9.1线性回归分析 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 9.1线性回归分析 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 645.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-16 19:32:38 | ||
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文档简介
9.1 线性回归分析 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．给定两个随机变量的5组成对数据：，，，，.通过计算，得到关于的线性回归方程为，则（ ）
A．1 B．1.1 C．0.9 D．1.15
2．某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：
零件数（个） 18 20 22
加工时间（分） 27 33
现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为102分钟，则的值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
3．某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.
若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．决定系数变小 B．残差平方和变小
C．相关系数的值变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱
4．随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“618”促销活动．市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价（单位：元）和销售量（单位：百件）之间的一组数据（如表所示），用最小二乘法求得关于的线性回归方程是，预测当售价为45元时，销售量件数大约为（ ）（单位：百件）
20 25 30 35 40
5 7 8 9 11
A．12 B．12.5 C．13 D．11.75
5．开始吸烟年龄与得肺癌的相对危险度相对应的一组数据为，；每天吸烟的支数与其得肺癌的相对危险度相对应的一组数据为，．用表示变量与之间的线性相关系数，用表示变量与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：
时间 1 2 3 4 5
交易量（万套） 0.8 1.0 1.2 1.5
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ）
A．根据表中数据可知，变量与正相关
B．经验回归方程中
C．可以预测时房屋交易量约为（万套）
D．时，残差为
7．下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量、满足且，则
B．样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为
C．若事件、相互独立，则
D．若、两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强
8．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如下表：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一组测量数据为，则该数据的残差为（ ）
色差x 22 24 26 28
色度y 16 19 20 21
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知由样本数据（i=1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C．剔除该异常点后的回归直线方程经过点
D．剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小
10．已知某产品的销售额（单位：万元）与广告费用（单位：万元）之间的关系如下表
0 1 2 3 4
10 20 30 35
若根据表中的数据用最小二乘法求得对的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ）
A．产品的销售额与广告费用负相关
B．该回归直线过点
C．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元
D．的值是15
11．对具有线性相关关系的两个变量x，y进行统计时，得到数据如表所示，若通过表格数据得到的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
x 3 5 7 9
y m
A．
B．变量y与x是正相关关系
C．该回归直线必过点
D．x每增加1个单位，减少2个单位
12．下列命题正确的是（ ）
A．已知，若，则
B．若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数
C．数据的均值为4，标准差为1，则这组数据中没有大于5的数
D．数据的75百分位数为47
三、填空题
13．甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高.
14．某同学在研究变量，之间的相关关系时，得到以下数据：并采用最小二乘法得到了线性回归方程，则 0（填“>”或“<”）.
4.8 5.8 7 8.3 9.1
2.8 4.1 7.2 9.1 11.8
15．商家为了解某品牌取暖器的月销售量Y（台）与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月该品牌取暖器的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；
平均气温（） 10 7 4 1
月销售量（台） 26 37 55 82
由表中数据算出线性回归方程中的，当平均气温为时，此品牌取暖器的月销售量为 台（结果保留整数）．
16．以曲线拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 ， ．
四、解答题
17．某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化
天数x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
作物高度y/cm 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14
(1)观察散点图可知，天数与作物高度之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度关于天数的线性回归方程（其中用分数表示）；
(2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.
参考公式：.参考数据：.
