2023-2024学年广东省茂名市高州市高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年广东省茂名市高州市高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，若复数为实数，则的值是( )
A. B. C. D. 或
2.在中，若，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知复数，则“”是“的实部小于”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.与向量垂直的单位向量为( )
A. B. 或
C. D. 或
5.下列结论正确的是( )
A.
B. 若，则，，，四点可以构成平行四边形
C. 若平面向量与平面向量相等，则向量与是始点与终点都相同的向量
D. 向量与可以作为平面内所有向量的一组基底
6.在中，角，，的对边分别为，，，且，，则( )
A. B. C. D.
7.若函数，，则函数值域为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，，，则的最小值为．( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A. ，则
B.
C. 若，则复数对应的点位于第四象限
D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
10.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. B. 向量在向量上的投影向量为
C. 与的夹角的余弦值为 D. 若，则
11.已知是边长为的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 在上的投影向量的模为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则 ______．
13.一艘海轮从出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛，然后从出发，沿北偏东的方向航行到达海岛，则的长为______．
14.已知、为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
求；
若，求实数的值．
16.本小题分
如图，在中，是上一点，是上一点，且，过点作直线分别交，于点，．
用向量与表示；
若，求和的值．
17.本小题分
已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，为的中点，的面积为，求的长．
18.本小题分
已知函数为奇函数．
求的值；
判断函数的单调性，并加以证明；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，．
求角的值；
若，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：复数为实数，
，
解得．
故选：．
利用复数的运算法则、复数为实数是充要条件即可得出结论．
本题考查了复数的运算法则、复数为实数是充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由余弦定理知，，
所以．
故选：．
结合余弦定理与完全平方和公式，进行运算，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
若，则的实部不一定小于，若的实部小于，则，可得．
“”是“的实部小于”的必要不充分条件．
故选：．
利用复数代数形式的乘法运算化简，然后结合充分必要条件的判定得答案．
本题考查复数的基本概念，考查充分必要条件的判定，是基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量垂直的性质，以及单位向量的定义，属于基础题．
设与向量垂直的单位向量为，结合向量垂直以及单位向量的定义，利用坐标运算即可求解．
【解答】
解：设与向量垂直的单位向量为，
则，解得或．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：选项A：由已知可得：，故A错误，
选项B：若，则，，，四点可以构成平行四边形或者，，，四点共线，故B错误，
选项C：若平面向量与平面向量相等，则始点相同时，终点必须相同，始点不同时终点也不相同，故C错误，
选项D：因为，故向量与向量不共线，故D正确，
故选：．
选项A：根据三角形法则化简即可判断，选项B，，根据相等向量的性质即可判断，选项D，根据向量共线定理即可判断．
本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到向量共线以及相等向量的性质的应用，考查了学生对向量有关概念的理解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由余弦定理得，
又因为，
所以，
故．
故选：．
根据余弦定理可得，进而根据数量积的定义即可求解．
本题考查了余弦定理，重点考查了数量积的定义，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数
，
当时，，
所以当，即时，
取得最小值为；
当，即时，
取得最大值为；
所以函数的值域为
故选：．
化函数为正弦型函数，根据正弦函数的有界性和的取值范围求出的最值即可．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
8.【答案】
【解析】解：因为是线段的中点，所以，
又因为，所以，
又，，
所以，即，
因为，，三点共线，所以，化为，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：．
