9.2独立性检验 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册

9.2 独立性检验 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法中正确的个数是（ ）
①设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；
②将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
③某校共有女生2021人，用简单随机抽样的方法先剔除21人，再按简单随机抽样的方法抽取为200人，则每个女生被抽到的概率为；
④具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x，y之间的线性相关程度越高；
⑤在一个列联表中，由计算得出，而，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量之间有相关关系
A．1 B．2 C．3 D．4
2．校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查．其中被调查的男女生人数相同．男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数．若有的把握认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（ ）人．
附表：
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中，．
A．20 B．30 C．35 D．40
3．古语云：“朝霞不出门，晚霞行千里”，其意是如果早晨起来看到天边有朝霞的话，今天的天气可能不佳，会下雨，要引起重视，若是傍晚看到天边的晚霞，第二天很有可能有一个好天气，天气晴朗．某学习小组针对“朝霞不出门”这一句的可信度进行了观测统计，得到如下列联表．
有朝霞 无朝霞 合计
当天有雨 8 8 16
当天无雨 2 12 14
合计 10 20 30
参考公式：．
临界值参照表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
则下列说法正确的是（ ）
A．如果有朝霞，当天下雨的概率超过
B．能在犯错概率不超过的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关
C．能在犯错概率不超过的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关
D．连续三天中必有一天出现朝霞
4．根据分类变量x与y的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（ ）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．有95%的把握认为变量x与y独立
B．有95%的把握认为变量x与y不独立
C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
5．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据的第80百分位数为17；
B．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；
C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0；
D．若随机变量满足，则．
6．为促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行“是否喜欢体育锻炼”的问卷调查，统计结果如下：
性别 体育锻炼 合计
喜欢 不喜欢
男
女 50 80
合计 110
下列结论不正确的是（ ）
A．样本中男生所占比例为
B．估计该校不喜欢体育锻炼的学生所占比例为．
C．样本中喜欢体育锻炼的男生比喜欢体育锻炼的女生多50人
D．没有的把握认为是否喜欢体育锻炼与性别有关联
7．下列命题中
①散点图可以直观地判断两个变量是否具有线性相关关系;
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线;
③回归分析和独立性检验没有什么区别;
④回归直线一定经过样本中心点.
其中正确的命题个数为（ ）
A． B． C． D．
8．某校随机调查了100名高中生是否喜欢篮球，按照男女区分得到列联表，经计算得.根据独立性检验的相关知识，对照下表，可以认为有（ ）把握喜欢篮球与性别有关.
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为
B．已知随机变量，若，则
C．在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍（，其中）
D．分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，“2枚骰子正面向上的点数相同”，则互为独立事件
10．根据下面的列联表得到如下四个判断，正确的是（　　）
嗜酒 不嗜酒 合计
患肝病 700 60 760
未患肝病 200 32 232
合计 900 92 992
A．至少有的把握认为“患肝病与嗜酒有关”
B．至少有的把握认为“患肝病与嗜酒有关”
C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”
11．下列四个命题中，正确的为（ ）
A．甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；乙：29，34，35，48，42，46，55，53，55，67.则甲乙的中位数分别为45和44.
B．相关系数，表明两个变量的相关程度较弱.
C．若由一个列联表中的数据计算得的值约为7.103，那么有的把握认为两个变量有关.
D．用最小二乘法求出一组数据，（，…，）的回归直线方程后要进行残差分析，相应于数据，（，…）的残差是指.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
12．(多选)某学校为了调查学生对“只要学习够努力，成绩一定有奇迹”这句话的认可程度，随机调查了90名本校高一、高二的学生，得到如下列联表．用样本估计总体，则下列说法正确的是(参考数据：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d，P(χ2≥6.635)＝0.010，P(χ2≥10.828)＝0.001)（ ）
认可 不认可 总计
高一 20 20 40
高二 40 10 50
总计 60 30 90
A．高一高二大约有66.7%的学生认可这句话
B．高一高二大约有99%的学生认可这句话
C．依据α＝0.01的独立性检验，认为学生对这句话认可与否与年级有关
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为学生对这句话认可与否与年级无关
三、填空题
13．以“智联世界，生成未来”为主题的2023世界人工智能大会在中国上海举行，人工智能的发展为许多领域带来了巨大的便利，但同时也伴随着一些潜在的安全隐患．为了调查人们对人工智能所持的态度，某机构从所在地区随机调查100人，所得结果统计如下：
年龄在50岁以上（含50岁） 年龄在50岁以下
性别 男 女 男 女
持支持态度 15 10 30 15
不持支持态度 10 10 5 5
（填“有”或“没有”）的把握认为所持态度与年龄有关．
14．下列说法中正确的有 （填正确说法的序号）．
①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；
②若样本数据的方差为4，则数据的标准差为4；
③已知随机变量，且，则；
④若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱；
⑤是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两个变量不相关．
15．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有 人.
