福建省福州市福建师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 福建省福州市福建师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-16 07:44:46 | ||
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文档简介
福建师大附中2023~2024学年上学期期末考试
高二数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线的倾斜角为，且过点，则它在轴上的截距为（ ）
A.2 B. C.4 D.
2.已知数列满足，，则（ ）
A. B. C.2 D.4
3.中国古代数学名著《算法统宗》记载有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品、从一品、正二品、从二品、正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正二品分得的俸粮是（ ）
A.35石 B.48石 C.61石 D.74石
4.若圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
6.已知等差数列，前项和分别为，，若，则（ ）
A.2 B. C.1 D.
7.已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知直线恒过抛物线的焦点，且与交于点，，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线，，的斜率分别为，，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知曲线，，则（ ）
A.的长轴长为4 B.的渐近线方程为
C.与的焦点坐标相同 D.与的离心率互为倒数
10.直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ）
A. B. C. D.
11.已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A.数列是递增数列 B.
C.当取得最大值时， D.
12.将数列中的所有项排成如下数阵：
……
已知从第2行开始每一行比上一行多两项，第1列数，，，…成等差数列，且，.从第2行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以2为公比的等比数列，则（ ）
A.
B.位于第5行第9列
C.
D.若，则位于第3行第5列或第8行第3列
第II卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若方程表示一个圆，则实数的取值范围是______.
14.若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为______.
15.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为______.（参考数据：，，，）
16.已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则______，不等式成立的的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.已知圆的圆心在直线上，且过点，.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线经过，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.
18.已知数列满足，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式与最大值.
19.已知抛物线及该抛物线上一点.
（1）过点作抛物线的切线，求该切线的方程；
（2）过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值.
20.已知数列的前项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21.已知数列是正项等比数列，且，，若数列满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）已知，记，若恒成立，求实数的取值范围.
22.已知椭圆的离心率为，斜率为2的直线与轴交于点，与交于，两点，是关于轴的对称点.当与原点重合时，面积为.
（1）求的方程；
（2）当异于点时，记直线与轴交于点，求周长的最小值.
福建师大附中2023-2024学年上学期期末考试
高二数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B C C B D D B BD ACD CD AC
13. 14. 15.5 16.14，13
17.（1）
（2）或
【详解】（1）设圆心坐标为，因圆C过点，，故有，
即：，解得：，
则，圆的半径为，故圆的方程为：.
（2）如图，直线经过的点恰好在圆上，
因直线被圆截得的弦长为2，故其斜率一定存在，
设直线为，即，
过点作，垂足为，则，又，
故得：，即点到直线的距离为，
解得：或，即直线的方程为：或.
18.（1）证明见解析（2），最大值是.
【详解】（1）因为，.
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，即.
当时，由反比例函数的性质知单调递减，所以，
又，，，所以数列的最大值是.
19.（1）（2）证明见解析
【详解】（1）由题知，切线的斜率存在，设过点的切线方程为，
联立，因为，故消去得，
由，整理得：，解得，
所以切线的方程为：
（2）设，故直线的斜率为
由题可设，即，
代入抛物线的方程得，即，
则，故，
设，即，同理可得，
直线的斜率，所以直线的斜率为定值.
20.（1）（2）
【详解】（1），当时，，，
当时，，①，，②
①-②得即，
，，，
是以首项为2，公比为2的等比数列，则，；
（2）由上可知：，所以，
，
，.
21.（1），（2）
【详解】（1）设数列的公比为，由，得，
由，得，所以，
即，解得（舍去），或，所以，
因为，所以，由，得，得，当时，，
当时，，所以，
（2）由（1）得
，
所以
，
由恒成立，得，得恒成立，
令，，则
，
当时，，当时，，
当时，，所以，
所以，所以，
所以，即实数的取值范围为
22.（1）
（2）
【详解】（1）当与原点重合时，可设，则有、，
且，即有，则，
即，又，故，则，
即有，由离心率为，即，
则，故，即有，
解得，故，即的方程为；
（2）设直线方程为，令，有，即，
设点、，则.，
联立直线与椭圆方程：，消去有，
，即，有，，
为，
令，故，
由，故
其中，即，
则，
当且仅当时等号成立，故周长的最小值为.
