8.2离散型随机变量及其分布列 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册
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| 名称 | 8.2离散型随机变量及其分布列 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 717.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-16 19:31:28 | ||
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文档简介
8.2 离散型随机变量及其分布列 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量X的方差（ ）
A．120 B．160 C．200 D．260
2．甲、乙两队进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），假设每局比赛甲队胜乙队的概率均为p，没有平局，且各局比赛相互独立，则甲队以获胜的概率可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A． B． C． D．
5．设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（ ）
X 0 1 2 3
P a b
A． B． C． D．
6．已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
7．随机变量服从二项分布：，则它的期望（ ）
A．0.5 B．2.5 C．5 D．10
8．在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则表示的可能结果为（ ）
A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局
10．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A． B．
C．的期望 D．的方差
11．下列说法中正确的是（ ）
A．一组数据的第60百分位数为14
B．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70
C．若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3
D．随机变量服从二项分布，若方差，则
12．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
A．恰有3个白球的概率为
B．取出的最大号码X服从超几何分布
C．设取出的黑球个数为Y，当时，概率最大
D．若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为
三、填空题
13．随机变量，当取最大值时， ．
14．袋中有个红球，个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，则 ．
15．小明同学进行射箭训练，每次射击是否中靶相互独立，根据以往训练情况可知小明射击一次中靶的概率为，则小明射击3次恰好有2次中靶的概率为 ．
16．设随机变量服从二项分布 ，且 ，则 .
四、解答题
17．某校高三年级进行班级数学文化知识竞赛，每班选三人组成代表队，其中1班和2班进入最终的决赛．决赛第一轮要求两个班级的代表队队员每人回答一道必答题，答对则为本班得1分，答错或不答都得0分．已知1班的三名队员答对的概率分别为、、，班的三名队员答对的概率都是，每名队员回答正确与否相互之间没有影响．用、分别表示1班和2班的总得分．
(1)求随机变量、的数学期望；
(2)若，求2班比1班得分高的概率．
18．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，27，27.现采用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取8人，进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人
(2)若抽出的8人中有5人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这8人中随机抽取3人做进一步的身体检查，用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望.
19．某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
元件数（件） 12 18 36 30 4
(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立.
（i）若，证明：；
（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）
20．秋空晴澈，微风送爽，绿茵场上，喧腾鼎沸.为吸引同学们积极参与运动，鼓励同学们持之以恒地参与锻炼，养成良好的习惯， 2023年11月我校举办了第十四届田径运动会.来自高三的某学生为了在此次运动会中取得优秀成绩，决定每天在跳远，800m跑和三级蛙跳中选择一个项目训练.第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练.
(1)若该学生进行了3天的训练，求第三天训练的是“三级蛙跳”的概率；
(2)设该学生在赛前最后6天训练中选择“跳远”的天数为，求的分布列及数学期望.
21．某县电视台决定于2023年国庆前夕举办“弘扬核心价值观，激情唱响中国梦”全县歌手大奖赛，比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分，各位选手的演唱部分成绩频率分布直方图（1）如下：已知某工厂的6名参赛人员的演唱成绩得分（满分10分）如茎叶图（2）（茎上的数字为整数部分，叶上的数字为小数部分）．
(1)根据频率分布直方分布图和茎叶图评估某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平？（计算数据精确到小数点后三位数）
(2)已知初赛9.0分以上的选手才有资格参加决赛，问答题部分为5组题，选手对其依次回答．累计答对3题或答错3题即结束比赛，答对3题者直接获奖，已知该工厂参赛人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率，且各题对错互不影响，设甲答题的个数为，求的分布列及的数学期望．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据概率和为，求得，再根据分布列求，再求即可.
【详解】由题可知：，解得，则；
故.
故选：C.
2．C
【分析】根据甲队以获胜,得出4局比赛的胜负情况，求出概率即可.
【详解】甲队以获胜,则两队共比赛了4局，且第4局一定是甲获胜，前3局里甲获胜了2局，故概率为，即.
故选：C.
3．A
【分析】利用两点分布，结合已知条件求出，，再根据方差公式求解即可.
【详解】因为随机变量服从两点分布，所以，
又，所以解得，，
所以，，
故选：A
4．D
【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解.
【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，
所以
.
故选：D．
5．B
【分析】根据概率之和为1和期望值得到方程组，求出，得到答案.
