7.3组合 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 7.3组合 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 554.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-16 17:03:56 | ||
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文档简介
7.3 组合 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，则满足条件的关灯方案有（ ）种.
A．8 B．10 C．12 D．14
3．从这5个数字中任取2个偶数和1个奇数，组成一个三位数，则不同的三位数的个数为（ ）
A．16 B．24 C．28 D．36
4．“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5200的偶数个数是（ ）
A．87 B．129 C．132 D．138
5．从这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则共有（ ）种不同的涂色方法.
A．108 B．96 C．84 D．48
7．有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ）
A．12 B．14 C．22 D．24
8．2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有（ ）
A．792种 B．1440种 C．1728种 D．1800种
二、多选题
9．从名男生和名女生中选人参加活动，规定男女生至少各有人参加，则不同的选法种数为（ ）
A． B．
C． D．
10．用数字组成无重复数字的四位数，则（ ）
A．可组成个四位数
B．可组成个是的倍数的四位数
C．可组成各位数字之和为偶数的四位数有个
D．若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第个数为
11．下列说法正确的是（ ）
A．空间有个点，其中任何点不共面，以每个点为顶点作个四面体，则一共可以作个不同的四面体
B．甲 乙 丙个人值周，从周一到周六，每人值天，但甲不值周一，乙不值周六，则可以排出48种不同的值周表
C．从这个数字中选出个不同的数字组成五位数，其中大于的共有个
D．个不同的小球放入编号为的个盒子中，恰有个空盒的放法共有种
12．平面内有两组平行线，一组有10条，另一组有7条，且这两组平行线相交，则（ ）
A．这两组平行线有70个交点 B．这两组平行线可以构成140条射线
C．这两组平行线可以构成525条线段 D．这两组平行线可以构成945个平行四边形
三、填空题
13．计算 .（用数字作答）
14．有位大学生要分配到三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有 种．（用数字作答）
15．对于定义在非空集上的函数，若对任意的，当，有，则称函数为“准单调递增函数”，若函数的定义域，值域，则在满足这样条件的所有函数中，为“准单调递增函数”的概率是 ．
16．设严格递增的整数数列，，…，满足，.设为，，…，这19个数中被3整除的项的个数，则的最大值为 ，使得取到最大值的数列的个数为 .
四、解答题
17．如图，在一个的网格中填齐1至9中的所有整数，每个格子只填一个数字，已知中心格子的数字为．
(1)求满足第二横排、第二竖排的个数字之和均为的不同的数字填写方案种数；
(2)求满足第二横排的数字从左到右依次增大，第二竖排的数字从上到下依次增大的不同的数字填写方案种数．
18．为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．
(1)高二年级一共有多少不同的分组方案？
(2)若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
19．甲、乙两队各有个队员，已知甲队的每个队员分别与乙队的每个队员各握手一次（同队的队员之间不握手），从这次握手中任意取两次．记事件：两次握手中恰好有4个队员参与；事件：两次握手中恰好有3个队员参与．
(1)当时，求事件发生的概率；
(2)若事件发生的概率，求的最小值．
20．（1）将9个互不相同的小球放入三个不同的盒子，可以出现空盒，共有多少种不同的放法？（用数字作答）
（2）9个小球中有5个红球，2个黑球和2个白球，除了颜色以外，小球完全相同．将这9个小球排成一列，能产生多少种不同的图案？（用数字作答）
（3）有9个除了颜色外完全相同的小球，9个小球中只有红、黑、白三种颜色，共有多少种可能的组合？（用数字作答）
21．水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】根据组合数性质及组合数公式计算可得.
【详解】因为，
所以，则，解得或（舍去）.
故选：B
2．B
【分析】直接利用插空法可求得答案.
【详解】把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法，所以满足条件的关灯方案有10种．
故选:B.
3．C
【分析】分两种情况，再按照分步计数原理，即可求解.
【详解】若没有取到0，则有种方法，
若取到0，则有种方法，
所以不同的三位数共有种.
故选：C
4．A
【分析】按千位数分别是5，7，8进行分类讨论即可.
