2023-2024学年广东省东莞外国语学校高一（下）第一次段考数学试卷（4月份）（含解析）

2023-2024学年广东省东莞外国语学校高一（下）第一次段考数学试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.下列命题正确的是( )
A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
C. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台
3.在中，：：：：，则( )
A. B. C. D.
4.如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.若虚数单位是关于的方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
7.在中，是边上一点，且，是的中点，记，则( )
A. B. C. D.
8.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为已知在中，，为的费马点，若，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为
B. 若，则
C. 若，与垂直的单位向量只能为
D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
10.已知复数，，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若复数，不相等且，则在复平面内对应的点在一条直线上
11.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则下列选项正确的是( )
A. 若，则有两解
B. 若，则无解
C. 若为锐角三角形，且，则
D. 若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，则 ______．
13.设是不共线的两个向量，若，，三点共线，则的值为______．
14.世纪阿拉伯天文学家阿尔库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗小天体来测定小天体的高度．如图，有两个观察者在地球上，两地同时观测到一颗卫星，仰角分别为和表示当地的水平线，即为地球表面的切线，设地球半径为，弧的长度为，，，则卫星到地面的高度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
若复数为实数，求；
若复数对应点在第二象限，求的取值范围．
16.本小题分
设的内角，，的对边分别为．
求；
若，求的周长．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，点，，．
设实数满足，求的值；
若以线段，为邻边作平行四边形，求向量与所夹角的余弦值．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足
求角的大小；
若，求的取值范围．
19.本小题分
如图，，是单位圆圆心为上两动点，是劣弧含端点上的动点记均为实数．
若时，当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值．
若时，求的取值范围；
若，记向量和向量的夹角为，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意知，为纯虚数，
所以，解得．
故选：．
根据复数的乘法法则展开运算，再由纯虚数的概念，即可得解．
本题考查复数的定义与运算法则，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，也可能是三棱台，所以A错误；
对于，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，所以B错误；
对于，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
即所有的侧面是平行四边形，所以该几何体是棱柱，C正确；
对于，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，所以D错误．
故选：．
根据棱柱、棱锥、棱台的定义，对选项中的命题进行判断正误即可．
本题考查了棱柱、棱锥、棱台的定义与应用问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为：：：：
所以：：：：，
设，，，
由余弦定理可知．
故选：．
通过正弦定理求出，：：：：，设出，，，利用余弦定理直接求出即可．
本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
由斜二测画法的规则知已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，长度保持不变，已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度为原来一半．由于轴上的线段长度为，故在平面图中，其长度为，且其在平面图中的轴上，由此可以求得原图形的周长．
本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速找到原图各边的长度．
【解答】
解：由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，故在平面图中其在轴上，且其长度变为原来的倍，长度为，其原来的图形如图所示，
则原图形中的平行四边形中，一边长为，另一边长为，它的周长是．
观察四个选项，选项符合题意．
故选A．
5.【答案】
【解析】解：设与的夹角为，
则，
向量在上的投影向量为．
故选：．
由已知利用数量积求与的夹角，再由投影向量的概念求解．
本题考查由数量积求夹角，考查投影向量的概念，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意，，化简得，即且，解得，
则．
故选：．
利用复数的运算求出，，进而可得的模长．
本题考查复数的运算以及模长，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意，，是的中点，
则有，，
