导数的应用(浙江省台州市路桥区)

课件19张PPT。3.3.2极大值与极小值知 识 回 顾1、一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0, 如果f′(x)<0, 则f(x)为增函数;则f(x)为减函数. ２、用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
（1）（3）求出函数的导函数（2）求解不等式f′(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间求解不等式f′(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间求函数的定义域 函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?观察图像：一、函数的极值定义一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；◆函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即峰谷处的值------不一定最大或最小）使函数取得极值的点x0称为极值点数学建构 （3）极大值与极小值没有必然关系，
极大值可能比极小值还小. 注意：（1）极值是某一点附近的小区间而言
的,是函数的局部性质,不是整体的最值;（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间
内可能有多个极大值和极小值； 观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?f?(x) >0f?(x) =0f?(x) <0极大值f?(x) <0f?(x) =0极小值f?(x) >0数学建构请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？ f ?(x)<0x1在极大值点附近在极小值点附近 f ?(x)<0 f ?(x)>0 f ?(x)>0二、判断函数极值的方法x2左正右负为极大，右正左负为极小观察与思考：极值与导数有何关系？在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。例1 求函数 的极值。解：定义域为R，y′=x2-4由y′=0可得x=-2或 x=2当x变化时，y′, y的变化情况如下表：因此，当x=-2时， y极大值=17/3 当x=2时， y极小值=－5++0-0极大值
17/3极小值
-5求可导函数f(x)极值的 步骤：(2)求导数f ’(x)；(3)求方程f ’(x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f ’(x)在方程根左右的符号——
如果左正右负（+ ~ -），
那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正（- ~ +），
那么f(x)在这个根处取得极小值；(1) 确定函数的定义域；例2 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。解：定义域为R， y′=6x(x2-1)2。由y′=0可得x1=-1, x2=0 ，x3=1当x变化时，y′ , y的变化情况如下表：因此，当x=0时， y极小值=0点评：一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号。1.求f（x）＝x２－x－２的极值.解：练习:练习2:求函数 的极值.解:令 =0,解得x1=-1,x2=1.当x变化时, ,y的变化情况如下表:因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;
而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.3:下列函数中，x=0是极值点的函数
是( )
A.y=－x3 B.y=x2
C.y=x2－x D.y=1/x分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x=0是否是极值点，只要看x=0点两侧的导数是否异号就可以了。B4、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( )
A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值
B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值
C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值D练习：A注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别5、 函数 在 时有极值10，则a，b的值为（ ）
A、 或
B、 或
C、 D、 以上都不对 C，注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验 6、故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.作业:求函数 的极值.解:函数的定义域为令 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表: