第8章 概率 综合复习训练（含解析）2023——2024学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 第8章 概率 综合复习训练（含解析）2023——2024学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 648.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-16 20:59:03 | ||
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文档简介
第8章 概率 综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人．现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题正确的是（ ）
A．数据，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1
B．若随机变量满足，则
C．已知随机变量，若，则
D．若随机变量，，则
3．若随机变量Z的分布列为
Z 1 2 3
P 0.5 x y
且，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，丙袋中有个白球和个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知随机变量的分布列，则（ ）.
0 1 2
A． B． C． D．
7．2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，中秋文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有3幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品，若从这6幅作品中随机挑选2幅作品挂在同一面墙上，则选出的2幅作品为1幅美术作品和1幅书法作品的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中取出1个球，则取出的是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知随机变量X、Y，且的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P m n
若，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ）
A．若为互斥事件，则
B．若为互斥事件，则
C．若相互独立，则
D．若若，则
11．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，，若随机事件A，B相互独立，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 .
14．某大学生将参加知识竞赛，答题环节有6道题目，每答对一道题得3分，答错一题扣1分，已知该学生每道题目答对的概率是，且各题目答对正确与否相互独立，表示该生得分，则 ．
15．某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布.那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为 .（若，则，，）
16．已知随机变量，若，则的取值范围是 .
四、解答题
17．某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”．
(1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率．
(2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五人到整数）；
②若从该市随机抽取的名教师中恰有名教师的学习时长在内，则为何值时，的值最大？
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
18．某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束．
已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率均为，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．
(1)用随机变量X表示A团队第位成员的闯关数，求X的分布列；
(2)已知A团队第位成员上场并闯过第二关，求恰好是第3位成员闯过第一关的概率；
(3)记随机变量表示A团队第位成员上场并结束闯关活动，证明单调递增，并求使的n的最大值．
19．为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史 悟思想 办实事 开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲，乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择.
方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答；
方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.
已知这6个问题中，甲，乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲，乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立 互不影响的.假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二.
(1)求甲，乙两名教师都只答对2个问题的概率；
(2)若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分.你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由.
20．除夕吃年夜饭（又称为团圆饭）是中国人的传统，年夜饭也是阖家欢聚的盛宴.设一家个人围坐在圆形餐桌前，每个人面前及餐桌正中央均各摆放一道菜，每人每次只能从中夹一道菜.
(1)当时，若每人都随机夹了一道菜，且每道菜最多被夹一次，计算每人夹的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜的概率；
(2)现规定每人只能在自己面前或餐桌正中央的两道菜中随机夹取一道菜，每个人都各夹过一次菜后，记被夹取过的菜数为，求满足的的最小值.
注：若均为离散型随机变量，则.
21．一次摸奖活动，选手在连续摸奖时，首次中奖得1分，并规定：若连续中奖，则第一次中奖得1分，下一次中奖的得分是上一次得分的两倍：若某次未中奖，则该次得0分，且下一次中奖得1分.已知某同学连续摸奖次，总得分为，每次中奖的概率为，且每次摸奖相互独立.
(1)当时，求的概率；
(2)当时，求的概率分布列和数学期望；
(3)当时，判断的数学期望与10的大小，并说明理由.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】方法一：根据条件概率及全概率公式可得结果；方法二：缩小样本空间根据古典概型概率公式可得结果.
【详解】法一：因为抽到的参加数学兴趣社团的学生可能来自于高三（1）班和（2）班，
设“抽到的学生来自高三（1）班”，“抽到的学生来自高三（2）班”、
“抽到的是参加数学兴趣社团的学生”、
则，
由全概率公式得，
所以.
法二：由题得参加数学兴趣社团的学生共有人，由古典概型的概率公式，
则他来自高三（1）班的概率为．
故选：C.
2．D
【分析】根据百分位数、随机变量的方差的性质、二项分布的数学期望的性质、正态分布的对称性，逐项判断即可得结论.