参考数据及公式如下：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16．已知P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝ 的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．
四、解答题
17．已知甲社区有120人计划去四川旅游，他们每人将从峨眉山与青城山中选择一个去旅游，将这120人分为东、西两小组，两组的人数相等，已知东小组中去峨眉山的人数是去青城山人数的两倍，西小组中去峨眉山的人数比去青城山的人数少10.
(1)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为游客的选择与所在的小组有关；
去峨眉山旅游 去青城山旅游 合计
东小组
西小组
合计
(2)在东小组的游客中，以他们去青城山旅游的频率为乙社区游客去青城山旅游的概率，从乙社区任选3名游客，记这3名游客中去青城山旅游的人数为，求及的数学期望.
附：，.
当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；
当时，有的把握判断变量A，B有关联；
当时，有的把握判断变量A，B有关联；
当时，有的把握判断变量A，B有关联.
18．乒乓球，被称为中国的“国球”．某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：
乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计
男 40 56
女 24
总计 100
(1)补全列联表，并判断我们能否有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？
(2)为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为，求的分布列和数学期望．
0.05 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：．
19．人工智能（英语：Artificialintelligence，缩写为）亦称智械、机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．通常人工智能是指通过普通计算机程序来呈现人类智能的技术．人工智能的核心问题包括建构能够跟人类似甚至超卓的推理、知识、规划、学习、交流、感知、移物、使用工具和操控机械的能力等．当前有大量的工具应用了人工智能，其中包括搜索和数学优化、逻辑推演．而基于仿生学、认知心理学，以及基于概率论和经济学的算法等等也在逐步探索当中．思维来源于大脑，而思维控制行为，行为需要意志去实现，而思维又是对所有数据采集的整理，相当于数据库．某中学计划在高一年级开设人工智能课程．为了解学生对人工智能是否感兴趣，随机从该校高一年级学生中抽取了400人进行调查，整理得到如下列联表：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 180 40 220
女生 120 60 180
合计 300 100 400
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为对人工智能是否感兴趣与性别有关联？
(2)从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行采访，记随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20．“十四冬”群众运动会于2024年1月13日至14日在呼和浩特市举办，有速度滑冰、越野滑雪等项目，参加的运动员是来自全国各地的滑冰与滑雪爱好者．运动会期间，运动员与观众让现场热“雪”沸腾，激发了人们对滑冰等项目的热爱，同时也推动了当地社会经济的发展．呼和浩特市某媒体为调查本市市民对“运动会”的了解情况，在15~65岁的市民中进行了一次知识问卷调查（参加者只能参加一次）．从中随机抽取100人进行调查，并按年龄群体分成以下五组：，绘制得到了如图所示的频率分布直方图，把年龄在区间和内的人分别称为“青少年群体”和“中老年群体”．
(1)若“青少年群体”中有40人关注“运动会”，根据样本频率分布直方图完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断关注“运动会”是否与年龄样体有关；
年龄群体 运动会 合计
关注 不关注
青少年群体 40
中老年群体
合计 60 40 100
(2)利用按比例分层抽样的方法，在样本中从关注“运动会”的“青少年群体”与“中老年群体”中随机抽取6人，再从这6人中随机选取3人进行专访．设这3人中“青少年群体”的人数为，求的分布列与数学期望．
附：，其中．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
21．据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：
飞行距离x（kkm） 56 63 71 79 90 102 110 117
损坏零件数y（个） 61 73 90 105 119 136 149 163
参考数据：，，，
(1)建立y关于x的回归模型，根据所给数据及回归模型，求y关于x的回归方程（精确到0.1，精确到1）；
(2)该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？
保养 未保养 合计
报废 20
未报废
合计 60 100
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，；
0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】对于①：根据回归方程直接判断；对于②：根据方差的公式特点判断；对于③：利用古典概型的性质判断；对于④：直接根据相关系数r对相关程度的影响来判断；对于⑤：根据相关关系直接判断.
