相似三角形
1.相似三角形
【知识与技能】
1.知道相似三角形的概念；
2.能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角；
3.会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长；
4.掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似”来判断两个三角形相似.
【过程与方法】
在探索活动中，发展发现问题、解决问题的意识和合作交流的习惯.
【情感态度】
培养学生严谨的数学思维习惯.
【教学重点】
掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似.
【教学难点】
熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或角的度数.
一、情境导入，初步认识
复习：什么是相似形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？
二、思考探究，获取新知
1.相似三角形的有关概念：
由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似.
三角形是最简单的多边形.由此可以说什么样的两个三角形相似？
如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC与△A′B′C′中，∠A=A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′，，那么△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两个三角形相似就读作“△ABC相似于△A′B′C′”.
由于∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′，所以A与A′是对应顶点，B与B′是对应顶点，C与C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边.如果记=k，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比.相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系.如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为k，即指=k，那么△A′B′C′与△ABC的相似比应是，就不是k了，应为多少呢？同学们想一想.
如果△ABC∽△A′B′C′,相似比k=1，你会发现什么呢？=1，所以可得AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′，因此这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例.试问：①全等的两个三角形一定相似吗？②相似的两个三角形会全等吗？
2.△ABC中，D是AB上任意一点，过D作DE∥BC,交AC边于E，那么△ADE与△ABC是否相似？
【分析】判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑.能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得，通过度量发现，所以可以判断出△ADE与△ABC相似.
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思考 （1）你能否通过演绎推理证明你的猜想？
（2）若是DE∥BC,DE与BA、CA延长线交于E、D，那么△ADE与△ABC还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式.
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【归纳结论】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.
例1 如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长.
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解：∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=13，
∴BC=3DE=15.
三、运用新知，深化理解
1.如图所示，DE∥BC.
（1）如果AD=2,DB=3，求DE∶BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长.
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2.如图，梯形ABCD中，AD∥BC,点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G.
（1）求证：;
（2）若GE=2,BF=3，求线段EF的长.
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【答案】1.（1）DE∶BC=2∶5
（2）AE=6,BC=.
2.（1）证明：∵AD∥BC，∴△GED∽△GBC，∴.又∵ED=AE,
∴.
（2）设EF的长为x,则由（1）知,
又∵,∴,即
,解得x1=-6（舍去）,x2=1,
∴EF=1.
【教学说明】第2题教师适当点拨，小组讨论后独立完成.
四、师生互动，课堂小结
你这节课学到了哪些知识？还有哪些疑问？
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.
本节课通过复习相似多边形的性质与判定引入 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形相似的概念，表示方法及判定方法，通过思考探究、动手测量、猜想、演绎证明推导出相似三角形的判定的预备定理，即平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似，并通过例题练习运用新知，深化理解.相似三角形的性质
【知识与技能】
会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
【过程与方法】
培养学生演绎推理的能力.
【情感态度】
感受数学来源于生活，来源于实践.
【教学重点】
1.相似三角形中的对应线段比值的推导；
2.相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导；
3.运用相似三角形的性质解决实际问题.
【教学难点】
相似三角形性质的灵活运用，相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用.
一、情境导入，初步认识
复习：1.判定两个三角形相似的简便方法有哪些？
2.在△ABC与△A′B′C′中，AB=10 ( http: / / www.21cnjy.com )cm,AC=6cm,BC=8cm,A′B′=5cm,A′C′=3cm,B′C′=4cm，这两个三角形相似吗？说明理由.如果相似，它们的相似比是多少
二、思考探究，获取新知
上述两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′,相似比为=2.
相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之外，还会得出什么结果呢？
一个三角形内有三条主要线段——高线、 ( http: / / www.21cnjy.com )中线、角平分线，如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢？我们先探索一下它们的对应高之间的关系.
同学画出上述的两个三角形，作对应边BC和B′C′边上的高，用刻度尺量一量AD与A′D′的长，等于多少呢？与它们的相似比相等吗？得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比.我们能否用说理的方法来说明这个结论呢？
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△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，且∠B=∠B′.
