第6章空间向量与立体几何 综合复习训练（含解析）2023——2024学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 第6章空间向量与立体几何 综合复习训练（含解析）2023——2024学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-16 20:57:56 | ||
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文档简介
第6章 空间向量与立体几何综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知空间向量，，且与垂直，则x等于（ ）
A．4 B．1 C．3 D．2
2．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则
3．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．三棱柱，底面边长和侧棱长都相等．，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示的圆锥中，轴截面为边长为2的等边三角形，为圆上一点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列选项中正确的是（ ）
A．若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面；
B．若与共面，则存在实数x，y，使；
C．若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线；
D．若是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使．
10．正方体中，分别为的中点，点满足，则错误的有（ ）
A．平面
B．三棱锥的体积与点的位置有关
C．的最小值为
D．当时，平面PEF截正方体的截面形状为五边形
11．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．两条异面直线和所成的角为
B．直线与平面所成的角等于
C．点到面的距离为
D．四面体的体积是
12．已知正三棱柱的底面边长为，高为，记异面直线与所成角为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
13．在直三棱柱中，，为的中点，点满足，则异面直线所成角的余弦值为 ．
14．在棱长为2的正方体中，在线段上运动，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 .
15．如图，在三棱锥中，平面，则
16．已知空间三点，则在上的投影向量坐标为 .
四、解答题
17．如图所示多面体中，四边形ABCD和四边形ACEF均为正方形，棱，G为EF的中点.
(1)求证：平面ABCD；
(2)求二面角的余弦值.
18．如图，在三棱柱中，平面平面，，过的平面与分别交于点.
(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)若，则当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？
19．如图，在直三棱柱中，，点是棱上的一点，且，点是棱的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
20．如图多面体ABCDEF中，面面，为等边三角形，四边形ABCD为正方形，，且，H，G分别为CE，CD的中点．
(1)证明：；
(2)求平面BCEF与平面FGH所成角的余弦值；
(3)作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AD交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．
21．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，.
(1)证明：//平面BDM；
(2)求平面AMB与平面BDM的夹角.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】由空间垂直向量的坐标表示求解即可.
【详解】因为空间向量，，且与垂直，
所以，解得：.
故选：B.
2．B
【分析】利用空间直线与平面，平面与平面的位置关系判断ACD，利用空间向量判断线面位置关系，从而判断B，由此得解.
【详解】对于A，若，，则有可能，故A错误；
对于B，若，，则直线的方向向量分别为平面法向量，
又，即，所以，故B正确；
对于C，若，，则有可能，故C错误；
对于D，若，，则有可能，故D错误.
故选：B.
3．A
【分析】借助空间向量的线性运算与基本定理可得，结合消元法与二次函数的性质计算即可得.
【详解】因为，
所以，又点D在确定的平面内，是平面外任意一点，
所以，即，
则.
故选：A.
4．D
【分析】由题意设，，由数量积的运算律、模的运算公式以及向量夹角的余弦的关系即可运算求解.
【详解】
设，
由题意，
，
，
又，
设异面直线与所成角为，则.
故选：D．
5．A
【分析】根据数量积的几何意义即可求解.
【详解】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为，
由数量积的几何意义可知，.
故选：A
6．B
【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】由题意得：，
故选：B.
7．A
【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】为的中点，
，，
故选:A.
8．A
【分析】解法一：首先得出异面直线与所成的角即为（或其补角），在中利用余弦定理求解即可；解法二：建立空间直角坐标系，求即可求解.
【详解】解法一：如图，过点作，交圆于点，连接，
则即异面直线与所成的角或其补角.
易知，，所
以，又，
在中，由余弦定理得，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
解法二：由圆锥的结构特征知，可以点为坐标原点，所在直线分别为轴，
圆所在平面内过点且垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，为等边三角形，，
所以，，
所以，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故选：A.