【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于，
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A错误；
对于选项B，，故B错误；
对于选项C，因为，则，故C错误；
对于选项D，因为随机变量，由正态曲线的对称性可得：，
则，所以，故D正确.
故选：D.
3．C
【分析】根据题意，结合分布列的性质和期望的公式，列出方程组，即可求解.
【详解】根据题意，可得，解得，所以.
故选：C.
4．A
【分析】根据全概率公式，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品为优品，
由题可得：，
故.
故选：A.
5．C
【分析】据取到甲、乙、丙袋分三种情况结合全概率公式求解.
【详解】设“取出的是甲袋”为事件，“取出的是乙袋”为事件，“取出的是丙袋”为事件，“该球为红球”为事件，
则
，
故选：C.
6．B
【分析】根据分布列性质求出，再由期望公式得解.
【详解】由分布列性质可知，，
解得，
.
故选：B
7．B
【分析】由题意，根据列举法，结合古典概型概率的计算公式即可求解.
【详解】记3幅美术作品分别为，3幅书法作品分别为，
从中随机挑选2幅作品，不同的选法有
，，共15种，
其中选出的2幅作品恰好为1幅美术作品和1幅书法作品的不同选法有
，共9种，
故所求概率为．
故选：B
8．A
【分析】根据题意运用全概率公式进行求解即可.
【详解】设事件A表示第一次抽取的是黑球，则，，
事件表示第二次抽取的是黑球，可知，
所以
故选：A.
9．AC
【分析】由分布列的性质和期望公式求出可判断ABC；由方差公式可判断D.
【详解】由可得：①，
又因为，解得：，故C正确.
所以，
则②，所以由①②可得：，故A正确，B错误；
,
，故D错误.
故选：AC.
10．ACD
【分析】根据互斥事件性质可求得A正确，B错误，再由相互独立事件性质可得C正确，利用对立事件及条件概率公式可得D正确.
【详解】对于A，若为互斥事件，则，即可得A正确；
对于B，由可得，
又为互斥事件，则，又，即B错误；
对于C，若相互独立，则,
所以，即C正确；
对于D，若，所以；
可得，
所以，即D正确.
故选：ACD
11．CD
【分析】根据题意，结合正态分布曲线的对称性，求得和的值，即可求解.
【详解】由随机变量服从正态分布，且，可得，
对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A错误，C正确；
对于B中，由正态分布曲线的对称性，可得，所以B错误，D正确.
故选：CD.
12．BC
【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据即可判断D.
【详解】对B，，所以，B正确；
对A，，所以，A错误；
对C，，所以，C正确；
对D，
，D错误.
故选：BC.
13．/0.4
【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率.
【详解】设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B，
则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局，
，
，
所以.
故答案为：.
14．10
【分析】根据题意可知该生答对问题的个数服从二项分布，利用二项分布求得，再由与的关系求得即可.
【详解】依题意，设表示该生答对问题的个数，则服从二项分布，即，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：10.
15．
【分析】根据题意利用正态分布性质分别计算出技术改造前后的优品率，可得结果.
【详解】技术改造前，易知，
则其优品率为；
技术改造后，其中，
则其优品率为；
所以优品率之差为.
故答案为：
16．
【分析】利用正态分布的性质，列出不等式，解出即可.
【详解】因为，
所以，所以.
故答案为：.
17．(1)
(2)①841；②14
【分析】（1）根据题意利用古典概型即可计算；
（2）①由样本数计算，进而利用求解即可；
②首先求在内的概率，再由题意可知，然后设，最后利用可求使得的最小的值，从而得到使最大的的值.
【详解】（1）设事件“抽取的3名教师中恰有2名教师是研修先进个人”为．
由题知样本中学习时长不低于80小时的人数为3，时长低于80小时的人数为7，
则，
所以这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率为．
（2）①由样本数据知，．
因为，
所以，
所以，学习时长不低于50小时的教师人数为841.