由三角形的中线向量表示得出，再由得出，用、表示出，根据，，三点共线得出与的关系，利用基本不等式求的最小值．
本题考查了平面向量的线性运算与基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：：由题意，
，解得，，，故A正确，
：两个复数不能比较大小，不正确；
：，复数对应的点位于第二象限，因此不正确；
：，在复平面内对应的点的轨迹为圆心为，半径为的圆，因此D正确．
故选：．
根据复数相等的充要条件即可求解，根据复数的性质即可求解，根据复数的几何意义即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量的坐标运算，向量的夹角，向量平行、垂直和向量的投影，属于基础题．
A.根据条件得到，再根据向量平行的性质判断与是否平行即可；
B.由数量积公式求得向量在向量上的投影数量，即可判断；
C.设与的夹角为，再用夹角公式求出夹角的的余弦值，即可判断；
D.由向量数量积的坐标运算，判断是否成立，即可判断．
【解答】
解：，
，因此不与平行，故A错误；
又，
向量在向量上的投影数量为
，所以投影向量为，故B正确；
，设与的夹角为，
则，故C错误；
若，则，
即，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：如图，
连接，，，三点共线，设，
，且，，三点共线，
，解得，
，
为的中点，，B正确；
取的中点为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，
，
，C正确；
，
在上的投影向量的模为，D正确；
，
，A错误．
故选：．
连接，根据，，三点共线即可得出，从而得出，然后根据，，三点共线即可得出，从而得出为的中点，从而得出选项B正确，选项A显然错误．可取的中点，然后可求出，，，，，的坐标，从而可得出的值，并可求出在上的投影向量的模．
本题考查了三点，，共线，且时，，向量垂直的充要条件，通过建立直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量投影的计算公式，考查了计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
复数在复平面内对应的点为，
，解得：．
故答案为：．
由复数的乘法运算结合复数的几何意义求解即可．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题意知，在中，，，，
根据余弦定理，得
，
所以．
故答案为：．
由已知利用余弦定理求解即可．
本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：与的夹角为锐角，
，
，，
，
、为互相垂直的单位向量，
，
，
，
故答案为：
根据两个向量夹角是锐角，得到两个向量的数量积大于零且两个向量不相等，利用向量的数量积运算和、为互相垂直的单位向量得到不等式，解不等式，得到结果，注意去掉使得向量相等的值．
向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体．
15.【答案】解：向量，，．
；
，
，
若，则，
解得实数．
【解析】利用向量坐标运算法则直接求解；
利用向量平行的性质直接求解．
本题考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：根据题意，可得．
设，，由，结合的结论，
可得
因为、、三点共线，所以，解得，所以．
因为，，可得，
所以，
可知，即．
【解析】根据，利用向量的加法法则进行计算，推导出用向量与表示的式子；
设，根据将用表示出来，利用三点共线列式算出的值，进而求出和的值．
本题主要考查平面向量基本定理及其应用、向量的线性运算法则等知识，属于中档题．
17.【答案】解：，由正弦定理可得，
可得，即，所以．
因为，所以．
因为，，的面积为，
所以，由知，可得，
因为，可得：，
解得，可得的长为．
【解析】根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解，
根据面积公式可得，结合的结论可得，进而根据向量的模长即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，还考查了向量数量积的性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：对任意的，，则函数的定义域为，
则，解得，此时，，
所以，，
所以，当时，函数为奇函数．
解：由知：，
则函数在定义域上单调递增，证明如下：
设任意的，则
因为，则，则，
又，，所以，，即，
所以，函数在定义域上单调递增．
解：因为不等式对任意的恒成立，
所以，对任意的恒成立，
因为函数为上的奇函数，且为增函数，则，
则对任意的恒成立，所以，，解得．
因此，实数的取值范围是．
【解析】由奇函数的性质可得出，求出实数的值，然后利用函数奇偶性的定义检验即可；
判断出函数为上的增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可；
利用奇函数的性质将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出对任意的恒成立，由可求得实数的取值范围．
本题主要考查了奇函数定义的应用，还考查了函数单调性的判断，函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：因为，
由正弦定理边化角可得，
所以，又，
所以，又为锐角，则；
由正弦定理，
则，，
所以，
，
因为在锐角中，得，
所以，
则，
所以的取值范围为．
【解析】利用正弦定理边化角后整理化简即可；
利用正弦定理得到，，则，利用三角公式变形整理，利用三角函数的性质求最值．
本题考查正弦定理，考查二倍角公式，辅助角公式，三角函数性质，属于中档题．
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