湖南省衡阳县第二中学2023-2024学年高二下学期期中达标数学测评卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖南省衡阳县第二中学2023-2024学年高二下学期期中达标数学测评卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 397.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-16 09:07:34 | ||
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文档简介
衡阳县第二中学2023-2024学年高二下学期期中达标数学测评卷
【满分：120分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”的个数为( )
A.120 B.80 C.20 D.40
2.的展开式中的常数项为( )
A. B.240 C. D.180
3.已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为( )
1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
4.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是( )
A.，互斥 B. C. D.
5.某中学开展高二年级“拔尖创新人才”学科素养评估活动，其中物化生 政史地 物化政三种组合人数之比为，这三个组合中分别有10%，6%，2%的学生参与此次活动，现从这三个组合中任选一名学生，这名学生参与此次活动的概率为( )
A.0.044 B.0.18 C.0.034 D.0.08
6.已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量X表示摸球8次后的总分值，则( )
A.8 B. C. D.16
7.下列说法正确的是( )
A.已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8
B.已知一组数据，，，…，方差为2，则，，，…，的方差为4
C.具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则
D若随机变量X服从正态分布，，则
8.下列说法正确的是( )
A.某同学定点投篮每次命中的概率均为，每命中一次得2分，若记10次投篮得分为X，则随机变量X服从二项分布，简记
B.某工厂生产了一批产品50件，其中质量达到“级”的有20件，则从该批产品中随机抽取10件，记录抽到的产品中为“非A级”的个数为Y，则随机变量Y的数学期望为
C.若随机变量的成对数据的线性相关系数，则认为随机变量X与Y是确定的函数关系，不是线性相关关系
D.若随机变量，其分布密度函数为，则
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是( )
A.共有种不同的排法 B.男生不在两端共有种排法
C.男生甲，乙相邻共有种排法 D.三位女生不相邻共有种排法
10.已知，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.2023年旅游市场强劲复苏，7，8月的暑期是旅游高峰期.甲，乙，丙，丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京，上海，广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择.事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是( )
A.事件M与N互斥 B.
C. D.
12.一个袋子中有大小、形状完全相同的2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，取到黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知随机变量，，，且，则____________.
14.在二项式的展开式中，有理项的个数为____________.
15.已知随机变量且，则________.
16.某公司新成立3个产品研发小组，公司选派了5名专家对研发工作进行指导.若每个小组至少有一名专家且5人均要派出，若专家甲 乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为________.（用数字作答）
四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为4.8，4.9，5.0，5.1.视力为正常视力.否则就是近视.某校进行一次对学生视力与学习成绩的相关调查，随机抽查了100名近视学生的成绩(按照各科占一定权重计算而得的满分100分的综合成绩)，得到频率分布直方图如下：
（1）估计该校近视学生学习成绩的第85百分位数；(精确到0.1)
（2）已知该校学生的近视率为54%，学生成绩的优秀率为36%(成绩分视作优秀)，从该校学生中任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率.(以样本中的频率作为相应的概率)
18.已知二项式.
（1）若展开式中第二项系数与第四项系数之比为1：8，求二项展开式的系数之和.
（2）若展开式中只有第6项的二项式系数最大，求展开式中的常数项.
19.面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分.
（1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；
（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望.
附：若（），则，，.
20.如图，已知四棱锥S-ABCD.
（1）从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥S-ABCD的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数；
（2）从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥S-ABCD的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数.
答案以及解析
1.答案：D
解析：十位数字为3时，有个“企数”；十位数字为4时，有个“企数”；十位数字为5时，有个“企数”；十位数字为6时，有个“企数”；故共有个“伞数”.故选：D.
2.答案：D
解析：的通项为，
所以的展开式中的常数项为和，
又，所以的展开式中的常数项为180.故选D.
3.答案：A
解析：且，则即，
，解得.故选：A.
4.答案：C
解析：因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确；
由题意得，，，，故B，D均正确；因为，故C错误.故选：C.
5.答案：D
解析：设事件A为“这名学生参与此次活动”，事件为“这名学生选择物化生组合”，
事件“这名学生选择政史地组合”，事件为“这名学生选择物化政组合”，
则，，，
，，，
由全概率公式可知
.故选：D.
