阶段性综合复习训练（考查内容：第6章、第7章）（含解析）2023——2024学年高中数学苏教版（2019）选择性必修第二册

阶段性综合复习训练（考查内容：第6章、第7章）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．4 D．2
2．已知向量，，则向量在向量上的投影向量（ ）
A． B．
C． D．
3．设与为两个正四棱锥，正方形ABCD的边长为且，点M在线段AC上，且，将异面直线PD，QM所成的角记为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
5．将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有（ ）
A．90种 B．120种
C．150种 D．18种
6．现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（ ）

A． B． C． D．
7．展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
8．现有一个6行5列的矩形阵，现有甲、乙、丙三人，要求该三人不在同一行也不在同一列，则不同的站法有（ ）种
A．1200 B．7200 C．3600 D．900
二、多选题
9．如图，已知二面角的棱上有，两点，，，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当二面角的大小为时，
C．若，则与所成的角的余弦是
D．若，则二面角的余弦值为
10．在空间直角坐标系O－xyz中，以下结论正确的是（ ）
A．点关于x轴对称的点的坐标为(－1，－3，4)
B．点关于xOy平面对称的点的坐标为(－1，2，－3)
C．点关于原点对称的点的坐标为(3，－1，－5)
D．两点间的距离为3
11．在主题为“爱我中华”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛（获奖名次不重复）、甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“甲、乙两人之中有一人的成绩为第三人名，丙的成绩不是第五名."根据这个回答，下列结论正确的有（ ）
A．五人名次排列的所有情况共有36种
B．甲、乙的排名不相邻的所有情况共有24种
C．甲、乙的排名均高于丙的排名的所有情况共有8种
D．丙的排名高于甲的排名的所有情况共有24种
12．若且，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A，不重合）．给出下列结论：
①存在点P，使得平面平面；
②对任意点P，都有；
③面积的最小值为；
④若是平面与平面的夹角，是平面与平面的夹角，则对任意点P，都有．其中所有正确结论的序号是 ．
14．已知空间向量，若，则 .
15．某同学从4部中国古典名著和6部外国文学名著中选读4部或5部，并且中外名著各至少选读2部，则不同的选读名著的方案共有 种.（用数字作答）
16．已知的展开式中，含项的系数为，.则 .
四、解答题
17．如图，在正四棱柱中，，E、F分别为、的中点，为上一动点.
(1)当时，证明：；
(2)当二面角为120°时，求的值.
18．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，平面平面．为的中点，且分别为的中点．
(1)证明：．
(2)设交平面于点，求平面与平面夹角的余弦值．
19．如图，在长方体中，；
(1)求二面角的大小；
(2)若点在直线上，求证：直线平面；
20．某大学A学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，已知A学院男生与女生人数之比为，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表．
跑步里程s（）
男生 9 10 6
女生 6 6 4 2
用样本频率估计总体概率，
(1)求a的值，并估计从A学院所有学生中抽取一人，该学生5月份累计跑步里程（）在中的概率；
(2)从A学院所有男生中随机抽取2人，从A学院所有女生中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人在5月份的累计跑步里程不低于的概率；
(3)该大学B学院男生与女生人数之比为，B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样已知A学院和B学院的样本数据整理如下表．
5月份累计跑步里程平均值（单位：）
学院性别 A B
男生 50 59
女生 40 45
设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为，B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为，是否存在，使得 如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由．
21．现有4名男生和3名女生.
(1)若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？
(2)若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数；
(3)若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】根据空间共线向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解.
【详解】由，知，使得，
即，所以，
解得，所以.
故选：B
2．C
【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得.
【详解】由向量，，得，而，
向量在向量上的投影向量.
故选：C
3．A
【分析】建立适当空间站直角坐标系后，借助空间向量表示出的余弦值，结合基本不等式计算即可得解.
【详解】连接交于点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方形的边长为，所以，
因为，所以为的中点，
设，在直角中，有，故，
所以，
则，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，
因此的最小值为.

故选：A.
4．C
【分析】首先分析题意，作，建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标建立方程，整体代换求解即可.
【详解】作，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，，
，即
，即C正确,
故选：C.
5．A
【分析】先将5名实习老师按1人、2人、2人分为三组，再安排到3个班中，由排列组合计数求解即可.
【详解】由题意，先将5名实习老师按1人、2人、2人分为三组，再安排到3个班中，
则不同的安排方法有(种).
故选:A.
6．C
【分析】根据题意，由分步计数原理计算“用四种不同得颜色要对如图形中的五部分进行着色”和“任意有公共边的两块着不同颜色”的涂色方法，由古典概型公式计算可得答案.
【详解】根据题意，用四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，每个部分都有4种涂色方法，则有种涂色方法；
若其中任意有公共边的两块着不同颜色，有两种情况：①只用三种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法；②用四种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法，所以若其中任意有公共边的两块着不同颜色，共有144种涂色方法，故四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为.
故选：C
7．D
【分析】由，写出展开式的通项，即可求出展开式中的常数项.
【详解】因为，
其中展开式的通项为（且），
令，得，∴，
故展开式中的常数项是.
故选：D.
8．B
【分析】利用分步计数原理结合排列组合知识解决.
【详解】事件甲，乙，丙三人不在同一行也不在同一列可分为四步完成，
第一步，从6行中任选三行，共有种方法，
第二步，从所选的三行的15个位置中选一个位置排甲，共有15种方法，
第三步，从余下可选的8个位置中选一个位置排乙，共有8种方法，
第四步，从余下可选的3个位置中选一个位置排丙，共有3种方法，
由分步乘法计数原理可得，
三人不在同一行也不在同一列的不同的站法有种，
故选：B
9．ABD
【分析】由空间向量的数量积运算计算判断A；由数量积的运算律计算判断B；由利用空间向量求出异面直线夹角的余弦判断C；由几何法求出二面角的余弦判断D.
【详解】二面角中，，于，于，，
对于A，，A正确；
对于B，由二面角的大小为，得，
则
，B正确；
对于C，由选项A知，，则与所成的角的余弦为，C错误；
对于D，过作，且使，连接，则四边形是正方形，
有，，而平面，则平面，
又平面，因此，即，由，得，
所以为等边三角形，取中点，连接，则，，
取中点，连接，，有，

又平面，则平面，又平面，则，
因此为二面角的平面角，又，，
显然，即，则，D正确.
故选：ABD
10．BCD
【分析】结合空间直角坐标系的对称关系可判断A，B，C；结合两点间距离公式可求D.
【详解】点关于x轴的对称点的坐标为，故A错误；
点关于xOy平面对称的点的坐标为，故B正确；
关于原点的对称的点的坐标为，故C正确；
两点间的距离为，故D正确.
故选：BCD
11．ACD
【分析】由分步乘法计算可得AC正确；由分类加法和分步乘法计算可得B错误；分丙在第一，第二，第四三种情况用分类加法和分步乘法计算得到D正确.
【详解】A：甲、乙两人之中有一人的成绩为第三人名有种情况，丙的成绩不是第五名有种，剩下全排，所以共有种，故A正确；
B：设甲排在第三，乙可在第一和第五；
当乙在第一时，有种；
当乙在第五时，有种，
甲乙可以互换，所以共有种，故B错误；
C：由条件可知，丙只能在第四，
当甲在第三，乙只能在第一，第二的位置共有种，
由于甲乙可以互换，所以共有种，故C正确；
D：丙在第一时，有种；
丙在第二时，分为两种情况，①甲在第三，有种；②乙在第三，甲在第四或五，有种；
丙在第四，甲只能在第五，此时乙在第三，有2种；
所以共有种，故D正确；
故选：ACD.
12．BC
【分析】根据排列数和组合数的公式及性质逐项判断即可.
【详解】由组合数的性质知，故A错误；
因为，，故，故B正确；
由，得，故C正确；
，故D错误.
故选：BC.
13．①②③
【分析】①可通过线面垂直的判定定理找到点P；②③④都可以通过建立空间直角坐标系解决，其中通过向量的长度可以对②进行判断；利用两条直线所成的角和三角形面积公式可以判断③；求出三个面的法向量，并求出和，即可对④进行判断.