【详解】由题意得，，
解得，
故.
故选：B
6．A
【分析】利用二项分布的方差公式计算.
【详解】随机变量，则.
故选：A
7．C
【分析】利用二项分布的期望公式直接计算即可得解.
【详解】因为随机变量服从二项分布：，
则它的期望.
故选：C.
8．A
【分析】根据题意可先求出摸球一次中奖的概率，再由二项分布可得结果.
【详解】依题意设摸球一次中奖的概率为，则，
所以摸球三次仅中奖一次的概率为.
故选：A.
9．BC
【分析】根据可得答案.
【详解】由已知得
故表示的可能结果为甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.
故选：BC.
10．ABCD
【分析】求出一次摸到黑球的概率，根据题意可得随机变量服从二项分布，再根据二项分布列及期望公式、方差公式求解即可.
【详解】从袋子中有放回的取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，
又每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，故4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数，
又每次摸到黑球的概率为，因为是有放回地取4次球，所以，故A正确；
，故B正确；
根据二项分布期望公式得，故C正确；
根据二项分布方差公式得，故D正确.
故选：ABCD
【点睛】结论点睛：随机变量X服从二项分布，记作X～，，且有，.
11．BC
【分析】由百分位数求解判断A，由分层抽样判断B，由平均值性质判断C，由二项分布性质判断D.
【详解】对A，，故第60百分位数为第6和第7位数的均值，故A错误；
对B，由题抽取的高中生抽取的人数为，故B正确；
对C， 设数据的平均数为，
由平均值性质可知：样本数据的平均数为，
解得，故C正确；
对D，由题意可知，解得或，
则或，故D错误.
故选：BC
12．ACD
【分析】利用古典概型可判定A、D，利用超几何分布的定义及概率公式可判定B、C.
【详解】对于A，由题意可知恰有3个白球的概率为，故A正确；
对于D，若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大为取出4个白球，
其概率为，故D正确；
对于B，因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象，不满足超几何分布的定义，
故X不服从超几何分布，故B错误，
对于C，取出的黑球个数Y服从超几何分布，
易知
，显然当时，概率最大，故C正确；
故选：ACD
13．13或14
【分析】根据所给的随机变量，写出变量所对应的概率，根据题意列出不等式即可.
【详解】 随机变量，，
依题意有
即
解得，故或14．
故答案为：13或14.
14．
【分析】记取出的两个球都是红球为事件，则，即可求出，从而得到的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可求出数学期望.
【详解】依题意、为非负整数，记取出的两个球都是红球为事件，则，
所以，解得或（舍去），
所以的可能取值为、、，
则，，，
所以.
故答案为：
15．
【分析】本题考查n次独立重复试验概率的求解,直接利用n次独立重复试验概率公式运算求解即可.
【详解】由题可知小明同学射击3次恰好有2次中靶的概率为.
故答案为：.
16．/
【分析】根据题意，结合二项分布的期望和方差的计算公式，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，随机变量服从二项分布，且，
可得，可得，解得.
故答案为：.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）依题意可得的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可求出数学期望，又，根据二项分布的期望公式计算可得；
（2）结合（1）中结论，利用条件概率的概率公式计算可得.
【详解】（1）依题意可得的可能取值为、、、，
所以，
，
，
，
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3
所以．
又班的总得分满足，则．
（2）设“”为事件，“班比班得分高”为事件，
则
，
，
所以，
所以班比班得分高的概率为．
18．(1)甲2人，乙3人，丙3人
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据甲乙丙三个部分的人数之比，即可根据比例进行计算；
（2）根据超几何分布的概率求解，即可求得分布列，进而可求期望.
【详解】（1）由已知甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，
由于采用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取8人，
因此甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 .
（2）的可能取值为0，1，2，3
，，，
，
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以.
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）不可信.
【分析】（1）由条件概率的公式进行求解即可；
（2）（i）由求出，再结合切比雪夫不等式即可证明；（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，，由切比雪夫不等式判断出，进而可得出结论.
【详解】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到两个合格品，
（2）（i）由题：若，则
又
所以或
由切比雪夫不等式可知，
所以；
（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，
假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，
所以，
由切比雪夫不等式知，，
即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.