6.答案：D
解析：由题意，袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，
从袋中随机取出一个球，该球为红球的概率为，现从中有放回地摸球8次，
每次摸球的结果不会相互影响，表示做了8次独立重复试验，用Y表示取到红球的个数，
则故： 又因为，根据方差的性质可得：.故选：D.
7.答案：D
解析：A选项，数据为：5，6，7，7，8，8，8，9，共8个，中位数为，A选项错误；
B选项，原数据的方差为2，新的数据由原数据加2得到，所以新的数据的方差为2，B选项错误；
C选项，由样本点的中心为得，，，C选项错误；
D选项，正态分布，，所以，D选项正确.故选：D
8.答案：D
解析：对于A，由题意，记10次投篮命中的次数为x，则，随机变量命中次数x服从二项分布，而随机变量投篮得分X不服从二项分布，故A错误；
对于B，由题意随机变量Y服从超几何分布，则，故B错误；
对于C，若随机变量的成对数据的线性相关系数，则认为随机变量X与Y是确定的函数关系，且是线性相关关系，故C错误；
对于D，因为随机变量，其分布密度函数为，所以，，则，故D正确.故选：D.
9.答案：AC
解析：有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有种不同的排法，A正确；
男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有种排法，B不正确；
男生甲，乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有种排法，C正确；
三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有种排法，D不正确.故选：AC
10.答案：ACD
解析：对于A，令，则，故A正确；
对于B，因为，所以，B错误；
对于C，令，则，令，则，所以，故C正确；
对于D，由选项B可知，，，，
，，，，
，，
所以
，故D正确.故选：ACD.
11.答案：BC
解析：，，
，，B正确
M与N可能同时发生，M与N不互斥，A错误
，C正确
，D错误故选BC
12.答案：ACD
解析：根据题意，在一次试验中，取到黑球的概率为，则，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选ACD.
13.答案：
解析：，，
，，，
，解得，
故答案为：.
14.答案：3
解析：，所以当，时，为有理项，因此有理项的个数为3，故答案为：3.
15.答案：0.1
解析：因为随机变量且，
所以由正态分布的性质可得，
所以.故答案为：0.1.
16.答案：36
解析：当甲 乙两人组成一组时，不同的专家派遣方案总数为：；
当甲 乙两人与其他三人中选一人组成一组时，
不同的专家派遣方案总数为：，
所以专家甲 乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为：，
故答案为：36
17.答案：（1）95.8
（2）0.72
解析：（1）由频率分布直方图可知，成绩90分以下所占比例为，
因此第85百分位数一定位于内，由，
可以估计该校近视学生的学习成绩的第85百分位数约为95.8
（2）设事件A表示“该校近视学生”，事件B表示“该校优秀学生”，
由题设得，，，
所以
18.答案：（1）见解析
（2）180
解析：（1）二项式的展开式的通项为，
所以第二项系数为，第四项系数为，
所以，所以.
所以二项展开式的系数之和.
（2）因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式有11项，所以.
令，所以.
所以常数项为.
19.答案：（1）16
（2）
解析：（1）因为X服从正态分布，所以，，，
所以.
进入面试的人数，.
因此，进入面试的人数大约为16.
（2）由题意可知，Y的可能取值为0，2，4，6，8，10，
则；；
；；
；.
所以.
20.答案：（1）60
（2）240
解析：（1）由题意知，四棱锥S-ABCD的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，则A，C颜色相同，且B，D颜色相同，所以共有种不同的涂色方法.
（2）解法一：由题意知，四棱锥S-ABCD的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同，所以先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法（如：B，D颜色相同）；再从5种颜色中，选出4种颜色涂在S，A，B，C四个顶点上，最后D涂B的颜色，有种不同的涂色方法.根据分步计数原理知，共有种不同的涂色方法.
解法二：分两类.
第一类，A与C颜色相同.由题意知，四棱锥S-ABCD的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，它们有种不同的涂色方法，所以共有种不同的涂色方法；
第二类，A与C颜色不同.由题意知，四棱锥S-ABCD的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，它们有种不同的涂色方法，所以共有种不同的涂色方法.
