7.1两个基本计数原理 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 7.1两个基本计数原理 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 400.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-16 16:30:55 | ||
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文档简介
7.1 两个基本计数原理 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门作为选修课，则3名同学所选课程不全相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
3．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为（ ）
A．120 B．324 C．720 D．1280
4．为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种．
5．如图，用4种不同的颜色对图中 5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ）
A．24 B．96 C．48 D．108
6．学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现有4个社团供5名同学选择，则不同的选择方法有（ ）
A． B．20 C． D．
7．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，那么不同的行车路线有（ ）
A．16条 B．12条 C．4条 D．3条
8．为纪念抗美援朝，某市举办了一场“红色”歌曲文艺演出，已知节目单中共有6个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了3位参加过抗美援朝的老战士分别演唱一首当年的革命歌曲，在不改变原来的节目顺序的情况下，将这3个不同的节目添加到节目单中，则不同的安排方式共有（ ）
A．210种 B．336种 C．504种 D．672种
二、多选题
9．从集合中任取两个互不相等的数组成复数，下列说法错误的有（ ）
A．其中虚数有30个 B．其中虚数有42个
C．其中虚数有36个 D．其中虚数有35个
10．下列说法中正确的有（ ）
A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法
B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法
C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果
D．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果
11．用n种不同的颜色给如图所示的四块区域A，B，C，D涂色，要求相邻域涂不同颜色，不同的涂色方法的总数记作，则（ ）
A． B． C． D．
12．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处，则（ ）
A．三次骰子后所走的步数可以是12 B．三次骰子的点数之和只可能有两种结果
C．三次股子的点数之和超过10的走法有6种 D．回到点处的所有不同走法共有27种
三、填空题
13．已知集合（不必相异）的并集，且，则满足条件的有序三元组的个数是 个．
14．如图所示，在A，B间有4个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致线路不通，现发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 种．
15．若，则方程表示的不同双曲线共有 个．
16．在如图所示的三棱锥中，现有红、黄、蓝、绿4种不同的颜色供选择，要求相邻两个顶点不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 ．
四、解答题
17．高二（1）班、（48）班、（62）班分别有7，5，9人参加创新技能大赛笔试．
(1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？
(2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？
(3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？
18．个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡.
(1)某人要从两个袋子中任取一张供自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法
(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法
19．某单位职工义务献血，在身体检查合格的人中，是O型血的共有28人，是A型血的共有7人，是B型血的共有9人，是AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从4种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
(3)这些人中有2人去献血，他们的血型不同的概率是多少？
20．某商场在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“禄”“寿”“喜”卡各两张，“财”卡三张.每位顾客从卡箱中随机抽取5张卡片，其中抽到“财”卡获得3分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡片各一张，则额外获得4分.
(1)求顾客甲最终获得7分的不同的抽法种数；
(2)求顾客乙最终获得11分的不同的抽法种数.
21．荆城小理论能力很强，计划高考后参加机动车驾驶证考试.了解到某平驾校学费4000元，包含各科目第一场考试费用（若第一场考试不合格，补考费需学员自己通过交管12123另缴）.现通过随机抽样调查了解到本校已毕业的100名学长参加驾驶证考试所花费用，将数据分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图.小汽车驾驶证考试通俗的讲分为理论考试：科目一、科目四；实际操作考试：科目二、科目三（路考）.认为自己理论无敌，科一、科四逢考必过，不在此题研究范围内.只略微担心实际操作考试，现了解到考试规则如下：科目二通过才能进行科目三的考试预约，且科目二每场两次机会，每次通过概率为，补考费150元每场；科目三补考费200元每场，每场也是两次机会，每次通过概率为；以上两科目均可补考4场，即每科最多考试10次.（根据《机动车驾驶证申领和使用规定》第三十七条：在驾驶技能准考证明有效期内，科目二和科目三道路驾驶技能考试预约考试的次数不得超过五次.第五次预约考试仍不合格的，已考试合格的其他科目成绩作废.）
(1)试求样本中费用的平均数和中位数（中位数结果取整数）；
(2)若同一科目第五次预约考试不合格，则需要重新缴纳学费4000元.求同学出现重新缴纳学费从头再来的概率；（，，用含有，的式子表示结果）
(3)求小同学预估自己所花学费和补考费不超过4300元的概率.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】本题采用正难则反的方法，先求出选课总数，再求出反面，3名同学所选课程全相同有多少种，再减去即可.