【详解】对于①：回归方程，变量增加个单位时，平均减少5个单位，故①错误；
对于②：一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，它的平均数也会都加上或减去同一个常数，故方差不变，故②正确；
对于③：古典概型中，每个个体被抽到的概率都是一样的，都等于，故③错误；
对于④：具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x，y之间的线性相关程度越低，故④错误；
对于⑤：在一个列联表中，由计算得出，而则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量之间有相关关系，故⑤正确 ；
故选：B.
2．A
【分析】借助卡方计算即可得.
【详解】设总人数为，则男生选学生物学的人数为，女生选生物学的人数为，
则，
即，又为的倍数，故男生最少有人.
故选：A.
3．B
【分析】对A，由题中列联表判断即可；对BC，计算卡方判断即可；对D，根据概率的性质判断即可.
【详解】对A，由题中列联表知，如果有朝霞，则当天下雨的概率约为，故A选项错误；
对BC，由题得，但小于7.879，故B选项正确，C选项错误；
对D，有朝霞的天数占总天数的，但并不意味着连续三天中必有一天出现朝霞，故D选项错误.
故选：B．
4．D
【分析】根据已知条件，结合独立性检验的定义即可求解.
【详解】因为，
所以变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%.
故选：D.
5．B
【分析】A选项，由百分位数的定义得到答案；B选项，，得到结论；C选项，由相关系数的性质得到C错误；D选项，由方差的性质得到D错误.
【详解】A选项，，故从小到大排列，第8个数和第9个数的平均数作为第80百分位数，
即，A错误；
B选项，由于，得到与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，B正确；
C选项，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，C错误；
D选项，若随机变量满足，则，D错误.
故选：B
6．D
【分析】
依题意完善2×2列联表，依次可判定A、B、C，再求得，从而利用独立性检验可判定D.
【详解】
完善列联表如下：
性别 体育锻炼 合计
喜欢 不喜欢
男 80 40 120
女 30 50 80
合计 110 90 200
对于A，样本中男生所占比例为，所以A正确；
对于B，估计不喜欢体育锻炼的学生所占比例为，所以B正确；
对于C，喜欢体育锻炼的男生有80人，喜欢体育锻炼的女生有30人，所以C正确；
对于D，根据表中数据，计算得到，
所以有的把握认为是否喜欢体育锻炼与性别有关联，所以D错误.
故选：D
7．B
【分析】利用散点图、回归直线、独立性检验的知识分析判断各个命题即得.
【详解】散点图可以直观地判断两个变量是否具有线性相关关系,故①正确;
回归直线可以不经过散点图中的任何一个点,故②错误;
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法,
独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的分析,故③错误;
回归直线一定经过样本中心点,故④正确.
所以正确的命题个数为个.
故选:B.
8．B
【分析】
根据的值以及表格可得答案.
【详解】
，
有把握认为喜欢篮球与性别有关，
故选：B.
9．BCD
【分析】根据相关系数的概念判断A，根据正态分布的方差公式及方差的性质判断B，根据卡方公式判断C，根据相互独立事件的定义判断D.
【详解】对于A：若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为，故A错误；
对于B：如，则，又，即
则，故B正确；
对于C：在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，
则，
即也变成原来的倍，故C正确；
对于D：分别抛掷2枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个，
事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，则事件包含的基本事件数为个，
事件“2枚骰子正面向上的点数相同”，则事件包含的基本事件数为个，
所以，，
又包含的基本事件有个，所以，
所以，则、互为独立事件，故D正确；
故选：BCD
10．BC
【分析】由列联表中数据可求，即可求解.
【详解】由列联表中数据可求得，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，
即至少有的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”，因此BC正确.
故选：BC
11．CD
【分析】根据题意，利用中位数，相关系数，以及独立性检验，以及最小二乘法的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由甲的数据可知它的中位数为45，乙的中位数为，所以A错误；
对于B中，相关系数时，两个变量的相关程度较强，所以B错误；
对于C中，由于的值约为7.103，在6.635与7.879之间，故有的把握认为两个变量有关，所以C正确；
对于D中，用最小二乘法求出一组数据，（，…，）的回归直线方程后要进行残差分析，
相应于数据，（，…，）的残差是指，所以D正确.
故选：CD.
12．AC
【详解】
随机调查了90名学生，其中一共有60名学生认可，所以认可率大约为66.7%，χ2＝＝＝9.因为6.635<9<10.828，故C正确，D错误．故选AC.
13．有
【分析】
借助数据得到对应列联表后计算卡方与比较即可得.