【详解】若千位数字是5，则百位数字不能是1，故共有（个）；
（①一个四位数为偶数，则其个位上的数字一定是偶数；②组成的四位数要大于5200，则其千位上的数字是5，7或8）
若千位数字是7，则共有（个）；
若千位数字是8，则共有（个）．
故符合条件的四位数共有（个）．
故选：A
5．C
【分析】求所有组合个数，列举和为质数的情况，古典概型求概率.
【详解】这九个数字中任取两个，有种取法，
和为质数有，共14种情况，
因此所求概率为.
故选：C.
6．A
【分析】分类考虑，选2种颜色，或选3种颜色，或选4种颜色涂色，计算出各种情况的涂色方法，根据分类加法原理，即可求得答案.
【详解】若选2种颜色，则①③同色，②④同色，共有种涂色方法；
若选3种颜色，则①③或者②④或者①④中必有两块区域同色，另两块区域不同色，共有种涂色方法；
若选4种颜色，共有种涂色方法；
故共有（种）涂色方法，
故选：A
7．B
【分析】按工厂接收的女生人数分两类，求出每类情况数，相加后得到答案.
【详解】按工厂接收的女生人数分类，
第一类：工厂仅接收1名女生，从2名女生中选1人，有种选择，
再把剩余的3人分为两组，和两工厂进行全排列，有种选择，
故有种分配方法；
第二类：工厂接收2名女生，则剩余的两个男生和两个工厂进行全排列，
有种分配方法．
综上，不同的分配方法有种．
故选：
8．B
【分析】分类讨论甲是否安排在初一或初二两种情况，结合平均分组分配法分别考虑两种情况的安排种数，从而利用分类加法计数原理即可得解.
【详解】当甲安排在初一或初二时，再安排一人在初二或初一，则有种排法，
再利用平均分组分配法将初三到初八分配给剩下的3人，有种排法，
所以一共有种排法；
当甲不安排在初一或初二时，安排两人在初一或初二，有种排法，
不考虑甲两天不能连排的情况，有种排法，
其中甲两天连排的排法有种，故初三到初八的值班安排有种排法，
所以一共有种排法；
综上可知共有种不同排法.
故选：B.
9．AD
【分析】直接法：先分成男生女生、男生女生、男生女生三类情况分别计算再相加求和即可；间接法：先求出所有可能选法，再减去不合题意的情况即可.
【详解】直接法：
人中有男生女生有：种选法，人中有男生女生有：种选法，
人中有男生女生有：种选法，所以名男生和名女生中选人参加活动，
规定男女生至少各有人参加，则不同的选法种数为，A正确；
间接法：
从名男生和名女生中选人参加活动共有：种选法，
其中不合题意的有：全是男生有种选法，全是女生有：种选法，
所以名男生和名女生中选人参加活动，规定男女生至少各有人参加，
则不同的选法种数为，D正确.
故选：AD
10．BCD
【分析】结合千位数字不能为，利用分步乘法计数原理列出式子可判断选项A；根据的倍数的数字特点分类讨论可判断选项B；先把各位数字之和为偶数的数字组合列举出来，再根据计数原理列出式子可判断选项C；对四位数的千位和百位进行讨论可判断选项D.
【详解】对于选项A：先安排千位上的数字，有种；再安排百位、十位和个位上的数字，有种；
根据分步乘法计数原理可得，共组成个四位数，故选项A错误；
对于选项B：因为的倍数的四位数个位上为或，
所以分为两类：当个位是时，有种；当个位上时，有种，
∴共有种，故选项B正确；
C选项，先把各位数字之和为偶数的数字组合列举出来，有，，，，，，，，；
再将每个组合中的四个数字排列组成一个四位数共种，故选项C正确；
对于选项D选：因为千位为的四位数有个；
千位为，百位为的四位数有个；
千位为，百位为的四位数有个；
共；
而千位为，百位为的四位数从小到大排列有：，，，
所以第个数为，故选项D正确.
故选：BCD.