【详解】甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门有（种）选法，
3名同学所选课程全相同有4种，所以3名同学所选课程不全相同的概率为，
故选：D.
2．C
【分析】根据分步计数原理，结合题意，直接计算即可.
【详解】根据题意，甲有种选择，乙、丙都有种选择，
故所有的选法有：种.
故选：C.
3．D
【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.
【详解】第一天可以排5个人中的任意一个，有5种排法；
第二天可以排另外4个人中任意一个，有4种排法；
第三天同上，有4种排法；
第四天同上，有4种排法；
第五天同上，有4种排法．
根据分步乘法计数原理得所有的排法总数为．
故选:D．
4．A
【分析】满足条件的涂色方案可分为区域同色，且和其它区域不同色和区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可
【详解】满足条件的摆放方案可分为两类，
第一类区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案，
满足条件的方案可分四步完成，
第一步，先摆区域有种方法，
第二步，摆放区域有3种方法，
第三步，摆放区域有2种方法，
第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，
由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，
第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案，
满足条件的方案可分四步完成，
第一步，先摆区域有种方法，
第二步，摆放区域有3种方法，
第三步，摆放区域有2种方法，
第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，
由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，
根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有种，
故选：A.
5．B
【分析】按照分步、分类计数原理计算可得.
【详解】第一步：涂区域，有种方法；
第二步：涂区域，有种方法；
第三步：涂区域，有种方法；
第四步（此前三步已经用去三种颜色）：涂区域，分两类：
第一类，区域与同色，则区域涂第四种颜色；
第二类，区域与不同色，则区域涂第四种颜色，
此时区域就可以涂区域或区域或区域中的任意一种颜色，有种方法．
所以，不同的涂色种数有.
故选：B
6．C
【分析】由分步乘法计数原理列式计算即可.
【详解】由分步乘法计数原理可知不同的选择方法有.
故选：C.
7．B
【分析】根据题意分析起点与终点的情况，然后利用分步计数原理可求得结果.
【详解】根据题意，起点有4种可能性，终点有3种可能性，
所以由分步乘法计数原理可得行车路线共有种，
故选：B
8．C
【分析】利用插空法及分步乘法计数原理计算可得.
【详解】原来的个节日形成个空，插入第一个节目，共有种结果，
原来的个和刚插入的一个，形成个空，插入第二个节目有种结果，
同理插入最后一个节目有种结果，根据分步乘法计数原理得到不同的安排方式有种．
故选：C．
9．ABD
【分析】根据虚数的概念，结合分步乘法计数原理，即可得出答案.
【详解】根据选项，可知本题只考虑为虚数，
则虚数虚部不能为0，第一步选虚部，有6种选择；
第二步，选择实部，有6种选择.
根据分步乘法计数原理可得，虚数有36个，故A、B、D错误，C正确.
故选：ABD.
10．BC
【分析】利用分步乘法计数原理确定所求事件的方法数，由此判断各选项.
【详解】事件“4名同学每人从三个项目中选一项报名”可分为四步完成，
第一步，第一个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，
第二步，第二个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，
第三步，第三个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，
第四步，第四个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，
由分步乘法计数原理可得，
完成事件“4名同学每人从三个项目中选一项报名”的方法数为，
所以A错误，B正确，
事件“三个项目冠军的确定”可分为三步完成，
第一步，确定跑步比赛的冠军，有4种方法，
第二步，确定跳高比赛的冠军，有4种方法，
第一步，确定跳远比赛的冠军，有4种方法，
由分步乘法计数原理可得，
完成事件“三个项目冠军的获取”的方法数为种，
所以C正确，D错误，
故选：BC.
11．CD
【分析】
计算出后逐项计算即可得.
