2023-2024学年云南省大理州大理市下关一中教育集团高一（下）段考数学试卷（一）（含解析）

2023-2024学年云南省大理州大理市下关一中教育集团高一（下）段考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知、为单位向量，且，则、的夹角为( )
A. B. C. D.
4.在中，，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知函数其中图象的一个对称中心为，为了得到的图象，只需将的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
6.已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，四边形是正方形，，分别，的中点，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中错误的有( )
A. 的充要条件是且
B. 若，，则
C. 若，则存在实数，使得
D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在上单调递增
D. 恒成立
11.已知，，则( )
A. B.
C. D.
12.我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数，的二元函数，则以下说法正确的是( )
A.
B. 对任意的，
C. 若对任意实数，，则实数的取值范围是
D. 若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若扇形的周长为，面积为，则它的圆心角的弧度数为______．
14.设向量，，若，则 ______．
15.正方形的面积为，，点在线段上若，则 ______．
16.已知函数若方程存在三个不同的实数解，且满足，设，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，，．
求满足的实数，的值；
若，求实数的值．
18.本小题分
如图所示，在平行四边形中，有：．
求的大小；
若，求平行四边形的面积．
19.本小题分
中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步根据国际半导体产业协会的数据，在截至年的年里，中国计划建设家大型半导体工厂某公司打算在年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为万元，若该型芯片生产线在年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本单位：万元，已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚元的价格售出．
已知年该型芯片生产线的利润为单位：万元，试求出的函数解析式．
请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润．
20.本小题分
已知函数，如图、是直线与曲线的两个交点，且，又．
求函数的解析式；
求函数的增区间．
21.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
设，的面积为，周长为，求的最大值．
22.本小题分
把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为已知函数．
若，，求的值域；
函数，若对，，都有恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
则．
故选：．
由已知结合集合的交集及补集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，向量，，
当时，，，必有，
反之，若，则有，解可得，
故“”是“”的充分不必要条件；
故选：．
根据题意，由向量平行的的坐标表示方法可得“”与“”的关系，即可得答案．
本题考查向量平行的坐标表示，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，设、的夹角为，则，
由已知可得，，
所以，
变形可得，即，
必有，
解得，
又由，故．
故选：．
根据题意，设、的夹角为，则，利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，即可得出角的值．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：在中，，，，
由余弦定理可得，解得，
所以．
故选：．
根据余弦定理可求解，由三角形面积公式即可求解．
本题考查了余弦定理以及三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数其中图象的一个对称中心为，
，
，
，，
，
为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度．
故选：．
由条件利用求出的解析式，再利用函数的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：点在幂函数的图象上，
，
，
，在上单调递减，
，，，
，
，即．
故选：．
把点代入幂函数的解析式求出的值，进而可得在上单调递减，再结合对数函数的性质可知，从而比较出，，的大小．
本题主要考查了幂函数的定义和性质，考查了对数函数的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题可得：
，
所以，
即，
所以，
所以．
故选：．
由平面向量的线性运算可得，即可求出，，进而求出的值．
本题考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，为奇函数，则函数关于点，必有，且，
又由偶函数，则函数关于直线对称，必有，
综合可得：，变形可得，
则有，是周期为的周期函数；
函数关于直线对称，则，变形可得，
同时，
若，即，则，
故当时，，
．
故选：．
根据题意，由函数的对称性分析函数的周期，进而结合函数的解析式和，可求得、的值，从而得到时的解析式，结合周期性、对称性分析可得答案．
本题考查函数奇偶性和周期性的综合应用，涉及函数解析式、函数值的计算，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于：的充要条件是且方向相同，故A错误；
对于：当时，原式不成立，故B错误；
对于：当，时，不存在实数，使得，故C错误；
对于：根据向量加、减法的三角形法则，可知成立，故D正确．
故选：．
利用平面向量相等的定义判断；举反例判断；利用向量三角形法则判断．
本题主要考查向量相等与共线，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，
由的图象知其经过点，
故得，即，
因，则，
故，
又图象经过点，则，
所以或，
解得或，
由三角函数图象的对称性可知，该函数的周期满足，即得，
解得，满足，
故，
对于，因周期，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，当时，，此时为增函数，故C正确；