∴△ABD∽△A′B′D′,∴=k
思考：相似三角形面积的比与相似比有什么关系
【教学说明】引导学生通过演绎推理来证明.
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归纳：相似三角形面积的比等于相似比的平方.
同学们用上面类似的方法得出：相似三角形对应边上的中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比.
如梯形ABCD的对角线交于点O，,已知S△DOC=4，求S△AOB、
S△AOD.
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【分析】∵DC∥AB,∴△DOC∽△BOA，由相似三角形的性质可求出S△AOB、S△AOD.
解：∵DC∥AB，∴△DOC∽△BOA，
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三、运用新知，深化理解
1.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一 ( http: / / www.21cnjy.com )个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（图形）的示意图.已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面为1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为 .
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【教学说明】运用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键.
2.如图,△ABC中，BC=24cm，高 ( http: / / www.21cnjy.com )AD=12cm，矩形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，且EF∶EH=4∶3，求EF、EH的长.
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【答案】1.0.81πm2
2.HG=9.6cm;EH=7.2cm
【教学说明】充分运用矩形边长的比来建立方程，可使问题得到解决.
四、师生互动，课堂小结
1.相似三角形对应角相等，对应边成比例.
2.相似三角形对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.
本课时从复习已经学习过的相似三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质入手，提出问题继续探究相似三角形的有关性质，通过动手测量，猜想出结论，并加以证明，加深对知识的理解，提高学生分析、归纳、表达、逻辑推理等能力，并通过对知识方法的总结，培养反思问题的习惯，形成理性思维.相似三角形的判定
【知识与技能】
1.掌握相似三角形的判定定理2：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；
2.掌握相似三角形的判定定理
3：三条边对应成比例的两个三角形相似.3.能依据条件，灵活应用相似三角形的判定定理，正确判断两个三角形相似.
【过程与方法】
在推理过程中学会灵活使用数学方法.
【情感态度】
培养学生严谨的数学证明习惯和对数学的兴趣.
【教学重点】
相似三角形的判定定理2、3的推导过程，掌握相似三角形的判定定理2、3并能灵活应用.
【教学难点】
相似三角形的判定定理的推导及应用.
一、情境导入，初步认识
复习：1.现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法：(1)根据定义；（2）有两个角对应相等的两个三角形相似.
2.如图△ABC中，D、E是AB、AC上三等分点（即AD=AB,AE=AC)，那么△ADE与△ABC相似吗？你用的是哪一种方法？
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由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量什么后可以判断它们是否相似？
【教学说明】可能有一部分同学用量角器量 ( http: / / www.21cnjy.com )角，有一部分同学量线段，看看能否成比例，无论哪一种，都应肯定他们是正确的，要求同学说出是应用哪一种方法判断出的.
二、思考探究，获取新知
同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE∽△ABC.从已知条件看，△ADE与△ABC有一对对应角相等，即∠A=∠A(是公共角），而一个条件是AD=AB,AE=AC,即是,，因此.△ADE的两条边AD、AE与△ABC的两条边AB、AC会对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗？我们再做一次实验.观察教材图23.3.10，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？
图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为，将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE=AC时，△ADE与△ABC相似，此时.
猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.
你能否用演绎推理的方法证明你的猜想？
【教学说明】引导学生证明上述猜想.
【归纳结论】 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似.你能画出有两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗？（画顶角与底角相等的两个等腰三角形）∠B=∠B′,.
例1（课本中例4）判断图中△AEB与△FEC是否相似.
例2 如图△ABC中，D、E是AB、 ( http: / / www.21cnjy.com )AC上的点，AB=7.8，AD=3，AC=6，CE=2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，小张同学的判断理由是这样的:
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解：因为AC=AE+CE，而AC=6，CE=2.1，故AE=6-2.1=3.9.由于，所以△ADE与△ABC不相似.
你同意小张同学的判断吗？请你说说理由.
解：小张同学的判断是错误的.
因为,,所以，而∠A是公共角，∠A=∠A,所以△ADE∽△ACB.