18．已知某水果种植基地苹果的种植面积（单位：公顷）与其产量（单位：吨）呈线性相关关系，小王准备承包一块苹果种植地，为了解市场行情，在该基地调查了5家果农，统计得到了苹果种植面积与其产量的数据如表所示：
种植面积/公顷 1 2 3 4 5
产量/吨 20 38 64 78 100
(1)求关于的线性回归方程；
(2)若苹果的销量等于产量，且所种苹果的总利润（单位：千元）满足，苹果种植面积，请根据（1）的结果预测要使得单位面积的苹果利润最大，小王应该种植多少公顷的苹果？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
19．自媒体职业就是通过自媒体平台发布文章或者视频，赚取收益的职业．某自媒体从业人员从业10个月以来的月收益（单位：元）统计如下：
第个月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
月收益（单位：元） 400 1600 1800 2400 2000 2600 3000 3200 3400 3600
(1)若该自媒体从业人员的月收益与自媒体从业时间成正相关关系，试估计该自媒体从业人员从业第几个月开始月收益超过5000元；
(2)从这10个月的月收益不低于2400元的月份里随机抽取3个月进行话题分析，记这3个月中月收益不低于3000元的有个月，求的分布列和期望．
附：经验回归方程中，，其中为样本均值．
20．20世纪80年代初，随着我国的改革开放，经济体制和经营体制逐渐灵活，市场上的商品日益丰富，城市和农村出现小卖部．小卖部主营生活日用商品，有着经营成本小、规模小、商品种类少、分布广等特点．近几年，市场商品极大的丰富，人们的生活水平达到了新的高度，实体小卖部逐渐被应运而生的大小超市所取代．为适应市场，某小卖部经营者欲将经营规模扩大，将小卖部发展成生鲜综合超市，现将2013～2022年的年利润（单位：万元）统计如下：
年限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年利润（万元） 2 8 9 12 10 13 15 16 17 18
其中，1表示2013年，2表示2014年，3表示2015年，……，以此类推，10表示2022年．
(1)若年利润（单位：万元）与小卖部营业年限成正相关关系，在不改变经营状态的情况下，预测该小卖部2023年的年利润．（结果保留两位小数）
(2)该小卖部经营者从2013～2022年中年利润不低于12万元的年限里随机抽取3个，记这3个年限中年利润超过14万元的有个，求的分布列和期望．
附：线性回归方程中，，，其中为样本均值．
21．为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和年利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：
x 1 2 3 4 5
y 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2
(1)求y关于x的线性回归方程x；
(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）
参考公式：.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】根据回归直线必过样本中心点求解即可.
【详解】因为，，
所以，解得，
故选：A
2．C
【分析】根据题意求得，再结合线性回归方程过样本中心点运算求解.
【详解】由题意可知：，
且当时，，解得，
可知，
又因为，
可知点在上，
即，解得.
故选：C.
3．B
【分析】从图中分析得到去掉点后，回归效果更好，再由决定系数，残差平方和，相关系数和相关性的概念和性质作出判断.
【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，
故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，
相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1，
即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强，
故A、C、D错误，B正确.
故选：B.
4．D
【分析】求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，从而得到回归直线方程，再代入计算可得.
【详解】因为，，
所以回归直线过点，故，即，所以．
将代入中，得．
故选：D．
5．D
【分析】借助线性相关系数的定义判断即可得.
【详解】由与相对应的数据可得，随的增大而减小，呈负相关，故，
由与相对应的数据可得，随的增大而增大，呈正相关，故，
故.
故选：D.
6．D
【分析】首先求出、，根据回归方程必过样本中心点求出参数，从而得到回归方程，再一一判断即可.
【详解】对于B，依题意，，
所以，解得，所以，故B正确；
对于A，因为经验回归方程，，
所以变量与正相关，故A正确；
对于C，当时，，
所以可以预测时房屋交易量约为（万套），故C正确；
对于D，当时，，
所以时，残差为，故D错误.
故选：D
7．D
【分析】根据方差的性质判断A，根据百分位数计算规则判断B，根据相互独立事件及条件概率概率公式判断C，根据相关系数的概念判断D.
【详解】对于A：因为且，所以，故A正确；
对于B：因为，所以第百分位数为从小到大排列的第个数，即为，故B正确；
对于C：若事件、相互独立，则，
所以，故C正确；
对于D：若、两组成对数据的相关系数分别为、，
因为，所以组数据的相关性更强，故D错误.
故选：D
8．D
【分析】根据题意，由回归直线方程过样本中心点，即可得到，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，，，
将代入，即，解得，
所以，当时，，
所以该数据的残差为.
故选：D.
9．BC
【分析】根据给定条件，求出新样本的中心点，进而求出新回归直线的斜率，再逐项判断即得.
【详解】依题意，原样本中，，
剔除一个偏离直线较大的异常点后，新样本中，，
因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C正确；
由新的回归直线经过点，得新的回归直线斜率为，因此相关变量x，y具有负相关关系，A错误；
又，则剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变大，D错误；
由剔除的是偏离直线较大的异常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度变强，即样本相关系数的绝对值变大，B正确.
故选：BC
10．BD
【分析】对于A项，由回归方程即可之家额判断；对于B项，计算出样本中心点即可判断；对于C项，因回归方程求出的是预报值，与实际值不一定完全吻合，故可判断，对于D项，只需根据样本中心点坐标即,运用平均数公式即可求得.