9．AC
【分析】由空间向量共面定理即可判断AB，由共线向量的概念即可判断C，由空间向量基本定理即可判断D
【详解】由向量共面定理可知，若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面，故A正确；
若共线，不与共线，则不存在实数x，y，使，故B错误；
若向量所在的直线是异面直线，则的方向不相同也不相反，且所在直线也不
相交，所以向量一定不共线，故C正确；
若是空间三个基底向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使，故D错误；
故选：AC
10．BCD
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法，证得，可判定A正确；证得平面，结合的面积为定值，可得判定B错误；利用两点间距离公式，求得的最小值，可判定C错误；连接，取中点为，当与交点为点时，利用三角形的性质，求得，可判定D正确.
【详解】对于A中，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，则，
所以，所以，
因为且平面，所以平面，所以A正确；
对于B中，因为正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，因为，
因为平面，平面，所以平面，
所以棱上的所有点到平面的距离都相等，
又因为点是棱上的动点，所以三棱锥的体积始终为定值，所以B错误；
对于C中，由，
因为，所以，
则，
可得
，
当时，有最小值，最小值为，所以C错误；
对于D中，连接，取中点为，此时与交点为点，如图（1）所示
过点作，可得，可得，所以，
即，此时平面截正方体截面图形为四边形，所以D不正确.
故选：BCD
【点睛】方法点拨：对于立体几何中的截面问题的求解策略：
1、立体几何中的截面问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；
2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
11．BCD
【分析】建立适当空间直角坐标系后借助空间向量逐项计算与判断即可得.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
对A：、、、，
则、，故，
故，即异面直线和所成的角为，故A错误；
对B：，由轴平面，故平面法向量可为，
则，故直线与平面所成的角为，故B正确；
对C：，，，
设平面的法向量为，则有，
令，则，故，故C正确；
对D：易得四面体为正四面体，
则，故D正确.
故选：BCD.
12．ACD
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，以及相关向量的坐标，根据空间角的向量求法，一一求解各选项中所求结果，即可判断答案.
【详解】在正三棱柱中，设的中点为，连接,
则平面，,
以O为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
对于A，当时，，
则，
则，
由于异面直线与所成角为，范围为大于小于等于，
故，A正确；
对于B，，
则，由于，
则，
解得或，B错误；
对于C，当时，，
则，
则，故，则，C正确；
对于D，若，则，
则，
则，
则，
解得或（舍），D正确；
故选：ACD
13．
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设异面直线所成的角为，则．
故答案为：.
14．
【分析】以为正交基地，建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦，然后利用二次函数的性质求范围.
【详解】以为正交基地，建立空间直角坐标系，
则，设，
则，
设面的法向量为，
则，取得，
设直线与平面所成角为，
则，
当时，，则.
故答案为：.
15．
【分析】由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解.
【详解】因为平面，面，
所以，所以，
又，所以，
.
故答案为：.
16．
【分析】根据题意，求得，结合，即可求解.
【详解】由三点，
可得，则，
则在上的投影向量坐标为.
故答案为：.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明平面ABCD，再利用即可证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解二面角的余弦值即可.
【详解】（1）证明：四边形ABCD和四边形ACEF均为正方形.
，又，且AC与BD是平面ABCD上的两条相交直线.
平面ABCD.
由ACEF为正方形，得，
平面ABCD.
（2）由题意知，直线AB、AD、AF两两互相垂直.分别以直线AB、AD、AF为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐系.
设，则，
于是，有，，，，，，，
，，.
设平面BCG的一个法向量为，
则，令，得，
所以，
，，，平面ACEF，
平面ACEF，即平面ACG
是平面ACG的一个法向量.
设二面角的大小为，结合图形，知为锐角，
，
二面角的余弦值为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理证明线线平行，即可得证；
（2）取的中点，利用面面垂直的性质定理证明，然后建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后代入线面角的向量公式，利用二次函数性质求解最值即可.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，所以.
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，
所以四边形为平行四边形.
（2）取的中点，连接，
由及，得为等边三角形，所以.
又平面平面，平面平面平面，
所以平面.
又平面，所以，由及，
得为等腰直角三角形，所以.