【详解】由题可得如下列联表：
年龄在50岁以上（含50岁） 年龄在50岁以下 总计
持支持态度 25 45 70
不持支持态度 20 10 30
总计 45 55 100
根据列联表中的数据，经计算得到，
所以有的把握认为所持态度与年龄有关.
故答案为：有.
14．②③
【分析】根据线性回归方程的概念可以判断①，根据方差的性质可以判断②，根据正态分布的性质可以判断③，根据相关系数的概念可以判断④，根据独立性检验的基本概念可以判断⑤.
【详解】因为回归直线可以不过样本点，所以①错误；
由于，所以数据的方差为16，故标准差为4，因此②正确；
根据正态分布的概念，，故，即，故，因此③正确；
根据相关系数的概念，若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故④错误；
的值很小时只能说明两个变量的相关性不强，故⑤错误.
故答案为：②③
15．12
【分析】设男生人数为，得到列联表，根据题意得到，列出不等式，求得的取值范围，结合，为整数，即可求解.
【详解】设男生人数为，依题 意可得列联表如下：
喜欢追星 不喜欢追星 总计
男生
女生
总计
若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则，
由，解得，因为，为整数，
所以若在犯错误的概率不超过95%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，
则男生至少有12人.
故答案为：.
16．0.01
【分析】根据已知与临界值比较结合独立性检验的概念判断即可.
【详解】
因为6.635<7.235<10.828，所以根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．
故答案为：0.01.
17．(1)列联表见解析，有的把握认为游客的选择与所在的小组有关
(2)1
【分析】（1）根据题意补全列联表，代入公式，得到答案；
（2）分析得到乙社区游客去青城山旅游的概率为，，根据二项分布，得到答案.
【详解】（1）的列联表如下：
去峨眉山旅游 去青城山旅游 合计
东小组 40 20 60
西小组 25 35 60
合计 65 55 120
，
所以有的把握认为游客的选择与所在的小组有关.
（2）在东小组的游客中，他们去青城山旅游的频率为，
所以乙社区游客去青城山旅游的概率为，所以，
所以，.
18．(1)列联表见解析；有
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）列出列联表，求出并与比较即可；
（2）分别求抽取的3人中男生和女生的人数，写出的可能取值，求出概率，求出期望.
【详解】（1）依题意可得列联表如下：
乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计
男 40 16 56
女 20 24 44
总计 60 40 100
，
我们有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关；
（2）由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生，
则的可能取值为、、、，
所以，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以．
19．(1)答案见解析
(2)分布列见解析；.
【分析】（1）根据两个条件概率值求出列联表中的数据，利用卡方公式计算的值，再与对应的小概率值比较即得结论；
（2）先利用分层抽样确定所抽取男生、女生人数，再利超几何概率公式计算即得分布列与期望；
【详解】（1）零假设为：学生对人工筸能是否感兴趣与性别无关.
根据列联表计算可得：，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生对人工筸能是否感兴趣与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于.
（2）从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取10人，
其中抽取男生人，抽取女生人；
根据已知条件的可能取值为：；
，，
，；
.
20．(1)列联表见解析，有关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据频率分布直方图完善二联表，即可计算卡方，与临界值比较作答，
（2）根据超几何分布求解概率，即可求解分布列以及期望.
【详解】（1）由题意可知“青少年群体”共有（人），
“中老年群体”共有（人），
所以列联表如下：
年龄群体 运动会 合计
关注 不关注
青少年群体 40 15 55
中老年群体 20 25 45
合计 60 40 100
零假设为：关注“运动会”与年龄群体无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到，
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为关注“运动会”与“年龄群体”有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）样本中“青少年群体”关注“运动会”的有40人，“中老年群体”关注“运动会”的有20人，
按比例分层抽样的方法抽取6人，则“青少年群体”应抽取4人，“中老年群体”应抽取2人，则的所有可能取值为1，2，3，
所以，，
故随机变量的分布列为
1 2 3
所以．
21．(1)
(2)列联表见解析；是否报废与保养有关，理由见解析.
【分析】（1）根据题意可求出，，从而可求解.
（2）根据题意可将列联表补充完整，并求得，从而求解判断是否报废与是否保养有关.
【详解】（1）由题意得，
则，
所以.
（2）设零假设为：是否报废与是否保养无关，
由题意，报废推进器中保养过的共台，未保养的推进器共台，
补充列联表如下：
保养 未保养 合计
报废 6 14 20
未报废 54 26 80
合计 60 40 100
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关，
此推断的错误概率不大于0.01.
答案第1页，共2页
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