根据分类计数原理知，共有种不同的涂色方法.
【满分：120分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”的个数为( )
A.120 B.80 C.20 D.40
2.的展开式中的常数项为( )
A. B.240 C. D.180
3.已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为( )
1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
4.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是( )
A.，互斥 B. C. D.
5.某中学开展高二年级“拔尖创新人才”学科素养评估活动，其中物化生 政史地 物化政三种组合人数之比为，这三个组合中分别有10%，6%，2%的学生参与此次活动，现从这三个组合中任选一名学生，这名学生参与此次活动的概率为( )
A.0.044 B.0.18 C.0.034 D.0.08
6.已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量X表示摸球8次后的总分值，则( )
A.8 B. C. D.16
7.下列说法正确的是( )
A.已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8
B.已知一组数据，，，…，方差为2，则，，，…，的方差为4
C.具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则
D若随机变量X服从正态分布，，则
8.下列说法正确的是( )
A.某同学定点投篮每次命中的概率均为，每命中一次得2分，若记10次投篮得分为X，则随机变量X服从二项分布，简记
B.某工厂生产了一批产品50件，其中质量达到“级”的有20件，则从该批产品中随机抽取10件，记录抽到的产品中为“非A级”的个数为Y，则随机变量Y的数学期望为
C.若随机变量的成对数据的线性相关系数，则认为随机变量X与Y是确定的函数关系，不是线性相关关系
D.若随机变量，其分布密度函数为，则
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是( )
A.共有种不同的排法 B.男生不在两端共有种排法
C.男生甲，乙相邻共有种排法 D.三位女生不相邻共有种排法
10.已知，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.2023年旅游市场强劲复苏，7，8月的暑期是旅游高峰期.甲，乙，丙，丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京，上海，广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择.事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是( )
A.事件M与N互斥 B.
C. D.
12.一个袋子中有大小、形状完全相同的2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，取到黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知随机变量，，，且，则____________.
14.在二项式的展开式中，有理项的个数为____________.
15.已知随机变量且，则________.
16.某公司新成立3个产品研发小组，公司选派了5名专家对研发工作进行指导.若每个小组至少有一名专家且5人均要派出，若专家甲 乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为________.（用数字作答）
四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为4.8，4.9，5.0，5.1.视力为正常视力.否则就是近视.某校进行一次对学生视力与学习成绩的相关调查，随机抽查了100名近视学生的成绩(按照各科占一定权重计算而得的满分100分的综合成绩)，得到频率分布直方图如下：
（1）估计该校近视学生学习成绩的第85百分位数；(精确到0.1)
（2）已知该校学生的近视率为54%，学生成绩的优秀率为36%(成绩分视作优秀)，从该校学生中任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率.(以样本中的频率作为相应的概率)
18.已知二项式.
（1）若展开式中第二项系数与第四项系数之比为1：8，求二项展开式的系数之和.
（2）若展开式中只有第6项的二项式系数最大，求展开式中的常数项.
19.面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分.
（1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；
（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望.
附：若（），则，，.
20.如图，已知四棱锥S-ABCD.
（1）从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥S-ABCD的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数；
（2）从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥S-ABCD的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数.
答案以及解析
1.答案：D
解析：十位数字为3时，有个“企数”；十位数字为4时，有个“企数”；十位数字为5时，有个“企数”；十位数字为6时，有个“企数”；故共有个“伞数”.故选：D.
2.答案：D
解析：的通项为，
所以的展开式中的常数项为和，
又，所以的展开式中的常数项为180.故选D.
3.答案：A
解析：且，则即，
，解得.故选：A.
4.答案：C
解析：因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确；
由题意得，，，，故B，D均正确；因为，故C错误.故选：C.
5.答案：D
解析：设事件A为“这名学生参与此次活动”，事件为“这名学生选择物化生组合”，
事件“这名学生选择政史地组合”，事件为“这名学生选择物化政组合”，
则，，，
，，，
由全概率公式可知
.故选：D.