对于，令，则当时，，
则在上单调递减，
故有，此时有，故D正确．
故选：．
通过观察函数的图象，可得函数图象经过点，且半周期为，从而可得的解析式，再根据该正弦型函数的周期性，对称性，单调性和给定区间上的值域分别判断即可得解．
本题主要考查了由的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质，已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：由即可求出，确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升或下降的“零点”横坐标，则令或，即可求出；代入点的坐标，利用一些已知点最高点、最低点或零点坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求，本题属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为，所以，所以，故A错误；
对于，因为，且，所以，，，结合，解得，，所以，故B正确；
对于，由知，，故C正确；
对于，，故D错误．
故选：．
由同角三角函数的基本关系和三角恒等变换知识逐一判断各选项即可．
本题考查同角三角函数的基本关系和三角恒等变换，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于：由题意得，，则，故A错误；
对于：由题意得，故B正确；
对于：由题意得恒成立，即对任意实数恒成立，
则，解得，即实数的取值范围是，故C错误；
对于：由题可知存在，使得成立，设，
，要满足条件，
或，
或，
综上所述，的取值范围是，故D正确．
故选：．
根据，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，周长为，面积为，
则，且，
解得，，
则，
即圆心角的弧度数为．
故答案为：．
设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，周长为，面积为，运用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程，解出即可．
本题考查扇形的弧长公式和面积公式和运用，考查运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
因为，
所以，即，
解得，所以，
所以．
故答案为：．
由平面向量的坐标运算计算即可．
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：建立如图所以直角坐标系，因正方形的面积为，
则，，，，
又，则为中点，故，
因点在线段上，设，
则，，
则，
故．
故答案为：．
建立如图所示直角坐标系，可得，又设，再结合可得，即可得答案．
本题考查平面向量数量积及模的运算，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：作出的图象如图所示，
又因为方程存在三个不同的实数解，
由图知所以，且，
由，
可得，
所以，
则，
所以，
所以的最大值为．
故答案为：．
作出函数与的图象，由题意可得，且，再由对数的基本运算可知，代入求解即可．
本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，属于中档题．
17.【答案】解：由，得，则有，解得，
所以，．
依题意，，，
由，得，解得，
所以．
【解析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量相等求解即得．
利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示求解即得．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
18.【答案】解：由，
由正弦定理得，
，
又，则，
，
又，
；
由题意，在中，由余弦定理得，，即，
所以，
解得：或，
当时，平行四边形的面积：；
当时，平行四边形的面积：．
【解析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，即可求解；
由题意利用余弦定理可得的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：由题意可得，，
所以，
即；
当时，，
当时，，对称轴，，
当时，由基本不等式知，
当且仅当，即时等号成立，故，
综上，当年该型芯片产量为万枚时利润最大，最大利润为万元．
【解析】根据利润等于售价减成本可求利润的表达式；
根据的表达式分别求出每段函数的最大值即可．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
20.【答案】解：由题意设，，则，，
由图可知点，，在同一个周期内，
则，，
又因为，则，可得，解得，
则，解得，
所以，，
即；
函数
，
令，则，
所以，
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为，．
【解析】设出点，的坐标，然后根据正弦函数的性质以及数形结合求出，的值，由此即可求解；化简函数的解析式得，然后令，则，从而化简得出函数，然后利用正弦函数的单调性整体代换即可求解．
本题考查了求解三角函数解析式以及单调性问题，考查了学生的识图能力以及运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：因为，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，
又因为，
所以；
因为，
所以，，
则，，
所以，
因为，
所以
，
因为，
所以，，
故当时，上式取得最大值．
【解析】先根据正弦定理进行边化角，然后再根据弦化切求解出的值，则可知；先根据正弦定理将，表示为角的正弦形式，然后表示出三角形面积和周长，利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，结合正弦型函数的性质可求的最大值．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式，二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数性质在最值求解中的应用，属于难题．
22.【答案】解：由题意可得，
当时，，
因为，
所以，
即函数的值域为；
由题意可得，
因为，所以，
令，
则函数转化为，，
易知在上单调递增，
所以当时，取最上值为，
即有，
又因为对，，都有恒成立，
所以，
所以对恒成立，
令，
令，，
故只需，
当时，，解得，所以；
当时，，解得，所以；
当时，，解得，所以；
综上所述，的取值范围为：．
【解析】由题意可得，结合二次函数及三角函数的性质求解即可；
由题意可得，恒成立，即对恒成立，令，，则有，结合二次函数的性质求解即可．
本题考查了二次函数及三角函数的性质、转化思想、分类讨论思想，属于中档题．
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