20．(1)
(2)分布列见详解，
【分析】（1）根据乘法原理，结合古典概型计算求解即可；
（2）由题知的可能取值为，再依次求对应的概率，列分布列，求期望即可．
【详解】（1）当第一天训练的是“三级蛙跳”且第三天也是训练“三级蛙跳”为事件；
当第一天训练的不是“三级蛙跳”且第三天是训练“三级蛙跳”为事件；
由题知，三天的训练过程中，总共的可能情况为种，
所以， ，，
所以，第三天训练的是“三级蛙跳”的概率．
（2）由题知，的可能取值为，
所以，考前最后6天训练中，所有可能的结果有种，
所以，当时，第一天有两种选择，之后每天都有1种选择，
故；
当时，
第一天选择“跳远”，则第二天有2种选择，之后每天只有1种选择，共2种选择；
第二天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第三天2种，后每天只有1种选择，共4种选择；
第三天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天有1种选择，第三天1种，第四天有2种选择，之后每天只有1种选择，共4种选择；
第四天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第六天有1种，第五天有2种选择，共4种选择；
第五天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天有1种，第六天有2种选择，共4种选择；
第六天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天，第六天都有1种选择，共2种选择；
综上，当时，共有种选择，
所以，；
当时，
第一天，第三天，第五天，选择“跳远”，有种选择；
第一天，第三天，第六天，选择“跳远”，有种选择
第一天，第四天，第六天，选择“跳远”，有种选择；
第二天，第四天，第六天，选择“跳远”，有种选择；
所以，当时，共有种选择，
所以，；
所以，当，
所以，的分布列为：
0 1 2 3
所以，．
21．(1)高于
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为求出，再分别根据频率分布直方图和茎叶图求平均数，比较即可；
（2）先利用古典概型的概率公式求出甲答对每道题的概率，再利用二项分布求出所有可能取值的概率，得到分布列，根据分布列求数学期望即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为得，解得，
所以全部参赛人员的整体水平为，
根据茎叶图可知某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平为，
所以某工厂的参赛6名人员的演唱水平高于全部参赛人员的平均水平．
（2）从这6位抽取2位的基本事件总数为，分差大于0.5的基本事件为除数据，外的9个基本事件，
故概率为
依题意的取值为3，4，5，则；
；
,
所以的分布列为
3 4 5
所以．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量X的方差（ ）
A．120 B．160 C．200 D．260
2．甲、乙两队进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），假设每局比赛甲队胜乙队的概率均为p，没有平局，且各局比赛相互独立，则甲队以获胜的概率可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A． B． C． D．
5．设随机变量X的概率分布如表所示，且，则等于（ ）
X 0 1 2 3
P a b
A． B． C． D．
6．已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
7．随机变量服从二项分布：，则它的期望（ ）
A．0.5 B．2.5 C．5 D．10
8．在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则表示的可能结果为（ ）
A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局
10．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A． B．
C．的期望 D．的方差
11．下列说法中正确的是（ ）
A．一组数据的第60百分位数为14
B．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70
C．若样本数据的平均数为10，则数据的平均数为3
D．随机变量服从二项分布，若方差，则
12．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
A．恰有3个白球的概率为
B．取出的最大号码X服从超几何分布
C．设取出的黑球个数为Y，当时，概率最大
D．若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为
三、填空题
13．随机变量，当取最大值时， ．
14．袋中有个红球，个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，则 ．
15．小明同学进行射箭训练，每次射击是否中靶相互独立，根据以往训练情况可知小明射击一次中靶的概率为，则小明射击3次恰好有2次中靶的概率为 ．
16．设随机变量服从二项分布 ，且 ，则 .
四、解答题
17．某校高三年级进行班级数学文化知识竞赛，每班选三人组成代表队，其中1班和2班进入最终的决赛．决赛第一轮要求两个班级的代表队队员每人回答一道必答题，答对则为本班得1分，答错或不答都得0分．已知1班的三名队员答对的概率分别为、、，班的三名队员答对的概率都是，每名队员回答正确与否相互之间没有影响．用、分别表示1班和2班的总得分．
(1)求随机变量、的数学期望；
(2)若，求2班比1班得分高的概率．
18．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，27，27.现采用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取8人，进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人
(2)若抽出的8人中有5人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这8人中随机抽取3人做进一步的身体检查，用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望.
19．某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
元件数（件） 12 18 36 30 4
(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立.