②每名教师的学习时长在内的概率为，
由题意可知，则，
设，则．
令，得，所以当时，，
令，得，所以当时，，
所以当时，最大，即使最大的的值为14．
18．(1)分布列见解析；
(2)；
(3)证明见解析，最大值为5．
【分析】（1）求出对应随机变量的概率，列出分布列即可；
（2）根据条件概率的公式，计算即可得解；
（3）求出，再得出期望，作差证明单调性，利用错位相减法求出，根据单调性解不等式得解.
【详解】（1）X的所有可能取值为0，1，2，
，，
，
的分布列如下：
X 0 1 2
P
（2）记A团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，
若前面人都没有一人闯过第一关，其概率为，
若前面人有一人闯过第一关，其概率为，
故，
“第6位成员上场且闯过第二关”，“第3位成员闯过第一关”，
故，
．
（3）由（2）知，．
当时，若前面人都没有一人闯过第一关，其概率为，
若前面人有一人闯过第一关，其概率为，
故．
故．
，即单调递增；又，
故，
所以，①
，②
得，
故．
由，得，
设，则，
故单调递减，，故满足题意的n的最大值为5．
【点睛】关键点点睛：根据题意求出，再利用作差法判断单调性是第一个关键点，第二个关键点在于利用，错位相减法求出.
19．(1)
(2)选择乙老师，理由见解析
【分析】（1）借助二项分布与超几何分布的概率计算公式计算即可得；
（2）计算出相应二项分布与超几何分布的期望与方差即可得.
【详解】（1）设甲，乙两名教师都只答对2个问题的情况分别为事件与事件，
则，；
所以；
（2）设甲教师得分数为，则答对题数为，有，
故，，
设乙教师得分数为，则的可能取值为，，，
，，，
则，
，
由，，则乙老师更为稳定，故选择乙老师.
20．(1)
(2)
【分析】（1）时，样本空间包含个样本点，再求所求事件的样本点个数，即个元素的全错位排列数，分步计算求解，再由古典概型概率公式可得；
（2）引入随机变量，则，分别求解与的值，再由题目后注公式可求得，再由数列的单调性求解满足的的最小值.
【详解】（1）当时，样本空间包含个样本点，
记“每人夹的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜”为事件，
则事件的结果数是个元素的全错位排列数，记表示4个元素的全错位排列数，可以分步计算，
第一步，让来先夹菜，除了正中央和自己面前的菜外，他有3种选择；
第二步，若他选择了面前的菜，则让来夹，对于，可以分为两类，
若选面前的菜，则其余人共有种选择，若不选面前的菜，可有种选择，而余下的两人也只有种选择，
所以事件含有的样本点个数为，
所以由古典概型概率公式得，.
（2）将道菜编号，餐桌正中央的菜编号为，其余菜编号为，
，
则，
所以，
因为当时，
所以，
由题意有
由题后注可知，
.
因为，
故数列是递增数列，
又，，
所以的最小值为.
21．(1)
(2)分布列见解析，
(3)，理由见解析
【分析】（1）将的所有可能情况进行分类讨论，即可求得的表达式．
（2）易知X的可能取值为0，1，2，3，7，求出对应概率可得分布列和期望；
（3）依题意可知，若每次投进都得1分，利用二项分布可知，再结合比赛规则可得.
【详解】（1）摸奖5次得分为3分，有如下两种情形：
情形一，恰好两次中奖，且两次相邻；
情形二，恰好三次中奖，且任意两次都不相邻.
情形一发生的概率为.
情形二发生概率为，
所以；
（2）的可能取值为0，1，2，3，7，其中
，，
，，
所以的概率分布列为
X 0 1 2 3 7
P
所以.
（3）.理由如下：
记该同学摸奖30次中奖次数为，则.
若每次中奖都得1分，则得分的期望为.
由题中比赛规则可知连续中奖时，得分翻倍，
故实际总得分的期望必大于每次都得1分的数学期望.
