渑池县第二高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考
数学
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分，答案写在答题卡，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题:（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知某质点的运动方程为，则该质点在 1 秒时的瞬时速度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
3. 五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ）
A．60 B．48 C．54 D．64
4. 抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
5. 函数在区间上的（ ）
A．最小值为0，最大值为 B．最小值为0，最大值为
C．最小值为，最大值为 D．最小值为0，最大值为2
6．已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x>0时，，且g（2）=0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞） B．（-2，0）∪（0，2）C．（-∞，-2）∪（0，2）D．（-∞，-2）∪（2，+∞）
8．已知，，若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、多选题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9．下列求导正确的是（ ）
A． B． C． D．
10. 已知函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为其定义域上的减函数
C．有唯一的零点 D．的图象与直线相切
11．为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ）
A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同
C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同
D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同
12．记、分别为函数、的导函数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”，则下列说法正确的为（ ）
A．函数与存在唯一“点”
B．函数与存在两个“点”
C．函数与不存在“点”
D．若函数与存在“点”，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．若，则_________．
14．双曲线的离心率为，则其渐近线方程是_________．
15．已知为等比数列，向量，且，则 .
16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
四、解答题（本大题共6题，第17题10分；其余每题12分，共70分.）
17. (10分)已知是等差数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值.
18．(12分)已知函数在时取得极大值4.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数在区间上的最值.
19．(12分)在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.
(1)若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同的抽法；
(2)已知每检测一件产品需要100元费用，求检测结束时检测费用为400元的抽法有多少种？（要求：解答过程要有必要的说明和步骤）
20．(12分)随着经济科技的发展，地铁作为绿色出行的交通工具不仅方便而且环保，很受市民的喜爱.某城市地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过15站的地铁票价如下表：（）
乘坐站数
票价（元） 2 4 6
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过15站．
(1)若甲、乙两人共付车费6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？
(2)若甲、乙两人共付车费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？
21．(12分)已知，
(1)求的极值；
(2)若函数存在两个零点，求的取值范围.
22．(12分)已知函数
(1)求的单调区间；
(2)若在区间上恒成立，求a的最小值．渑池县第二高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考
数学答案
单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.）
1．C 2．A 3．B 4．D 5．B 6．B 7．A 8．B
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9．BC 10．AC 11．AC 12．ACD
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．30 14． x 15．8 16．1+ln2
四、解答题（本大题共6题，第17题10分；其余每题12分，共70分.）
17．（10分）（1）设数列的公差为，因为，
所以. 解得.
所以.
（2），所以.
令，得，解得：（舍去）.
因为，所以的最小值是12.
18.（12分）（1），由题意得，解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.
19．（12分）（1）由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，
第1次抽到的是正品有种抽法；第2次抽到的是次品有种抽法；第3次抽到的是正品有种抽法；当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有种抽法；
当抽取5次结束时，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是正品，则共有种抽法；若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有种抽法；
综上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120种抽法.
（2）由题意知，检测费用为400元，说明一共抽取了4次检测结束，共有以下两种情况：
①4次抽到的均为正品，共有种抽法；
②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共有种抽法.
所以，检测结束时，检测费用为400元的抽法共有96种.
20．（12分）（1）若甲、乙两人共付车费6元，则其中一人乘坐地铁站数不超过4站，另外一人乘坐地铁站数超过4站且不超过9站，共有（种），故甲、乙下地铁的方案共有40种.
（2）若甲、乙两人共付车费8元，则甲比乙先下地铁的情形有两类：
第一类，甲乘地铁站数不超过4站，乙乘地铁站数超过9站且不超过15站，有（种）；
第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过4站且不超过9站，记地铁第五站至第九站分别为，，，，，易知甲比乙先下地铁有以下四种情形：
①甲站下，乙下地铁方式有种；②甲站下，乙下地铁方式有种；
③甲站下，乙下地铁方式有种；④甲站下，乙只能从下地铁，共有1种方式，
共有10（种），依据分类加法计数原理，得24+10=34（种）， 故甲比乙先下地铁的方案共有34种．
21．（12分）（1）令且，则，
当时，当时，所以在上递增，上递减，
故的极大值为，无极小值.
（2）由题设，有两个根，即与有两个交点，
由（1）知：在上递增，上递减，
在上，在上，且当趋向正无穷时趋向于0，
综上，只需，即.
22．（12分）（1）由，
若，则恒成立，即在上单调递增；
若，则，
所以时，，时，，
即在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）可知，若，在上单调递增，
此时，符合题意；
当时，
（i）若，即时，此时仍有在上单调递增，
所以，符合题意；
（ii）若，即时，此时有在上单调递减，
所以，不符合题意，
综上满足题意.
故a的最小值为.
