解直角三角形
【知识与技能】
1.理解仰角、俯角的含义，准确运用这些概念来解决一些实际问题.
2.培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力.
【过程与方法】
通过本章的学习培养同学们的分析、研究问题和解决问题的能力.
【情感态度】
在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，体验从实践中来到实践中去的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣.
【教学重点】
理解仰角和俯角的概念.
【教学难点】
能解与直角三角形有关的实际问题.
一、情境导入，初步认识
如图，为了测量旗杆的高度BC，小明站在离 ( http: / / www.21cnjy.com )旗杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°，然后他很快就算出旗杆BC的高度了.（精确到0.1米）
你知道小明是怎样算出的吗？
二、思考探究，获取新知
想要解决刚才的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念.
( http: / / www.21cnjy.com )
【教学说明】学生观察、分析、归纳仰角、俯角的概念.
现在我们可以来看一看小明是怎样算出来的.
【分析】在Rt△CDE中，已知一角和一边，利用解直角三角形的知识即可求出CE的长，从而求出CB的长.
解：在Rt△CDE中，∵CE=DE·tanα=AB·tanα=10×tan52°≈12.80，
∴BC=BE+CE=DA+CE≈12.80+1.50=14.3（米）.
答：旗杆的高度约为14.3米.
例 如图，两建筑物的水平距离为32. ( http: / / www.21cnjy.com )6m，从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.（精确到0.1m）
解:过点D作DE⊥AB于点E，则∠ACB=β=43°24′,∠ADE=35°12′,DE=BC=32.6m.
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=,
∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83（m）.
在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=,
∴AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00（m）.
∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8（m）
答：两个建筑物的高分别约为30.8m，7.8m.
【教学说明】关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化为几何问题解决.
三、运用新知，深化理解
1.如图，一只运载火箭从地面L处发射， ( http: / / www.21cnjy.com )当卫星达到A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°，1s后火箭到达B点，此时测得BR的距离是6.13km，仰角为45.54°，这个火箭从A到B的平均速度是多少？（精确到0.01km/s）
2.如图所示，当小华站在镜子E ( http: / / www.21cnjy.com )F前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B处，这时他看到自己的脚在镜中的像的俯角为30°.求小华的眼睛到地面的距离.（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73）
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】1.0.28km/s 2.1.4米
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么？你有何体会？
2.这节课你还存在什么问题？
1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.
2.完成练习册中本课时练习.
本节课从学生接受知识的最近发展区出发， ( http: / / www.21cnjy.com )创设了学生最熟悉的旗杆问题情境，引导学生发现问题、分析问题.在探索活动中，学生自主探索知识，逐步把生活实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的学习方法，养成交流与合作的良好习惯.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学数学的信心.24.4 解直角三角形
第1课时 解直角三角形
【知识与技能】
1.使学生理解解直角三角形的意义；
2.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形.
【过程与方法】
让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力.
【情感态度】
通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想.
【教学重点】
用直角三角形的三个关系式解直角三角形.
【教学难点】
用直角三角形的有关知识去解决简单的实际问题.
一、情境导入，初步认识
前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面我们通过一道例题来看看大家掌握得怎样.
例在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5,BC=3,求∠A的各个三角函数值.
二、思考探究，获取新知
把握好直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决直角三角形有关的实际问题了.
例1 如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米折断倒下，树顶在离树根12米处，大树在折断之前高多少？
例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗？
( http: / / www.21cnjy.com )
学生结合引例讨论，得出结论：利用锐角三角函数的逆过程.
通过上面的例子，你们知道“解直角三角形”的含义吗？
学生讨论得出“解直角三角形”的含义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
【教学说明】学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素”的内涵，至于“元素”的定义不作深究.
问：上面例子中，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？能求出来吗？
学生结合定义讨论目标和方法，得出结论：利用两锐角互余.
【探索新知】
问：上面的例子是给了两条边.那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？
例2如图，东西两炮台A、B相距2000米， ( http: / / www.21cnjy.com )同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离（精确到1米）.
( http: / / www.21cnjy.com )
解：在Rt△ABC中，
∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,BCAB=tan∠CAB,
∴BC=AB·tan∠CAB
=2000×tan50°≈2384（米）.
∵=cos50°,
∴AC=≈3111（米）.
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.
问：AC还可以用哪种方法求？
学生讨论得出各种解法，分析比较，得出：使用题目中原有的条件，可使结果更精确.
问：通过对上面两个例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？（几个学生展示）
学生讨论分析，得出结论.
问：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？
学生交流讨论归纳：解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角.
【教学说明】使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的3个元素.”
三、运用新知，深化理解
1.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？
2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向 ( http: / / www.21cnjy.com )航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）
【答案】1.6米
2.9.4海里
四、师生互动，课堂小结
1.“解直角三角形”是求出直角三角形的所有元素.
2.解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边和一锐角.
3.解直角三角形的方法.
【教学说明】让学生自己小结这节课的收获，教师补充、纠正.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.
2.完成练习册中本课时练习.
通过直角三角形边角之间关系 ( http: / / www.21cnjy.com )的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况.通过讨论交流得出解直角三角形的方法，并学会把实际问题转化为直角三角形的问题.给出一定的情景内容，引导学生自主探究，通过例题的实践应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及提高综合运用知识的能力.解直角三角形
【知识与技能】
1.使学生掌握测量中坡角、坡度的概念；
2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题.
【过程与方法】
经历利用解直角三角形的知识解与坡度有关的实际问题的过程，进一步培养分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
渗透数形结合的思想方法，进一步培养学生应用数学的意识.
【教学重点】
解决有关坡度的实际问题.
【教学难点】
解决有关坡度的实际问题.
一、情境导入，初步认识
读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比），记作i，即i=.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i==tanα.
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
二、思考探究，获取新知
例1 如图，一段路基的横断面是梯形，高 ( http: / / www.21cnjy.com )为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽.（精确到0.1米）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
例2 学校校园内有一小山坡AB,经测量， ( http: / / www.21cnjy.com )坡角∠ABC=30°,斜坡AB长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3（即CD与BC的长度之比）.A、D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.
解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°,
则易求AC=6米，BC=63米.
在Rt△BDC中，i=.
易得DC=米.
∴AD=AC-DC=（6-2）米.
三、运用新知，深化理解
1.已知一坡面的坡度i=1∶,则坡角α为（ ）
A.15° B.20°
C.30° D.45°
2.彬彬沿坡度为1∶的坡面向上走50米，则他离地面的高度为（ ）
A.25米 B.50米
C.25米 D.50米
3.某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝底宽126米，斜坡的坡比是1∶，则此处大坝的坡角和高分别是______米.
4.如图，一束光线照在坡度为1∶的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是______.
5.如图，已知在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400m到点D处，测得点A的仰角为60°，求AB的高度.
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】1.C 2.C 3.30°20 4.30°5.（200+200）m
四、师生互动，课堂小结
1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题.
2.本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.
2.完成练习册中本课时练习.
本节课以实际情境，引导学生将实际问 ( http: / / www.21cnjy.com )题抽象为数学问题，构造几何模型，应用三角函数的知识解决问题.在整体设计上，由易到难，难度层层推进，尽量满足不同层次学生的学习需要.在教学过程中，让学生经历知识的形成过程，体会数形结合的数学思想，进一步培养学生应用数学的意识.