11．ACD
【分析】直接利用组合数计算，判定A；对甲的值周按照是否在星期六分类，利用组合结合分步乘法计数原理计算，从而判定B；按照首位分类，利用排列数计算可以判定C；利用先分组后排列的方法，结合乘法原理和排列组合计算判定D.
【详解】对于：空间有个点，其中任何点不共面，以每个点为顶点作个四面体，可以
有种取法，即可以作个不同的四面体，A正确；
对于B：分种情况讨论：①甲排在星期六，有种排法；②甲不排在星期六，
有种排法；则值班方案种数为种，B错误；
对于C：分种情况讨论：①五位数的首位为时，有个五位数，
②五位数的首位为时，其千位数字不能为，有个五位数，
则共有个大于五位数，C正确；
对于D：分步进行：①将个小球分为组，有种分组方法，②在个盒子中
任选个，放入三组小球，有种情况，则有种不同的放法，D正确；
故选：ACD.
12．ACD
【分析】根据给定条件，利用两个计数原理，结合组合应用问题逐项分析计算得解.
【详解】对于A，两组平行线相交有个交点，A正确；
对于B，一个交点可以引出4条射线，则可以构成条射线，B错误；
对于C，10条平行线中的每一条有条线段，7条平行线中的每一条有条线段，
则可以构成条线段，C正确；
对于D，10条平行线中的每2条平行线与7条平行线中的每2条平行线可以构成一个平行四边形，
则可以构成个平行四边形，D正确.
故选：ACD
13．/
【分析】根据排列数 组合数公式展开计算，即可得出答案.
【详解】由题.
故答案为：.
14．
【分析】根据特殊元素进行分类计数，具体分类下是不相同元素分配问题，先分堆再配送，注意平均分堆的要除以顺序.
【详解】根据特殊元素“甲同学”分类讨论，
当单位只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；
当单位不只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；
合计有种不同分配方案，
故答案为：.
15．
【分析】首先根据值域个数，将定义域中的元素进行分组，求解所有的函数个数，再利用隔板法求函数为增函数的个数，再根据古典概型概率公式，即可求解.
【详解】若函数的值域为，则有1个函数，所以值域为单元素的函数有3个，
若值域为，将定义域中的元素分组为3,3，则有个函数，
将定义域中的元素分组为2,4，则有个函数，
将定义域中的元素分组为1,5，则有个函数，
则共有个函数，所以值域为双元素的函数共有个函数；
若值域为，将定义域中的元素分组为1,2,3，则有个函数，
将定义域中的元素分组为2,2,2，则有个函数，
将定义域中的元素分组为1,1,4，则有个函数，
则共有个函数，
综上可知，共有个函数，
其中，若函数为增函数，当值域为单元素集合，有3个函数，满足条件，
当值域有2个元素，将元素1,2,3,4,5,6中间隔1块板，有5种方法，则有个函数，
若值域有3个元素，则将元素1,2,3,4,5,6中间隔2块板，有种方法，即有10个函数，
综上可知，为增函数的函数有个函数，
所以为增函数的概率.
故答案为：
16． 18 25270
【分析】
第一个空，为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，通过枚举法分析即可得到结果；第二个空，满足要求的数列必须为相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，而1-40中有27个数满足要求，再利用捆绑思想和特殊位置讨论即可得到结果.
【详解】第一个空，设某个数除以余数为，则称该数模余(，均为整数，且)，
为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，这样它们之和才会被3整除.
而，均为模3余1，则不可能有19组上述组别，最多出现18组上述组别，
例如严格递增数列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40，满足题意，
所以的最大值为18.
第二个空，因为1-40这40个数中，共有27个数符合模3余1或模3余2，则要从这27个数中选出满足要求的20个数.
第一步，在到这20个数中删去一个数（后面再加回来），使得剩下的19个数满足任意两个相邻数一个模3余1，一个模3余2，这样就形成了18组，即使得的最大值为18.
第二步，将这27个数从小到大排列，需要删去8个数得到目标19个数的数列.它们中任意相邻两数一个模3余1，一个模3余2，因此，需要删去的8个数应该为4组相邻的数.
