4.3公式法第1课时 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
北师大版 数学 八年级下册
第1课时
第四章 因式分解
3 公式法
学习目标
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想.
（重点）
2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.（难点）
复习回顾
1.提公因式法因式分解时，公因式既可以是一个 的形式，也可以是一个 的形式.
单项式
多项式
2.提公因式法因式分解的步骤：
(1)观察；
(2)适当 ；
(3)确定公因式；
(4)提取公因式.
变形
一、创设情境，引入新知
填空：
（1）（x+5）（x-5） = ；
（2）（3x+y）（3x-y）= ；
（3）（3m+2n）（3m–2n）= ．
它们的结果有什么共同特征？
以上都是用平方差公式：(a+b)( a-b)＝a2-b2计算得出来的.
整式的乘法
9 –
9 –
尝试将上面的结果分别写成两个因式的乘积：
一、创设情境，引入新知
（x+5）（x-5）
（3m+2n）（3m–2n）
（3x+y）（3x-y）
因式分解
它们有什么共同特征？你能由此得到什么结论？
共同特征：两个数（式）的平方差可以化成这两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积的形式,这种变形就是我们今天学习的内容.
二、自主合作，探究新知
探究一：用平方差公式因式分解
把乘法公式(a+b)( a-b)＝a2-b2反过来，就得到
a2-b2＝(a+b)( a-b).
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
注意：能用平方差公式分解因式的多项式的特点:a2-b2.
即多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)A.a2+(-b)2 　　　　　　　　　B.5m2-20mnC.-x2-y2 　　　　　　　　　　D.-x2+9
D
解析：A中a2+(-b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B中5m2-20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中-x2-y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D中-x2+9＝-x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确.故选D.
想一想：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，如果能，请将其转化成（　）２－（　）２的形式.
(1) 2 －81
(2) 1 －162
(3) 42+9
(4
(5)
二、自主合作，探究新知
不能转化为平方差形式.
不能转化为平方差形式.
= 2 －92
= 12－(4 )2
二、自主合作，探究新知
解：（1）25-16x2
=52-(4x)2
=(5+4x)(5-4x)；
归纳：第一步，将两项写成平方的形式，找出a、b;
第二步，利用a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式.
典型例题
例2：把下列各式因式分解.
（1）25-16x2； （2）.
（2）
=
=
二、自主合作，探究新知
议一议：观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解.
(1)a4-b4；　 (2)x3y2-xy4.
还能继续分解吗？
解：(1)a4-b4
=(a2+b2)(a2-b2)
=(a2+b2)(a+b)(a-b)
(2) x3y2-xy4
＝xy2(x2-y2)
有公因式的要先提公因式,再进一步分解.
＝xy2(x+y)(x-y).
二、自主合作，探究新知
典型例题
解：(1)9(m+n)2-(m-n)2
=[3(m+n)]2-(m-n)2
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n);
例3 把下列各式因式分解：
（1）9(m+n)2-(m-n)2； （2）2x3-8x.
（2）2x3-8x
=2x(x2-4)
=2x(x2-22)
=2x(x+2)(x-2).
二、自主合作，探究新知
知识要点
运用平方差公式因式分解的注意事项：
1.具有平方差形式的多项式才可运用平方差公式分解因式.
2.公式中的字母 可以是单项式，也可以是多项式，应视具体情形灵活运用.
3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式.
4.分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简，直到不能再分解为止.
二、自主合作，探究新知
探究二：用平方差公式因式分解的应用
求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.
证明：原式＝(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)＝4n·2＝8n，
∵n为整数，∴8n被8整除，
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.
二、自主合作，探究新知
典型例题
解：(1)1012-992
＝(101+99)(101-99)
＝400.
例4 利用因式分解计算：(1)1012-992； (2)5722×-4282×.
(2)5722×-4282×
＝(5722-4282)×
＝(572+428)(572-428)×
＝1000×144×
＝36 000.