所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人．现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题正确的是（ ）
A．数据，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1
B．若随机变量满足，则
C．已知随机变量，若，则
D．若随机变量，，则
3．若随机变量Z的分布列为
Z 1 2 3
P 0.5 x y
且，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，丙袋中有个白球和个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知随机变量的分布列，则（ ）.
0 1 2
A． B． C． D．
7．2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，中秋文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有3幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品，若从这6幅作品中随机挑选2幅作品挂在同一面墙上，则选出的2幅作品为1幅美术作品和1幅书法作品的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．盒中有除颜色外完全相同的2个红球和3个黑球，随机地从中取出1个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中取出1个球，则取出的是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知随机变量X、Y，且的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P m n
若，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ）
A．若为互斥事件，则
B．若为互斥事件，则
C．若相互独立，则
D．若若，则
11．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，，若随机事件A，B相互独立，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 .
14．某大学生将参加知识竞赛，答题环节有6道题目，每答对一道题得3分，答错一题扣1分，已知该学生每道题目答对的概率是，且各题目答对正确与否相互独立，表示该生得分，则 ．
15．某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布.那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为 .（若，则，，）
16．已知随机变量，若，则的取值范围是 .
四、解答题
17．某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”．
(1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率．
(2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五人到整数）；
②若从该市随机抽取的名教师中恰有名教师的学习时长在内，则为何值时，的值最大？
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
18．某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束．
已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率均为，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．
(1)用随机变量X表示A团队第位成员的闯关数，求X的分布列；
(2)已知A团队第位成员上场并闯过第二关，求恰好是第3位成员闯过第一关的概率；
(3)记随机变量表示A团队第位成员上场并结束闯关活动，证明单调递增，并求使的n的最大值．
19．为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史 悟思想 办实事 开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲，乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择.
方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答；
方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.
已知这6个问题中，甲，乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲，乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立 互不影响的.假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二.
(1)求甲，乙两名教师都只答对2个问题的概率；
(2)若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分.你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由.
20．除夕吃年夜饭（又称为团圆饭）是中国人的传统，年夜饭也是阖家欢聚的盛宴.设一家个人围坐在圆形餐桌前，每个人面前及餐桌正中央均各摆放一道菜，每人每次只能从中夹一道菜.
(1)当时，若每人都随机夹了一道菜，且每道菜最多被夹一次，计算每人夹的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜的概率；
(2)现规定每人只能在自己面前或餐桌正中央的两道菜中随机夹取一道菜，每个人都各夹过一次菜后，记被夹取过的菜数为，求满足的的最小值.
注：若均为离散型随机变量，则.
21．一次摸奖活动，选手在连续摸奖时，首次中奖得1分，并规定：若连续中奖，则第一次中奖得1分，下一次中奖的得分是上一次得分的两倍：若某次未中奖，则该次得0分，且下一次中奖得1分.已知某同学连续摸奖次，总得分为，每次中奖的概率为，且每次摸奖相互独立.
(1)当时，求的概率；
(2)当时，求的概率分布列和数学期望；
(3)当时，判断的数学期望与10的大小，并说明理由.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】方法一：根据条件概率及全概率公式可得结果；方法二：缩小样本空间根据古典概型概率公式可得结果.
【详解】法一：因为抽到的参加数学兴趣社团的学生可能来自于高三（1）班和（2）班，
设“抽到的学生来自高三（1）班”，“抽到的学生来自高三（2）班”、
“抽到的是参加数学兴趣社团的学生”、
则，
由全概率公式得，
所以.
法二：由题得参加数学兴趣社团的学生共有人，由古典概型的概率公式，
则他来自高三（1）班的概率为．
故选：C.
2．D
【分析】根据百分位数、随机变量的方差的性质、二项分布的数学期望的性质、正态分布的对称性，逐项判断即可得结论.