【详解】对于A项，因对的线性回归方程为，其中，故产品的销售额与广告费用正相关，即A项错误；
对于B项,由表格知，代入,解得，即样本中心点坐标为，回归直线必过样本中心点，故B项正确；
对于C项，由对的线性回归方程为知，当时，代入可得，即销售额的预报值为74万元，但实际不一定是，故C项错误；
对于D项，由B项知，即，解得.故D项正确.
故选：BD.
11．ACD
【分析】首先分析题意，利用线性相关关系及线性回归方程的知识逐个分析即可.
【详解】选项A：依题意，，，
则，解得，A正确.
选项B：回归方程中，，，则变量y与x是负相关关系，B错误.
选项C；由于样本点的中心为，因此该回归直线必过点，C正确.
选项D：由回归方程知，x每增加1个单位，减少2个单位，D正确.
故选：ACD.
12．ABD
【分析】对于A：利用正态分布的对称性判断；对于B：根据相关的概念判断；对于C：举反例说明；对于D：直接求75百分位数.
【详解】对于A：已知，若，
则，A正确；
对于B：若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则变量与变量之间满足线性函数关系，则决定系数，B正确；
对于C：不妨设，
则，解得，
此时，
故找到一组数，数据中有大于5的数，C错误；
对于D：，故这组数据的75百分位数为47，D正确.
故选：ABD.
13．乙
【分析】根据相关系数的定义判断即可.
【详解】因为，所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高，
故答案为：乙.
14．
【分析】画出散点图，数形结合得到答案.
【详解】画出散点图如下：
从而可以看出中，.
故答案为：.
15．90
【分析】
先求样本中心点，根据线性回归方程过样本中心点可得，令即可得结果.
【详解】
由题意可得，，
可知点在回归方程上，其中，
即，解得，所以，
当时，．
故答案为：90.
16． 3
【分析】利用对数的运算法则结合回归方程求解即可.
【详解】因为，所以＝，
令，则，
又因为，所以，则．
故答案为：.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）根据表格数据利用公式求出即可求解.
（2）将代入回归方程求得预测值，然后根据残差定义求解即可.
【详解】（1）依题意，，
，
故，
，故所求回归直线方程为.
（2）由（1）可知，当时，，
故所求残差为.
18．(1)
(2)10
【分析】（1）根据题中数据和公式分析求解即可；
（2）根据（1）的结果整理可得，结合二次函数分析求解.
【详解】（1）由题意可得：，
，
，
则，
所以关于的线性回归方程为.
（2）由题意可知：单位面积的苹果利润为，
因为，
可知当，即时，单位面积的苹果利润取到最大值181千元/公顷，
所以小王应该种植10公顷的苹果.
19．(1)第14个月
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据最小二乘法即可求解回归方程，进而可由不等式求解，
（2）根据超几何的概率公式求解分布列，即可由期望公式求解期望.
【详解】（1），
，
，
，
经验回归方程为．
令，解得，
估计该自媒体从业人员从业第14个月开始月收益超过5000元．
（2）在这10个月中，月收益不低于2400元的有6个月，月收益不低于3000元的有4个月，
的所有可能取值为，
，
的分布列为
1 2 3
．
20．(1)20.47万元
(2)分布列见解析，期望为2
【分析】（1）根据条件，求出利润与年份的线性回归方程，即可求出结果；
（2）的可能取值为1，2，3，求出每个取值对应的概率，即可求出分布列，再根据期望的计算公式，求出期望.
【详解】（1），，
，
=
，所以线性回归方程为，
所以当时，，
所以在不改变经营状态的情况下，预测该小卖部2023年的年利润为20.47万元．
（2）2013～2022年这10年中，年利润不低于12万元的有6年，年利润超过14万元的有4年，故的可能取值为1，2，3，
，
的分布列为
1 2 3
所以期望．
21．(1)
(2)预测当年产量为2.72吨时，年利润取到最大值
【分析】（1）求出，，根据最小二乘法的估计公式求出的值，即可求得线性回归方程；
（2）求出年利润z的表达式，结合二次函数知识，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，，
，，
故
，
，
所以y关于x的线性回归方程为.
（2）年利润
，
当时，年利润z最大.