【详解】①因为，在上取点使，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，故①正确；
②以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图
，，，，则，，
设，则，,
从而，，所以，故②正确；
③由②，，，
，，
当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为，故③正确；
④平面的法向量，平面的法向量，
设平面的法向量，
由即得，
令得，
则，，
令得或，而，故，
从而对存在点P，使得，而不大于直角，
故，故④错误；
故答案为：①②③.
14．
【分析】利用空间向量共线的坐标运算，即可求出结果.
【详解】因为，，
所以，解得，
故答案为：.
15．270
【分析】分选读4部名著或选读5部名著2种情况，根据题意结合组合数分析求解.
【详解】若选读4部名著，则不同的选读名著的方案共有种；
若选读5部名著，可知中国古典名著有2部或3部，则不同的选读名著的方案共有种；
所以不同的选读名著的方案共有种.
故答案为：270.
16．1023
【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合题意求得，再通过赋值法先求，再求目标即可.
【详解】的展开式的通项公式为，
令，则可得含项的系数，则，
对，令，解得；对，令，解得，
故.
故答案为：.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标，用向量共线定理证明结论.
（2）设，进而用参数求出相应平面的法向量，结合已知二面角大小列方程求参数.
【详解】（1）如图：以为原点，建立空间直角坐标系.
则，，，因为为中点，所以，
，,，因为，所以.
所以，，所以，故.
（2）结合二面角大小知：在线段靠近部分，设（），则，
设，则，即.
所以，.
设平面的法向量为，则
，取.
又平面的法向量可以取.
所以，，.
因为二面角为120°.
所以.
结合图形，，所以.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设与交于点，根据题意，证得和，结合线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得．
（2）由（1）知平面，得到平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：如图所示，设与交于点，连接，
因为底面是平行四边形，所以为的中点，
又因为，所以，
因为，且为的中点，所以，
又因为平面，且平面平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以．
（2）解：如图所示，连接，因为为的中位线，所以，
因为平面平面且，
所以，且，
由分别为的中点，看到的，
由（1）知平面，所以平面．
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
所以，则，
设为平面的法向量，则，
取，可得，所以，
又由平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，可得．
即平面与平面的夹角余弦值为.
19．(1)
(2)见解析
【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
（2）设，求出，则，再由可证明直线平面.
【详解】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，
因为，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的法向量为
所以，
所以二面角的大小为.
（2）设，则设，，
所以，所以，
平面的法向量为，
，因为平面，
所以直线平面.
20．(1)，概率为
(2)
(3)存在满足条件的，且的最大值为
【分析】（1）先根据男女比即可求出，再根据古典概型即可求出所求概率；
（2）先分别求出在A学院所有男生中任取人，跑步里程不低于的概率及在A学院所有女生中任取人，跑步里程不低于的概率，再根据乘法公式求解即可；
（3）设学院女生人数为，则男生人数为，求出，，即可得到不等式，解得即可.
【详解】（1）依题意，解得，
所以在中的概率为；
（2）学院所抽取的学生中男生有人，
其中5月份的累计跑步里程不低于有人，
女生有人，
其中5月份的累计跑步里程不低于有人，
所以在A学院所有男生中任取人，跑步里程不低于的概率为，
在A学院所有女生中任取人，跑步里程不低于的概率为，
所以4人中恰有2人累计跑步里程不低于的概率为
；
（3）设B学院女生有人，则男生有人，
，
，
依题意，即，
显然，解得，所以的最大值为.
21．(1)1440
(2)25
(3)1200
【分析】（1）采用插空法进行求解即可；
（2）采用去杂法进行求解即可；
（3）根据分类加法计数原理，结合排列和组合的定义进行求解即可.
【详解】（1）由题意可知；运用插空法，可得共有排法数为种.
（2）由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有种方法，
男生甲和女生乙同时参加的方法有
共有邀请方法数为种.
（3）有两类不同情形：
①先选4个工厂，将3名女生和1名男生安排在同一个工厂，其余3名男生分别在另三个工厂，一厂安排一人，其方法数为种；
②先选4个工厂，将3名女生安排在一个工厂，4名男生安排在另外三个工厂，有一厂两人，另两厂各一人，
其方法数为种.
所以共有种不同的安排方法.
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