【详解】使用种不同颜色时，对区域涂色可用种，
由、相邻，故对区域可用种，
由、、相邻，故对区域可用种，
由、相邻，故对区域可用种，
故不同的涂色方法的总数种，
种，种，
种，种，
故A、B错误，C、D正确.
故选：CD.
12．BCD
【分析】由题意，可得抛掷三次骰子后，棋子恰好又回到点A处，说明棋子沿正方形逆时针行走了8个单位．由此再分析三次掷出的点数之和为8对应基本事件的个数，讨论每种对应的个数即可.
【详解】A、B：由题意知正方形（边长为2个单位）的周长是8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是，故A错误，B正确；
C、D：列举出在点数中三个数字能够使得和为的有，
共有7种组合，前2种组合，每种情况可以排列出种结果，共有种结果；各有3种结果，共有种结果，其中点数之和超过10的走法为，共有种，故C正确；根据分类计数原理知共有种结果，故D正确；
故选：BCD
13．10584
【分析】画出三个集合观察相互分成七个区域，然后考虑将5个元素向里面填，再运用乘法原理即可求得答案．
【详解】如图，画出三个集合，，，则它们最多相互分成7个部分，
将1，2，3，4，5共5个元素，填入这7个区域，
由于，则1、2、3各有6种填法，4、5各有7种填法，
由分步乘法原理知，这样的三元组共有个．
故答案为：10584.
14．13
【分析】考虑焊点脱落或不脱落的不同情况共有几种，减去线路通的情况，即可得答案.
【详解】由题意知四个焊接点脱落或不脱落的不同情况共有种，
其中A，B之间线路通的情况只有：124不脱落3脱落，134不脱落2脱落，1234都不脱落，共3种情况，
故A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（种），
故答案为：13
15．
【分析】利用分步乘法计数原理计算可得.
【详解】依题意有种不同的取法，也有种不同的取法，
所以方程表示的不同双曲线共有.
故答案为：
16．
【分析】利用分步乘法计数原理即可得解.
【详解】依题意，先涂点，有种颜色可供选择；
再涂点，有种颜色可供选择；
接着涂点，有种颜色可供选择；
最后涂点，只有种颜色可供选择；
综上，利用分步乘法计数原理，不同的涂色方法共有.
故答案为：.
17．(1)21种；
(2)315种；
(3)143种．
【分析】（1）根据分类加法计数原理求解；
（2）根据分步乘法计数原理求解；
（3）综合利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解；
【详解】（1）事件选一人当组长可分三类方案完成，
第一类，组长从（1）班选出，有7种选法、
第二类，组长从（48）班选出，有5种选法、
第三类，组长从（62）班选出，有9种选法，
根据分类加法计数原理，选一人当组长有种选法，
（2）如果老师任组长，每班选一名副组长，则需要分三步，
第一步，从（1）班选一名同学担任副组长，有7种选法，
第二步，从（48）班选一名同学担任副组长，有5种选法，
第三步，从（62）班选一名同学担任副组长，有9种选法，
根据分步乘法计数原理，每班选一名副组长共有种选法；
（3）事件推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，可分为三类方案，
第一类，若两人来自（1）班和（48）班，有种选法，
第二列，若两人来自（1）班和（62）班，有种选法，
第三类，若两人来（48）班和（62）班，有种选法，
综上可知，这两人来自不同的班级的不同的选法有种．
18．(1)22种；
(2)120种
【分析】（1）分类求解，第一类取移动手机卡，第二类取联通手机卡，将情况相加即可；
（1）分步求解，第一步取移动手机卡，第二步取联通手机卡，将情况相乘即可.
【详解】（1）从两个袋子中任取一张卡有两类情况：
第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有种取法；
第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有种取法；
根据分类加法计数原理,共有 (种)取法；
（2）得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：
第一步：从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有种取法.
第二步：从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有种取法.
根据分步乘法计数原理共有 (种)取法.