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
三、即学即练，应用知识
1.下列多项式中能用平方差公式因式分解的是( )A.a2+(-b)2　　　　　　 B.5m2-20mnC.x2-y2　　　　　　 D.x2+9
C
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（　　）
A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
D
A
5.若k为整数,且993-99能被k整除,则k不可能是(　　)A.100 B.99
C.98 D.97
4.如图所示，已知R=6.75，r=3.25，则图中阴影部分的面积为(结果保留π)(　　)A.3.5π　　　　 B.12.25π
C.27π　　　　 D.35π
三、即学即练，应用知识
D
D
9.若a+b=4，a-b=1，则(a+1)2-(b-1)2的值为　　　　.
7.因式分解：-0.81+121a2=　　　　　　　　　　　　.
三、即学即练，应用知识
(11a+0.9)(11a-0.9)
12
6.下列各式能用平方差公式因式分解的是 .
①a2+b2；②-x2-y2；③-x2+4；④x2-y4；⑤a4-1；⑥(x-y)2-(x+y)2.
③④⑤⑥
8.若m2-n2=6，m-n=2，则m+n=　　　.
3
三、即学即练，应用知识
解: (1)x2-16
=x2-42
=(x+4)(x-4).
(2)x3y-xy3
=xy(x2-y2)
=xy(x+y)(x-y).
(4)(3x+2y)2-(2x+3y)2=(3x+2y+2x+3y)(3x+2y-2x-3y)=(5x+5y)(x-y)
=5(x+y)(x-y).
(3)49m2-n2
=(7m)2-()2
=(7m+)(7m-).
10.把下列各式因式分解: (1)x2-16； (2)x3y-xy3；
(3)49m2-n2； (4)(3x+2y)2-(2x+3y)2.
11.如图所示，在边长为6.8cm的正方形钢板上挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积.
三、即学即练，应用知识
解:根据题意得6.82-4×1.6=6.82-(2×1.6)2=6.82-3.22
=(6.8+3.2)(6.8-3.2)=10×3.6=36(cm2)
答:剩余部分的面积为 36cm2.
四、课堂小结
公式法1
平方差公式因式分解
步骤
一提：有公因式的先提取公因式；
二套：套用公式（平方差公式）；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
a2-b2＝(a+b)( a-b).（两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.）
注意：能用平方差公式分解因式的多项式的特点:a2-b2.即多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.
2.下列因式分解中,结果正确的是(　　)A.x2-25=(x+5)(x-5)B.1-(x+2)2=(x+1)(x+3)C.4m2-n2=(2m+n)(m-n)D.x2-4=(x-2)2
1.多项式x2-4因式分解的结果是(　　)A.(x+2)(x-2) B.(x-2)2
C.(x+4)(x-4) D.x(x-4)
五、当堂达标检测
A
A
6.计算：1002-992+982-972+962-952+… +22-12=　　　　.
5.因式分解：2a2-18=　　　 　.
4.若x2-9=(x+a)(x+3),则a=　　　　.
五、当堂达标检测
-3
2(a+3)(a-3)
3.因式分解：(x-1)2-9= .
(x+2)(x-4)
5050
五、当堂达标检测
7.把下列各式因式分解:
(1)(2x+3y)2-1； (2)-16a4b4+1； (3)2a2(n-m)+8(m-n).
解: (1)(2x+3y)2-1=(2x+3y)2-12=(2x+3y+1)(2x+3y-1).
(2)-16a4b4+1
=1-16a4b4
=12-(4a2b2)2
=(1+4a2b2)(1-4a 2b2)=(1+4a2b2)(1+2ab)(1-2ab).
(3)2a2(n-m)+8(m-n)
=2(n-m)(a2-4)
=2(n-m)(a-2)(a+2).
五、当堂达标检测
8.已知n为整数，试说明(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20 整除.
解:∵(n+7)2-(n-3)2
=(n+7+n-3)(n+7-n+3)
=20(n+2)，
∴(n+7)2-(n-3)2的值一定能被 20 整除.
五、当堂达标检测
9.将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法.如“2+2”分法:ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)= a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b).请你仿照以上方法,探索并解决下列问题:(1)因式分解:x2-y2-x-y;(2)因式分解:x3+x2y-xy2-y3.
解: (1)原式=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1).
(2)原式=(x3+x2y)-(xy2+y3)=x2(x+y)-y2(x+y)=(x+y)2(x-y).
教材习题4.4.　　　　
六、布置作业