高二数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线的倾斜角为，且过点，则它在轴上的截距为（ ）
A.2 B. C.4 D.
2.已知数列满足，，则（ ）
A. B. C.2 D.4
3.中国古代数学名著《算法统宗》记载有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品、从一品、正二品、从二品、正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正二品分得的俸粮是（ ）
A.35石 B.48石 C.61石 D.74石
4.若圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
6.已知等差数列，前项和分别为，，若，则（ ）
A.2 B. C.1 D.
7.已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知直线恒过抛物线的焦点，且与交于点，，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线，，的斜率分别为，，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知曲线，，则（ ）
A.的长轴长为4 B.的渐近线方程为
C.与的焦点坐标相同 D.与的离心率互为倒数
10.直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ）
A. B. C. D.
11.已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A.数列是递增数列 B.
C.当取得最大值时， D.
12.将数列中的所有项排成如下数阵：
……
已知从第2行开始每一行比上一行多两项，第1列数，，，…成等差数列，且，.从第2行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以2为公比的等比数列，则（ ）
A.
B.位于第5行第9列
C.
D.若，则位于第3行第5列或第8行第3列
第II卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若方程表示一个圆，则实数的取值范围是______.
14.若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为______.
15.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为______.（参考数据：，，，）
16.已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则______，不等式成立的的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.已知圆的圆心在直线上，且过点，.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线经过，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.
18.已知数列满足，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式与最大值.
19.已知抛物线及该抛物线上一点.
（1）过点作抛物线的切线，求该切线的方程；
（2）过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值.
20.已知数列的前项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21.已知数列是正项等比数列，且，，若数列满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）已知，记，若恒成立，求实数的取值范围.
22.已知椭圆的离心率为，斜率为2的直线与轴交于点，与交于，两点，是关于轴的对称点.当与原点重合时，面积为.
（1）求的方程；
（2）当异于点时，记直线与轴交于点，求周长的最小值.
福建师大附中2023-2024学年上学期期末考试
高二数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B C C B D D B BD ACD CD AC
13. 14. 15.5 16.14，13
17.（1）
（2）或
【详解】（1）设圆心坐标为，因圆C过点，，故有，
即：，解得：，
则，圆的半径为，故圆的方程为：.
（2）如图，直线经过的点恰好在圆上，
因直线被圆截得的弦长为2，故其斜率一定存在，
设直线为，即，
过点作，垂足为，则，又，
故得：，即点到直线的距离为，
解得：或，即直线的方程为：或.
18.（1）证明见解析（2），最大值是.
【详解】（1）因为，.
所以数列是以为首项，3为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，即.
当时，由反比例函数的性质知单调递减，所以，
又，，，所以数列的最大值是.
19.（1）（2）证明见解析
【详解】（1）由题知，切线的斜率存在，设过点的切线方程为，
联立，因为，故消去得，
由，整理得：，解得，
所以切线的方程为：
（2）设，故直线的斜率为
由题可设，即，
代入抛物线的方程得，即，
则，故，
设，即，同理可得，
直线的斜率，所以直线的斜率为定值.
20.（1）（2）
【详解】（1），当时，，，
当时，，①，，②
①-②得即，
，，，
是以首项为2，公比为2的等比数列，则，；
（2）由上可知：，所以，
，
，.
21.（1），（2）
【详解】（1）设数列的公比为，由，得，
由，得，所以，
即，解得（舍去），或，所以，
因为，所以，由，得，得，当时，，
当时，，所以，
（2）由（1）得
，
所以
，
由恒成立，得，得恒成立，
令，，则
，
当时，，当时，，
当时，，所以，
所以，所以，
所以，即实数的取值范围为
22.（1）
（2）
【详解】（1）当与原点重合时，可设，则有、，
且，即有，则，
即，又，故，则，
即有，由离心率为，即，
则，故，即有，
解得，故，即的方程为；
（2）设直线方程为，令，有，即，
设点、，则.，
联立直线与椭圆方程：，消去有，
，即，有，，
为，
令，故，
由，故
其中，即，
则，
当且仅当时等号成立，故周长的最小值为.
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