19．(1)47
(2)5292种
(3)
【分析】（1）用分类计数原理得出答案；
（2）用分步计数原理得出答案；
（3）用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】（1）从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血中选1人有7种不同的选法，
从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，
这件“任选1人去献血”的事情都可以完成，
所以用分类计数原理．有28+7+9+3＝47种不同选法．
（2）要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，
这种“各选1人去献血”的事情才完成，
所以用分步计数原理．有28×7×9×3＝5292种不同选法．
（3）这些人中有2人去献血，他们的血型不同的概率是：．
20．(1)162
(2)76
【分析】(1) 根据排列组合，结合分类和分步计数原理即可求解.
(2) 根据排列组合，结合分类和分步计数原理即可求解.
【详解】（1）顾客甲最终获得7分，则需抽中1张“财”卡和4张其他卡，且不能抽齐“福”“禄”“寿”“喜”“财”，则不同的抽法种数为.
（2）顾客乙最终获得11分的情况有2种：一种是抽中3张“财”卡和2张其他卡，另一种是抽齐“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡，
不同的抽法种数为.
21．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图中的信息，运用平均数公式和中位数计算方法即得；
（2）缴纳学费从头再来分两类情况计算概率，即科目二五场10次均未通过的概率和科目二通过但科目三五场10次考试均未通过，运用独立事件的乘法公式和概率加法公式计算；
（3）分五类补考科目场次情况分别计算概率，再运用概率的加法公式计算即得.
【详解】（1）样本中费用的平均数为：，
由前两组频率和为：，
第三组频率为：，所以中位数在第三组，则
中位数；
（2）由题，分两种情况考虑：
①科目二预约五场共10次均未通过：；
②科目二通过，科目三预约五场共10次均未通过：；
所以同学出现重新缴纳学费从头再来的概率为：
；
（3）由补考费150元每场，科目三补考费200元每场，故可分类如下：
①无补考费，总费用4000元，概率为：
②补考科目二一次，总费用4150元，概率为：；
③补考科目三一次，总费用4200元，概率为：；
④补考科目二两次，总费用4300元，概率为：；
故小同学预估自己所花学费和补考费不超过4300元的概率为：．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查频率分布直方图的信息读取，积事件的概率以及概率加法公式的运用.关键在于对图形信息的处理和对相关事件的分析，将题设问题分成若干类具体的事件分别求概率，再运用概率的加法公式计算即可.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门作为选修课，则3名同学所选课程不全相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
3．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为（ ）
A．120 B．324 C．720 D．1280
4．为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种．
5．如图，用4种不同的颜色对图中 5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ）
A．24 B．96 C．48 D．108
6．学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现有4个社团供5名同学选择，则不同的选择方法有（ ）
A． B．20 C． D．
7．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，那么不同的行车路线有（ ）
A．16条 B．12条 C．4条 D．3条
8．为纪念抗美援朝，某市举办了一场“红色”歌曲文艺演出，已知节目单中共有6个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了3位参加过抗美援朝的老战士分别演唱一首当年的革命歌曲，在不改变原来的节目顺序的情况下，将这3个不同的节目添加到节目单中，则不同的安排方式共有（ ）
A．210种 B．336种 C．504种 D．672种
二、多选题
9．从集合中任取两个互不相等的数组成复数，下列说法错误的有（ ）
A．其中虚数有30个 B．其中虚数有42个
C．其中虚数有36个 D．其中虚数有35个
10．下列说法中正确的有（ ）
A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法
B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有种报名方法
C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果
D．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有种可能结果
11．用n种不同的颜色给如图所示的四块区域A，B，C，D涂色，要求相邻域涂不同颜色，不同的涂色方法的总数记作，则（ ）
A． B． C． D．
12．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处，则（ ）
A．三次骰子后所走的步数可以是12 B．三次骰子的点数之和只可能有两种结果
C．三次股子的点数之和超过10的走法有6种 D．回到点处的所有不同走法共有27种
三、填空题
13．已知集合（不必相异）的并集，且，则满足条件的有序三元组的个数是 个．
14．如图所示，在A，B间有4个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致线路不通，现发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 种．
15．若，则方程表示的不同双曲线共有 个．
16．在如图所示的三棱锥中，现有红、黄、蓝、绿4种不同的颜色供选择，要求相邻两个顶点不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 ．
四、解答题
17．高二（1）班、（48）班、（62）班分别有7，5，9人参加创新技能大赛笔试．
(1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？
(2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？
(3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？
18．个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡.