故预测当年产量为2.72吨时，年利润取到最大值.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．给定两个随机变量的5组成对数据：，，，，.通过计算，得到关于的线性回归方程为，则（ ）
A．1 B．1.1 C．0.9 D．1.15
2．某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：
零件数（个） 18 20 22
加工时间（分） 27 33
现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为102分钟，则的值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
3．某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.
若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．决定系数变小 B．残差平方和变小
C．相关系数的值变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱
4．随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“618”促销活动．市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价（单位：元）和销售量（单位：百件）之间的一组数据（如表所示），用最小二乘法求得关于的线性回归方程是，预测当售价为45元时，销售量件数大约为（ ）（单位：百件）
20 25 30 35 40
5 7 8 9 11
A．12 B．12.5 C．13 D．11.75
5．开始吸烟年龄与得肺癌的相对危险度相对应的一组数据为，；每天吸烟的支数与其得肺癌的相对危险度相对应的一组数据为，．用表示变量与之间的线性相关系数，用表示变量与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：
时间 1 2 3 4 5
交易量（万套） 0.8 1.0 1.2 1.5
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则下列说法错误的是（ ）
A．根据表中数据可知，变量与正相关
B．经验回归方程中
C．可以预测时房屋交易量约为（万套）
D．时，残差为
7．下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量、满足且，则
B．样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为
C．若事件、相互独立，则
D．若、两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强
8．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如下表：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一组测量数据为，则该数据的残差为（ ）
色差x 22 24 26 28
色度y 16 19 20 21
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知由样本数据（i=1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C．剔除该异常点后的回归直线方程经过点
D．剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小
10．已知某产品的销售额（单位：万元）与广告费用（单位：万元）之间的关系如下表
0 1 2 3 4
10 20 30 35
若根据表中的数据用最小二乘法求得对的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ）
A．产品的销售额与广告费用负相关
B．该回归直线过点
C．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元
D．的值是15
11．对具有线性相关关系的两个变量x，y进行统计时，得到数据如表所示，若通过表格数据得到的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
x 3 5 7 9
y m
A．
B．变量y与x是正相关关系
C．该回归直线必过点
D．x每增加1个单位，减少2个单位
12．下列命题正确的是（ ）
A．已知，若，则
B．若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数
C．数据的均值为4，标准差为1，则这组数据中没有大于5的数
D．数据的75百分位数为47
三、填空题
13．甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高.
14．某同学在研究变量，之间的相关关系时，得到以下数据：并采用最小二乘法得到了线性回归方程，则 0（填“>”或“<”）.
4.8 5.8 7 8.3 9.1
2.8 4.1 7.2 9.1 11.8
15．商家为了解某品牌取暖器的月销售量Y（台）与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月该品牌取暖器的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；
平均气温（） 10 7 4 1
月销售量（台） 26 37 55 82
由表中数据算出线性回归方程中的，当平均气温为时，此品牌取暖器的月销售量为 台（结果保留整数）．
16．以曲线拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 ， ．
四、解答题
17．某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化
天数x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
作物高度y/cm 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14
(1)观察散点图可知，天数与作物高度之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度关于天数的线性回归方程（其中用分数表示）；
(2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.
参考公式：.参考数据：.