第三步，利用捆绑思想，从27个数中删去4组相邻的数等价于从23个数中删去4个数.有三种情况：
①两端均删去，这种情况不满足要求.因为若两端均删去，那么1和40必定被删去，在下一步加出来时也最多加回1或40中的一个，而1和40必定在数列中，因此不满足.
②两端均不删去，从中间21个数中选4个数删去，有种，再从删去的8个数中拿一个加回原来的19个数中，由种，共有种.
③两端中有一个被删去，其余3个数从中间21个数里选，有种，此时加回来的数必定是删去的两端之一中的1或40，有1种选法，共种.
第四步，删去的四组相邻数中有一组中有一个数被加回来，即未被删去，被删去的是这一组中的另一个数，而对于删去的数，假设为，它旁边两个数分别为，即排列为，在第三步捆绑时，可能捆绑的组合为，然后删去，再补回；或者为，然后删去，再补回，这两种删去方式结果相同.
综上，共有种.
故答案为：18；25270
【点睛】关键点点睛：对于排列组合与初等数论结合的题目，通过列举出一些符合题意的数列，找出一定的规律，再利用排列组合的思想进行求解.
17．(1)
(2)
【分析】（1）依题意第二横排或第二竖排的其它个数字之和必然为，将剩下的数字分为个组合，按照分步乘法计数原理计算可得；
（2）先排的左边与上边，再排的右边与下边，最后将剩下的数字全排列.
【详解】（1）要使第二横排和第二竖排的个数字之和均为，
则第二横排或第二竖排的其它个数字之和必然为，
则要从和，和，和，和这四个组合中选出两个组合填写，
首先选一个组合填到第二横排的两个空中，再选一个组合填到第二竖排的两个空中，最后将其余四个数全排列，
故有种填法.
（2）先从、、、这四个数字中选个数字分别排到的左边和上边，有种；
再从、、、这四个数字中选个数字分别排到的右边和下边，有种；
最后将其余四个数字排到剩下的四个位置，有种；
按照分步乘法原理可得，一共有种填法.
18．(1)120种；
(2)36种.
【分析】（1）利用分类加法计数原理，结合平均分组问题列式计算.
（2）按相邻问题及有位置限制问题，利用分步乘法计数原理列式计算即得.
【详解】（1）两组都是3女2男的情况有（种）：
一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有（种），
所以总情况数为（种），故一共有120种不同的分组方案.
（2）视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有种，
再排余下两个及丙，有种，而丁和戊的排列有种，
所以不同排列方式的种数是.
19．(1)
(2)20
【分析】（1）根据古典概型的求法，求出基本事件空间，及A事件的基本事件数即可得解；
（2）根据古典概型求出概率建立不等式求解，可得的最小值.
【详解】（1）样本空间包含的基本事件总数为，事件包含的基本事件总数为，
所以．
（2）因为样本空间包含的基本事件总数为，事件包含的基本事件总数为，
所以，故，即，
而当时，，
所以的最小值为20．
20．（1） ；（2）；（3）
【分析】（1）利用分步乘法计数原理进行求解；（2）利用倍缩法进行求解；（3）转化为9个相同的球放入三个盒子，每个盒子中至少有一个球，使用隔板法进行求解.
【详解】（1）每个球均有三种选择，共种选择；
（2）先将9个小球进行全排列，共有种选择，
由于5个红球，2个黑球和2个白球，除了颜色以外，小球完全相同，
故会有种重复情况，所以共有种不同的图案；
（3）可以看作将9个相同的球放入三个盒子，每个盒子中至少有一个球，
将9个小球排成一排，9个小球之间共有8个空，选出两个空插入隔板，故共种．
21．(1)
(2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱
(3)方差克，平均数克，预估平均质量为克
【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案；
（2）利用分层抽样的定义进行求解；
（3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量.
【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，
样本空间的样本点的个数，
A事件的样本点的公式，
所以；
（2）因为一级果箱数：二级果箱数，
所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱；
（3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为，
总体样本平均质量为，方差为，
因为，，，，
所以克，
克．
预估平均质量为克．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，则满足条件的关灯方案有（ ）种.