(1)某人要从两个袋子中任取一张供自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法
(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法
19．某单位职工义务献血，在身体检查合格的人中，是O型血的共有28人，是A型血的共有7人，是B型血的共有9人，是AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从4种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
(3)这些人中有2人去献血，他们的血型不同的概率是多少？
20．某商场在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“禄”“寿”“喜”卡各两张，“财”卡三张.每位顾客从卡箱中随机抽取5张卡片，其中抽到“财”卡获得3分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡片各一张，则额外获得4分.
(1)求顾客甲最终获得7分的不同的抽法种数；
(2)求顾客乙最终获得11分的不同的抽法种数.
21．荆城小理论能力很强，计划高考后参加机动车驾驶证考试.了解到某平驾校学费4000元，包含各科目第一场考试费用（若第一场考试不合格，补考费需学员自己通过交管12123另缴）.现通过随机抽样调查了解到本校已毕业的100名学长参加驾驶证考试所花费用，将数据分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图.小汽车驾驶证考试通俗的讲分为理论考试：科目一、科目四；实际操作考试：科目二、科目三（路考）.认为自己理论无敌，科一、科四逢考必过，不在此题研究范围内.只略微担心实际操作考试，现了解到考试规则如下：科目二通过才能进行科目三的考试预约，且科目二每场两次机会，每次通过概率为，补考费150元每场；科目三补考费200元每场，每场也是两次机会，每次通过概率为；以上两科目均可补考4场，即每科最多考试10次.（根据《机动车驾驶证申领和使用规定》第三十七条：在驾驶技能准考证明有效期内，科目二和科目三道路驾驶技能考试预约考试的次数不得超过五次.第五次预约考试仍不合格的，已考试合格的其他科目成绩作废.）
(1)试求样本中费用的平均数和中位数（中位数结果取整数）；
(2)若同一科目第五次预约考试不合格，则需要重新缴纳学费4000元.求同学出现重新缴纳学费从头再来的概率；（，，用含有，的式子表示结果）
(3)求小同学预估自己所花学费和补考费不超过4300元的概率.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】本题采用正难则反的方法，先求出选课总数，再求出反面，3名同学所选课程全相同有多少种，再减去即可.
【详解】甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门有（种）选法，
3名同学所选课程全相同有4种，所以3名同学所选课程不全相同的概率为，
故选：D.
2．C
【分析】根据分步计数原理，结合题意，直接计算即可.
【详解】根据题意，甲有种选择，乙、丙都有种选择，
故所有的选法有：种.
故选：C.
3．D
【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.
【详解】第一天可以排5个人中的任意一个，有5种排法；
第二天可以排另外4个人中任意一个，有4种排法；
第三天同上，有4种排法；
第四天同上，有4种排法；
第五天同上，有4种排法．
根据分步乘法计数原理得所有的排法总数为．
故选:D．
4．A
【分析】满足条件的涂色方案可分为区域同色，且和其它区域不同色和区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可
【详解】满足条件的摆放方案可分为两类，
第一类区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案，
满足条件的方案可分四步完成，
第一步，先摆区域有种方法，
第二步，摆放区域有3种方法，
第三步，摆放区域有2种方法，
第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，
由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，
第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案，
满足条件的方案可分四步完成，
第一步，先摆区域有种方法，
第二步，摆放区域有3种方法，
第三步，摆放区域有2种方法，
第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，
由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，
根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有种，
故选：A.
5．B
【分析】按照分步、分类计数原理计算可得.
【详解】第一步：涂区域，有种方法；
第二步：涂区域，有种方法；
第三步：涂区域，有种方法；
第四步（此前三步已经用去三种颜色）：涂区域，分两类：
第一类，区域与同色，则区域涂第四种颜色；
第二类，区域与不同色，则区域涂第四种颜色，
此时区域就可以涂区域或区域或区域中的任意一种颜色，有种方法．
所以，不同的涂色种数有.
故选：B
6．C
【分析】由分步乘法计数原理列式计算即可.