以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，
建立如图的空间直角坐标系，
则，，
所以，
设，则，
设平面的法向量为，
则，即，令，得，
所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则，
所以当，即为的中点时，，
故当时，直线与平面所成角的正弦值最大.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量即可利用向量垂直求证．
（2）利用向量的夹角即可求解．
【详解】（1）因为直三棱柱中,，故,所以两两垂直，
分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
， ，点是棱的中点
所以，
所以,
所以，
设平面法向量为，则，
令，则，，所以平面的法向量．
设平面法向量为，则，
令，则，所以平面的法向量．
由于，故，
因此平面平面；
（2）由（1）知平面的法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．(1)证明见解析
(2)
(3)，作图见解析
【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而证明出线线垂直；
（2）由面面垂直得到线面垂直，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而利用平面法向量求出面面角的余弦值；
（3）作出辅助线，得到线线平行，进而得到结论.
【详解】（1）在正方形中，，
∵平面平面，平面平面平面，
平面，又平面，
；
（2）为等边三角形，设中点为，∴，
又平面平面，面面面，则面，
以为坐标原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，则，则，
所以，
设平面的一个法向量为
则，取得，所以，
设平面的一个法向量为
则，取得，所以，
所以，
所以平面与与平面成角的余弦值为；
（3）如图所示：在上取一点，使得，连接，
因为，，所以，即，
所以为平行四边形，故，
因为H，G分别为CE，CD的中点，所以，
故，即共面，
故.
21．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）连接交于，连接,根据条件证明//即得；
（2）先证明平面，依题建系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面AMB与平面BDM的法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得.
【详解】（1）
如图，连接交于，连接,由是的中点可得，
易得与相似，所以，
又，所以//，
又平面平面，所以//平面；
（2）
因平面平面，且平面平面，由，点E是线段AD的中点可得
又平面，故得平面.如图，取的中点为,分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系.
则，，
，则，.
设平面的法向量为，由，
则，故可取；
设平面的法向量为，由，
则，故可取.
故平面与平面的夹角余弦值为，
所以平面与平面的夹角为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知空间向量，，且与垂直，则x等于（ ）
A．4 B．1 C．3 D．2
2．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则
3．已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
4．三棱柱，底面边长和侧棱长都相等．，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示的圆锥中，轴截面为边长为2的等边三角形，为圆上一点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列选项中正确的是（ ）
A．若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面；
B．若与共面，则存在实数x，y，使；
C．若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线；
D．若是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使．
10．正方体中，分别为的中点，点满足，则错误的有（ ）
A．平面
B．三棱锥的体积与点的位置有关
C．的最小值为
D．当时，平面PEF截正方体的截面形状为五边形
11．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．两条异面直线和所成的角为
B．直线与平面所成的角等于
C．点到面的距离为
D．四面体的体积是
12．已知正三棱柱的底面边长为，高为，记异面直线与所成角为，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
13．在直三棱柱中，，为的中点，点满足，则异面直线所成角的余弦值为 ．
14．在棱长为2的正方体中，在线段上运动，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 .
15．如图，在三棱锥中，平面，则
16．已知空间三点，则在上的投影向量坐标为 .
四、解答题
17．如图所示多面体中，四边形ABCD和四边形ACEF均为正方形，棱，G为EF的中点.
(1)求证：平面ABCD；
(2)求二面角的余弦值.
18．如图，在三棱柱中，平面平面，，过的平面与分别交于点.
(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)若，则当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？
19．如图，在直三棱柱中，，点是棱上的一点，且，点是棱的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
20．如图多面体ABCDEF中，面面，为等边三角形，四边形ABCD为正方形，，且，H，G分别为CE，CD的中点．
(1)证明：；
(2)求平面BCEF与平面FGH所成角的余弦值；
(3)作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AD交点为P，写出的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．
21．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，.
(1)证明：//平面BDM；
(2)求平面AMB与平面BDM的夹角.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】由空间垂直向量的坐标表示求解即可.