【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于，
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A错误；
对于选项B，，故B错误；
对于选项C，因为，则，故C错误；
对于选项D，因为随机变量，由正态曲线的对称性可得：，
则，所以，故D正确.
故选：D.
3．C
【分析】根据题意，结合分布列的性质和期望的公式，列出方程组，即可求解.
【详解】根据题意，可得，解得，所以.
故选：C.
4．A
【分析】根据全概率公式，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品为优品，
由题可得：，
故.
故选：A.
5．C
【分析】据取到甲、乙、丙袋分三种情况结合全概率公式求解.
【详解】设“取出的是甲袋”为事件，“取出的是乙袋”为事件，“取出的是丙袋”为事件，“该球为红球”为事件，
则
，
故选：C.
6．B
【分析】根据分布列性质求出，再由期望公式得解.
【详解】由分布列性质可知，，
解得，
.
故选：B
7．B
【分析】由题意，根据列举法，结合古典概型概率的计算公式即可求解.
【详解】记3幅美术作品分别为，3幅书法作品分别为，
从中随机挑选2幅作品，不同的选法有
，，共15种，
其中选出的2幅作品恰好为1幅美术作品和1幅书法作品的不同选法有
，共9种，
故所求概率为．
故选：B
8．A
【分析】根据题意运用全概率公式进行求解即可.
【详解】设事件A表示第一次抽取的是黑球，则，，
事件表示第二次抽取的是黑球，可知，
所以
故选：A.
9．AC
【分析】由分布列的性质和期望公式求出可判断ABC；由方差公式可判断D.
【详解】由可得：①，
又因为，解得：，故C正确.
所以，
则②，所以由①②可得：，故A正确，B错误；
,
，故D错误.
故选：AC.
10．ACD
【分析】根据互斥事件性质可求得A正确，B错误，再由相互独立事件性质可得C正确，利用对立事件及条件概率公式可得D正确.
【详解】对于A，若为互斥事件，则，即可得A正确；
对于B，由可得，
又为互斥事件，则，又，即B错误；
对于C，若相互独立，则,
所以，即C正确；
对于D，若，所以；
可得，
所以，即D正确.
故选：ACD
11．CD
【分析】根据题意，结合正态分布曲线的对称性，求得和的值，即可求解.
【详解】由随机变量服从正态分布，且，可得，
对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A错误，C正确；
对于B中，由正态分布曲线的对称性，可得，所以B错误，D正确.
故选：CD.
12．BC
【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据即可判断D.
【详解】对B，，所以，B正确；
对A，，所以，A错误；
对C，，所以，C正确；
对D，
，D错误.
故选：BC.
13．/0.4
【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率.
【详解】设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B，
则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局，
，
，
所以.
故答案为：.
14．10
【分析】根据题意可知该生答对问题的个数服从二项分布，利用二项分布求得，再由与的关系求得即可.
【详解】依题意，设表示该生答对问题的个数，则服从二项分布，即，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：10.
15．
【分析】根据题意利用正态分布性质分别计算出技术改造前后的优品率，可得结果.
【详解】技术改造前，易知，
则其优品率为；
技术改造后，其中，
则其优品率为；
所以优品率之差为.
故答案为：
16．
【分析】利用正态分布的性质，列出不等式，解出即可.
【详解】因为，
所以，所以.
故答案为：.
17．(1)
(2)①841；②14
【分析】（1）根据题意利用古典概型即可计算；
（2）①由样本数计算，进而利用求解即可；
②首先求在内的概率，再由题意可知，然后设，最后利用可求使得的最小的值，从而得到使最大的的值.
【详解】（1）设事件“抽取的3名教师中恰有2名教师是研修先进个人”为．
由题知样本中学习时长不低于80小时的人数为3，时长低于80小时的人数为7，
则，
所以这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率为．
（2）①由样本数据知，．
因为，
所以，
所以，学习时长不低于50小时的教师人数为841.