【详解】由分步乘法计数原理可知不同的选择方法有.
故选：C.
7．B
【分析】根据题意分析起点与终点的情况，然后利用分步计数原理可求得结果.
【详解】根据题意，起点有4种可能性，终点有3种可能性，
所以由分步乘法计数原理可得行车路线共有种，
故选：B
8．C
【分析】利用插空法及分步乘法计数原理计算可得.
【详解】原来的个节日形成个空，插入第一个节目，共有种结果，
原来的个和刚插入的一个，形成个空，插入第二个节目有种结果，
同理插入最后一个节目有种结果，根据分步乘法计数原理得到不同的安排方式有种．
故选：C．
9．ABD
【分析】根据虚数的概念，结合分步乘法计数原理，即可得出答案.
【详解】根据选项，可知本题只考虑为虚数，
则虚数虚部不能为0，第一步选虚部，有6种选择；
第二步，选择实部，有6种选择.
根据分步乘法计数原理可得，虚数有36个，故A、B、D错误，C正确.
故选：ABD.
10．BC
【分析】利用分步乘法计数原理确定所求事件的方法数，由此判断各选项.
【详解】事件“4名同学每人从三个项目中选一项报名”可分为四步完成，
第一步，第一个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，
第二步，第二个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，
第三步，第三个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，
第四步，第四个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，
由分步乘法计数原理可得，
完成事件“4名同学每人从三个项目中选一项报名”的方法数为，
所以A错误，B正确，
事件“三个项目冠军的确定”可分为三步完成，
第一步，确定跑步比赛的冠军，有4种方法，
第二步，确定跳高比赛的冠军，有4种方法，
第一步，确定跳远比赛的冠军，有4种方法，
由分步乘法计数原理可得，
完成事件“三个项目冠军的获取”的方法数为种，
所以C正确，D错误，
故选：BC.
11．CD
【分析】
计算出后逐项计算即可得.
【详解】使用种不同颜色时，对区域涂色可用种，
由、相邻，故对区域可用种，
由、、相邻，故对区域可用种，
由、相邻，故对区域可用种，
故不同的涂色方法的总数种，
种，种，
种，种，
故A、B错误，C、D正确.
故选：CD.
12．BCD
【分析】由题意，可得抛掷三次骰子后，棋子恰好又回到点A处，说明棋子沿正方形逆时针行走了8个单位．由此再分析三次掷出的点数之和为8对应基本事件的个数，讨论每种对应的个数即可.
【详解】A、B：由题意知正方形（边长为2个单位）的周长是8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是，故A错误，B正确；
C、D：列举出在点数中三个数字能够使得和为的有，
共有7种组合，前2种组合，每种情况可以排列出种结果，共有种结果；各有3种结果，共有种结果，其中点数之和超过10的走法为，共有种，故C正确；根据分类计数原理知共有种结果，故D正确；
故选：BCD
13．10584
【分析】画出三个集合观察相互分成七个区域，然后考虑将5个元素向里面填，再运用乘法原理即可求得答案．
【详解】如图，画出三个集合，，，则它们最多相互分成7个部分，
将1，2，3，4，5共5个元素，填入这7个区域，
由于，则1、2、3各有6种填法，4、5各有7种填法，
由分步乘法原理知，这样的三元组共有个．
故答案为：10584.
14．13
【分析】考虑焊点脱落或不脱落的不同情况共有几种，减去线路通的情况，即可得答案.
【详解】由题意知四个焊接点脱落或不脱落的不同情况共有种，
其中A，B之间线路通的情况只有：124不脱落3脱落，134不脱落2脱落，1234都不脱落，共3种情况，
故A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（种），
故答案为：13
15．
【分析】利用分步乘法计数原理计算可得.
【详解】依题意有种不同的取法，也有种不同的取法，
所以方程表示的不同双曲线共有.
故答案为：
16．
【分析】利用分步乘法计数原理即可得解.
【详解】依题意，先涂点，有种颜色可供选择；
再涂点，有种颜色可供选择；
接着涂点，有种颜色可供选择；
最后涂点，只有种颜色可供选择；
综上，利用分步乘法计数原理，不同的涂色方法共有.