（i）若，证明：；
（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）
20．秋空晴澈，微风送爽，绿茵场上，喧腾鼎沸.为吸引同学们积极参与运动，鼓励同学们持之以恒地参与锻炼，养成良好的习惯， 2023年11月我校举办了第十四届田径运动会.来自高三的某学生为了在此次运动会中取得优秀成绩，决定每天在跳远，800m跑和三级蛙跳中选择一个项目训练.第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练.
(1)若该学生进行了3天的训练，求第三天训练的是“三级蛙跳”的概率；
(2)设该学生在赛前最后6天训练中选择“跳远”的天数为，求的分布列及数学期望.
21．某县电视台决定于2023年国庆前夕举办“弘扬核心价值观，激情唱响中国梦”全县歌手大奖赛，比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分，各位选手的演唱部分成绩频率分布直方图（1）如下：已知某工厂的6名参赛人员的演唱成绩得分（满分10分）如茎叶图（2）（茎上的数字为整数部分，叶上的数字为小数部分）．
(1)根据频率分布直方分布图和茎叶图评估某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平？（计算数据精确到小数点后三位数）
(2)已知初赛9.0分以上的选手才有资格参加决赛，问答题部分为5组题，选手对其依次回答．累计答对3题或答错3题即结束比赛，答对3题者直接获奖，已知该工厂参赛人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率，且各题对错互不影响，设甲答题的个数为，求的分布列及的数学期望．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据概率和为，求得，再根据分布列求，再求即可.
【详解】由题可知：，解得，则；
故.
故选：C.
2．C
【分析】根据甲队以获胜,得出4局比赛的胜负情况，求出概率即可.
【详解】甲队以获胜,则两队共比赛了4局，且第4局一定是甲获胜，前3局里甲获胜了2局，故概率为，即.
故选：C.
3．A
【分析】利用两点分布，结合已知条件求出，，再根据方差公式求解即可.
【详解】因为随机变量服从两点分布，所以，
又，所以解得，，
所以，，
故选：A
4．D
【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解.
【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，
所以
.
故选：D．
5．B
【分析】根据概率之和为1和期望值得到方程组，求出，得到答案.
【详解】由题意得，，
解得，
故.
故选：B
6．A
【分析】利用二项分布的方差公式计算.
【详解】随机变量，则.
故选：A
7．C
【分析】利用二项分布的期望公式直接计算即可得解.
【详解】因为随机变量服从二项分布：，
则它的期望.
故选：C.
8．A
【分析】根据题意可先求出摸球一次中奖的概率，再由二项分布可得结果.
【详解】依题意设摸球一次中奖的概率为，则，
所以摸球三次仅中奖一次的概率为.
故选：A.
9．BC
【分析】根据可得答案.
【详解】由已知得
故表示的可能结果为甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.
故选：BC.
10．ABCD
【分析】求出一次摸到黑球的概率，根据题意可得随机变量服从二项分布，再根据二项分布列及期望公式、方差公式求解即可.
【详解】从袋子中有放回的取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，
又每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，故4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数，
又每次摸到黑球的概率为，因为是有放回地取4次球，所以，故A正确；
，故B正确；
根据二项分布期望公式得，故C正确；
根据二项分布方差公式得，故D正确.
故选：ABCD
【点睛】结论点睛：随机变量X服从二项分布，记作X～，，且有，.
11．BC
【分析】由百分位数求解判断A，由分层抽样判断B，由平均值性质判断C，由二项分布性质判断D.
【详解】对A，，故第60百分位数为第6和第7位数的均值，故A错误；
对B，由题抽取的高中生抽取的人数为，故B正确；
对C， 设数据的平均数为，
由平均值性质可知：样本数据的平均数为，
解得，故C正确；
对D，由题意可知，解得或，
则或，故D错误.
故选：BC
12．ACD
【分析】利用古典概型可判定A、D，利用超几何分布的定义及概率公式可判定B、C.
【详解】对于A，由题意可知恰有3个白球的概率为，故A正确；
对于D，若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大为取出4个白球，
其概率为，故D正确；
对于B，因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象，不满足超几何分布的定义，
故X不服从超几何分布，故B错误，
对于C，取出的黑球个数Y服从超几何分布，
易知
，显然当时，概率最大，故C正确；
故选：ACD
13．13或14
【分析】根据所给的随机变量，写出变量所对应的概率，根据题意列出不等式即可.