②每名教师的学习时长在内的概率为，
由题意可知，则，
设，则．
令，得，所以当时，，
令，得，所以当时，，
所以当时，最大，即使最大的的值为14．
18．(1)分布列见解析；
(2)；
(3)证明见解析，最大值为5．
【分析】（1）求出对应随机变量的概率，列出分布列即可；
（2）根据条件概率的公式，计算即可得解；
（3）求出，再得出期望，作差证明单调性，利用错位相减法求出，根据单调性解不等式得解.
【详解】（1）X的所有可能取值为0，1，2，
，，
，
的分布列如下：
X 0 1 2
P
（2）记A团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，
若前面人都没有一人闯过第一关，其概率为，
若前面人有一人闯过第一关，其概率为，
故，
“第6位成员上场且闯过第二关”，“第3位成员闯过第一关”，
故，
．
（3）由（2）知，．
当时，若前面人都没有一人闯过第一关，其概率为，
若前面人有一人闯过第一关，其概率为，
故．
故．
，即单调递增；又，
故，
所以，①
，②
得，
故．
由，得，
设，则，
故单调递减，，故满足题意的n的最大值为5．
【点睛】关键点点睛：根据题意求出，再利用作差法判断单调性是第一个关键点，第二个关键点在于利用，错位相减法求出.
19．(1)
(2)选择乙老师，理由见解析
【分析】（1）借助二项分布与超几何分布的概率计算公式计算即可得；
（2）计算出相应二项分布与超几何分布的期望与方差即可得.
【详解】（1）设甲，乙两名教师都只答对2个问题的情况分别为事件与事件，
则，；
所以；
（2）设甲教师得分数为，则答对题数为，有，
故，，
设乙教师得分数为，则的可能取值为，，，
，，，
则，
，
由，，则乙老师更为稳定，故选择乙老师.
20．(1)
(2)
【分析】（1）时，样本空间包含个样本点，再求所求事件的样本点个数，即个元素的全错位排列数，分步计算求解，再由古典概型概率公式可得；
（2）引入随机变量，则，分别求解与的值，再由题目后注公式可求得，再由数列的单调性求解满足的的最小值.
【详解】（1）当时，样本空间包含个样本点，
记“每人夹的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜”为事件，
则事件的结果数是个元素的全错位排列数，记表示4个元素的全错位排列数，可以分步计算，
第一步，让来先夹菜，除了正中央和自己面前的菜外，他有3种选择；
第二步，若他选择了面前的菜，则让来夹，对于，可以分为两类，
若选面前的菜，则其余人共有种选择，若不选面前的菜，可有种选择，而余下的两人也只有种选择，
所以事件含有的样本点个数为，
所以由古典概型概率公式得，.
（2）将道菜编号，餐桌正中央的菜编号为，其余菜编号为，
，
则，
所以，
因为当时，
所以，
由题意有
由题后注可知，
.
因为，
故数列是递增数列，
又，，
所以的最小值为.
21．(1)
(2)分布列见解析，
(3)，理由见解析
【分析】（1）将的所有可能情况进行分类讨论，即可求得的表达式．
（2）易知X的可能取值为0，1，2，3，7，求出对应概率可得分布列和期望；
（3）依题意可知，若每次投进都得1分，利用二项分布可知，再结合比赛规则可得.
【详解】（1）摸奖5次得分为3分，有如下两种情形：
情形一，恰好两次中奖，且两次相邻；
情形二，恰好三次中奖，且任意两次都不相邻.
情形一发生的概率为.
情形二发生概率为，
所以；
（2）的可能取值为0，1，2，3，7，其中
，，
，，
所以的概率分布列为
X 0 1 2 3 7
P
所以.
（3）.理由如下：
记该同学摸奖30次中奖次数为，则.
若每次中奖都得1分，则得分的期望为.
由题中比赛规则可知连续中奖时，得分翻倍，
故实际总得分的期望必大于每次都得1分的数学期望.
所以.
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