【详解】因为空间向量，，且与垂直，
所以，解得：.
故选：B.
2．B
【分析】利用空间直线与平面，平面与平面的位置关系判断ACD，利用空间向量判断线面位置关系，从而判断B，由此得解.
【详解】对于A，若，，则有可能，故A错误；
对于B，若，，则直线的方向向量分别为平面法向量，
又，即，所以，故B正确；
对于C，若，，则有可能，故C错误；
对于D，若，，则有可能，故D错误.
故选：B.
3．A
【分析】借助空间向量的线性运算与基本定理可得，结合消元法与二次函数的性质计算即可得.
【详解】因为，
所以，又点D在确定的平面内，是平面外任意一点，
所以，即，
则.
故选：A.
4．D
【分析】由题意设，，由数量积的运算律、模的运算公式以及向量夹角的余弦的关系即可运算求解.
【详解】
设，
由题意，
，
，
又，
设异面直线与所成角为，则.
故选：D．
5．A
【分析】根据数量积的几何意义即可求解.
【详解】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为，
由数量积的几何意义可知，.
故选：A
6．B
【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】由题意得：，
故选：B.
7．A
【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.
【详解】为的中点，
，，
故选:A.
8．A
【分析】解法一：首先得出异面直线与所成的角即为（或其补角），在中利用余弦定理求解即可；解法二：建立空间直角坐标系，求即可求解.
【详解】解法一：如图，过点作，交圆于点，连接，
则即异面直线与所成的角或其补角.
易知，，所
以，又，
在中，由余弦定理得，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
解法二：由圆锥的结构特征知，可以点为坐标原点，所在直线分别为轴，
圆所在平面内过点且垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，为等边三角形，，
所以，，
所以，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故选：A.
9．AC
【分析】由空间向量共面定理即可判断AB，由共线向量的概念即可判断C，由空间向量基本定理即可判断D
【详解】由向量共面定理可知，若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面，故A正确；
若共线，不与共线，则不存在实数x，y，使，故B错误；
若向量所在的直线是异面直线，则的方向不相同也不相反，且所在直线也不
相交，所以向量一定不共线，故C正确；
若是空间三个基底向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使，故D错误；
故选：AC
10．BCD
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法，证得，可判定A正确；证得平面，结合的面积为定值，可得判定B错误；利用两点间距离公式，求得的最小值，可判定C错误；连接，取中点为，当与交点为点时，利用三角形的性质，求得，可判定D正确.
【详解】对于A中，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，则，
所以，所以，
因为且平面，所以平面，所以A正确；
对于B中，因为正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，因为，
因为平面，平面，所以平面，
所以棱上的所有点到平面的距离都相等，
又因为点是棱上的动点，所以三棱锥的体积始终为定值，所以B错误；
对于C中，由，
因为，所以，
则，
可得
，
当时，有最小值，最小值为，所以C错误；
对于D中，连接，取中点为，此时与交点为点，如图（1）所示
过点作，可得，可得，所以，
即，此时平面截正方体截面图形为四边形，所以D不正确.
故选：BCD
【点睛】方法点拨：对于立体几何中的截面问题的求解策略：
1、立体几何中的截面问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；
2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
11．BCD
【分析】建立适当空间直角坐标系后借助空间向量逐项计算与判断即可得.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
对A：、、、，
则、，故，
故，即异面直线和所成的角为，故A错误；
对B：，由轴平面，故平面法向量可为，
则，故直线与平面所成的角为，故B正确；
对C：，，，
设平面的法向量为，则有，
令，则，故，故C正确；
对D：易得四面体为正四面体，
则，故D正确.
故选：BCD.
12．ACD
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，以及相关向量的坐标，根据空间角的向量求法，一一求解各选项中所求结果，即可判断答案.
【详解】在正三棱柱中，设的中点为，连接,
则平面，,
以O为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
对于A，当时，，
则，
则，
由于异面直线与所成角为，范围为大于小于等于，
故，A正确；
对于B，，
则，由于，
则，
解得或，B错误；
对于C，当时，，
则，
则，故，则，C正确；
对于D，若，则，
则，
则，
则，
解得或（舍），D正确；
故选：ACD
13．
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设异面直线所成的角为，则．
故答案为：.