A．8 B．10 C．12 D．14
3．从这5个数字中任取2个偶数和1个奇数，组成一个三位数，则不同的三位数的个数为（ ）
A．16 B．24 C．28 D．36
4．“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5200的偶数个数是（ ）
A．87 B．129 C．132 D．138
5．从这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则共有（ ）种不同的涂色方法.
A．108 B．96 C．84 D．48
7．有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ）
A．12 B．14 C．22 D．24
8．2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有（ ）
A．792种 B．1440种 C．1728种 D．1800种
二、多选题
9．从名男生和名女生中选人参加活动，规定男女生至少各有人参加，则不同的选法种数为（ ）
A． B．
C． D．
10．用数字组成无重复数字的四位数，则（ ）
A．可组成个四位数
B．可组成个是的倍数的四位数
C．可组成各位数字之和为偶数的四位数有个
D．若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第个数为
11．下列说法正确的是（ ）
A．空间有个点，其中任何点不共面，以每个点为顶点作个四面体，则一共可以作个不同的四面体
B．甲 乙 丙个人值周，从周一到周六，每人值天，但甲不值周一，乙不值周六，则可以排出48种不同的值周表
C．从这个数字中选出个不同的数字组成五位数，其中大于的共有个
D．个不同的小球放入编号为的个盒子中，恰有个空盒的放法共有种
12．平面内有两组平行线，一组有10条，另一组有7条，且这两组平行线相交，则（ ）
A．这两组平行线有70个交点 B．这两组平行线可以构成140条射线
C．这两组平行线可以构成525条线段 D．这两组平行线可以构成945个平行四边形
三、填空题
13．计算 .（用数字作答）
14．有位大学生要分配到三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有 种．（用数字作答）
15．对于定义在非空集上的函数，若对任意的，当，有，则称函数为“准单调递增函数”，若函数的定义域，值域，则在满足这样条件的所有函数中，为“准单调递增函数”的概率是 ．
16．设严格递增的整数数列，，…，满足，.设为，，…，这19个数中被3整除的项的个数，则的最大值为 ，使得取到最大值的数列的个数为 .
四、解答题
17．如图，在一个的网格中填齐1至9中的所有整数，每个格子只填一个数字，已知中心格子的数字为．
(1)求满足第二横排、第二竖排的个数字之和均为的不同的数字填写方案种数；
(2)求满足第二横排的数字从左到右依次增大，第二竖排的数字从上到下依次增大的不同的数字填写方案种数．
18．为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．
(1)高二年级一共有多少不同的分组方案？
(2)若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
19．甲、乙两队各有个队员，已知甲队的每个队员分别与乙队的每个队员各握手一次（同队的队员之间不握手），从这次握手中任意取两次．记事件：两次握手中恰好有4个队员参与；事件：两次握手中恰好有3个队员参与．
(1)当时，求事件发生的概率；
(2)若事件发生的概率，求的最小值．
20．（1）将9个互不相同的小球放入三个不同的盒子，可以出现空盒，共有多少种不同的放法？（用数字作答）
（2）9个小球中有5个红球，2个黑球和2个白球，除了颜色以外，小球完全相同．将这9个小球排成一列，能产生多少种不同的图案？（用数字作答）
（3）有9个除了颜色外完全相同的小球，9个小球中只有红、黑、白三种颜色，共有多少种可能的组合？（用数字作答）
21．水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】根据组合数性质及组合数公式计算可得.
【详解】因为，
所以，则，解得或（舍去）.
故选：B
2．B
【分析】直接利用插空法可求得答案.
【详解】把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法，所以满足条件的关灯方案有10种．
故选:B.
3．C
【分析】分两种情况，再按照分步计数原理，即可求解.
【详解】若没有取到0，则有种方法，
若取到0，则有种方法，
所以不同的三位数共有种.
故选：C
4．A
【分析】按千位数分别是5，7，8进行分类讨论即可.