【详解】 随机变量，，
依题意有
即
解得，故或14．
故答案为：13或14.
14．
【分析】记取出的两个球都是红球为事件，则，即可求出，从而得到的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可求出数学期望.
【详解】依题意、为非负整数，记取出的两个球都是红球为事件，则，
所以，解得或（舍去），
所以的可能取值为、、，
则，，，
所以.
故答案为：
15．
【分析】本题考查n次独立重复试验概率的求解,直接利用n次独立重复试验概率公式运算求解即可.
【详解】由题可知小明同学射击3次恰好有2次中靶的概率为.
故答案为：.
16．/
【分析】根据题意，结合二项分布的期望和方差的计算公式，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，随机变量服从二项分布，且，
可得，可得，解得.
故答案为：.
17．(1)，
(2)
【分析】（1）依题意可得的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可求出数学期望，又，根据二项分布的期望公式计算可得；
（2）结合（1）中结论，利用条件概率的概率公式计算可得.
【详解】（1）依题意可得的可能取值为、、、，
所以，
，
，
，
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3
所以．
又班的总得分满足，则．
（2）设“”为事件，“班比班得分高”为事件，
则
，
，
所以，
所以班比班得分高的概率为．
18．(1)甲2人，乙3人，丙3人
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据甲乙丙三个部分的人数之比，即可根据比例进行计算；
（2）根据超几何分布的概率求解，即可求得分布列，进而可求期望.
【详解】（1）由已知甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，
由于采用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取8人，
因此甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 .
（2）的可能取值为0，1，2，3
，，，
，
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以.
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）不可信.
【分析】（1）由条件概率的公式进行求解即可；
（2）（i）由求出，再结合切比雪夫不等式即可证明；（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，，由切比雪夫不等式判断出，进而可得出结论.
【详解】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到两个合格品，
（2）（i）由题：若，则
又
所以或
由切比雪夫不等式可知，
所以；
（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，
假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，
所以，
由切比雪夫不等式知，，
即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.
20．(1)
(2)分布列见详解，
【分析】（1）根据乘法原理，结合古典概型计算求解即可；
（2）由题知的可能取值为，再依次求对应的概率，列分布列，求期望即可．
【详解】（1）当第一天训练的是“三级蛙跳”且第三天也是训练“三级蛙跳”为事件；
当第一天训练的不是“三级蛙跳”且第三天是训练“三级蛙跳”为事件；
由题知，三天的训练过程中，总共的可能情况为种，
所以， ，，
所以，第三天训练的是“三级蛙跳”的概率．
（2）由题知，的可能取值为，
所以，考前最后6天训练中，所有可能的结果有种，
所以，当时，第一天有两种选择，之后每天都有1种选择，
故；
当时，
第一天选择“跳远”，则第二天有2种选择，之后每天只有1种选择，共2种选择；
第二天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第三天2种，后每天只有1种选择，共4种选择；
第三天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天有1种选择，第三天1种，第四天有2种选择，之后每天只有1种选择，共4种选择；
第四天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第六天有1种，第五天有2种选择，共4种选择；
第五天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天有1种，第六天有2种选择，共4种选择；
第六天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天，第六天都有1种选择，共2种选择；
综上，当时，共有种选择，
所以，；
当时，
第一天，第三天，第五天，选择“跳远”，有种选择；
第一天，第三天，第六天，选择“跳远”，有种选择
第一天，第四天，第六天，选择“跳远”，有种选择；
第二天，第四天，第六天，选择“跳远”，有种选择；
所以，当时，共有种选择，
所以，；
所以，当，
所以，的分布列为：
0 1 2 3
所以，．
21．(1)高于
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为求出，再分别根据频率分布直方图和茎叶图求平均数，比较即可；
（2）先利用古典概型的概率公式求出甲答对每道题的概率，再利用二项分布求出所有可能取值的概率，得到分布列，根据分布列求数学期望即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为得，解得，
所以全部参赛人员的整体水平为，
根据茎叶图可知某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平为，
所以某工厂的参赛6名人员的演唱水平高于全部参赛人员的平均水平．
（2）从这6位抽取2位的基本事件总数为，分差大于0.5的基本事件为除数据，外的9个基本事件，
故概率为
依题意的取值为3，4，5，则；
；
,
所以的分布列为
3 4 5
所以．
答案第1页，共2页
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