故答案为：.
17．(1)21种；
(2)315种；
(3)143种．
【分析】（1）根据分类加法计数原理求解；
（2）根据分步乘法计数原理求解；
（3）综合利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解；
【详解】（1）事件选一人当组长可分三类方案完成，
第一类，组长从（1）班选出，有7种选法、
第二类，组长从（48）班选出，有5种选法、
第三类，组长从（62）班选出，有9种选法，
根据分类加法计数原理，选一人当组长有种选法，
（2）如果老师任组长，每班选一名副组长，则需要分三步，
第一步，从（1）班选一名同学担任副组长，有7种选法，
第二步，从（48）班选一名同学担任副组长，有5种选法，
第三步，从（62）班选一名同学担任副组长，有9种选法，
根据分步乘法计数原理，每班选一名副组长共有种选法；
（3）事件推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，可分为三类方案，
第一类，若两人来自（1）班和（48）班，有种选法，
第二列，若两人来自（1）班和（62）班，有种选法，
第三类，若两人来（48）班和（62）班，有种选法，
综上可知，这两人来自不同的班级的不同的选法有种．
18．(1)22种；
(2)120种
【分析】（1）分类求解，第一类取移动手机卡，第二类取联通手机卡，将情况相加即可；
（1）分步求解，第一步取移动手机卡，第二步取联通手机卡，将情况相乘即可.
【详解】（1）从两个袋子中任取一张卡有两类情况：
第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有种取法；
第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有种取法；
根据分类加法计数原理,共有 (种)取法；
（2）得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：
第一步：从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有种取法.
第二步：从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有种取法.
根据分步乘法计数原理共有 (种)取法.
19．(1)47
(2)5292种
(3)
【分析】（1）用分类计数原理得出答案；
（2）用分步计数原理得出答案；
（3）用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】（1）从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血中选1人有7种不同的选法，
从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，
这件“任选1人去献血”的事情都可以完成，
所以用分类计数原理．有28+7+9+3＝47种不同选法．
（2）要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，
这种“各选1人去献血”的事情才完成，
所以用分步计数原理．有28×7×9×3＝5292种不同选法．
（3）这些人中有2人去献血，他们的血型不同的概率是：．
20．(1)162
(2)76
【分析】(1) 根据排列组合，结合分类和分步计数原理即可求解.
(2) 根据排列组合，结合分类和分步计数原理即可求解.
【详解】（1）顾客甲最终获得7分，则需抽中1张“财”卡和4张其他卡，且不能抽齐“福”“禄”“寿”“喜”“财”，则不同的抽法种数为.
（2）顾客乙最终获得11分的情况有2种：一种是抽中3张“财”卡和2张其他卡，另一种是抽齐“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡，
不同的抽法种数为.
21．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图中的信息，运用平均数公式和中位数计算方法即得；
（2）缴纳学费从头再来分两类情况计算概率，即科目二五场10次均未通过的概率和科目二通过但科目三五场10次考试均未通过，运用独立事件的乘法公式和概率加法公式计算；
（3）分五类补考科目场次情况分别计算概率，再运用概率的加法公式计算即得.
【详解】（1）样本中费用的平均数为：，
由前两组频率和为：，
第三组频率为：，所以中位数在第三组，则
中位数；
（2）由题，分两种情况考虑：
①科目二预约五场共10次均未通过：；
②科目二通过，科目三预约五场共10次均未通过：；
所以同学出现重新缴纳学费从头再来的概率为：
；
（3）由补考费150元每场，科目三补考费200元每场，故可分类如下：
①无补考费，总费用4000元，概率为：
②补考科目二一次，总费用4150元，概率为：；
③补考科目三一次，总费用4200元，概率为：；
④补考科目二两次，总费用4300元，概率为：；
故小同学预估自己所花学费和补考费不超过4300元的概率为：．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查频率分布直方图的信息读取，积事件的概率以及概率加法公式的运用.关键在于对图形信息的处理和对相关事件的分析，将题设问题分成若干类具体的事件分别求概率，再运用概率的加法公式计算即可.
答案第1页，共2页
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