【详解】若千位数字是5，则百位数字不能是1，故共有（个）；
（①一个四位数为偶数，则其个位上的数字一定是偶数；②组成的四位数要大于5200，则其千位上的数字是5，7或8）
若千位数字是7，则共有（个）；
若千位数字是8，则共有（个）．
故符合条件的四位数共有（个）．
故选：A
5．C
【分析】求所有组合个数，列举和为质数的情况，古典概型求概率.
【详解】这九个数字中任取两个，有种取法，
和为质数有，共14种情况，
因此所求概率为.
故选：C.
6．A
【分析】分类考虑，选2种颜色，或选3种颜色，或选4种颜色涂色，计算出各种情况的涂色方法，根据分类加法原理，即可求得答案.
【详解】若选2种颜色，则①③同色，②④同色，共有种涂色方法；
若选3种颜色，则①③或者②④或者①④中必有两块区域同色，另两块区域不同色，共有种涂色方法；
若选4种颜色，共有种涂色方法；
故共有（种）涂色方法，
故选：A
7．B
【分析】按工厂接收的女生人数分两类，求出每类情况数，相加后得到答案.
【详解】按工厂接收的女生人数分类，
第一类：工厂仅接收1名女生，从2名女生中选1人，有种选择，
再把剩余的3人分为两组，和两工厂进行全排列，有种选择，
故有种分配方法；
第二类：工厂接收2名女生，则剩余的两个男生和两个工厂进行全排列，
有种分配方法．
综上，不同的分配方法有种．
故选：
8．B
【分析】分类讨论甲是否安排在初一或初二两种情况，结合平均分组分配法分别考虑两种情况的安排种数，从而利用分类加法计数原理即可得解.
【详解】当甲安排在初一或初二时，再安排一人在初二或初一，则有种排法，
再利用平均分组分配法将初三到初八分配给剩下的3人，有种排法，
所以一共有种排法；
当甲不安排在初一或初二时，安排两人在初一或初二，有种排法，
不考虑甲两天不能连排的情况，有种排法，
其中甲两天连排的排法有种，故初三到初八的值班安排有种排法，
所以一共有种排法；
综上可知共有种不同排法.
故选：B.
9．AD
【分析】直接法：先分成男生女生、男生女生、男生女生三类情况分别计算再相加求和即可；间接法：先求出所有可能选法，再减去不合题意的情况即可.
【详解】直接法：
人中有男生女生有：种选法，人中有男生女生有：种选法，
人中有男生女生有：种选法，所以名男生和名女生中选人参加活动，
规定男女生至少各有人参加，则不同的选法种数为，A正确；
间接法：
从名男生和名女生中选人参加活动共有：种选法，
其中不合题意的有：全是男生有种选法，全是女生有：种选法，
所以名男生和名女生中选人参加活动，规定男女生至少各有人参加，
则不同的选法种数为，D正确.
故选：AD
10．BCD
【分析】结合千位数字不能为，利用分步乘法计数原理列出式子可判断选项A；根据的倍数的数字特点分类讨论可判断选项B；先把各位数字之和为偶数的数字组合列举出来，再根据计数原理列出式子可判断选项C；对四位数的千位和百位进行讨论可判断选项D.
【详解】对于选项A：先安排千位上的数字，有种；再安排百位、十位和个位上的数字，有种；
根据分步乘法计数原理可得，共组成个四位数，故选项A错误；
对于选项B：因为的倍数的四位数个位上为或，
所以分为两类：当个位是时，有种；当个位上时，有种，
∴共有种，故选项B正确；
C选项，先把各位数字之和为偶数的数字组合列举出来，有，，，，，，，，；
再将每个组合中的四个数字排列组成一个四位数共种，故选项C正确；
对于选项D选：因为千位为的四位数有个；
千位为，百位为的四位数有个；
千位为，百位为的四位数有个；
共；
而千位为，百位为的四位数从小到大排列有：，，，
所以第个数为，故选项D正确.
故选：BCD.
11．ACD
【分析】直接利用组合数计算，判定A；对甲的值周按照是否在星期六分类，利用组合结合分步乘法计数原理计算，从而判定B；按照首位分类，利用排列数计算可以判定C；利用先分组后排列的方法，结合乘法原理和排列组合计算判定D.