18．已知某水果种植基地苹果的种植面积（单位：公顷）与其产量（单位：吨）呈线性相关关系，小王准备承包一块苹果种植地，为了解市场行情，在该基地调查了5家果农，统计得到了苹果种植面积与其产量的数据如表所示：
种植面积/公顷 1 2 3 4 5
产量/吨 20 38 64 78 100
(1)求关于的线性回归方程；
(2)若苹果的销量等于产量，且所种苹果的总利润（单位：千元）满足，苹果种植面积，请根据（1）的结果预测要使得单位面积的苹果利润最大，小王应该种植多少公顷的苹果？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
19．自媒体职业就是通过自媒体平台发布文章或者视频，赚取收益的职业．某自媒体从业人员从业10个月以来的月收益（单位：元）统计如下：
第个月 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
月收益（单位：元） 400 1600 1800 2400 2000 2600 3000 3200 3400 3600
(1)若该自媒体从业人员的月收益与自媒体从业时间成正相关关系，试估计该自媒体从业人员从业第几个月开始月收益超过5000元；
(2)从这10个月的月收益不低于2400元的月份里随机抽取3个月进行话题分析，记这3个月中月收益不低于3000元的有个月，求的分布列和期望．
附：经验回归方程中，，其中为样本均值．
20．20世纪80年代初，随着我国的改革开放，经济体制和经营体制逐渐灵活，市场上的商品日益丰富，城市和农村出现小卖部．小卖部主营生活日用商品，有着经营成本小、规模小、商品种类少、分布广等特点．近几年，市场商品极大的丰富，人们的生活水平达到了新的高度，实体小卖部逐渐被应运而生的大小超市所取代．为适应市场，某小卖部经营者欲将经营规模扩大，将小卖部发展成生鲜综合超市，现将2013～2022年的年利润（单位：万元）统计如下：
年限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年利润（万元） 2 8 9 12 10 13 15 16 17 18
其中，1表示2013年，2表示2014年，3表示2015年，……，以此类推，10表示2022年．
(1)若年利润（单位：万元）与小卖部营业年限成正相关关系，在不改变经营状态的情况下，预测该小卖部2023年的年利润．（结果保留两位小数）
(2)该小卖部经营者从2013～2022年中年利润不低于12万元的年限里随机抽取3个，记这3个年限中年利润超过14万元的有个，求的分布列和期望．
附：线性回归方程中，，，其中为样本均值．
21．为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和年利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：
x 1 2 3 4 5
y 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2
(1)求y关于x的线性回归方程x；
(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）
参考公式：.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】根据回归直线必过样本中心点求解即可.
【详解】因为，，
所以，解得，
故选：A
2．C
【分析】根据题意求得，再结合线性回归方程过样本中心点运算求解.
【详解】由题意可知：，
且当时，，解得，
可知，
又因为，
可知点在上，
即，解得.
故选：C.
3．B
【分析】从图中分析得到去掉点后，回归效果更好，再由决定系数，残差平方和，相关系数和相关性的概念和性质作出判断.
【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，
故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，
相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1，
即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强，
故A、C、D错误，B正确.
故选：B.
4．D
【分析】求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，从而得到回归直线方程，再代入计算可得.
【详解】因为，，
所以回归直线过点，故，即，所以．
将代入中，得．
故选：D．
5．D
【分析】借助线性相关系数的定义判断即可得.
【详解】由与相对应的数据可得，随的增大而减小，呈负相关，故，
由与相对应的数据可得，随的增大而增大，呈正相关，故，
故.
故选：D.
6．D
【分析】首先求出、，根据回归方程必过样本中心点求出参数，从而得到回归方程，再一一判断即可.
【详解】对于B，依题意，，
所以，解得，所以，故B正确；
对于A，因为经验回归方程，，
所以变量与正相关，故A正确；
对于C，当时，，
所以可以预测时房屋交易量约为（万套），故C正确；
对于D，当时，，
所以时，残差为，故D错误.
故选：D
7．D
【分析】根据方差的性质判断A，根据百分位数计算规则判断B，根据相互独立事件及条件概率概率公式判断C，根据相关系数的概念判断D.
【详解】对于A：因为且，所以，故A正确；
对于B：因为，所以第百分位数为从小到大排列的第个数，即为，故B正确；
对于C：若事件、相互独立，则，
所以，故C正确；
对于D：若、两组成对数据的相关系数分别为、，
因为，所以组数据的相关性更强，故D错误.
故选：D
8．D
【分析】根据题意，由回归直线方程过样本中心点，即可得到，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，，，
将代入，即，解得，
所以，当时，，
所以该数据的残差为.
故选：D.
9．BC
【分析】根据给定条件，求出新样本的中心点，进而求出新回归直线的斜率，再逐项判断即得.
【详解】依题意，原样本中，，
剔除一个偏离直线较大的异常点后，新样本中，，
因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C正确；
由新的回归直线经过点，得新的回归直线斜率为，因此相关变量x，y具有负相关关系，A错误；
又，则剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变大，D错误；
由剔除的是偏离直线较大的异常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度变强，即样本相关系数的绝对值变大，B正确.
故选：BC
10．BD
【分析】对于A项，由回归方程即可之家额判断；对于B项，计算出样本中心点即可判断；对于C项，因回归方程求出的是预报值，与实际值不一定完全吻合，故可判断，对于D项，只需根据样本中心点坐标即,运用平均数公式即可求得.