6.答案：D
解析：由题意，袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，
从袋中随机取出一个球，该球为红球的概率为，现从中有放回地摸球8次，
每次摸球的结果不会相互影响，表示做了8次独立重复试验，用Y表示取到红球的个数，
则故： 又因为，根据方差的性质可得：.故选：D.
7.答案：D
解析：A选项，数据为：5，6，7，7，8，8，8，9，共8个，中位数为，A选项错误；
B选项，原数据的方差为2，新的数据由原数据加2得到，所以新的数据的方差为2，B选项错误；
C选项，由样本点的中心为得，，，C选项错误；
D选项，正态分布，，所以，D选项正确.故选：D
8.答案：D
解析：对于A，由题意，记10次投篮命中的次数为x，则，随机变量命中次数x服从二项分布，而随机变量投篮得分X不服从二项分布，故A错误；
对于B，由题意随机变量Y服从超几何分布，则，故B错误；
对于C，若随机变量的成对数据的线性相关系数，则认为随机变量X与Y是确定的函数关系，且是线性相关关系，故C错误；
对于D，因为随机变量，其分布密度函数为，所以，，则，故D正确.故选：D.
9.答案：AC
解析：有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有种不同的排法，A正确；
男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有种排法，B不正确；
男生甲，乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有种排法，C正确；
三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有种排法，D不正确.故选：AC
10.答案：ACD
解析：对于A，令，则，故A正确；
对于B，因为，所以，B错误；
对于C，令，则，令，则，所以，故C正确；
对于D，由选项B可知，，，，
，，，，
，，
所以
，故D正确.故选：ACD.
11.答案：BC
解析：，，
，，B正确
M与N可能同时发生，M与N不互斥，A错误
，C正确
，D错误故选BC
12.答案：ACD
解析：根据题意，在一次试验中，取到黑球的概率为，则，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选ACD.
13.答案：
解析：，，
，，，
，解得，
故答案为：.
14.答案：3
解析：，所以当，时，为有理项，因此有理项的个数为3，故答案为：3.
15.答案：0.1
解析：因为随机变量且，
所以由正态分布的性质可得，
所以.故答案为：0.1.
16.答案：36
解析：当甲 乙两人组成一组时，不同的专家派遣方案总数为：；
当甲 乙两人与其他三人中选一人组成一组时，
不同的专家派遣方案总数为：，
所以专家甲 乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为：，
故答案为：36
17.答案：（1）95.8
（2）0.72
解析：（1）由频率分布直方图可知，成绩90分以下所占比例为，
因此第85百分位数一定位于内，由，
可以估计该校近视学生的学习成绩的第85百分位数约为95.8
（2）设事件A表示“该校近视学生”，事件B表示“该校优秀学生”，
由题设得，，，
所以
18.答案：（1）见解析
（2）180
解析：（1）二项式的展开式的通项为，
所以第二项系数为，第四项系数为，
所以，所以.
所以二项展开式的系数之和.
（2）因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式有11项，所以.
令，所以.
所以常数项为.
19.答案：（1）16
（2）
解析：（1）因为X服从正态分布，所以，，，
所以.
进入面试的人数，.
因此，进入面试的人数大约为16.
（2）由题意可知，Y的可能取值为0，2，4，6，8，10，
则；；
；；
；.
所以.
20.答案：（1）60
（2）240
解析：（1）由题意知，四棱锥S-ABCD的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，则A，C颜色相同，且B，D颜色相同，所以共有种不同的涂色方法.
（2）解法一：由题意知，四棱锥S-ABCD的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同，所以先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法（如：B，D颜色相同）；再从5种颜色中，选出4种颜色涂在S，A，B，C四个顶点上，最后D涂B的颜色，有种不同的涂色方法.根据分步计数原理知，共有种不同的涂色方法.
解法二：分两类.
第一类，A与C颜色相同.由题意知，四棱锥S-ABCD的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，它们有种不同的涂色方法，所以共有种不同的涂色方法；
第二类，A与C颜色不同.由题意知，四棱锥S-ABCD的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，它们有种不同的涂色方法，所以共有种不同的涂色方法.
根据分类计数原理知，共有种不同的涂色方法.
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