故
．
故选：．
根据题设条件及向量的线性运算进行代换即可求解．
本题考查平面向量的基本定理，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，，则，，
由，得，解得，满足，．
在中，，
可得，同理可得，
所以
，
因为，
所以当时，即时，有最大值，
结合，可得的最小值为．
因此，当时，有最小值，即的取值范围是．
故选：．
根据题意作出示意图形，设，，利用正弦定理将表示为关于、的式子，然后利用三角形恒等变换与三角函数的值域，求出的最小值，进而可得答案．
本题主要考查正弦定理、两角和与差的三角函数公式、三角函数的值域与最值等知识，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：已知，
对于选项A，，
即的最小值为，
即选项A正确；
对于选项B，若，
则，
即，
即选项B正确；
对于选项C，若，
则，
则与垂直的单位向量为或，
即选项C错误；
对于选项D，若向量与向量的夹角为钝角，
则且与不共线，
即，
即且，
即选项D错误．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量共线及垂直的坐标运算逐一判断即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量共线及垂直的坐标运算，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：设复数，，
对于：若，故，故，，故，故A正确；
对于：若，所以，整理得，故，整理得，与不等价，故B错误；
对于：当，故，，即，；故，
故成立，
当，故，不一定，，所以当，不成立，故C错误；
对于：复数，不相等且，根据复数的几何意义，在复数，的垂直平分线上，故D正确．
故选：．
直接利用复数的运算，复数的共轭，复数的几何意义判断、、、的结论．
本题考查的知识点：复数的运算，复数的共轭，复数的几何意义，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为，所以，则有两解，A正确．
对于，因为，，所以有且仅有一解，B错误．
对于，由，得，则，
因为，所以，C正确．
对于因为，所以，又因为，
所以，，
则，
由，得，
所以当，即时，取得最大值，D正确．
故选：．
根据边角的关系，可判断三角形的个数，即可判断；根据三角形是锐角三角形，求角的范围，即可判断；利用正弦定理，将边表示为三角函数，利用三角函数的性质，即可判断．
本题主要考查了正弦定理的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
整理可得：，
由余弦定理可得：，
，
．
故答案为：．
由整理可得：，根据余弦定理可得，结合范围，可求的值．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，不共线，，
，，三点共线，与共线，
存在实数，使，
，
，解得．
故答案为：．
根据向量减法的几何意义及向量的数乘运算得出，且得出，根据，，三点共线得出共线，从而得出，然后根据平面向量基本定理即可求出的值．
本题考查了平面向量和共线向量基本定理，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设地球球心为，
由题意可得，，，
设，则，
由正弦定理，，
两式相除可得：，
则，
又，
则，
即，
即，
则卫星到地面的高度为，
故答案为：．
由正弦定理，结合同角三角函数的关系求解即可．
本题考查了正弦定理，重点考查了解三角形，属基础题．
15.【答案】解：复数为实数，则有，解得戓，
又，
显然不符合要求，符合要求，
．
复数对应的点为，
对应点在第二象限需满足，
即，解得，
故的取值范围为．
【解析】结合实数的定义以及对数函数的性质，即可求解．
结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查实数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
16.【答案】解：在中，由结合正弦定理可得，．
因为为三角形内角可知，
所以，
而，，
因为为三角形的内角，，故，
所以，即；
由余弦定理可得：，
所以，
由，得，
所以，，
所以的周长为．
【解析】由已知结合正弦定理，和差角公式及诱导公式进行化简可求；
由余弦定理可得，由，可求，，从而可求的周长．
本题考查正余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属中档题．
17.【答案】解：，实数满足，
，解得．
，，，
故，．
设与所夹角为，．
【解析】，由实数满足，可得，解得．
，，，设与所夹角为，．
本题考查了向量坐标运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：
即
根据正弦定理得，
即，
，
即，．
，
由正弦定理得：，
，，
，
，
，
即，
，
，
，
即，
，
．
【解析】根据向量的数量积运算，以及正弦定理即求角的大小；
根据正弦定理分别求出，的值，利用三角函数的性质即可得到结论．
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．
19.【答案】解：，是单位圆圆心为上两动点，是劣弧含端点上的动点，
记均为实数，
，且点恰好运动到劣弧的中点，
此时，互相垂直且平分，则四边形为菱形，，
，
当点恰好运动到劣弧的中点时，的值为．
设劣弧的中点为，
，
，
，
得，
，
，
时，的取值范围为．
设，，，
，，
，
，
和向量的夹角为，
，
设，则关于单调递增，
当时，，
当向量和向量的夹角为时，的最小值为．
【解析】根据题意，由圆的几何性质得，从而按照数量积的定义求得结果；
根据题意，以为基底向量，所求向量用基底表示，进而转换为夹角余弦值求范围；
以为基底向量，平方处理基底向量线性运算的模问题，根据已知不等式求得夹角余弦值的范围，则所求两个线性运算向量的夹角可转换成基底向量夹角余弦值的函数关系，利用复合函数关系求得最值即可．
本题考查圆的几何性质、数量积公式、互相垂直且平分、向量夹角余弦值的函数等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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