【详解】对于：空间有个点，其中任何点不共面，以每个点为顶点作个四面体，可以
有种取法，即可以作个不同的四面体，A正确；
对于B：分种情况讨论：①甲排在星期六，有种排法；②甲不排在星期六，
有种排法；则值班方案种数为种，B错误；
对于C：分种情况讨论：①五位数的首位为时，有个五位数，
②五位数的首位为时，其千位数字不能为，有个五位数，
则共有个大于五位数，C正确；
对于D：分步进行：①将个小球分为组，有种分组方法，②在个盒子中
任选个，放入三组小球，有种情况，则有种不同的放法，D正确；
故选：ACD.
12．ACD
【分析】根据给定条件，利用两个计数原理，结合组合应用问题逐项分析计算得解.
【详解】对于A，两组平行线相交有个交点，A正确；
对于B，一个交点可以引出4条射线，则可以构成条射线，B错误；
对于C，10条平行线中的每一条有条线段，7条平行线中的每一条有条线段，
则可以构成条线段，C正确；
对于D，10条平行线中的每2条平行线与7条平行线中的每2条平行线可以构成一个平行四边形，
则可以构成个平行四边形，D正确.
故选：ACD
13．/
【分析】根据排列数 组合数公式展开计算，即可得出答案.
【详解】由题.
故答案为：.
14．
【分析】根据特殊元素进行分类计数，具体分类下是不相同元素分配问题，先分堆再配送，注意平均分堆的要除以顺序.
【详解】根据特殊元素“甲同学”分类讨论，
当单位只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；
当单位不只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；
合计有种不同分配方案，
故答案为：.
15．
【分析】首先根据值域个数，将定义域中的元素进行分组，求解所有的函数个数，再利用隔板法求函数为增函数的个数，再根据古典概型概率公式，即可求解.
【详解】若函数的值域为，则有1个函数，所以值域为单元素的函数有3个，
若值域为，将定义域中的元素分组为3,3，则有个函数，
将定义域中的元素分组为2,4，则有个函数，
将定义域中的元素分组为1,5，则有个函数，
则共有个函数，所以值域为双元素的函数共有个函数；
若值域为，将定义域中的元素分组为1,2,3，则有个函数，
将定义域中的元素分组为2,2,2，则有个函数，
将定义域中的元素分组为1,1,4，则有个函数，
则共有个函数，
综上可知，共有个函数，
其中，若函数为增函数，当值域为单元素集合，有3个函数，满足条件，
当值域有2个元素，将元素1,2,3,4,5,6中间隔1块板，有5种方法，则有个函数，
若值域有3个元素，则将元素1,2,3,4,5,6中间隔2块板，有种方法，即有10个函数，
综上可知，为增函数的函数有个函数，
所以为增函数的概率.
故答案为：
16． 18 25270
【分析】
第一个空，为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，通过枚举法分析即可得到结果；第二个空，满足要求的数列必须为相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，而1-40中有27个数满足要求，再利用捆绑思想和特殊位置讨论即可得到结果.
【详解】第一个空，设某个数除以余数为，则称该数模余(，均为整数，且)，
为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，这样它们之和才会被3整除.
而，均为模3余1，则不可能有19组上述组别，最多出现18组上述组别，
例如严格递增数列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40，满足题意，
所以的最大值为18.
第二个空，因为1-40这40个数中，共有27个数符合模3余1或模3余2，则要从这27个数中选出满足要求的20个数.
第一步，在到这20个数中删去一个数（后面再加回来），使得剩下的19个数满足任意两个相邻数一个模3余1，一个模3余2，这样就形成了18组，即使得的最大值为18.
第二步，将这27个数从小到大排列，需要删去8个数得到目标19个数的数列.它们中任意相邻两数一个模3余1，一个模3余2，因此，需要删去的8个数应该为4组相邻的数.
第三步，利用捆绑思想，从27个数中删去4组相邻的数等价于从23个数中删去4个数.有三种情况：
①两端均删去，这种情况不满足要求.因为若两端均删去，那么1和40必定被删去，在下一步加出来时也最多加回1或40中的一个，而1和40必定在数列中，因此不满足.