14．
【分析】以为正交基地，建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦，然后利用二次函数的性质求范围.
【详解】以为正交基地，建立空间直角坐标系，
则，设，
则，
设面的法向量为，
则，取得，
设直线与平面所成角为，
则，
当时，，则.
故答案为：.
15．
【分析】由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解.
【详解】因为平面，面，
所以，所以，
又，所以，
.
故答案为：.
16．
【分析】根据题意，求得，结合，即可求解.
【详解】由三点，
可得，则，
则在上的投影向量坐标为.
故答案为：.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明平面ABCD，再利用即可证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解二面角的余弦值即可.
【详解】（1）证明：四边形ABCD和四边形ACEF均为正方形.
，又，且AC与BD是平面ABCD上的两条相交直线.
平面ABCD.
由ACEF为正方形，得，
平面ABCD.
（2）由题意知，直线AB、AD、AF两两互相垂直.分别以直线AB、AD、AF为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐系.
设，则，
于是，有，，，，，，，
，，.
设平面BCG的一个法向量为，
则，令，得，
所以，
，，，平面ACEF，
平面ACEF，即平面ACG
是平面ACG的一个法向量.
设二面角的大小为，结合图形，知为锐角，
，
二面角的余弦值为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理证明线线平行，即可得证；
（2）取的中点，利用面面垂直的性质定理证明，然后建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后代入线面角的向量公式，利用二次函数性质求解最值即可.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，所以.
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，
所以四边形为平行四边形.
（2）取的中点，连接，
由及，得为等边三角形，所以.
又平面平面，平面平面平面，
所以平面.
又平面，所以，由及，
得为等腰直角三角形，所以.
以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，
建立如图的空间直角坐标系，
则，，
所以，
设，则，
设平面的法向量为，
则，即，令，得，
所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则，
所以当，即为的中点时，，
故当时，直线与平面所成角的正弦值最大.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量即可利用向量垂直求证．
（2）利用向量的夹角即可求解．
【详解】（1）因为直三棱柱中,，故,所以两两垂直，
分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
， ，点是棱的中点
所以，
所以,
所以，
设平面法向量为，则，
令，则，，所以平面的法向量．
设平面法向量为，则，
令，则，所以平面的法向量．
由于，故，
因此平面平面；
（2）由（1）知平面的法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．(1)证明见解析
(2)
(3)，作图见解析
【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而证明出线线垂直；
（2）由面面垂直得到线面垂直，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而利用平面法向量求出面面角的余弦值；
（3）作出辅助线，得到线线平行，进而得到结论.
【详解】（1）在正方形中，，
∵平面平面，平面平面平面，
平面，又平面，
；
（2）为等边三角形，设中点为，∴，
又平面平面，面面面，则面，
以为坐标原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，则，则，
所以，
设平面的一个法向量为
则，取得，所以，
设平面的一个法向量为
则，取得，所以，
所以，
所以平面与与平面成角的余弦值为；
（3）如图所示：在上取一点，使得，连接，
因为，，所以，即，
所以为平行四边形，故，
因为H，G分别为CE，CD的中点，所以，
故，即共面，
故.
21．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）连接交于，连接,根据条件证明//即得；
（2）先证明平面，依题建系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面AMB与平面BDM的法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得.
【详解】（1）
如图，连接交于，连接,由是的中点可得，
易得与相似，所以，
又，所以//，
又平面平面，所以//平面；
（2）
因平面平面，且平面平面，由，点E是线段AD的中点可得
又平面，故得平面.如图，取的中点为,分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系.
则，，
，则，.
设平面的法向量为，由，
则，故可取；
设平面的法向量为，由，
则，故可取.
故平面与平面的夹角余弦值为，
所以平面与平面的夹角为.
答案第1页，共2页
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