【详解】对于A项，因对的线性回归方程为，其中，故产品的销售额与广告费用正相关，即A项错误；
对于B项,由表格知，代入,解得，即样本中心点坐标为，回归直线必过样本中心点，故B项正确；
对于C项，由对的线性回归方程为知，当时，代入可得，即销售额的预报值为74万元，但实际不一定是，故C项错误；
对于D项，由B项知，即，解得.故D项正确.
故选：BD.
11．ACD
【分析】首先分析题意，利用线性相关关系及线性回归方程的知识逐个分析即可.
【详解】选项A：依题意，，，
则，解得，A正确.
选项B：回归方程中，，，则变量y与x是负相关关系，B错误.
选项C；由于样本点的中心为，因此该回归直线必过点，C正确.
选项D：由回归方程知，x每增加1个单位，减少2个单位，D正确.
故选：ACD.
12．ABD
【分析】对于A：利用正态分布的对称性判断；对于B：根据相关的概念判断；对于C：举反例说明；对于D：直接求75百分位数.
【详解】对于A：已知，若，
则，A正确；
对于B：若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则变量与变量之间满足线性函数关系，则决定系数，B正确；
对于C：不妨设，
则，解得，
此时，
故找到一组数，数据中有大于5的数，C错误；
对于D：，故这组数据的75百分位数为47，D正确.
故选：ABD.
13．乙
【分析】根据相关系数的定义判断即可.
【详解】因为，所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高，
故答案为：乙.
14．
【分析】画出散点图，数形结合得到答案.
【详解】画出散点图如下：
从而可以看出中，.
故答案为：.
15．90
【分析】
先求样本中心点，根据线性回归方程过样本中心点可得，令即可得结果.
【详解】
由题意可得，，
可知点在回归方程上，其中，
即，解得，所以，
当时，．
故答案为：90.
16． 3
【分析】利用对数的运算法则结合回归方程求解即可.
【详解】因为，所以＝，
令，则，
又因为，所以，则．
故答案为：.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）根据表格数据利用公式求出即可求解.
（2）将代入回归方程求得预测值，然后根据残差定义求解即可.
【详解】（1）依题意，，
，
故，
，故所求回归直线方程为.
（2）由（1）可知，当时，，
故所求残差为.
18．(1)
(2)10
【分析】（1）根据题中数据和公式分析求解即可；
（2）根据（1）的结果整理可得，结合二次函数分析求解.
【详解】（1）由题意可得：，
，
，
则，
所以关于的线性回归方程为.
（2）由题意可知：单位面积的苹果利润为，
因为，
可知当，即时，单位面积的苹果利润取到最大值181千元/公顷，
所以小王应该种植10公顷的苹果.
19．(1)第14个月
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据最小二乘法即可求解回归方程，进而可由不等式求解，
（2）根据超几何的概率公式求解分布列，即可由期望公式求解期望.
【详解】（1），
，
，
，
经验回归方程为．
令，解得，
估计该自媒体从业人员从业第14个月开始月收益超过5000元．
（2）在这10个月中，月收益不低于2400元的有6个月，月收益不低于3000元的有4个月，
的所有可能取值为，
，
的分布列为
1 2 3
．
20．(1)20.47万元
(2)分布列见解析，期望为2
【分析】（1）根据条件，求出利润与年份的线性回归方程，即可求出结果；
（2）的可能取值为1，2，3，求出每个取值对应的概率，即可求出分布列，再根据期望的计算公式，求出期望.
【详解】（1），，
，
=
，所以线性回归方程为，
所以当时，，
所以在不改变经营状态的情况下，预测该小卖部2023年的年利润为20.47万元．
（2）2013～2022年这10年中，年利润不低于12万元的有6年，年利润超过14万元的有4年，故的可能取值为1，2，3，
，
的分布列为
1 2 3
所以期望．
21．(1)
(2)预测当年产量为2.72吨时，年利润取到最大值
【分析】（1）求出，，根据最小二乘法的估计公式求出的值，即可求得线性回归方程；
（2）求出年利润z的表达式，结合二次函数知识，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，，
，，
故
，
，
所以y关于x的线性回归方程为.
（2）年利润
，
当时，年利润z最大.
故预测当年产量为2.72吨时，年利润取到最大值.
答案第1页，共2页
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