②两端均不删去，从中间21个数中选4个数删去，有种，再从删去的8个数中拿一个加回原来的19个数中，由种，共有种.
③两端中有一个被删去，其余3个数从中间21个数里选，有种，此时加回来的数必定是删去的两端之一中的1或40，有1种选法，共种.
第四步，删去的四组相邻数中有一组中有一个数被加回来，即未被删去，被删去的是这一组中的另一个数，而对于删去的数，假设为，它旁边两个数分别为，即排列为，在第三步捆绑时，可能捆绑的组合为，然后删去，再补回；或者为，然后删去，再补回，这两种删去方式结果相同.
综上，共有种.
故答案为：18；25270
【点睛】关键点点睛：对于排列组合与初等数论结合的题目，通过列举出一些符合题意的数列，找出一定的规律，再利用排列组合的思想进行求解.
17．(1)
(2)
【分析】（1）依题意第二横排或第二竖排的其它个数字之和必然为，将剩下的数字分为个组合，按照分步乘法计数原理计算可得；
（2）先排的左边与上边，再排的右边与下边，最后将剩下的数字全排列.
【详解】（1）要使第二横排和第二竖排的个数字之和均为，
则第二横排或第二竖排的其它个数字之和必然为，
则要从和，和，和，和这四个组合中选出两个组合填写，
首先选一个组合填到第二横排的两个空中，再选一个组合填到第二竖排的两个空中，最后将其余四个数全排列，
故有种填法.
（2）先从、、、这四个数字中选个数字分别排到的左边和上边，有种；
再从、、、这四个数字中选个数字分别排到的右边和下边，有种；
最后将其余四个数字排到剩下的四个位置，有种；
按照分步乘法原理可得，一共有种填法.
18．(1)120种；
(2)36种.
【分析】（1）利用分类加法计数原理，结合平均分组问题列式计算.
（2）按相邻问题及有位置限制问题，利用分步乘法计数原理列式计算即得.
【详解】（1）两组都是3女2男的情况有（种）：
一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有（种），
所以总情况数为（种），故一共有120种不同的分组方案.
（2）视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有种，
再排余下两个及丙，有种，而丁和戊的排列有种，
所以不同排列方式的种数是.
19．(1)
(2)20
【分析】（1）根据古典概型的求法，求出基本事件空间，及A事件的基本事件数即可得解；
（2）根据古典概型求出概率建立不等式求解，可得的最小值.
【详解】（1）样本空间包含的基本事件总数为，事件包含的基本事件总数为，
所以．
（2）因为样本空间包含的基本事件总数为，事件包含的基本事件总数为，
所以，故，即，
而当时，，
所以的最小值为20．
20．（1） ；（2）；（3）
【分析】（1）利用分步乘法计数原理进行求解；（2）利用倍缩法进行求解；（3）转化为9个相同的球放入三个盒子，每个盒子中至少有一个球，使用隔板法进行求解.
【详解】（1）每个球均有三种选择，共种选择；
（2）先将9个小球进行全排列，共有种选择，
由于5个红球，2个黑球和2个白球，除了颜色以外，小球完全相同，
故会有种重复情况，所以共有种不同的图案；
（3）可以看作将9个相同的球放入三个盒子，每个盒子中至少有一个球，
将9个小球排成一排，9个小球之间共有8个空，选出两个空插入隔板，故共种．
21．(1)
(2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱
(3)方差克，平均数克，预估平均质量为克
【分析】（1）利用组合知识和超几何分布求概率公式求出答案；
（2）利用分层抽样的定义进行求解；
（3）根据公式计算出总体样本平均质量和方差，并预估平均质量.
【详解】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，
样本空间的样本点的个数，
A事件的样本点的公式，
所以；
（2）因为一级果箱数：二级果箱数，
所以8箱水果中有一级果抽取箱，二级果抽取箱；
（3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为，
总体样本平均质量为，方差为，
因为，，，，
所以克，
克．
预估平均质量为克．
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