请同学再做一次实验，看看如果两个三角形的三边都成比例，那么这两个三角形是否相似？
看课本69页“做一做”.
通过实验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简单地说就是，三边成比例的两个三角形相似.
例3 △ABC和△A′B′C′中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,A′B′=18cm,B′C′=24cm,A′C′=30cm，试判定它们是否相似，并说明理由.
三、运用新知，深化理解
1.如图，△ADE与△ABC相似吗？请说明理由.
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2.如图，已知,∠BAD=20°，求∠CAE的大小.
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【教学说明】引导学生自主完成，学生代表在黑板上展示，教师点评.
四、师生互动，课堂小结
1.相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2.相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
3.根据题目的具体情况，选择适当的方法证明三角形相似.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.
本节课通过复习上节课学习的相似三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定定理入手，提出新问题引入新课，再通过学生动手测量、猜想结论并证明等活动中的体验，完成对相似三角形的判定定理2、3的认识，加深对判定定理的理解.教学过程中，强调学生自主探究和合作交流，经历观察、实验、猜想、证明等思维过程，从中获得知识与技能，培养学生的综合能力.相似三角形的应用
【知识与技能】
会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度.自己设计方案测量高度,体会相似三角形在解决实际问题中的广泛应用.
【过程与方法】
通过利用相似解决实际问题，进一步提高学习应用数学知识的能力.
【情感态度】
让学生体会数学来源于生活，应用于生活，体验数学的功用.
【教学重点】
构建相似三角形解决实际问题.
【教学难点】
把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形来解决.
一、情境导入，初步认识
复习
1.相似三角形有哪些性质？
2.如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF,DE⊥BF,AC∥DF.
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（1）△DEF与△ABC相似吗？为什么？
（2）若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？
（（1）△DEF∽△ABC.（2）AB=5）
二、思考探究，获取新知
第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例， ( http: / / www.21cnjy.com )列出比例式计算出AB的长.人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度.
例1 古代的数学家想出了一种测量金字塔高度 ( http: / / www.21cnjy.com )的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′=1米,A′B′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.
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【分析】因为太阳光是互相平行的，易得△A′O′B′∽△AOB，从而求得OB的长度.
解：∵太阳光是平行光线即O′A′∥OA,
∴∠OAB=∠O′A′B′.又∵∠ABO=∠A′B′O′=90°,
∴△OAB∽△O′A′B′.
答：金字塔的高度OB为137米.
例2 如图，为了估算河的宽 ( http: / / www.21cnjy.com )度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一这一边上选定点B和C，使AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB.
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解：∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD∽△ECD（两角分别相等的两个三角形相似），∴ABEC=BDCD,解得AB==100（米）.
答：两岸间的大致距离为100米.
这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法.
例3 如图，已知D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE=∠C.求证：AD·AB=AE·AC.
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【分析】把等积式化为比例式,猜想△ADE与△ABC相似，从而找条件加以证明.
证明：∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）.
∴,
∴AD·AB=AE·AC.
三、运用新知，深化理解
1.如图，一条河的两岸有一段是平 ( http: / / www.21cnjy.com )行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10m，在这岸离开岸边16m处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有一棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，这段河的河宽是多少米？
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【教学说明】先由实际问题建立相似的数学模型，可先证得△ABE∽△ACD,再根据对应线段成比例可求出河宽，即线段BC的长.
2.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量 ( http: / / www.21cnjy.com )影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D，然后测出两人之间的距离CD=1.25m，颖颖与楼之间的距离DN=30m（C、D、N在一条直线上），颖颖的身高BD=1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？
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【答案】1.24m 2.20.8m
【教学说明】过点A作MN的垂线段，构造相似三角形.
四、师生互动，课堂小结
这节课你学习了哪些知识，有哪些收获？还有哪些疑问？
【教学说明】学生小组讨论，分小组陈述演示，教师归纳板书.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.
本节课以生活实例为情境，引导学生探究如 ( http: / / www.21cnjy.com )何建立相似的数学模型，构造相似三角形，把实际问题转化为数学问题（相似）来解决,进一步提高学生应用数学知识的能力.
