时，抛物线y=2x2+3x-m的顶点。
1)在x轴上，2)在x轴上方，3)在x轴下方。
yo-1-2-3-412345x123-1-2例5，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，根据图像回答下列问题。
(1)写出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根.
(2)写出y随x的增大而增大(减小)的自变量的x取值范围.
(3)确定该二次函数的解析式。
(4)若方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围。小结：通过本节课的学习你有何收获和疑惑？
